理论力学1质点动力学
理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
理论力学第10章 质点动力学
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
理论力学知识总结
学生整理，时间有限，水平有限，仅供参考，如有纰漏，请以老师、课本为主。
第一章质点力学（1）笛卡尔坐标系 位置：k z j y i x ++=r速度：k z j y i x dtr d ...v ++== 加速度：k z j y i x dtv d ......a ++== （2）极坐标系坐标：j i e r θθsin cos += j i e θθθcos sin +-= r e r =r 速度：r r .v = .v θθr =加速度:2...θr r a r -= .....2θθθr r a += （3）自然坐标系（0>θd ） 坐标：ds r d e t =θd e d e t n = θρd ds = 速度：t e v v = 加速度：n t e v e v ρ2.a +=（4）相对运动（5）牛顿运动定律 牛顿第一定律：惯性定律 牛顿第二定律：)(a m v m P dtP d dt v d m F ==== 牛顿第三定律：2112F F -= （6）功、能量vF dt rd F dt dW P rFd dA ⋅=⋅=== （7）（7）有心力第二章 质点动力学的基本定理知识点总结： 质点动力学的基本方程质点动力学可分为两类基本问题:. (1) .已知质点的运动，求作用于质点的力; (2) 己知作用于质点的力，求质点的运动。
动量定理 动量：符号动量定理微分形式动量守恒定律：如果作用在质点系上的外力主失恒等于零，质点系的动量保持不变。
即：质心运动定理：质点对点O 的动量矩是矢量mv r J i ⨯= 质点系对点0的动量矩是矢量i ni nii i i v m r J J ∑∑=⨯==1若z 轴通过点0，则质点系对于z 轴的动量矩为∑==ni z z z J M J ][若C 为质点系的质心，对任一点O 有 c c c J mv r J +⨯=02. 动量矩定理∑∑=⨯=⨯=nie i i n i i i i M F r v m r dt d dt dJ )()( 动量矩守恒：合外力矢量和为零，则动量矩为常矢量。
《理论力学》第九章质点动力学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
理论力学(哈工大版)第十章：质点动力学
第六章 质点动力学6-1 惯性参考系中的质点动力学一.惯性参考系1.一般工程问题：2.人造卫星、洲际导弹问题：3.天体运动问题：二.牛顿定律1.第一定律（惯性定律）：2.第二定律（力与加速度之间的关系定律）：3.第三定律（作用与反作用定律）：三.质点的运动微分方程 将动力学基本方程)(F a m =表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。
1.矢量形式（自：会使用微分形式）) )( ( 22方程为质点矢径形式的运动式中t r r F dtr d m == 2.直角坐标形式) )()()( ( 222222运动方程为质点直角坐标形式的式中⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===t z z t y y t x x Z dty d m Y dt y d m X dt x d m 3.自然形式b n F F v m F dt s d m ===0222ρτ ), ,,)((轴上的投影轴和轴自然轴系在分别为力运动方程。
为质点的弧坐标形式的式中b n F F F F t s s b n ττ= 四.质点动力学的两类基本问题1.已知质点的运动规律，求作用于质点上的力；----求微分问题。
2.已知质点上所受的力，求质点的运动规律。
----按质点运动的初始条件和力的函数关系对运动微分方程进行求解，从数学角度看，是解微分方程或求积分，并确定相应的积分常数的问题。
第一类问题解题步骤和要点：①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。
②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。
③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。
⑤求解未知量。
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。
变力可能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量积分dt dv 。
理论力学 质点动力学
第8章质点动力学
[例8-1]桥式起重机跑车吊挂一质量为m的重物，沿水平横梁作
ν
匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为l。
突然刹车，
重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：1）以重物为研究对象2）受力分析mg
F T
a n a t 3）运动分析4）牛顿第二定律
ϕ
sin mg ma t −=ϕ
cos mg F ma T n −=∑=t
t F ma ∑=n
n F ma 5）补充方程
ϕsin mg dt
dv
m −=ϕcos 2
mg F l
v
m T −=
mg
F T
a n a t ϕsin mg dt
dv
m −=ϕcos 2
mg F l
v
m T −=0<dt
dv 重物减速
=ϕ0
max v v =max
T T , 0F F ==时ϕ)
1(20
max
T gl
v
mg F +=
a n
F N
a t
a n
ma
mg
F N
a t a n
mg
O
解释非惯性系一些物理现象
飞机急速爬高时
飞行员的黑晕现象
爬升时：a > 5g
惯性参考系——地球
非惯性参考系——飞机
动点——血流质点
牵连惯性力向下，从心脏流向头部的血流受阻，造成大脑缺血，形成黑晕现象。
飞行员的黑晕与红视现象
在北半球的弹道偏右;在南半球的弹道偏左
a
C
F
IC。
质点动力学(理论力学课件)
在地球表面，任何物体都受到重力G的作用。在重力作用下
得到的加速度称为重力加速度，用g表示。根据第二定律有 G=mg 或 m=G/g
式中的G和g分别是物体所受的重力和重力加速度的大小， 根据国际计量委员会规定的标准，重力加速度的数值为
9.80665m/s，一般取9.80m/s。
实际在不同的地区，g的数值有些微小的差别。
车梁及柱的振动。
③在机械工程中对高速转动机械的动力分析需要应用动力学的
理论基础。
比如高速转动的转子，若重心不在转轴上（由误差引起）， 转速很高时将引起轴承破坏（此问题在制造和安装中都不容 易克服）。在动力学有关章节将进一步介绍。
④在宇宙飞行及火箭推进技术研制中都需要用到动 力学的基本理论。
第二宇宙速度就是理论指导实践的最典型的例子。 在上世纪50年代，第二宇宙速度早已在理论上得到 承认，但也有人（指理论力学专家）不相信。
,
ab 0
式中τ和n为轨迹切线和主法线的单位矢量。
a v
an
v
2
式中为轨迹的曲率半径。
于是，质点运动微分方程在自然轴上的投影式为：
ma F i
i 1 n
n
mr
F
i 1
n
i
man Fni
i 1
（11-5）
0 Fbi
i 1
n
式中 Fti、Fni、Fbi 中分别是作用于质点的各力在切线、主法线 和副法线上的投影。式（11-4）和（11-5）是两种常用的质 点运动微分方程。
⑤求解未知量。根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动
的初始条件，求出质点的运动。
29
例1、小球质量为m，悬挂于长为l的细绳上，绳重不计。
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Fi
ma FR
o rr
x
ay
二、 直角坐标形式：
mx Fx my Fy mz Fz
三、 自然坐标形式：
ms Ft s2
m Fn
0 Fb
10
例：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度
为u , = 0。求绳作用在小球上的力F( ), 并分析小球的运动。
F
n
u mg
最后得质点A的运动规律：
x b cos k t, m
y v0
m sin k
kt m
x2 k y2
消去时间t可得轨迹方程： b2 m v02 1
质点A的轨迹为椭圆。
例：小物块A和B的质量均为m，以细杆AB光滑铰接，置于光滑的
水平和铅垂面上，如图所示。如果不计细杆的质量，在=600时静
止自由释放，求此瞬时杆AB所受的力。
动力学
•动力学 dynamics 研究状态变量与作用量的关系
1
心脏动力学
2
药物动力学
3
经济动力学
4
机械动力学
机械动力学: 研究机械运动与作用力的关系 • 设计: 运动机构的动力学分析;承受动荷载
的结构设计 • 振动控制: 利用或消除振动
5
海洋石油钻井平台
• 机械动力学研究思路
质点－质点系 (刚体、刚体系)
m 10kg, c 0.02N s2 /m 2 , v0 1000 m/s,
炮 弹 运 动 轨 迹 图
0
7.7
0
4.0
15
例：质点A的质量为m，受指向原点O的引力 F kr 的作用， r 是质点A对点O的矢径，k为比例常数，如图所示。初瞬时的 质点A0的坐标为x=b，y=0，而初速度的分量vx=0，vy=v0。试求 质点A的运动规律和轨迹。
aB cos aA sin （3）
将式（1）向铅垂方向投影，式（2）向水平方向投影：
maA mg FAB sin （4）
maB FAB cos
（5）
联立式（3）（4）（5）解得：
FAB mg sin
3 mg 2
FAB为正值，表明图中假设指向与实际一致，杆AB受压。
mg
FNA
aA
A
FAB
c2 c4
sin t sin t
F
v0 x
A0(b,0)
x y
c1 c3
cos t cos t
c2 c4
sin sin
t t
将通解求导：
x y
c1 c3
sin sin
t t
c2 c4
cos t cos t
将初始条件：t=0，x=b，y=0，x 0 y v0 代入得积分常数：
c1 b, c2 c3 0, c4 v0
• 已知力求运动或运动轨迹
8
理论基础：牛顿定律与微积分
第一定律 第二定律 第三定律
运动微分方程
矢量形式:
d2r m
dt 2
n
Fi
i 1
适用条件？
第一、二定律： 惯性参考系 第 三 定律： 任意参考系
9
•问题: 在不同坐标系中运动微分方程都有什么形式?
一、矢量形式：
z
FR
m d2r
dt 2
n i 1
解: [质点A]
由于质点A所受的力F与其初速度共面, 故质点在Oxy
平面作平面曲线运动。建立图示直角坐标系，得运动
微分方程：
mx F cos kr cos kx
my
F
sin
kr
sin
ky
y r A
O
令： 2 k m
其通解为：
x2x 0
y
2
y
0
x y
c1 c3
cos t cos t
n: ml2 F mg cos
（1）微幅摆动
l g sin 0
sin
g 0
l 2 g
l
2 0
微分方程的通解
A sin( t )
初始条件：
0 0,
0
u l
确定积分常数
A u , 0 l
运动特点：等时性 （周期与初始条件无关）
12
（2）大幅摆动
2 sin 0
• 机械动力学研究方法
◎ 牛顿经典动力学方法 三大定理 ◎ 近代分析力学方法
达朗贝尔原理、动力学普遍方程、拉格朗日方程等
7
第十章 动力学基本定律 质点运动微分方程
• 研究质点的受力与运动之间的关系
牛顿第二定律：
rr ma FR
运动微分方程
矢量形式:
d2r m dt2
n i 1
Fi
• 已知运动求力
大
幅
摆
动
不
/ rad
具
有
等
时
性
t/s
13
例: 建立抛体的运动微分方程。（设空气阻力的 大小与速度的平方成正比，方向与速度相反。）
解：1、取炮弹为研究对象,建立矢量方程
y
R
ma mg R
v ma mg (cvv)
mg
x 2、建立直角坐标形式的运动微分方程
o
v x2 y2 my mg cy x2 y2 14
1、取研究对象受力分析、运动分析 2、对质点建立牛二矢量式 3、建立坐标系，化矢量为投影 4、建立微分方程(组)，求解
解： ma F mg
: ml mg sin
n: ml2 F mg cos
运动 微分方程
积分上式可得：
F mg(3cos 2) m u2
l
11
分析小球的运动
: ml mg sin
解: [物块A]
mg
maA mg FNA FAB （1） [物块B]
maB mg FNB FAB （2）
FNA
aA
A
FAB
mg
FAB
B aB
A B
A
aA
[AB]运动学分析
FNB
aBAt
aB aA aBAt aBAn
aB “AB方向”： aB cos aA sin （3）
B
maA mg FNA FAB （1） maB mg FNB FAB （2）
mg
FAB
B aB
FNB