对称逐步超松弛预处理共轭梯度法的改进迭代格式
对称超松弛迭代法 -回复
对称超松弛迭代法-回复对称超松弛迭代法（Symmetric Successive Over-Relaxation, SSOR）是一种用于求解线性方程组的迭代解法。
它是对超松弛迭代法（Successive Over-Relaxation, SOR）的改进和扩展，适用于具有对称正定系数矩阵的方程组。
本文将详细介绍SSOR的原理、算法步骤和收敛性分析。
一、SSOR原理：1. 对称正定系数矩阵：对称正定系数矩阵是指一个n阶实对称矩阵A，满足以下两个条件：(1) 矩阵A的所有特征值大于零；(2) 对于任意非零列向量x，都有x^T * A * x > 0，其中x^T表示向量x的转置。
2. SSOR分解：对称正定系数矩阵A可以进行SSOR分解，即将A分解为A = D - L - U，其中D、L、U分别为A的对角线元素、下三角和上三角元素组成的矩阵。
3. 迭代格式：SSOR迭代格式为：x(k+1) = (D - ωL)^(-1) * [ωU * x(k) + (1-ω) * b]，其中x(k)表示第k次迭代的解向量，ω为松弛因子，b为常数向量。
4. SSOR与SOR：SSOR是对SOR方法的改进和拓展，当松弛因子ω=1时，SSOR退化为SOR方法。
SSOR方法在SOR方法的基础上引入了前向迭代和后向迭代，使得收敛速度更快。
二、SSOR算法步骤：1. 初始化：给出初始近似解向量x(0)，选择松弛因子ω的初值。
2. 迭代过程：(1) 前向迭代：根据迭代格式，计算x(k+1/2) = (D - ωL)^(-1) * [ωU * x(k) + (1-ω) * b]。
(2) 后向迭代：继续根据迭代格式，计算x(k+1) = (D - ωU)^(-1) * [ωL * x(k+1/2) + (1-ω) * b]。
(3) 重复步骤(1)和(2)，直到满足收敛准则（如迭代次数达到指定值或解的误差小于给定阈值）为止。
3. 输出结果：输出近似解向量x(k+1)。
西安交大计算方法A考点总结【1-9章】
x* xk 0
计算方法 A 知识点总结 仅供参考[2014 级化机]
矩阵收敛的充要条件是 lim
k
A* Ak 0
lim Bk 0 谱半径 B 1
k
2、迭代法的一般格式 3、雅克比迭代
xk 1 Bxk g （注：B 是个对角元素均为 0 的方阵）
i 1 n bi aij xjk 1 aij xjk ） j 1 j i
SOR 迭代格式（加松弛因子 w） ： xi 变形为 xSOR
k 1 k 1 1 xk xG S
k 1
xik rik 1 / aii
改进平方根法：A=LU=LDLT 比平方根法多了 5、追赶法（三对角方程组） 本质是三对角矩阵的 LU 分解。 6、向量范数
x
非负性；齐性；三角不等式。
x1 x
2
元素绝对值之和； 元素平方和的平方根； 元素绝对值的最大值；
x
7、矩阵范数
A
非负性；齐性；三角不等式；相容性。
A1 A2
列范数（第 1 到第 n 列元素绝对值之和的最大值） 谱范数（ AT A 的特征值的最大值的平方根） 行范数（第 1 行到第 n 行元素绝对值之和之和的最大值）
Dxk 1 1 Dxk Exk 1 Fxk b
1）迭代法收敛的充分条件：迭代矩阵 B 的范数 2）迭代法收敛的充要条件： lim B
k k
B 1
0 谱半径 B 1
3）超松弛迭代法收敛的必要条件是： 0 2
计算方法 A 知识点总结 仅供参考[2014 级化机]
第一章 1、误差的来源与分类：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差。 2、准确到 n 位小数：
黄金比例分割法确定对称逐次超松弛迭代法的最佳松弛因子
(2) 1 < ω < 2 ；
(3) 取 [D] = k[I ]，当 k n ∈ (0, 1) 时；
2
则本文采用改进的SSOR迭代法收敛。
证明：本文所采用的SSOR-PCG法改进的迭代格式所采用的迭代矩阵为：
Lω = I − ω(D − ωCL )−1 A = (I − ωL)−1 ((1 − ω)I + ωU )
表1 方向
x y x y x
本文算法与MARC计算节点位移比较
MARC 解
本文算法解
-0.315654E-03
-0.315041E-03
-0.151406E-03
-0.151282E-03
-0.130349E-01
-0.130269E-01
-0.354377E-01
-0.353946E-01
-0.148028E-01
0.019 0.213 0.122 0.052
y
10151
x
y
10251
x
y
注：表中节点位置参见图1.
-0.168963E-03 0.131212E-01
-0.355535E-01 0.149818E-01
-0.943525E-01
-0.168703E-03 0.131073E-01
-0.355067E-01 0.149659E-01
(1)
( ) R： α = y k ,Vy k
式中 ( ， ) 为内积表示，下同。
如果α ≤ ε ，则停止，否则
-1-
⎧τ ⎪
k
⎪δ k
=
+1
( y k ,Vy k ) /(d k ,2z k = δ k +τkdk,
matlab超松弛迭代法求方程组
一、介绍MATLAB（Matrix Laboratory）是一种用于数值计算和数据可视化的专业软件。
在MATLAB中，超松弛迭代法是解决线性方程组的一种有效算法。
本文将介绍MATLAB中超松弛迭代法的基本原理和实现方法，并给出一个具体的例子进行演示。
二、超松弛迭代法的基本原理超松弛迭代法是一种逐步迭代的算法，用于求解线性方程组。
它的基本原理是通过不断迭代更新方程组的解，直到达到满足精度要求的解。
超松弛迭代法的公式如下：X(k+1) = (1-w)X(k) + w*(D-L)⁻¹*(b+U*X(k))其中，X(k)代表第k次迭代的解向量，X(k+1)代表第k+1次迭代的解向量，D、L和U分别代表方程组的对角线元素、下三角元素和上三角元素构成的矩阵，b代表方程组的右端向量，w代表松弛因子。
超松弛迭代法的关键在于选择合适的松弛因子w，一般情况下，可以通过试验选取一个合适的值。
在MATLAB中，可以使用sor函数来实现超松弛迭代法。
三、MATLAB中超松弛迭代法的实现方法在MATLAB中，可以通过调用sor函数来实现超松弛迭代法。
sor 函数的语法格式如下：[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit)其中，A代表线性方程组的系数矩阵，b代表右端向量，w代表松弛因子，tol代表迭代的精度要求，maxit代表最大迭代次数，X代表迭代求解得到的解向量，flag代表迭代的结果标志，relres代表相对残差的大小，iter代表迭代次数，resvec代表迭代过程中的残差向量。
以下是一个使用sor函数求解线性方程组的示例：A = [4 -1 0 -1 0 0; -1 4 -1 0 -1 0; 0 -1 4 0 0 -1; -1 0 0 4 -1 0; 0 -1 0 -1 4 -1; 0 0 -1 0 -1 4];b = [1; 0; -1; 0; 1; 0];w = 1.25;tol = 1e-6;maxit = 100;[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit);通过调用sor函数，可以得到方程组的解向量X，迭代的结果标志flag，相对残余resrel和迭代次数iter。
线性方程组的迭代法雅可比高斯塞德尔和超松弛迭代ppt课件
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2
an1x1 an2 x2 ann xn bn
写据成此建立n 迭ai代j x公j 式 bi
i 1,2,, n
上若xi式(xkai称1ii)为0ja1解a11i(iiii方((bb程1ii,2组,jj的njn,1i n1Jaa)aijcxio,j分(jxbk)ij离)迭) 代出公i变i式量1,。21x,,2i , n , n
j=1
j ≠i
称A为严格对角占优阵。
2.如果A的元素满足
∑n
ai,i ≥ ai, j ,i = 1,2,..., n
j=1 j≠i
且至少一个不等式严格成立，称A为弱对角占优阵。 16
定义：设 A = (ai,j )n×n ,n ≥ 2
如果存在置换矩阵P，使得
PT
AP
A11 0
A12
A22
1
§6.1 迭代法的基本思想
迭代法的基本思想是将线性方程组转化 为便于迭代的等价方程组，对任选一组初始 值 xi(0) (i 1,2,, n) ，按某种计算规则，不断地 对所得到的值进行修正，最终获得满足精度 要求的方程组的近似解。
2
设 A Rnn 非奇异，b Rn，则线性方程组
Ax b 有惟一解 x A1b ，经过变换构造
x (k 1) 1
x (k 1) 2
x1(k 2x1(k)
)
x(k) 2
4x2(k )
3 3
取
x (0) 1
x (0) 2
0
计算得
解线性方程组的迭代法
|| x || 0 (非负性) ； （1）|| x || 0 ，当且仅当 x 0 时，
（2） || x ||| | || x || (齐次性)； （3） || x y |||| x || || y || (三角不等式). 则称 || x || 为向量 x 的范数 (或模).
4.1.2 向量范数和向量序列的极限
常用的向量范数：设 x R n （1）向量的 - 范数 (最大范数)： || x || max | xi |
1 i n
|| x ||1 （2）向量的 1 - 范数 (绝对值范数)：
（3）向量的 2 - 范数：|| x ||2 ( x , x ) (
|| A ||2 3+2 2 , || A ||F 6
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
(k ) ) R nn ，如果存 定义5 (矩阵序列的极限) 设有矩阵序列 Ak (aij
在 A (aij ) R nn，使
k (k ) lim aij aij ,
i, j 1, 2,
（4） || AB |||| A || || B || ； 则称 || A || 为矩阵 A 的范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
相容性： 设有矩阵范数 || ||s 和向量范数 || ||t ，如果对任何向量 x R n 及矩阵 A R nn ，有/2 || A ||F ( aij ) i , j 1 n
它是与向量 2-范数相容的矩阵范数，但不是从属范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
磁力联轴器有限元模型及面向对象方法的实现
；ｗｉｄｅｓｐｒｅａｄ ａｖａｉｌａｂｉｌｉｔｙ ｉｎ ｃｏｎｖｅｎｔｗｎａｌ ｄｅｓｉｇｎ．Ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｓｕｉｔｅｄ ｔｏ ａｃｃｕｒａｔｅｔｙ ｄｅｓｉｇｎ ｔｈｅ§
；ｍａｇｎｅｔｉｃ ｃｏｕｐｌｅｒ．Ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｃｏａｘｉａｌ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｃｏｕｐｌｅｒ’ｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｔａ ｉｓ ｄｅｄｕｃｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅ－；
；用性。模型对磁性联轴器的设计有理论和实际指导意义。
ｉ
；
关键词：磁性联轴器；磁场；有限元模型；面向对象
；
；
ｕｎｄｅｒ； 【Ａｂｓｔｒａｅｔ］Ｔｈｅ Ｍａｇｎｅｔｉｃ ｃｏｕｐｌｅｒ ｃａｒｔ ｐｒｏｖｉｄｅ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｔｏｒｑｕｅ ｕｓｅｄ ｆｏｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｓｅａｌ
ｉ ｆｏｒｍ．ｚａｂｌｅ ｗｏｒｋ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｃｏｕｐｌｅｒ ｉｓ口ｇｏｏｄ ｃｈｏｉｃｅ ｆｏｒ ｚｅｒｏ ｌｅａｋ．Ｔｈｅ ｅｍｐｉｒｉｃａｌ ｆｏｒｍｕｌａ ｉｓ ｉ
；ｃｏｕｐｌｅｒ ｐｒａｃｔｉｃａｌｌｙ ａｎｄ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｌｙ．
；
ｉ
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｍａｇｎｅｔｉｃ ｃｏｕｐｌｅｒ；Ｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ；ＦＥＭ ｍｏｄｅｌ；ｏｂｊｅｃｔ－ｏｒｉｅｎｔｅｄ
ｉ
中图分类号：ＴＨｌ３３．４，ＴＢ４２，ＴＭｌ５３文献标识码：Ａ
磁性联轴器利用磁超距特性，即由于磁场的作用不通过接触 限元方程，运用面向对象的语言，设计相应的数据结构，编写了二
万方数据
ＮＯ．１ｌ
ＮＯＶ．２００８
机械设计与制造
３ｌ
全因子分解预处理共轭梯度法（ＩＣＣＧ法）和对称逐步超松弛预处 理共轭梯度法（ＳＳＯＲ－ＰＣＧ法）。在后处理器中实现了磁场力、磁力 矩的计算以及磁场矢量磁位等势线图和磁通量密度彩色云图。
jacobi-G-S-超松弛迭代法MATLAB程序
j a c o b i-G-S-超松弛迭代法M A T L A B程序(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--function iterationA=[10,1,2,3,4;1,9,-1,2,-3;2,-1,7,3,-5;3,2,3,12,-1;4,-3,-5,-1,15];b=[12,-27,14,-17,12]';x0=[0,0,0,0,0]';tol=1e-12;disp('jacobi迭代法的结果和次数如下:')[x,k]=Fjacobi(A,b,x0,tol)disp('G-S迭代法的结果和次数如下:':')[x,k]=Fgseid(A,b,x0,tol)disp('超松弛的结果和次数如下:':')[x,k]=Fsor(A,b,x0,,tol)disp('共轭梯度法的结果和次数如下:':')[x,k]=Fcg(A,b,x0,tol)%jacobi迭代法function [x,k]=Fjacobi(A,b,x0,tol)max=300;D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=D\(L+U);f=D\b;x=B*x0+f;k=1;while norm(x-x0)>=tolx0=x;x=B*x0+f;k=k+1;if(k>=max)disp('µü´ú³¬¹ý300´Î£¬·½³Ì×é¿ÉÄܲ»ÊÕÁ²');return;endend%G-S迭代法function [x,k]=Fgseid(A,b,x0,tol)max=300;D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);G=(D-L)\U;f=(D-L)\b;x=G*x0+f;k=1;while norm(x-x0)>=tolx0=x;x=G*x0+f;k=k+1;if(k>=max)disp('µü´ú³¬¹ý300´Î£¬·½³Ì×é¿ÉÄܲ»ÊÕÁ²');return;endend%超松弛迭代法function [x,k]=Fsor(A,b,x0,w,tol)max=300;if(w<=0||w>=2)error;return;endD=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=inv(D-L*w)*((1-w)*D+w*U);f=w*inv((D-L*w))*b;x=B*x0+f;k=1;while norm(x-x0)>=tolx0=x;x=B*x0+f;k=k+1;if(k>=max)disp('µü´ú³¬¹ý300´Î£¬·½³Ì×é¿ÉÄܲ»ÊÕÁ²');return;endend%共轭梯度法function [x,k]=Fcg(A,b,x0,tol)n=size(A,1);x=x0;r=b-A*x;d=r;alpha=(r'*r)/(d'*A*d);x=x0+alpha*d;k=1;while norm(x-x0)>=tolx0=x;x=x+alpha*d;r2=b-A*x;k=k+1;beta=norm(r2)^2/norm(r)^2;d=r2+beta*d;r=r2;end。