矩阵对策的最优纯策略
运筹学12-2对策论
3.矩阵对策的混合策略(续)
-- 优超原则：当局中人甲方的策略t被其它 策略所优超时，可在其赢得矩阵A中划去第t 行（同理，当局中人乙方的策略t被其它策 略所优超时，可在矩阵A中划去第t列）。 如此得到阶数较小的赢得矩阵A’，其对
应的矩阵对策
G’= { S1,S2,A’}与 G ={ S1,S2,A } 等价，即解相同。
17
再讨论“齐王赛马”
• “齐王赛马”的赢得矩阵A有 max min aij＝－1 min max aij＝3
i j j i
故需求混合策略，由于A中有非正元素， 可选k＝2，令矩阵中每一元素加上k得到新的 正矩阵A’：
5 3 3 1 3 3 3 5 1 3 3 3 3 3 5 3 3 1 3 3 3 5 1 3 1 3 3 3 5 3 3 1 3 3 3 5
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再讨论“齐王赛马”(续)
• 求乙方(田忌)最优策略的线性规划模型：
min Y1+Y2 +Y3 +Y4 +Y5 +Y6 s.t. 5Y1+3Y2 +3Y3 +3Y4 + Y5 +3Y6 1 3Y1+5Y2 +3Y3 +3Y4 +3Y5 + Y6 1 3Y1+ Y2 +5Y3 +3Y4 +3Y5 +3Y6 1 Y1+3Y2 +3Y3 +5Y4 +3Y5 +3Y6 1 3Y1+3Y2 +3Y3 + Y4 +5Y5 +3Y6 1 3Y1+3Y2 + Y3 +3Y4 +3Y5 +5Y6 1 Y1，Y2，Y3，Y4，Y5，Y6 0 可得两组解：(1/9,0,0,1/9,1/9,0)T, (1/18,1/18,1/18,1/18,1/18,1/18)T ,V’=3 于是，Y’＝(1/3,0,0,1/3,1/3,0)T, Y’＝(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6)T V = V’-2 = 1 即田忌的最优混合策略值是输1千金
矩阵对策问题及其解法
矩阵对策问题及其解法背景对策论研究具有竞争性质的现象。
有权决定⾃⾝⾏为的对策参加者称为局中⼈，所有局中⼈构成集合I，在⼀局对策中可供剧中⼈选择的⼀个实际可⾏的完整的⾏动⽅案成为策略，对于任意剧中⼈i∈I，都有⾃⼰的策略集S i。
⼀局对策中由各剧中⼈选定的策略构成的策略组称为局势s=(s1,...,s n)，⽽全体局势集合S=S1×...×S n。
局势决定了对策的结果，对局势s∈S，局中⼈i可以得到收益H i(s)，也称为局中⼈i的赢得函数。
矩阵对策即⼆⼈有限零和对策，是⼀类较为简单的对策模型。
矩阵对策基础我们假设，局中⼈ I 有纯策略α1,...,αm，局中⼈ II 有纯策略β1,...,βn，⼆者各选择⼀个纯策略则构成m×n个纯局势 (αi,βj)，将 (αi,βj)下 I 的赢得值记为a i,j，设矩阵A=[a i,j]，称为 I 的赢得矩阵或 II 的⽀付矩阵。
局中⼈ II 的赢得矩阵就是 −A T。
最优纯策略若纯局势 (a i∗,b j∗) 满⾜max i minj a i,j=minjmaxi a i,j=a i∗,j∗则称为矩阵对策 {S1,S2;A} 的最优纯策略。
显然，最有纯策略在赢得矩阵中对应的元素⼀定满⾜，其是所在⾏的最⼩元素，也是所在列的最⼤元素，即矩阵的鞍点。
混合策略当纯策略不存在时，我们希望给出⼀个选取不同策略的概率分布。
我们记 I,II 的概率分布向量分别为x,y，所有概率分布向量构成的集合为S1,S2，则局中⼈ I 的赢得函数为E(x,y)=x T Ay。
纯策略是混合策略的特例。
若混合局势 (x∗,y∗) 满⾜max x miny E(x,y)=minymaxx E(x,y)=E(x∗,y∗)则称为矩阵对策 {S1,S2;A} 的最优混合策略。
同样，混合策略 (x∗,y∗) 是最有混合策略的充要条件也是 (x∗,y∗) 是函数E(x,y) 的鞍点。
对策论例题
策略 1 1 A 2 3 3 0 2
39; 3
把此对策问题表示成一个线性规划模型，并用单纯 形法求解此对策。 解 由 max min aij 0, min max aij 2, 知v>0 j j i i ' ' ' 先求B的最优策略，设B的策略为 ( y1 , y2 , y3 ), 对策值
* 1 * 2 * 3
例3 已知矩阵对策 , 局中人为A与B，A的赢的矩阵为
0 3 1 1 1 2 2 1 1 1 3 0
求对策的最优混合策略与对策的值。 解 由max min aij 2, min max aij 0, 知-2<V<0. 将上面的赢得矩阵中各元素都加上3， 得新的赢得
3 2 0 4
y y y 为v,并令 y1 , y2 , y3 , v v v
则B规划的线性规划模型为表5。1 初始表
max W y1 y2 y3,
3 y1 2 y2 s.t. 2 y y 1 2 y1 , y2 , 2 y3 4 y3 y3 0 1 1 1
的最优解为 2 或 4 ， 最优解 V
5.
注： 此例说明，对策的解可以不惟一，但值是唯一的.
2。无鞍点的混合策划问题 （1）线性规划法求解
例 2 某小城市有两家超级市场相互竞争，超级市场
A有三个广告策略，超级高级B也有三个广告策略， 已经算出当双方采取不同的广告策略时，A方所占市 场 份额增加的百分数如下：
0
0
1
0
-1/3
1/3
YB
b
y1
y2
y3
s1
s2
s3
对策论(Theory of Games)
定义
并不是所有的对策都存在鞍点，如 A为齐王的赢得矩阵 3 1 1 1 1 -1 1 3 1 1 -1 1 A= 1 -1 3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1 1 1 -1 1 3 1 1 1 1 -1 1 3 max(min aij)= -1 min (max aij)=3 i j j i
例如：
• 给定矩阵对策
6 5 6 A 1 4 2 8 5 7
对策的最优值为5，对策的解有两个，分 别为局势 , 和 , 。
1 2 3 2
(三)矩阵对策的混合策略
1、矩阵对策的混合策略的定义
2、原则：坏中求好的原则。 3、解的存在：一定有解 4、混合策略求解：利用期望转化成 线性规划问题求解。
三、矩阵对策模型
（一）矩阵对策的概念 （二）矩阵对策的最优纯策略 （三）矩阵对策的混合策略 （四）矩阵对策的解法
（一）矩阵对策的概念 1、矩阵对策的定义 2、建立矩阵对策模型
1、矩阵对策的定义 局中人只有两个，对策中各方只能从有限 的策略集中确定性的选择一种，且对策双 方的支付之和为零的对策称为两人零和纯 策略对策。
表2
齐 王 上中 下 田忌 上中下 3 上下 中上 中 下 1 1 中下 上 -1 下中 上 1 下上 中 1
上下中 1 中上下 1
中下上 1 下中上 1
3 1
1 -1
-1 3
1 1
1 1
3 1
1 -1
1 3
1 1
-1 1
下上中 -1
1
1
1
1
3
引例3
有两个儿童A和B在一起玩“石头-剪子布”游戏。我们规定胜者得1分，负者得 -1分，平手时各得0分。双方选定的各种 出法及相应的结果可由下表列出。双方 应取何种策略？
第15章对策论
(4) (i,j )为 矩 阵A或 对 策G的 鞍 点 .
3. 纯策略意义下有解的充要条件
矩阵对G策{S1,S2, A}在纯策略意义下有解
存在纯局(势 i,j),使得对 i, j,都有
aij aij aij
8
二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略
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2. 混合扩充
将局中人P1, P2各自的所有混合策略的集合分别记为 S1* =｛XEm｝, S2* =｛YEn｝. 称期望函数
为局中人P1的赢得函数, 称G*={S1* , S2* ,E}为对策G的混合扩充.
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三、无鞍点的矩阵对策及其最优混合策略
运筹学
3. 最优混合策略与混合策略意义下的解
设G*={S1* , S2* ,E}为矩阵对策G ={S1, S2, A}的混合扩充，若
运筹学
运筹学
运筹学
运筹学
运筹学
§15.2 矩阵对策
运筹学
二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略
1. 悲观准则(最大最小赢得准则与最小最大付出准则)
2. 最优纯策略与鞍点
设 矩 阵 对G策{S1, S2, A},其 中S1 {1m},S2 {1n}.
若有等式
miaxmjinaij
minma
j
i
则
(1) 称使上式成立的混合策略X*, Y*分别为局中人P1, P2的最优 混合策略.
(2) 称混合局势(X*, Y*)为对策G在混合策略意义下的解(或平衡 (3) 局势). (4) (3) 称上式的值为对策G在混合策略意义下的值, 记作VG＊
4. 混合策略意义下解的存在性
矩阵对策
2 3 1 1 2 3 3 1 2
第三部分
二人有限非零和对策
一、非零和对策的一般表达 1、局中人集合：i = 1, 2 ,…，n 2、每个局中人的策略集：Si (i = 1,…,n) 3、每个局中人的赢得函数：ui (s1, …, s i , … sn)
对策的一般表达：G={S1, … Sn ; u1, … un }
1
1 3 1
1
1 1 3
4、优超原理
定义： 若A中第i, k 行有aij akj , j 1 n 称 i 优超于 k 。 记 i k 若A中第j, l列有aij ail , i 1 m 称 j 优超于l 记 j l 。
例： A
1 0 2 2 3 1
称为i的劣策略(Dominated strategy)。
' i
'' i
例： B1 Ⅰ A1 A2 1， 0 0， 3
Ⅱ
B2 1， 2 0， 1 B3 0， 1 2， 0
劣策略
可按如下思路寻找均衡解： 首先找出某个局中人的劣策略（如果存在），剔除该劣 策略，得到新的博弈；再剔除该新博弈中的某个中人的 劣策略。重复进行，直至只剩下唯一的策略组合为止， 这个剩下的策略称为重复剔除的占优均衡（Iterated dominance equilibrium）。
对策值V=1
(2) 多鞍点与无鞍点对策
例 设有一矩阵对策如下，求它的解。
6 1 A 8 0 5 4 5 2 6 2 7 6 5 - 1 5 2
局势 ( s1 , d 2 ) ( s1 , d 4 ) ( s3 , d 2 ) ( s3 , d 4 ) 均构成鞍点， 此对策有多个解。
博士研究生入学考试《运筹学》大纲
博士研究生入学考试《运筹学》大纲
第一部分考试说明
一、考试性质
《运筹学》是工程管理专业、道路与交通工程专业博士生考试的专业课，是为检验应考者的决策优化管理知识和方法体系而设置的一门考试课程，是保证被录取者具有较好的管理理论基础的课程之一。
课程考试通过的评价标准是以对相关考试要点的深入理解和熟练掌握为尺度的。
二、考试形式与试卷结构
（一）答卷形式
闭卷笔试
（二）答题时间
１８０分钟
（三）题型比例
概念题10％～20％
计算题80％～90 ％
第二部分考试要点
一、线性规划
1．线性规划问题及求解
2．对偶问题
3．灵敏度分析
4．运输问题
5．整数规划（解纯整数规划的割平面法、分枝定界法、0—1型整数规划、指派问题）二、目标规划
1．目标规划模型
2．确定目标的优先顺序
3．解目标规划的单纯形法
4．目标规划的灵敏度分析
三、动态规划
1．动态规划问题的基本概念和基本方法
2．动态规划问题的求解
四、图与网络分析
1．最短路问题
2．网络最大流问题
3．网络计划技术
五、决策论
1．不确定型决策
2．风险决策
3．决策树方法
5．效用与决策
六、对策论
1．矩阵对策的最优纯策略
2．矩阵对策的混合策略
3. 博弈论
七、层次分析法
八、系统评价方法
1．模糊评价法
2．数据包络分析
3．事故树分析法
4．神经网络。
矩阵对策纯策略意义下的解
此而来。通常把矩阵对策记为
G＝{Ⅰ,Ⅱ;S1,S2;A} 或
G＝{S1,S2;A}
例：G={S1,S2,A} S1={α1,α2,α3,α4} S2={β1,β2, β3}
-6 1 -8 A= 3 2 4
9 -1 -10 -3 0 6
对于G＝{S1,S2;A}， 若有等式
max min aij＝min max aij＝ai*j*
aij*≤ai*j*≤ai*j
例如
65 15 A= 8 5 02
65 2 -1 55 62
7.3 矩阵对策混合策略意义下的解
先看一个简单的例子: A= 3 6 54
一般地，设矩阵对策G＝{S1,S2;A}，其中 S1＝{α1,α2,…,αm}，S2＝{β1,β2,…,βn}， A＝（aij）m×n
为各局中人的最优混合策略。例
(2)线性规划法
当对策的值大于0时,可利用
线性规划法求解矩阵对策。构造
两个线性规划问题
min z＝∑xi i
∑i aijxi≥1 (j=1,2,…,n)
xi≥0
(i=1,2,…,m)
max w＝∑j yj
∑j aijyj≤1 (i=1,2,…,m)
பைடு நூலகம்
yj≥0
(j=1,2,…,n)
7.2 矩阵对策纯策略意义下的解
矩阵对策就是二人有限零和对策。设两个局中人为Ⅰ、
Ⅱ，它们各自的策略集为
S1＝{α1,α2,…,αm} S2＝{β1,β2,…,βn} 当局中人Ⅰ选定纯策略αi，局中人Ⅱ选定纯策略βj后，就 形成了一个纯局势(αi,βj)，这样的纯局势共有m·n个。
对任一纯局势(αi,βj)，记局中人Ⅰ的赢得值为aij，则得 矩阵 A=（aij），称为矩阵人Ⅰ的赢得矩阵。由于是零和对 策，则矩阵人Ⅱ的赢得矩阵为-A。矩阵对策的名称正是由
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,m α，
,
,n β；则分别为
},m α和},n β。
当局中人Ⅰ选定纯策略i α和局中人Ⅱ选定纯策略后，就形成了一个纯局)j ，这样的纯局势共有m n ⨯个。
对任一纯局势赢得值为ij a ，称
12122
212n n m m mn a a a a a ⎤⎥⎥⎥⎥⎦
为局中人Ⅰ的赢得矩阵。
局中人Ⅱ的赢得矩阵就是当局中人Ⅰ，Ⅱ的策略集12,S S 及局中人Ⅰ的赢得矩阵对策也就给定了，记为{}12,,G S S A =。
在齐王赛马的例子中，齐王的赢得矩阵
},
,m α，
},n β，max ）
成立，记其值为）成立的纯局势()
,i j αβ**
在纯策略意义下的解（或鞍点）
},m α，},n S β，
1,2,
,,m x ∑1,2,
,,n y ∑分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略集分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略（或策略），对
),m x 可设想成当两个局中人多次重复进行对策
12,,
,m ααα的频率。
若只进行一次时对策，混合
对策可设想成局中人Ⅰ对各纯策略的偏爱程度。
求解混合策略的问题有图解法，迭代法、线性方程组法和线性规划法，在。