分式复习公开课一轮复习章节复习
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第一轮复习—04分式
分式1. 分式：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B 的形式，如果除式B 中含有 ，那么称 A B为分式．若 ，则 A B 有意义；若 ，则 A B 无意义；若 ，则 A B＝0. 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 ．用式子表示为 .3. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分．4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分.5．约分的关键是确定分式的分子与分母的 ；通分的关键是确定n 个分式的 。
6．分式的运算（用字母表示）⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减： .② 异分母的分式相加减： .⑵ 乘法法则： .乘方法则： .⑶ 除法法则： .练习题一、选择题1.若分式31x -有意义，则x 应满足的条件是（ ）A.x ＝1B.x ≠1C.x ＞1D.x ＜12.化简2224m mm--的结果是（ ） Ａ. 2mm +Ｂ. 2m m -+Ｃ. 2m m -Ｄ. 2m m -- 3. 已知分式x x -+21, 当x 取a 时, 该分式的值为0; 当x 取b 时, 分式无意义; 则a b 的值等于（ ）A. 2-B. 21C. 1D. 24.如果:1:2x y =，那么下列各式中不．成立的是（ ） A . 32x yy += ； B . 12y x y -=； C .21y x =； D .1213x y +=+.5.化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是（ ） A ．82x -- B ．82x - C ．82x -+ D ．82x + 6.化简 m 2－1m ÷m+1m的结果是（ ） A ．m －1 B ．m C ．1m D ．1m －1二、填空题1、若分式42x x -+的值为0，则x 的值为 ．2.若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 3.若分式53+x 有意义，则x 的取值范围是____________. 4.已知113x y -=,则代数式21422x xy y x xy y ----的值为 ．5.若x 为12-的倒数，则633622-++÷---x x x x x x 的值为 . 6.若一个分式含有字母m 2，且当5m =时，它的值为2，则这个分式可以是 ．（写出一个．．即可） 7.在函数15y x =-中，自变量x 的取值范围是 ．8.函数y=0)2(1--x x 的自变量x 的取值范围是____________。
2025年九年级中考数学一轮复习课件：第7讲分式方程
可列方程是( C )
－50＝
B.
＋50＝
D.
A.
C.
－50＝
＋50＝
16.[工作量问题](2024·达州)甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和
乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追上乙的进度，加工的速度是
( B )
.×
＝0.75
A.0.98×5＝0.75x
B.
C.0.75×5＝0.98x
.×
D.
＝0.98
－
＋
20.(2023·呼和浩特)甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，
甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇.甲、乙两船在静水中的航速
C.m＜3
D.m＜3且m≠－2
B)
分式方程的根或增根
考查角度1：根据分式方程的根求值
－
6.已知x＝3是分式方程
−
＝2的解，那么实数k的值为(
－
A.－1
B.0
C.1
D.2
7.若关于x的分式方程 ＝
有解，则字母a的取值范围是(
－
A.a＝5或a＝0
B.a≠0
C.a≠5
D )
D.a≠5且a≠0
两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2 640个数
据.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.这两名操作员每分钟各
能输入多少个数据?设乙每分钟能输入x个数据，根据题意列方程正确的是( D )
－50＝
B.
＋50＝
D.
A.
C.
－50＝
＋50＝
16.[工作量问题](2024·达州)甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和
乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追上乙的进度，加工的速度是
( B )
.×
＝0.75
A.0.98×5＝0.75x
B.
C.0.75×5＝0.98x
.×
D.
＝0.98
－
＋
20.(2023·呼和浩特)甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，
甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇.甲、乙两船在静水中的航速
C.m＜3
D.m＜3且m≠－2
B)
分式方程的根或增根
考查角度1：根据分式方程的根求值
－
6.已知x＝3是分式方程
−
＝2的解，那么实数k的值为(
－
A.－1
B.0
C.1
D.2
7.若关于x的分式方程 ＝
有解，则字母a的取值范围是(
－
A.a＝5或a＝0
B.a≠0
C.a≠5
D )
D.a≠5且a≠0
两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2 640个数
据.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.这两名操作员每分钟各
能输入多少个数据?设乙每分钟能输入x个数据，根据题意列方程正确的是( D )
2024年中考数学一轮复习课件：专题3 分式(52张ppt)
第6页
专题三 分式
3．分式的基本性质 分式的分子与分母同时乘(或除以)同一个不等于 0 的 __整__式____，分式的值__不__变____． 用式子表示：AB ＝AB··CC ，AB ＝AB÷÷CC (C≠0)，其中，A，B， C 是整式．
第7页
[温馨提示]
专题三 分式
(1)分式有意义⇔分母不为0.
第11页
考点 2 分式的运算
专题三 分式
1．约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与
分母的_公__因__式___约去． 约分→关→键→ 找公因式
（1）分子、分母中能分解因式的，先分解因式； （2）取分子、分母中的相同因式的最低次幂的积 （数字因式取它们的最大公因数）作为公因式．
第12页
专题三 分式
第18页
[温馨提示]
专题三 分式
在分式的通分与约分运算中，要注意因式分解的应用．
化简求值时，一要注意整体思想的运用，二要注意代入的数值 要使分式有意义．
第19页
专题三 分式
[练习学知]
B 1．若(
y2 )·x
＝yx
，则(
)中的式子是(
)
A．yx
B．1y
C．yx22
D．y
第20页
专题三 分式
B 2．若 x 为正整数，则下列运算结果不是负数的是( )
答案：72
解析：原式＝a2－2aa＋1
a2 ·a－1
＝
（a－1）2 a
a2 ·a－1
＝a(a－1).
由 2a2－7＝2a，得 2a2－2a＝7，
第45页
专题三 分式
∴a2－a＝72 ， ∴a(a－1)＝72 ， 当 a(a－1)＝72 时，原式＝72 .
专题三 分式
3．分式的基本性质 分式的分子与分母同时乘(或除以)同一个不等于 0 的 __整__式____，分式的值__不__变____． 用式子表示：AB ＝AB··CC ，AB ＝AB÷÷CC (C≠0)，其中，A，B， C 是整式．
第7页
[温馨提示]
专题三 分式
(1)分式有意义⇔分母不为0.
第11页
考点 2 分式的运算
专题三 分式
1．约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与
分母的_公__因__式___约去． 约分→关→键→ 找公因式
（1）分子、分母中能分解因式的，先分解因式； （2）取分子、分母中的相同因式的最低次幂的积 （数字因式取它们的最大公因数）作为公因式．
第12页
专题三 分式
第18页
[温馨提示]
专题三 分式
在分式的通分与约分运算中，要注意因式分解的应用．
化简求值时，一要注意整体思想的运用，二要注意代入的数值 要使分式有意义．
第19页
专题三 分式
[练习学知]
B 1．若(
y2 )·x
＝yx
，则(
)中的式子是(
)
A．yx
B．1y
C．yx22
D．y
第20页
专题三 分式
B 2．若 x 为正整数，则下列运算结果不是负数的是( )
答案：72
解析：原式＝a2－2aa＋1
a2 ·a－1
＝
（a－1）2 a
a2 ·a－1
＝a(a－1).
由 2a2－7＝2a，得 2a2－2a＝7，
第45页
专题三 分式
∴a2－a＝72 ， ∴a(a－1)＝72 ， 当 a(a－1)＝72 时，原式＝72 .
一轮复习第一章数与式第3讲--分式
1 负整数指数： a p ____a__p_（a≠0,p为正整数）
► 考点1： 分式的有关概念
命题角度： 1. 分式的概念； 2. 使分式有(无)意义、值为0(正或负)的条件．
例1下列式子是分式的是
A. x B. x
C. x y
2
x 1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（B ）
D. x
例2 (C
（1） )
若分式
5 1 x
别相乘，然后约去公因式，化为最简
分位_c_≠式置b_a0_除后,_分分然要分_以，d_式子后把子≠_；、再整，分与×0若分相式分式被)_分母乘与母_dc，除子分，分不__、解当式变把式_分因分的._除相_母式式分_式乘是，与子＝多看整相的，项能式乘分即a式 否 相 作bdc子，约乘为先分时积、将，，的(ab分b÷≠dc母0颠, 倒＝
有意义，则x的取值范围是
A．x＝0 B．x＝1 C．x≠1 D．x≠ 0
(2) [2012·温州] 若代数式
的值为零，则x
＝____3____.
[解析] (1)∵分式有意义，∴1-x≠0，∴x≠1. (2)x－2 1－1＝3x－－x1的值为零，则 3－x＝0，且分母
x－1≠0，所以 x＝3.
(1)分式有意义的条件是分母不为零；分母为 零时分式无意义．
＝
异分母分式 先通分，变为a 同c 分母的分a式d ，然后相bc加减，
相加减 即
b±d ＝_____ab_d±_d_b±c _____b_d__＝
bd
分式 的乘
除
乘法法则 除法法则
母分的式积分乘母做分当是积分式单式的项，与式分用分请，母式分您可相，牢先子乘记将即的时:分，积子若ab、做× 分分积子d母c、的分＝分__子ba_dc_，__分__
2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第5课时 分 式(课件)
x2 2 x
(2) 1 与 1 的最简公分母是_2_a_2_b_2 ；
2a2b ab2
(3) 1 和 2x 的最简公分母是_x_2_－__4_．
x 2 x2 4
5.
化简：(1)
x x
y
y y
x
x y
_x___y_；
(3)
4 x2 4
1 x
2
1
_x___2_；
(5) (1
1
)
m2
2m
1
2
__m___2_.
B
，
相关 概念
B叫做分母；分子分母没有公因式的分式
2.
最简分A式：
B
____________B_≠_0____________；
3.
分式
A B
有意义的条件是___A_＝__0；且B≠0
4. 分式 的值为零的条件是__________不_等于零
不变
基本 分式A 的A分 C子与分母都乘(或A 除C以)同一个_________的整式，分式的值_____，
2. 加减运算
同分母 异分母
分母不变，分子相加减：ac
b c
ab
__c___
a
先通分，变为同分母的分式，再加减：b
c d
ad bd
bc bd
ad bc
___bd____
【满分技法】通分的关键是寻找最简公分母：(1)分母能因式分解的先因式分解；(2)
取各分母中所有因式的最高次幂的积(数字因式取最小公倍数)作为公分母
乘法运算
ac bd
ac
_b__d_=
ac bd
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即
(2) 1 与 1 的最简公分母是_2_a_2_b_2 ；
2a2b ab2
(3) 1 和 2x 的最简公分母是_x_2_－__4_．
x 2 x2 4
5.
化简：(1)
x x
y
y y
x
x y
_x___y_；
(3)
4 x2 4
1 x
2
1
_x___2_；
(5) (1
1
)
m2
2m
1
2
__m___2_.
B
，
相关 概念
B叫做分母；分子分母没有公因式的分式
2.
最简分A式：
B
____________B_≠_0____________；
3.
分式
A B
有意义的条件是___A_＝__0；且B≠0
4. 分式 的值为零的条件是__________不_等于零
不变
基本 分式A 的A分 C子与分母都乘(或A 除C以)同一个_________的整式，分式的值_____，
2. 加减运算
同分母 异分母
分母不变，分子相加减：ac
b c
ab
__c___
a
先通分，变为同分母的分式，再加减：b
c d
ad bd
bc bd
ad bc
___bd____
【满分技法】通分的关键是寻找最简公分母：(1)分母能因式分解的先因式分解；(2)
取各分母中所有因式的最高次幂的积(数字因式取最小公倍数)作为公分母
乘法运算
ac bd
ac
_b__d_=
ac bd
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即
中考一轮复习--第3讲 分式
第 1 个等式:
第 2 个等式:
第 3 个等式:
第 4 个等式:
第 5 个等式:
1
1- 2
1
1- 3
1
14
1
15
1
1- 6
÷
÷
÷
÷
÷
1
=3,
6
4
=2,
12
9
5
= ,
20
3
16
6
= ,
30
4
25
7
=
….
42
5
按照以上规律,解决下列问题.
(1)写出第7个等式:
;
(2)写出你猜想的第n个等式(n为正整数),并证明.
-
1
2
1
·
考点梳理
自主测试
3.观察以下等式:
2
1
1
第 1 个等式:1 = 1 + 1,
2
3
2
个等式:5
2
个等式:7
2
个等式:9
1
1
2
6
1
1
+
,
3
15
1
1
+ 28,
4
1
1
+ 45,
5
第 2 个等式: = + ,
第3
第4
第5
=
=
=
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第6个等式:
;
(2)写出你猜想的第n个等式:
=1=右边.故
2 +
考法1
考法2
考法3
1
1
2
8
3
数学中考网络授课课件 第一轮复习 第3课 分式
x 1 x 1
14.(2019∙咸宁)化简：x2 1 x 1 ____x_－__1____ .
xx
15.计算： c2
6ab
a2c 3b
c ___2_a__3 _____ .
16.(2019∙扬州)分式 1 可变形为（ D ）
3 x
1
A. 3 x
B.
3
1
x
1
C. x 3
D.
x
Байду номын сангаас
1
3
17．(2019·深圳)先化简
x2
3.分式的值为0的条件 分子=0且分母≠0
当x___=_1____时，分式 x 1 的值为0.
x 1
4.分式的基本性质
A A M , A A M (M 0). B BM B BM
2
(1)约分
2x x2 xy
＝___x___y __；
(2)当a＝2 016时，分式 a2 4 的值是__2__0_1_8__． a2
b a 2，a b 2，P 2 . 2
12．(2018·深圳)先化简，再求值：
x
x 1
1
x2
2x 1，其中x x2 1
2.
解：原式=
x
x
x 1 1
x
1 x 1 x 12
1 x 1
把x 2代入得：原式= 1 3
三、中考实战
A组
13.(2019∙怀化)计算： x 1 ___1________ .
则不等式组的整数解为－1，0，1，2
∵x≠±1,x≠0, ∴x=2,则原式 = 2 = 2.
1 2
23．(2018·毕节)先化简，再求值：
，
2a a2
14.(2019∙咸宁)化简：x2 1 x 1 ____x_－__1____ .
xx
15.计算： c2
6ab
a2c 3b
c ___2_a__3 _____ .
16.(2019∙扬州)分式 1 可变形为（ D ）
3 x
1
A. 3 x
B.
3
1
x
1
C. x 3
D.
x
Байду номын сангаас
1
3
17．(2019·深圳)先化简
x2
3.分式的值为0的条件 分子=0且分母≠0
当x___=_1____时，分式 x 1 的值为0.
x 1
4.分式的基本性质
A A M , A A M (M 0). B BM B BM
2
(1)约分
2x x2 xy
＝___x___y __；
(2)当a＝2 016时，分式 a2 4 的值是__2__0_1_8__． a2
b a 2，a b 2，P 2 . 2
12．(2018·深圳)先化简，再求值：
x
x 1
1
x2
2x 1，其中x x2 1
2.
解：原式=
x
x
x 1 1
x
1 x 1 x 12
1 x 1
把x 2代入得：原式= 1 3
三、中考实战
A组
13.(2019∙怀化)计算： x 1 ___1________ .
则不等式组的整数解为－1，0，1，2
∵x≠±1,x≠0, ∴x=2,则原式 = 2 = 2.
1 2
23．(2018·毕节)先化简，再求值：
，
2a a2
中考一轮复习-分式方程名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
检验：x=1是原方程旳根，x=2是增根
∴原方程旳根是x=1
练习2：m为何值时，
有关x旳方程
2 3x
2
有增根？
m>-6且m≠-4
练习3.某人骑自行车比步行每小时多走8千米， 假 如他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用旳时 间相等，求他步行40千米用多少小时?
思绪点拨：甲工作2天旳工作量+乙工作3天旳工作量=1
解：设甲工程队单独完毕任务需x天，则乙工程队单独完
毕任务(x+2)天.
依题意,得
2 3 1 x x2
化为整式方程，得 x2 3x 4 0
解得 x=-1或x=4． 检验：当x=-1和x=4时，x(x+2) ≠0， ∴ x=-1和x=4都是原分式方程旳解． 但x=-1不符合实际意义，故舍去；
6.答:不要忘记写.
例1： 解方程 2xx5552x1
解：将原方程变形为： x 5 1
2x5 2x5
方程两边同乘以（2x-5),得 解方程，得 x=10 检验：当x=10时， 2x-5≠0 ∴原方程旳根是 x=10
x+5=2x-5
例2：解方程
2 x 1
3 x 1
6 x2 1
解：将原方程变形为： 2 x 1
解:设他步行每小时走x千米，根据题意列方程
12 36 x x8
小结：
1.分式方程旳概念 2.解分式方程（注意检验） 3.分式方程旳应用（解出来旳根即要
满足分式方程也要满足实际意义）
课堂作业：
七年级下册： 习题9.3 第2，3题（P105)
③将增根代人变形后旳整式方程，求出未知数旳值。
复习回忆二:
列分式方程解应用题旳一般环节 1.审:分析题意,找出研究对象，建立等量关系.
∴原方程旳根是x=1
练习2：m为何值时，
有关x旳方程
2 3x
2
有增根？
m>-6且m≠-4
练习3.某人骑自行车比步行每小时多走8千米， 假 如他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用旳时 间相等，求他步行40千米用多少小时?
思绪点拨：甲工作2天旳工作量+乙工作3天旳工作量=1
解：设甲工程队单独完毕任务需x天，则乙工程队单独完
毕任务(x+2)天.
依题意,得
2 3 1 x x2
化为整式方程，得 x2 3x 4 0
解得 x=-1或x=4． 检验：当x=-1和x=4时，x(x+2) ≠0， ∴ x=-1和x=4都是原分式方程旳解． 但x=-1不符合实际意义，故舍去；
6.答:不要忘记写.
例1： 解方程 2xx5552x1
解：将原方程变形为： x 5 1
2x5 2x5
方程两边同乘以（2x-5),得 解方程，得 x=10 检验：当x=10时， 2x-5≠0 ∴原方程旳根是 x=10
x+5=2x-5
例2：解方程
2 x 1
3 x 1
6 x2 1
解：将原方程变形为： 2 x 1
解:设他步行每小时走x千米，根据题意列方程
12 36 x x8
小结：
1.分式方程旳概念 2.解分式方程（注意检验） 3.分式方程旳应用（解出来旳根即要
满足分式方程也要满足实际意义）
课堂作业：
七年级下册： 习题9.3 第2，3题（P105)
③将增根代人变形后旳整式方程，求出未知数旳值。
复习回忆二:
列分式方程解应用题旳一般环节 1.审:分析题意,找出研究对象，建立等量关系.
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x－4 2．若分式x＋2的值为
0，则
x
的值为_____．
1
x
3．分式4a2b2与6ab3c的最简公分母是_____．
11
4．计算：x－x＋1＝_____.
5．计算：x－x 1÷x2－x 1＝_____．
类型一 分式有意义的条件及分式值为零的条件
【例 1】试求 a 为何值时，分式a2－a2－2a1－3的值分别满足下述条件：
1＋x－1 2÷x2－x22－x＋ 4 1，其中，x＝3.
反馈 4 (2014·益阳)先化简，再求值： x－1 2＋2(x－2)＋(x－1)2，其中 x＝ 3.
反馈 5 先化简，再代入一个你喜欢的数求值：
xx22－ ＋1x÷x－2xx－1.
【例 5】已知 ab＝－1，a＋b＝2，则ba＋ab＝______
③分式的除法：把除式的分子、分母颠倒位置后，与 被除式相乘．
④分式的乘方：把分子、分母分别乘方．
5．注意事项： ①分式运算的结果要化成最简分式． ②各种运算律也适合分式运算．
③分式加减的实质是通分；分式乘除的 实质是约分．
④最简公分母是各分母系数的最小公倍 数与所有字母因式的最高次幂的积．
1．当______时，分式xx＋－11有意义；当 x＝3 时，分式x－2 3无意义．
2ab3 2 6a4 －3c3
反馈 2
化简：(1)－c2dab2＋－14÷ba2＋＋2b.
类型三 分式的加减运算
m n 2mn 【例 3】计算：m－n－m＋n＋m2－n2.
反馈 3 化简：x22－x 9＋3－1 x.
类型四 分式的混合运算及求值 【例 4】(2014·长沙)先化简，再求值：
反馈 6 已知 x－3y＝0，求x2－2x2＋xy＋y y2•(x－y)的值．
1．分式的概念：形如(其中A，B为整式， B中含有字母，且B≠0)的式子叫分式．分
子和分母没有公因式的分式叫最简分 式．
2．分式的基本性质：分式的分子与分母 同乘(或除以)同一个不为0的整式，分式 的值不变．用式子表示为：______(M为 不等于零的整式)．
3．约分与通分： ①将分子、分母的公因式约去， 叫作分式的约分．分式约分的根 据是分式的基本性质．
①无意义；
分母=0
②有意义；
分母≠0
③等于0.
分子=0且分母≠0
反馈 1 试求 y 为何值时，分式y2－|y|5－y＋2 6的值分别满足下述条件：
①无意义； ②有意义； ③等于0.
类型二 分式的乘除运算 【例 2】化简：
(1)－ba2·－ba3÷(－ab4)；
(2)a2＋164－`aa＋2 4÷2aa－＋44·aa＋＋42.
②把几个异分母的分式分别化为 与原分式相等的同分母的分式叫 作通分．
4．分式的运算：(分式的运算法则与分数的运算法则 类似) ①分式加减法：同分母分式相加减，分母不变，把分 子相加减．用式子表示为：________．异分母分式相 加减，先通分，再加减．用式子表示为：________． ②分式的乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积 作为积的分母．