ZDLX4 两个自由度系统的振动
两自由度系统的振动
第四章 两自由度系统的振动前两章介绍了单自由度系统的振动，它是振动理论的基础，并有重要的应用价值。
但工程中许多实际问题是不能简化为单自由度系统的振动问题，它们往往需要简化成为多自由度系统。
两自由度系统是最简单的多自由度系统，无论是模型的简化、振动微分方程的建立和求解的一般方法，以及系统响应表现出来的振动特性等等。
两自由度系统和多自由度系统没有本质上的差别，而主要是量上的差别，因此研究两自由度系统是分析多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
4-1 无阻尼自由振动1.系统的振动微分方程作为两自由度振系的第一个例子，现在来分析图4-1（a ）所示的双弹簧系统，设弹簧的刚度分别为k 1、、 k 2，质量为m 1、m 2。
质量的位移分别用x 1、x 2表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正。
现建立系统在静平衡位置的力学条件及振动过程中的运动微分方程。
在静平衡位置，设两弹簧的伸长分别为δ1、、δ2，则由系统的受力图 4-1（b ），得系统的静平衡条件为⎭⎬⎫=-=-+0022211221δδδk g m k k g m （a ）在振动过程中，设任一瞬时t ，m 1和m 2 的位置分别为x 1和x 2，此时质量上的受力图如图4-1（c ）所示。
应用牛顿运动定律，得)()(11112222111x k x x k k g m x m +--++=δδ )(12222222x x k k g m xm ---=δ 整理后得222122222112212212111)(δδδk g m x k x k x m k k g m x k x k k xm -=-+-+=-++ } （b ）将方程（b ）的右端和方程(a)比较，就可以消去平衡项，于是得00)(1222222212111=-+=-++x k x k xm x k x k k xm } (4-1)令 ,/,/,/)(2222121m k c m k b m k k a ==+=则（4-1）式可改写成00122211=-+=-+cx cx xbx ax x } (4-2)这是联立的二阶常系数线性微分方程组。
两自由度系统的振动
x1 (t ) = x1(1) + x1( 2) = A1(1) sin(ω1t + α1 ) + A1( 2) sin(ω2t + α 2 ) (1) ( 2) (1) ( 2) x2 (t ) = x2 + x2 = A2 sin(ω1t + α1 ) + A2 sin(ω2t + α 2 )
m1 &&1 + 2kx1 − kx 2 = 0 x 2m&&2 − kx1 + 2kx 2 = 0 x
Theory of Vibration with Applications
k3 x2
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两自由度系统的振动
例题
x m 0 &&1 பைடு நூலகம் 2k 0 2m && + − k x2
&& m1 x 1 + ( k 1 + k 2 )x 1 − k 2 x 2 = 0 && m2 x 2 − k 2 x 1 + k 2 x 2 = 0
m1 &&1 = − k 1 x 1 + k 2 ( x 2 − x 1 ) x m2 &&2 = − k 2 ( x 2 − x 1 ) x
m 0 质量矩阵 M = 0 2m
− k x1 0 x = 0 2k 2
2k K = − k − k 2k
刚度矩阵
（2）解频率方程，求ωi 将M和K代入频率方程，得
第二部分两自由度 系统的振动
k 0
(e)
k 3k 2 2m
得特征方程
第二部分 两自由度系统的振动
1 两自由度系统自由运动
( 2 ) 2m2 4 7mk 2 5k 2 0
(f )
固有频率为
1
k, m
2 1.5811
k m
(g)
将
代入式2(d) 1
，有
2k 12m X
0 0
(a)
设
x1(t) X1 sin(t )
(b)
x2 (t) X 2 sin(t )
第二部分 两自由度系统的振动
1 两自由度系统自由运动
代入振动微分方程组，得
(k1 k2 X1
k2) 2
（k2
m1 k3 )
X1
2
k2 X 2 m2 X
sin t
第二部分 两自由度系统的振动
2 两自由度简谐激励系统强迫振动
如下图所示，梁上有一固定转速的马达，运转时由于偏心而产生受迫振动，激振力
。马达的质量为m1、梁
的质量忽略不计，梁的刚度为k1。通过附加弹簧质量（m2,k2)系统可进行动力消振，试推导消振系统应满足的条件。
Q1 sin t
第二部分 两自由度系统的振动
1 两自由度系统自由运动 ●在一般情况下，两自由度系统的自由振动是两种不同频率的固有振动的叠加，其结果通常不再是简谐振动。
●在特殊的情况下，系统的自由振动会按某一个固有频率作固有振动，其结果是简谐振动。
初始条件的响应，由
x1 x2
C1 sin(1t C1r1 sin(1t
(4.1-11)
展开得
( 2 ) m1m2 4 (m1k22 m2k11) 2 k11k22 k122 0
《理论力学 动力学》 第十一讲 两个自由度系统的自由振动
两个自由度系统的振动理论曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、两个自由度系统的自由振动2、两个自由度系统的受迫振动1、两个自由度系统的自由振动（1）模型的简化同一物体的振动可以简化为不同的振动模型。
C研究上下平移振动研究前后颠簸振动两个自由度系统的自由振动模型112122222122()00mxk k x k x m x k x k x ++-=üý-+=þ&&&&2212121m k d m k c m k k b ==+=，，令方程变为：11221200xbx cx x dx dx +-=-+=&&&&，根据微分方程理论，可设上列方程组的解为：)sin()sin(21q w q w +=+=t B x t A x ，其中：A 、B 是振幅；ω为角频率，θ是初始相位角。
将上式代入微分方程组，得到：)sin()sin()sin(0)sin()sin()sin(22=+++++-=+-+++-q w q w q w w q w q w q w w t dB t dA t B t cB t bA t A 整理后得到：0)(0)(22=++-=--B d dA cB A b w w ，系统振动时，方程组具有非零解, 则方程组的系数行列式必须等于零，即：22=----ww d dc b —频率行列式①固有频率1、两个自由度系统的自由振动)()(24=-++-c b d d b w w 行列式展开后得到：—系统的本征方程，又称为频率方程21,22b d w +=m 2b d +=m i ω2的两个根都是实数，而且都是正数。
ii ω2的第一个根较小，称为第一固有频率。
iii ω2的第二个根较大，称为第二固有频率。
结论：两个自由度系统具有两个固有频率，这两个固有频率只与系统的质量和刚度等参数有关，而与振动的初始条件无关。
04-1 两自由度系统的振动
2 n1, n 2
ad ad 7 3 K bc 2 2 4 4 m
2
则：
K , m
2 n1
K n1 m
5K n 2 2m
5K , 2m
2 n2
3、主振型向量与振型图
振幅比：
2 a n 1 1 b
Yanshan University
主振动：系统按某一阶固有频率和相应主振型所作的振动。
第一阶主振动：
x1(1) A1(1) sin( n1t 1 )
(1) x2
(1) (1) A2 sin( n1t 1 ) 1 A1 sin( n1t 1 )
燕山大学
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(a ) b 0 2 c (d )
2
将上式展开得：
ω4- (a+d)ω2+(ad-bc)=0 特征根：
称为频率方程或特 征方程
2 1, 2
ad ad (ad bc) 2 2 ad ad bc 2 2
4.1.2 固有频率与主振型
设两质量块按同频率和同相位作简谐振动，即设：
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x1 A1 sin(t ) x2 A2 sin(t )
则：
1 A1 cos( t ) x 2 A2 cos( t ) x
2 K 5K m 2m 0.5 K m
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第二阶主振型 第一阶主振型
4.1.3 无阻尼自由振动的通解 由上述分析可见：
第四章(第2,3节) 两自由度系统的振动
1 cos 3
k t 2 cos m3
5k t 2m
x2
1 3
cos1t
1 3
cos2t
1 cos 3
k t 1cos m3
5k t 2m
▲若初始条件符合第一阶固有振型，则运动是按固有频
率▲若1的初简始谐条振件动符，合不第出二现阶频固率有振2的型振，动则；运动是按固有频
▲率若2的给简出谐的振任动意，初不始出条现件，1的则振运动动；将为两种固有振型的
1) 1)
C2 sin(2t 2 ) C2r2 sin(2t
2
)
x1 x2
C11 cos(1t C1r11 cos(1t
1) 1)
C22 cos(2t 2 ) C2r22 cos(2t
2
)
式中四个常数C1, C2和1, 2，由上面的四个(4方.3程-1)
0 C11 cos1 C22 cos2
0 C11 cos1 0.5C22 cos2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解初始条件的响应（例4.3-1）
求得
C1=1/3，C2=2/3，1=2= 90
代入方程(4.1-17)，得
x1
1 3
cos1t
2 3
cos2t
于是得到两个固有频率为
1
g, l
2
g l
2
k m
a2 l2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解固有频率、固有振型和初始条件的响应（例4.3-2）
系统的固有振型可以由下面方程求出
i2
ml 2
(整理)0727第三章 两自由度系统振动(讲).
第三章两自由度系统振动§3-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。
从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。
研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。
例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。
只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。
以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。
此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。
这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。
取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。
这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。
(工程实际中两自由度振动系统) [工程实例演示]§3-2 两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程（①汽车动力学模型）②以图3.2的双弹簧质量系统为例。
两自由度系统的振动
2 2） ad bc ， 12 和 2 都是正数，两个正实根。 3）方程仅有两个正实根的事实说明，系统可能有的同步 运动不仅是简谐的，且只能以两种频率作简谐运动。
4）ω1和ω2由由系统参数确定，称为系统的自然频率。两
2 (t ) c3 x 2 (t ) c2 [ x 2 (t ) x 1 (t )] k3 x2 (t ) k 2 [ x2 (t ) x1 (t )] F2 (t ) m2 x
整理得到
1 (t ) c1 c2 x 1 (t ) c2 x 2 (t ) k1 k 2 x1 (t ) k 2 x2 (t ) F1 (t ) m1 x m2 x2 (t ) (c2 c3 ) x2 (t ) c2 x1 (t ) (k 2 k 3 ) x2 (t ) k 2 x1 (t ) F2 (t )
由两自由度系统到更多自由度系统，则主要是量的扩充，
在问题的表述、求解方法及最主要的振动特性上没有本质 的区别。
1
2
1
2
1 1 2
2 3
6.2 两自由度系统的自由振动
一、两自由度振动系统的运动微分方程
1( 1 1
)
1(
)
2 2
2(
)
2
( )
3 3
1
2
(a)
1 1 1( 1 1(
( )
1
( )
2[ 2 (
2
1
上式表明：系统按其任一自然频率作简谐同步运动时，m1 和m2运动的振幅之比由系统本身的物理性质决定，对于特 定系统，是一个确定的量。 由于m1和m2作同步运动，任意时刻的位移之比等于振幅比
两个自由度体系的自由振动.
1 1,2 m1 22 m 2 11
Y1 12 m2 1 Y2 11m1 2
22 m2
1
21m1
2
1
1
1
1
Y1 12 m2 (1) 1 Y2 11m1 2
(1)
1
2
2
Y1 12 m2 (2) 1 Y2 11m1 2
2 (1) (2) 2 2
(1)
(2) (2)
m21 Y2 Y2
Y Y
0 称第一正交关系 0 第一主振型惯性力在第二 0 主振型上所做的虚功为零
2 (1) 2
（2）刚度法
•微分方程建立
思路：取质量m1和m2为 隔离体，建立动力平衡方 程。0 m2 y
1 t 11 m2 2 t 12 y1 t m1 y y y2 t m1 y1 t 21 m2 y2 t 22
ij 是体系的柔度系数
设 y1 t Y1sin t y1 t Y1 常数 y t Y 2 y2 t Y2sin t 2 惯性力 惯性力幅值 1 t m1Y1 2sin t m1 2Y1 m1 y 2 2 t m2Y2 sin t m 2 2Y2 m2 y
15.4 两个自由度体系的自由振动
两种方法：刚度法和柔度法。 刚度法通过建立动力平衡方程求解 ，柔度法通过建立位移协调方程求解。
（1）柔度法
•微分方程建立
y2
y1
2 m y 1 m y
21
22
11
P 1 1 12
思路： P2 1 各质量的位 移等于体系 在当时惯性 力作用下所 产生的静力 位移。
04-1 两自由度系统的振动
主振型向量或模态向量： (1) 1 A 1 A( 2 ) 1 2 振型图：以横坐标表示系统中各点的静平衡位置，以纵坐标表示各 点在振动过程中振幅比的大小，由此所画出的图形。
主振型向量 或模态向量
主振动
燕山大学
Yanshan University
主振动：系统按某一阶固有频率和相应主振型所作的振动。
第一阶主振动：
x1(1) A1(1) sin( n1t 1 )
(1) x2
(1) (1) A2 sin( n1t 1 ) 1 A1 sin( n1t 1 )
整理得系统运动微分方程：
燕山大学
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引入符号：
K1 K 2 a , m1 K2 b , m1 K2 c , m2
1 ( K1 K 2 ) x1 K 2 x2 0 m1 x 2 K 2 x1 ( K 2 K 3 ) x2 0 m2 x
第二阶主振动：
x1( 2 ) A1( 2) sin( n 2 t 2 )
( 2) x2
( 2) ( 2) A2 sin( n 2 t 2 ) 2 A1 sin( n 2 t 2 )
结论：系统作主振动时，各点同时经过平衡位置、同时达到最 大极限位置，并以相同的频率和确定的振型作简谐振动。
2 K 5K m 2m 0.5 K m
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第二阶主振型 第一阶主振型
4.1.3 无阻尼自由振动的通解 由上述分析可见：
燕山大学
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1 k
V
2
ksj qs q j
s, j 1
刚度矩阵式对称阵，即 k sj k js在微振动中
势能是广义坐标的齐二次函数，可表示为：
k11 k12 k1k
V 1 qT kq
2
k
k21
kk1
k22
kk 2
k2k
kkk
q1
q
q2
qk
qT q1 q2 qk
势能矩阵也是半正定二次型，刚 度矩阵也是正定的
0
k k21
k 22
k 23
k2
k2 k3
k
3
k31 k32 k33 0
k3 k3
由于系统有对应于广义坐标x1，x2，x3的集中 质量，故质量矩阵是对角阵，于是得到自由振动微 分方程：
m1 0
0
m2
0 0
xx12
k1 k2
k2
k2 k2 k3
0 k3
x1 x2
[M ]{y} [k]{y} {0}
例：三质量m1，m2，m3串联于弹簧k1，k2，k3上，试
列出自由振动微分方程。
解：先求刚度系数。
x1
x2
x3
给x1以单位位移，x2与x3
k1 m
k2 m
k3
m
保 持 不动 ， 即 x1=1 ， x2=x3=0；
x1 k111
k12
要产生这样的位移状
态 ， 在 各 点 加 的 力 就 是 k11 ， k21，k31
了 了 本
例MM66 y2中y21、项项，第，。这一第我种个二们耦方个把合程方这项基程样体本基的现是本牵了对是引某对y1项种坐坐称惯标标为性的y2“力，的耦的但，合作却却项用引引”进进，。
我们 就 说所 取 坐标 y1与 y2之间存 在着 “ 惯性耦 合”。（动耦合）（coupling）
三、用刚度影响系数法建立振动微分方程 设有一根梁，我们在梁上取了k个计算点（就是k个广义
右图所示，只在j点产生单位
位移，同时保持其余点无位移，需
要在梁上各点加的力： k1j，……kij，……kjj， ……kkj。我们暂时不管其他点，只 研究i点上的力。
k ij
y j 1 kkj
k1 j
k jj
y j1 1
k1, j 1
y j 1, j 1
按照定义，单独在j点产生单位位移，则i点的力应为kij， 而实际上j点的位移是yj，于是i点的力就应是kij·yj。
……
单独在k点产生位移yk，在i点的力应为kik·yk。
该表中所列的，是单独产生位移y1或y2……时，在i点 的力，当这些位移同时出现时，由线性系统的叠加原理，
在i点的力就应为：
Pi ki1 y1 ki2 y2 kik yk
在自由振动时，加在i点的力只有惯性力 法），即：
mi yi （由动静
供给广义惯性力的第s个分量。
或写成矩阵形式
m11 m12 m1k q1 k11 k12 k1k q1 0
m21
m22
m2k
q2
k21
k22
k2k
q2
0
mk1
mk 2
mபைடு நூலகம்k
qk
kk1
kk 2
kkk
qk
0
或简写成
[M ]q [k]q 0
很多实际问题中，振系动能表达式中，仅含有的平方项而不含 广义速度的互乘项；或其势能表达式中，仅含的平方项而不含 各广义坐标的互乘项，则振系的运动微分方程中就仅出现静耦 连或仅出现动耦连项，这两种微分方程常称为正型或反型方程
坐 标 ） ， 认 为 梁 的 质 量 就 集 中 在 这 k 个 点 上 ， 分 别 为 m1 ， m2……mk。
为 了 研 究 梁 上 各 点 位 移 y1,y2……yk 与 作 用 在 各 点 的 力 P1,P2……Pk之间的关系，我们先介绍一个概念：刚度影响系 数kij，它的定义是：使j点产生单位位移，而其余各点没有位 移，要产生这样位移状态需在i点加的力。
Pi mi yi ki1 y1 ki2 y2 kik yk
或写成 mi yi ki1 y1 ki2 y2 kik yk 0
同样，对于其余各点也可以这样的平衡方程：
m1yi k11 y1 k12 y2 k1k yk 0
m2 yi k21 y1 k22 y2 k2k yk 0 ……
置附近展为级数
M sj
(M sj )0
k ( M sj i1 qi
)0 qi
...
由于动能为广义速度的齐二次函数（即二次型），而广义速度
是微小量，故欲得到精确到二阶微量的动能表达式，只要在上 述展开式中保留第一项即可。并令 (M sj )0 msj
T
1 2
k
msj qsq j
s, j 1
若引入质量矩阵（它是k阶对称矩阵）、广义速度列阵以及其 转置矩阵来表示系统动能。则
k1x1= 0
k2(x2-x1)= 0
m1
k13
k3(x3-x2)= k3
m2
m3
k23
k33
质量m1： 质量m２： 质量m３：
k13 0 k23 k3 0 k33 k3
x3=1，x1=x2=0；
k13 0 k23 k3 k33 k3
于是得到刚度矩阵：
k11 k12 k13 k1 k2 k2
势能在振系的平衡位置附近展开成级数，得
k V
1 k 2V
V
V0
( s1 qs
)0qs
2
( j1 qsq j
)0qsq j
......
式中第一项为势能在平衡位置的值，通常取平衡位置为势能的零位置
，若则 略V去0展=0开;第式二中项高中于(二qV阶s 的)0微为量广，义并力令在平( 衡q位s2Vq置j 之)0 值 ，ksj故，它称必为为广零义。 刚度或刚度系数，则得到精确到二阶微量的势能表达式
第三章 有限多自由度系统的振动
§3—1 多自由度系统自由振动的运动微分方程 §3—2 主坐标和主振动 §3—3 二自由度系统的自由振动
§3—4 二自由度系统的强迫振动 §3—5 动力减振器 §3—6 多自由度系统的振动 §3—7 计算固有频率和固有振型的矩阵迭代法
引言
第二章介绍了单自由度系统的振动。这是研究 机械振动的基础，也可以处理一些简单的振动问题。 但是，工程中大量出现的还是多自由度系统乃至无 限自由度系统的振动问题。
图示AB为刚性杆，质量M，两端悬挂弹簧其刚度为k。
这是两个自由度的系统，取悬挂点A，B铅垂方向位移y1， y2作为描述运动状态的坐标，向下为正，以静平衡位置o为
圆点。
T
T平动＋T转动
1 2
M
(
y1
2
y2
)2
1 2
I0(
y1
l
y2
)2
k
k
l
M 8
(
y1
y2 )2
1 2
Ml2 12
(
y1
l
y2
)2
同样，单独在j-1点产生位移yj-1，i点的力是
ki，j-1yj-1。 这样，我们可以列表如下： 单独在1点产生位移y1，在i点的力应为ki1·y1；
单独…在…2点产生位移y2，在i点的力应为ki2·y2； 单独…在…i点产生位移yi，在i点的力应为kii·yi；
单独在j点产生位移yj，在i点的力应为kij·yj；
mi
ri q j
rs qs
)q jqs
括号内是坐标的函数，是与质量有关的系数，称为质量系数
或广义质量，以 M sj 表示
M sj
mi
ri q j
rs qs
显然
M sj M js
T
1 2
k
M sj qsq j
s, j1
由此可知，具有稳定约束的保守系统 ，其动能为广义速度的齐二次函数。
将广义质量在振系的平衡位
系统位置的坐标为 q1, q2...... qk ，且在平衡位置时，
各广义坐标均为零。而
ri ri (q1, q2......q. k ),
ri
k j 1
ri q j
q j (i
1,2,......n. )
故振系动能为
T
1 2
n i1
mi (ri
ri )
1 2
k
(
j , s 1
n i1
m21q1 m22q2 m2k qk k22q2
……
mk1q1 mk 2q2 mkkqk kkkqk
此时，其
势能为：
V
1 2
k
k
ss
q
2
s
s 1
刚度矩阵为对角阵
用动力学的方法列写的方程都是着眼于作用力而建立的方程，故 常称为作用力方程，此外还可以着眼于位移来建立运动微分方程 ，称为位移方程。位移方程常常是仅有动耦连的反型方程。
m11
M
m21
mk1
m12 m22
mk 2
m1k
q1
m2k
mkk
q
q2
qk
qT q1 q2 qk
T 1 qT M q
2
振系的动能是恒正的，这种函数称为正定二次型，质量矩 阵称为正定的。
2、振系的势能
势能是位置的单值函数，可用k个独立的广义坐标表示
V V (q1, q2...qk )
mi yi ki1 y1 ki2 y2 kik yk 0
或写成矩阵形式：
m1 0 0 y1 k11 k12 k1k y1 0
0
0
m2