抛物线的标准方程与几何性质

y
分析： 分析：如图可知原条件等 价于M点到F（4，0）和到 x＝－4距离相等，由抛物 线的定义，点M的轨迹是 以F（4，0）为焦点，x＝ －4为准线的抛物线．因为 p/2=4,所以p=8,所求方程是 y2＝16x．
M (x , y)
-5
-4
F(4,0) x
练习3 练习
1、M是抛物线 2 = 2px（P＞0）上一点， 、 是抛物线 是抛物线y （ ＞ ）上一点， 若点M 的横坐标为X0，则点M到焦点的 若点 的横坐标为 则点 到焦点的 p 距离是—————— X0 + —
练习1 练习
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程： 、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是 （3，0）； ）焦点是F（ ， ）；
y2 =12x
1 （2）准线方程 是 x = − ； ） 4
y2 =x
（3）焦点到准线的距离是 。 ）焦点到准线的距离是2。
y2 =4x、 y2 = -4x、 、 、 x2 =4y 或 x2 = -4y
4 9 ∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = − x 3 2
得p=
2 3
。
练习2 练习
已知抛物线经过点P(4,－2)， 已知抛物线经过点P(4,－2)，求抛物线的标 P(4, 准方程。 准方程。
提示：注意到 为第四象限的点 为第四象限的点， 提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线 的标准方程为y2=2px或x2=-2py 的标准方程为 或
方程y2 = 2px（p＞0）表示抛物线的焦点 （ ＞ ）
p 焦点： （ 焦点：F（ 2
在 X轴的正半轴上
p ），准线 ，0），准线 ：x = - 2 ），准线L：
构建数学
一条抛物线， 一条抛物线，由于它在坐标平面 内的位置不同，方程也不同， 内的位置不同，方程也不同，所以抛 物线的标准方程还有其它形式. 标准方程还有其它形式 物线的标准方程还有其它形式
x1+x2=6 系数关系可以得 |AB|=6+2=8 于是 说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义， 说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减 少了运算量，提高了解题效率. 少了运算量，提高了解题效率
到准线的距离是 p a－ 横坐标是
2
a .
, 点 M的 的
3、
2 抛物线y 抛物线
=12x上与焦点的距离 上与焦点的距离 .
等于9的点的坐标是 等于 的点的坐标是 (6,±6 2)
数学应用
例4. 斜率为 的直线经过抛物线 2 =4x 斜率为1的直线经过抛物线 的直线经过抛物线y 的焦点,与抛物线相交于两点A、B, 求线 的焦点,与抛物线相交于两点 段AB的长. 的长. 的长
.
x
轴对称,对称轴 (2)对称性 关于 轴对称 对称轴 对称性 关于x轴对称 又叫抛物线的轴. 又叫抛物线的轴 (3)顶点 顶点 抛物线和它的轴的交点. 抛物线和它的轴的交点
y
(4)离心率 离心率 (5)焦半径 焦半径 (6)通径 通径
e=1 |PF|=x0+p/2
O
P
F
x
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相 通过焦点且垂直对称轴的直线， 交于两点， 交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的 通径。 通径。 通径的长度： 通径的长度：2P
标准方程中的 = ±2 px是我们以前没学过的 y
2
抛物线， 但它不是 的二次函数 x 。
y
类比椭圆、 类比椭圆、双曲线如何探索 抛物线的几何性质？ 抛物线的几何性质？
o
F
结合抛物线y 的标准方程和图形,探索 结合抛物线 2=2px(p>0)的标准方程和图形 探索 的标准方程和图形 其的几何性质: 其的几何性质 (1)范围 (1)范围 x≥0,y∈R ∈
· ·F
M
o
x
思考： 抛物 思考：
线是一个怎样 的对称图形？ 的对称图形？
回忆一下，看看上面的方程哪一种简单， 回忆一下，看看上面的方程哪一种简单， 为什么会简单？启发我们怎样建立坐标系 建立坐标系？ 为什么会简单？启发我们怎样建立坐标系？
1、标准方程的推导
取过焦点F且垂直于准线l的直线为 取过焦点F且垂直于准线l 线段KF KF的中垂线 x轴，线段KF的中垂线 为y轴 设︱KF︱= p ︱ p p 则F（ 2 ，0）， ：x = （ ），l： ）， 2 设点M的坐标为 x，y）， 的坐标为（ 设点M的坐标为（x，y）， 由定义可知， 由定义可知， l y N K o
方程
y2 = 2px （p＞0） ＞ ） y
y2 = -2px （p＞0） ＞ ） y l
x F O x
x2 = 2py （p＞0） ＞ ） y
F O l x
x2 = -2py （p＞0） ＞ ） y
O
图
l O F
l x
形 范围 x≥0 y∈R ∈ x≤0 y∈R ∈
F
x∈R y≥0 ∈
x∈R y≤0 ∈
关于y轴对称 关于 轴对称
对称性 关于 轴对称 关于 轴对称 关于 轴对称 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
焦半径 焦点弦 的长度
（0,0） ）
p + x0 2
（0,0） ）
p − x0 2
p − ( x1 + x2 )
（0,0） ）
p + y0 2
p + y1 + y2
（0,0） ）
p − y0 2
l y A
O B
F
X
分析1：直线与抛物线相交问题， 分析 ：直线与抛物线相交问题，可联立方程组求交点 坐标，由距离公式求；或不求交点，直接用弦长公式 弦长公式求 坐标，由距离公式求；或不求交点，直接用弦长公式求。 解法一：如图 解法一：如图8—22，由抛物线的标准方程可知，抛 ，由抛物线的标准方程可知， 物线焦点的坐标为F（ ， ），所以直线AB的方程为 ），所以直线 物线焦点的坐标为 （1，0），所以直线 的方程为 y=x－1. － ① 将方程①代入抛物线方程y2=4x,得 将方程①代入抛物线方程 得 化简得x （x－1）2=4x . 化简得 2－6x＋1=0 － ） ＋ 设A(x1,y1),B(x2,y2)得：
p F(- ,0) 2 p x= 2
y轴的 轴的 正半轴上 x2=2py
p F(0, ) 2 p y =2
y轴的 轴的 负半轴上 x2=-2py
p F(0, - ) 2 p y= 2
标准方程
ห้องสมุดไป่ตู้焦点坐标
准线方程
想一想: 想一想:
1、 根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形、焦点坐标、 的不同形式与图形、焦点坐标、准线
抛物线的标准方程还有 几种不同的形式 不同的形式?它们是 几种不同的形式 它们是 如何建系的? 如何建系的
三. 四种抛物线及其它们的标准方程
y
y
y
y l O
图
F
x
F
O
F
O
x
x
F O l
形
l
x
l
焦点位置
x轴的 轴的 正半轴上 y2=2px
p F( ,0) 2 p x =2
x轴的 轴的 负半轴上 y2=-2px
解： 点P(4,−2)位于第四象限 Q ，设所求 方程为 y2 = 2 p1x或x2 = −2 p2 y，将x = 4, y = −2代入， 1 可得p1 = , p2 = 4, 2 ∴所求为 2 = x或x2 = −8y y
数学应用
与点F（ ， ） 例3、点M与点 （4，0）的距离比它到直线 与点 l：x＋5＝0的距离小 ，求点 的轨迹方程． ： ＋ ＝ 的距离小 的距离小1，求点M的轨迹方程 的轨迹方程．
方程的应关系？ 方程的应关系？
2、如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？ 如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？
第一： 一次项的变量如为 X 第一 ： 一次项的变量如为X （或Y） 则X轴（或Y轴）为抛 物线的对称轴， 物线的对称轴，焦点就在对称轴 上。 第二： 第二：一次的系数的正负决 定了开口方向
x1+x2=6 , x1x2=1 将x1+x2,x1x2的值分别代入弦长公式 的值分别代入弦长公式
∴ AB |= (x1 + x2 ) − 4x1x2 1+ k |
2 2
= 36 − 4 2 = 8
分析2：直线恰好过焦点， 分析 ：直线恰好过焦点，可与抛物线定义发生 联系，利用抛物线定义将AB转化成 转化成A、 联系，利用抛物线定义将 转化成 、B间的焦点弦 两个焦半径的和），从而达到求解目的. ），从而达到求解目的 （两个焦半径的和），从而达到求解目的 解法二：在图 解法二：在图8—22中，由抛物线的定义可知， 中 由抛物线的定义可知， p |AF|= AA′ ,而| AA′ |= x1 + = x1 +1. 2 BF = BB′ = x2 +1, 同理 于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2＋2. 于是得 由方程x2－ ＋ 由方程 －6x＋1=0，根据根与 ，
3、我们以前学习的抛物线和现在学习的
抛物线的标准方程有什么联系？ 抛物线的标准方程有什么联系？
二 函 y = ax + bx + c的 象 是 物 ， 次 数 图 都 抛 线
2
其 的 部 y = ax2是 或 化 ） 物 中 一 分 （ 可 为 抛 线 的 准 程 2 = ±2 py。 标 方 x
抛物线标准方程 及几何性质
问题情境
抛物线的生活实例
抛球运动
一、定义
定点F与定直线 的 定点 与定直线l的 与定直线 位置关系是怎样的？ 位置关系是怎样的？ l