第三节双矩阵对策
局中人I选择 S ,局中人II选择 S ,则对策局势为 , ,与这个局势相 应的局中人I的收入为 a ,局中人II的收入不再是 a ,而是 b ,记作 a , b 。 对这种对策,通常用 G I , II ; S , S ; A, B 表示,其中 A a , B b 分别是局中人I与II 的支付矩阵,或简记为 G S , S ; A, B 。由于对策的赢得(或收入)必须用两个 矩阵 A a 及 B b 给出,故也称二人有限非零和对策为双矩阵对策。
大猪/小猪
按 等待
按
（5,1） （9，-1）
等待
（4,4） （0,0)
2
MOR：SM
SHUFE
第三节 双矩阵对策
解: 以智猪博弈为例,说明纯策略下的纳什均衡的求取。
(1)当小猪选择按按钮时,如果大猪也选择按按钮,大猪的赢得是5；如果大 猪选择等待,大猪的赢得是9,所以在第一列的9下面划线； (2)当小猪选择等待时,如果大猪选择按按钮,大猪的赢得是4；如果大猪也 选择等待,大猪的赢得是0,所以在第二列的第一个分量4下面划线； (3)当大猪选择按按钮时,如果小猪选择按按钮,小猪的赢得是1；如果小猪 选择等待,小猪的赢得是4,所以在第一行的第二个分量的4下面划线； (4)当大猪选择等待时,如果小猪选择按按钮,小猪的赢得是-1；如果小猪选 择等待,小猪的赢得是0,所以在第二行的第二个分量0下面划线 因此,本例中存在唯一的纯策略纳什平衡偶(4,4),即大猪按按钮,小猪选 择等待是唯一可能出现的结局。
i 1
j 2
i j
ij
ij
ij
ij
ij
1
2
ij
ij
1
2
ij
ij
双矩阵对策的解法 平衡偶
在非零和对策中,设 E X ,Y 与 E X ,Y 分别是局中人I与II的收入,这里 X S ,Y S , 为任意策略 X S ,Y S 。如果存在一对策略使得 E X ,Y E X ,Y , E X ,Y E X ,Y 对任意的 X S 与 Y S 均成立,则称策略为双矩阵对策 G 的一个平衡偶
MOR：SM
I II
1
2
*
*
*
*
*
*
*
*
1
2
I
I
I
I
1
2
纳什定理：任何具有有限个纯策略的二人对策(包括零和对策与非零和
对策),至少有一个平衡偶
1
MOR：SM
SHUFE
第三节 双矩阵对策
双矩阵对策求解
例：智猪博弈
笼子里面有两只猪,一只大一只小。笼子很长,一头有一个踏板,另一头是饲 料的出口和食槽。每踩一下踏板,在远离踏板的猪圈一边的投食口就会落下 少量的食物。如果有一只猪去踩踏板,另一只猪就有机会抢先吃到另一边落 下的食物。按一下按钮会有10个单位的猪食进槽,但是谁按按钮就会首先付 出2个单位的成本。若大猪先到槽边,大小猪吃到食物的比例是9∶1；若大小 猪同时到槽边进食,它们吃到食物的比例是7∶3；若小猪先到槽边,它们吃到 食物的比例是6∶4。如表10—2所示,那么,在两头猪都有智慧的前提下,最终 结果是什么呢？ 智猪博弈双矩阵：
矩阵对策
max aij 对局中人 II，求 min j i
若 max min aij min max aij a i
i j j i
*
j*
策略 i ， j 为I，II 的最优策略
这一对策 的值为 V a i
j
几个术语
局势 对策的解
最优纯策略
对策的值 鞍点 e. g. 2 （续）求解取暖购煤问题
两人零和对策
对抗对策（antagonistic game）
矩阵对策（matrix game）
二．实际问题中的矩阵对策模型
e. g. 1 扩大销售模型
公司I，公司II 的同一产品竞争市场份额，各有三种办 法扩大销售额（由于市场需求一定，一家扩大，意味 另一家缩减），三种方法比如：①改进包装；②广告； ③降价．公司I 的三种策略表示为 1 , 2 , 3 ，公司II 的三种策略为 1 , 2 , 3 ，在不同策略下销售量增长百 分比不同．下表中表示公司I 的增长率，而公司II 的即 为相反数
e. g. 6 （续）求最优策略与值
作业
P206,
Ex 6. 3：1，2
1=急转 2 =不转
1
给急转弯者以1 分，不转弯者以5 分 局中人II 局中人I 局 =急转 1 中 人 2=不转 II
3 5
1 =急转 2=不转
1 0
0
II 的支付矩阵
此对策中，若两者都想得5 分，则发生惨祸， 全部玩完．实际上两人最好的做法是同时停车 或转弯，各得3 分． Remark 此例已不是 2 人有限零和对策问题（因为在 每个对局中，双方支付的代数和不为零）， 称为双矩阵对策．
e. g. 2 取暖购煤问题 某公司在秋末需决定冬季取暖用煤问题．根据气温 情况，用煤量和煤价均不同，可用下表表示： 正常气温 较冷气温 较暖气温 需求量15 吨 需求量20 吨 需求量10 吨 200元／吨 250元／吨 150元／吨
矩阵对策的最优纯策略
,m α，
,
,n β；则分别为
},m α和},n β。
当局中人Ⅰ选定纯策略i α和局中人Ⅱ选定纯策略后，就形成了一个纯局)j ，这样的纯局势共有m n ⨯个。
对任一纯局势赢得值为ij a ，称
12122
212n n m m mn a a a a a ⎤⎥⎥⎥⎥⎦
为局中人Ⅰ的赢得矩阵。
局中人Ⅱ的赢得矩阵就是当局中人Ⅰ，Ⅱ的策略集12,S S 及局中人Ⅰ的赢得矩阵对策也就给定了，记为{}12,,G S S A =。
在齐王赛马的例子中，齐王的赢得矩阵
},
,m α，
},n β，max ）
成立，记其值为）成立的纯局势()
,i j αβ**
在纯策略意义下的解（或鞍点）
},m α，},n S β，
1,2,
,,m x ∑1,2,
,,n y ∑分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略集分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略（或策略），对
),m x 可设想成当两个局中人多次重复进行对策
12,,
,m ααα的频率。
若只进行一次时对策，混合
对策可设想成局中人Ⅰ对各纯策略的偏爱程度。
求解混合策略的问题有图解法，迭代法、线性方程组法和线性规划法，在。
运筹与优化--对策论
y∈S2*为局中人I和Ⅱ的混合策略,(x,y)为混合局势,
局中人I的赢得函数为 E(x,y)xTAy aix jiyj
称G* ={S1*,S2*,E}为对策G的混合扩充. i j
A
12
设 mm ax E i(x n ,y)mE i(x n *,y)
x S 1 * y S2 *
y S2 *
mm inE a(x,x y)mE a(x,x y*)
注意:G在纯策略下解存在时,定义4中的
VG ;Gai在j 混合策略意义下的解(x*,y*)
存在时,VG=E(x*,y*).
例4. 解矩阵对策 中
3 G6={S1 ,S2 ;A },其
A
5
4
A
14
局中人I取纯策略αi时,其赢得函数为 E(i,y)=∑aijyj ,
局中人Ⅱ取纯策略βj时,其赢得函数为 E(x,j)=∑aijxi .
人I以概率xi≥0取纯策略αi,局中人Ⅱ以概率yj≥0取
纯策略βj ,且
m
xi
1.记,
n
yj 1
i1
j1
m
S 1 {x(x1,x2, ,xm ) E mxi0 , xi1 }
i 1
n
S2 {y(y1,y2, ,yn) E nyj0, yj1 }
j 1
则S1* ,S2*分别称为局中人I和Ⅱ的混合策略集.称x∈S1*,
A
24
推论.如果纯策略α1被纯策略α2 , … αm的凸线 性组合所优超,则定理10的结论仍成立.
由上两式得
E(x,y)=∑E(i,y)xi
(5)
E(x,y)=∑E(x,j)yj . (6)
定理3.设x∈S1*,y∈S2*,则(x*,y*)是G的解的充要条 件是: 对任意i=1,2,…,m 和 j=1,2,…,n,有
第1章 矩阵对策
此时局中人 1 和 2 是同时并且独立地进行选择.因此局中人 1 获得支付 aij ，局中人 2 获得支
( ) 付 −aij .如果支付是一个负数， 那么可以认为是局中人的实际损失.
记具有支付矩阵 A 的对策 Γ 为 ΓA ，并且根据矩阵的维数，称之为 (m × n) 对策.如果
果它被隐藏在那里）的概率为 0 < βi ≤ 1 ，i = 1, 2, , n .如果找到目标，局中人 1 获得收益 为α .在其中隐藏和搜索物体的坑的编号是局中人的策略，局中人 1 的支付等于期望收益与
寻找目标时所付出的努力之差.隐藏和搜索目标的问题可以转化为矩阵对策，其支付矩阵为
⎡αβ1 −τ1 −τ1 −τ1
选择进行攻击的目标（局中人 1）和防卫目标（局中人 2）的问题可以转化为矩阵对策，
其支付矩阵为
⎡β1τ1 τ1
A
=
⎢ ⎢
τ2
β2τ 2
⎢
⎢ ⎣
τn
τn
τ1 ⎤
τ2
⎥ ⎥
⎥
β
nτ
n
⎥ ⎦
例 1.1.5 （离散型搜索对策）有 n 个坑，局中人 2 在 n 个坑中之一隐藏物体，局中人
1 希望找到它.在寻找第 i 个坑时局中人 1 付出的努力为τi > 0 ，在第 i 个坑中找到目标（如
m −1 > n ，则 a10 = n +1+1 = n + 2 ， a11 = n −1+1 = n ， a1 j = n − j +1−1−1 = n − j −1，
2 ≤ j ≤ n .一般情况下（对任意的 m 和 n ）元素 aij ， i = 0, m ， j = 0, n 以及支付矩阵可以
第八讲 矩阵对策概要
矩阵G的一般解法
1）取每行的最小值：
min gij i 1, 2, , m
j
i
maxmin gij i 1, 2, , m 2）从上述值中选最大值： j
j
3）取每列的最大值： max gij j 1,
i
2, , n
max gij j 1, 2, , n 4）从3）项中选最大值：min j
E X ,Y E X ,Y
那么： X
x和y EX ,Y
都成立时
局中人P1的最优策略； 局中人P2的最优策略； 对策的值； 对策的解；
Y
E X ,Y
X
,Y
最优策略的解法
假设策略的值是V，最优策略及策略的解可 通过下式求得。
m
E X , j g ij xi V
Y , , 5） 13 13 13 25 V 13
E 1, Y 3 y1 y2 y3 V E 2, Y y1 y2 5 y3 V E 3, Y y1 4 y2 y3 V y1 y2 y3 1
i
min gij min max gij gi* j* 时， 5）若 max j j i i
ai* →P1的最优纯策略； b * →P2的最优纯策略； j
a , b 对策的解； V
i* j*
g i* j* 对策 a * , b * 的值。 i j
例3
某耕地根据种植划以及自然条件，规划 与收益存在如下表所示的关系。 试求出最佳规划方案。
swot分析和战略矩阵选择
1建立专门的网站进行销售，消除地域的限制，扩大市场份额。
2提供产品的专业化服务，实施服务差异化策略。
3打造如来医药的品牌知名度。
WT
策
略
1紧密联系各关系单位，获取客户的有效信息。
2快速渗透策略，用低价格和高促销费用占领市场份额。
3社会经济的发展，居民对健康的关注带动医疗器械的需求增长。
优势(Strengths)
1代理产品多为知名品牌，具有较高的信誉度和售后保证。
2具有可靠的货源保证和经费支持。
3优质的服务在广大客户中赢得良好的口碑,便于扩大市场,降低营销成本.
4潜在目标市场规模相对较大。
5拥有一批经验丰富的推销人员，与关系企业具有良好的关系。
2作为一家规模较小的代理商，在价格上缺乏自主权，很难以低价格打开市场。
图6 SWOT分析图
通过SWOT分析可以看出，“**医药”ABC代理的产品类产品属于“新兴类产品”，但**医药ABC自身发展成熟，资金实力较强，客户资源多。因此，这都为**医药开发新市场打下了坚实的基础，要在市场中寻求发展，不断开发新客户、保持老客户，一定能够将PMD肺功能监测仪在中国推广开来，成为中国医疗器械行业的知名品牌。
威胁(Threats)
1大型代理商进入市场早，占有份额多，且不易夺取。
2由于较低的进入壁垒，陆续有新的医药用品代理商进入市场，使原已成熟的市场竞争更加激烈。
3集团客户的交易量大，会惯性的选择有一定了解的可靠的代理商作为供货源头。
劣势(Weaknesses)
1由于医药用品的主要销售对象是集团购买，客户的转移成本较大。
二、SWOT组合策略
SO
矩阵对策问题及其解法
矩阵对策问题及其解法背景对策论研究具有竞争性质的现象。
有权决定⾃⾝⾏为的对策参加者称为局中⼈，所有局中⼈构成集合I，在⼀局对策中可供剧中⼈选择的⼀个实际可⾏的完整的⾏动⽅案成为策略，对于任意剧中⼈i∈I，都有⾃⼰的策略集S i。
⼀局对策中由各剧中⼈选定的策略构成的策略组称为局势s=(s1,...,s n)，⽽全体局势集合S=S1×...×S n。
局势决定了对策的结果，对局势s∈S，局中⼈i可以得到收益H i(s)，也称为局中⼈i的赢得函数。
矩阵对策即⼆⼈有限零和对策，是⼀类较为简单的对策模型。
矩阵对策基础我们假设，局中⼈ I 有纯策略α1,...,αm，局中⼈ II 有纯策略β1,...,βn，⼆者各选择⼀个纯策略则构成m×n个纯局势 (αi,βj)，将 (αi,βj)下 I 的赢得值记为a i,j，设矩阵A=[a i,j]，称为 I 的赢得矩阵或 II 的⽀付矩阵。
局中⼈ II 的赢得矩阵就是 −A T。
最优纯策略若纯局势 (a i∗,b j∗) 满⾜max i minj a i,j=minjmaxi a i,j=a i∗,j∗则称为矩阵对策 {S1,S2;A} 的最优纯策略。
显然，最有纯策略在赢得矩阵中对应的元素⼀定满⾜，其是所在⾏的最⼩元素，也是所在列的最⼤元素，即矩阵的鞍点。
混合策略当纯策略不存在时，我们希望给出⼀个选取不同策略的概率分布。
我们记 I,II 的概率分布向量分别为x,y，所有概率分布向量构成的集合为S1,S2，则局中⼈ I 的赢得函数为E(x,y)=x T Ay。
纯策略是混合策略的特例。
若混合局势 (x∗,y∗) 满⾜max x miny E(x,y)=minymaxx E(x,y)=E(x∗,y∗)则称为矩阵对策 {S1,S2;A} 的最优混合策略。
同样，混合策略 (x∗,y∗) 是最有混合策略的充要条件也是 (x∗,y∗) 是函数E(x,y) 的鞍点。
swot 矩阵组合策略
SWOT矩阵是一种常用的战略分析工具，用于评估一个组织或项目的优势、劣势、机会和威胁。
基于SWOT矩阵的分析结果，可以制定相应的组合策略。
以下是几种常见的SWOT矩阵组合策略：1. SO策略（Strengths-Opportunities，优势-机会）：SO策略是利用组织或项目的优势来抓住市场机会。
这种策略强调通过充分利用自身的优势来实现增长和发展。
例如，如果一个公司具有强大的品牌声誉和广泛的分销网络（优势），并且市场上出现了一个新兴的高增长领域（机会），那么公司可以利用自身的优势进入该领域并获取更多市场份额。
2. ST策略（Strengths-Threats，优势-威胁）：ST策略是通过利用组织或项目的优势来应对潜在的威胁。
这种策略旨在保持现有业务的竞争优势并抵御潜在的风险。
例如，如果一个公司在某个市场上具有领先地位（优势），同时面临来自竞争对手的激烈竞争（威胁），公司可以通过进一步提升产品质量和降低成本来保持竞争优势。
3. WO策略（Weaknesses-Opportunities，劣势-机会）：WO策略是通过克服组织或项目的劣势来抓住市场机会。
这种策略强调通过改善劣势领域来实现增长和发展。
例如，如果一个公司在技术创新方面存在不足（劣势），但市场上出现了一个高增长的市场领域（机会），公司可以通过加强研发和技术投入来弥补技术劣势，并进入该领域。
4. WT策略（Weaknesses-Threats，劣势-威胁）：WT策略是通过减轻组织或项目的劣势来应对潜在的威胁。
这种策略旨在强化组织的竞争地位并减少潜在风险。
例如，如果一个公司在供应链管理方面存在问题（劣势），同时面临着供应链中断或原材料涨价等威胁（威胁），公司可以通过与供应商建立更紧密的合作关系或寻找替代供应商来减轻劣势和应对威胁。
以上是一些常见的SWOT矩阵组合策略，具体的策略选择应根据具体情况进行评估和决策。
矩阵对策
2 3 1 1 2 3 3 1 2
第三部分
二人有限非零和对策
一、非零和对策的一般表达 1、局中人集合：i = 1, 2 ,…，n 2、每个局中人的策略集：Si (i = 1,…,n) 3、每个局中人的赢得函数：ui (s1, …, s i , … sn)
对策的一般表达：G={S1, … Sn ; u1, … un }
1
1 3 1
1
1 1 3
4、优超原理
定义： 若A中第i, k 行有aij akj , j 1 n 称 i 优超于 k 。 记 i k 若A中第j, l列有aij ail , i 1 m 称 j 优超于l 记 j l 。
例： A
1 0 2 2 3 1
称为i的劣策略(Dominated strategy)。
' i
'' i
例： B1 Ⅰ A1 A2 1， 0 0， 3
Ⅱ
B2 1， 2 0， 1 B3 0， 1 2， 0
劣策略
可按如下思路寻找均衡解： 首先找出某个局中人的劣策略（如果存在），剔除该劣 策略，得到新的博弈；再剔除该新博弈中的某个中人的 劣策略。重复进行，直至只剩下唯一的策略组合为止， 这个剩下的策略称为重复剔除的占优均衡（Iterated dominance equilibrium）。
对策值V=1
(2) 多鞍点与无鞍点对策
例 设有一矩阵对策如下，求它的解。
6 1 A 8 0 5 4 5 2 6 2 7 6 5 - 1 5 2
局势 ( s1 , d 2 ) ( s1 , d 4 ) ( s3 , d 2 ) ( s3 , d 4 ) 均构成鞍点， 此对策有多个解。
博弈论算法讲义
博弈论算法一、博弈的战略式表述及纳什均衡的定义在博弈论里，一个博弈可以用两种不同的方式来表述：一种是战略式表述（strategic form representation ），另一种是扩展式表述（或译为“展开式表述”）（extensive form representation ）。
从分析的角度看，战略式表述更适合于静态博弈，而扩展式表述更适合于讨论动态博弈。
1.1博弈的战略式表述战略式表述又称为标准式表述（normal form representation ）。
在这种表述中，所参与人同时选择各自的战略，所有参与人选择的战略一起决定每个参与人的支付。
战略式表述给出：1.博弈的参与人集合：(),1,2,,i n ∈ΓΓ=。
2.每个参与人的战略空间：,1,2,,i S i n =。
3.每个参与人的支付函数：12(,,,),1,2,,i n u s s s i n =。
我们用()11,,;,,n n G S S u u =代表战略式表述博弈。
例如在两个寡头产量博弈里，企业是参与人，产量是战略空间，利润是支付;战略式表述博弈为：{}121122120, 0; (,), (,)G q q q q q q ππ=≥≥ (1.1)这里i q 、i π别表示第i 个企业的产量和利润。
1.2纳什均衡的定义有n 个参与人的战略式表述博弈()11,,;,,n n G S S u u =，战略组合{}1,,,,i n s s s s ****=是一个纳什均衡。
如果对于每一个i 、i s *是给定其他参与人选择{}111,,,,,i i i n s s s s s *****--+=的情况下第个参与人的最优战略，即(,)(,),,i i i i i i i i u s s u s s s S i***--≥∀∈∀ (1.2)或者用另一种表述方式，i s *是下述最大化问题的解:111argmax (,...,,,,...,),1,2,..., ;i i i i i n i i s u s s s s s i n s S *****-+∈=∈(1.3)我们用这个定义来检查一个特定的战略组合是否是一个纳什均衡。