2012年考研数学模拟题卷二及答案

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（16）（本题满分 10 分）设 f ( x, y) 在点 (0, 0) 处连续，且 lim f ( x, y) +1 = 1
x→0 y→0
ln
cos
x2 + y2
（1）求 ∂f (0, 0) ， ∂f (0, 0) 并讨论 f (x, y) 在点 (0, 0) 处是否可微，如果可微试求出 df ( x, y) ；
① A + 2E = B + 2E ；② A ≅ B ；③ A ∼ B ；④ r ( A − 2E ) = r ( B − 2E )
其中正确的有（ ）个
（A）1
（B） 2
（C） 3
（D） 4
（6）设 λ1, λ2 是矩阵 A 的两个不同的特征值, ξ ,η 是 A 的分别属于 λ1, λ2 的特征向量, 则（ ）
。
（12）（数学一）已知曲线 L 的方程为 y = x −1， x ∈[−1,1] ,起点是 (−1, 2) ，终点是 (1, 0) ，则曲线积分
∫ y2dx + x2dy = L
。
（12）（数学二）设 f '(cos x + 2) = tan2 x + 2sin2 x ，且 f (0) = 8 ，则 f (x) =
（7）（数学一、数学三）两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内
的红球数与黑球数之比为 2 :1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为 2 :1，今任取一
罐并从中取出 50 只球，查得其中有 30 只红球和 20 只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙
罐”的概率的（ ）
(A) 154
(B) 254 倍
(C) 798 倍
(D) 1024
（7）（数学二）设 f (x) 在 [1, +∞) 内可导，则（ ）
（A）若 lim f '(x) = 0 ，则 f (x) 在[1, +∞) 上有界 x→+∞
（B）若 lim f '(x) = 0 不成立，则 f (x) 在[1, +∞) 上无界 x→+∞
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2012 年考研数学模拟题卷二
本试卷满分 150，考试时间 180 分钟
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答. 题. 纸. 指定位置上.
（1）设函数 y = f (x) 具有二阶导数，且 f ′(x) > 0, f ′′(x) < 0 ，Δx 为自变量 x 在 x0 处的增量，Δy 与 dy
线性表出的表出式。
⎛
1⎞
⎛2
⎞
（21）（本题满分
10）已知矩阵
A
=
⎜ ⎜
1
⎜⎝ 1
⎟ ⎟
与
B
=
⎜ ⎜
⎟⎠
⎝⎜
1
⎟ −1⎠⎟⎟
（1）试证明矩阵 A 与 B 合同，并求可逆矩阵 C 使得 CT AC = B ；
（2）如果 A + kE 与 B + kE 合同，试求 k 的取值范围。
（22）（数学一、数学三）（本题满分 11 分）设二维连续型随机变量 ( X ,Y ) 服从区域 D 上的均匀分布，其
1
dx
−1 1− x2
∫ （C） +∞ e−x2 dx 0
∫ （D）
+∞ 2
x
1 ln 2
x
dx
二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答. 题. 纸. 指定位置上.
π
( ) （9） 2 dθ 1
1+ r cosθ r dr = _______。
∫ ∫ 0 0 2 + r sinθ + r cosθ
（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x( y, z) 和 z = z(x, y)
（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y = y(x, z) 和 z = z(x, y)
（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x( y, z) 和 y = y(x, z)
（3）（数学三）某商品需求量 Q 对价格的弹性为 − p ln 3 ，已知该商品的最大需求量为1200 ，则需求量 Q
+ ∂2z ∂y 2
=0，
求 f (u ) 的表达式。
⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛2⎞
⎛ a ⎞ ⎛4⎞ ⎛0⎞
（20）（本题满分
11
分）设 α1
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟
,
α
2
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,
α
3
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
；
β1
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟
,
β2
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
,
β3
=
⎜ ⎜
c
⎟ ⎟
。已知向量组
⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎜⎝ 0⎟⎠
0< x<θ
，
其他
（1）求θ 的矩估计量θ ；
（2）求 D(θ ) . （23）（数学二）（本题满分 11）一条长为 l（米）、线密度为 ρ （千克/米）的链条，两端各系一个质量为 m （千克）的物体 A 与 B 。开始时，仅 A 下垂，其余部分平置于桌面上，假设物体、链条与桌面的摩擦均
。
（12）（数学三）差分方程 yt+1 − 4 yt = 16 (t +1) 4t 满足初值 y0 = 3 的特解是 yt =
（13）设 A, B 都是 n 阶可逆矩阵，且
A
= 2,
B
= 3，
则
−
⎡ 2⎢⎣AT 0 Nhomakorabea0⎤
B
−1
⎥ ⎦
=
。
（14）（数学一、数学三）设随机变量 X 与 Y 独立， X 服从参数为 2 的泊松分布，Y 服从区间[−3, 3] 上的
中 D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ x ≤ 2 − y} ，试求：
（1） X + Y 的概率密度； （2） X 的边缘概率密度；
（3） P (Y ≤ 0.3 | X = 0.5)
（22）（数学二）（本题满分
10
分）设摆线的参数方程为
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
a(t − sin t) a(1− cos t)
=（ ）
x→0
sin x
（A） a + b
（B） a − b
（C） 1 + 1 ab
（D） 1 − 1 ab
（3）（数学一）设有三元方程 x2 − z2 − x ln y + exy = 1 ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，
在此邻域内该方程（ ）
（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z = z(x, y)
⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎜⎝ b ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
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α1, α2 , α3 与 β1, β2 , β3 是等价的，试求 a, b, c ，并求向量 α1 由 β1, β2 , β3 线性表出的表出式及 β1 由 α1, α2 , α3
（D）共有三条渐近线
（4）设函数 f (x) 在 (−∞, +∞) 内单调有界，{xn} 为数列，下列命题正确的是（ ）
（A）若{xn} 收敛，则{ f (xn )} 收敛.
（B）若{xn} 单调，则{ f (xn )} 收敛.
（C）若{ f (xn )} 收敛，则{xn} 收敛.
（D）若{ f (xn )} 单调，则{xn} 收敛.
1 2
1 2
0
⎟ ⎟
⎜ ⎜0
1
1
⎟ ⎟
⎝ 3 3⎠
⎛
⎞
⎜1 0 1⎟
⎜
⎟
（B）
⎜ ⎜
0
1 2
0
⎟ ⎟
⎜ ⎜1
0
1
⎟ ⎟
⎝
3⎠
⎛1 0 1⎞
（C）
⎜ ⎜
2
2
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 3 3⎟⎠
⎛1 2 0⎞
（D）
⎜ ⎜
0
2
3 ⎟⎟
⎜⎝ 1 0 3⎟⎠
（5）（数学二、数学三）假设三阶方阵 A, B 的特征值均为 2, 2, 0 ，现有如下命题：
∫ （10）设
⎧⎪ x ⎨ ⎪⎩ y
= =
e−t
t2 0
ln
(1 +
u) du
，求
d2y dx2
t=0
=
。
（11）若二阶常系数线性齐次微分方程 y′′ + ay′ + by = 0 的通解为 y = (C1 + C2 x) ex ，则非齐次方程
y′′ + ay′ + by = x 满足条件 y (0) = 0, y′(0) = 0 的解为 y =
b2 − a2
b
∫a
f
(x)dx
=
2ξ
f (ξ
)
；
（3）在 (a, b)内存在与（2）中ξ 相异的点η ，使
( ) f ′(η) b2 − a2
=
2ξ ξ −a
b
∫a
f
(x)dx
（18）（数学一）（本题满分 10）设 S 为椭球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1的上半部分，点 P(x, y, z)∈ S ，π 为 S 在