有理数的定义
有理数的知识点总结
有理数的知识点总结一、有理数的定义及基本性质：有理数是指所有可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和零。
有理数可以用一组整数的比值表示成两种形式：分数形式（也称作比例效应）和小数形式（也称作数列形式）。
有理数的集合通常记作Q。
有理数具有以下基本性质：1. 有理数的加法、减法、乘法和除法仍然是有理数，也就是说，有理数集合对于这四种运算是封闭的。
2. 有理数满足交换律和结合律，在加法和乘法运算中，a+b =b+a，(a+b)+c = a+(b+c)；在乘法运算中，a×b = b×a，(a×b)×c= a×(b×c)。
3. 有理数乘法和除法具有倒数性质，即对于任意非零有理数a，存在一个有理数b使得a×b = 1。
4. 有理数乘法符合分配律，即对于任意有理数a、b和 c，a×(b+c) = a×b + a×c。
5. 有理数具有唯一分解性质，即任何一个非零有理数都可以唯一表示为两个整数的比值，而且这个比值对于最简分数形式是唯一的。
二、有理数的四则运算：1. 有理数的加法和减法：对于两个有理数a/b和 c/d，它们的加法定义为(a/b) + (c/d) = (ad+bc)/bd，减法定义为(a/b) - (c/d) = (ad-bc)/bd。
在进行加法和减法运算时，通常需要化简结果为最简分数形式。
2. 有理数的乘法和除法：对于两个有理数 a/b和 c/d，它们的乘法定义为(a/b) × (c/d) =ac/bd，除法定义为(a/b) ÷ (c/d) = ad/bc（其中c/d≠0）。
在进行乘法和除法运算时，同样需要化简结果为最简分数形式。
三、有理数的大小比较：在有理数集合中，任何两个有理数都可以通过大小比较运算来确定它们的相对大小。
有理数的大小比较有以下几个基本原则：1. 相同符号的有理数比较大小，绝对值越大的数为更大的数；2. 不同符号的有理数比较大小，正数大于零，零大于负数；3. 相同符号的两个有理数的绝对值比较，绝对值较小的数较小。
有理数的定义
有理数的定义
《有理数》概念、定义集合
1、大于0的数叫做正数（positive）.
2、小于0的数叫做负数（negative）.
3、可以写成分数形式的数叫做有理数（rational number）.
4、只有符号不同的两个数叫做互为相反数（opposite number）.
5、数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值（absolute value）.
6、有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0.
（3）一个数同0相加，仍得这个数.
7、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.
8、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0..
9、乘积是1的两个数互为倒数.
10、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.（两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.）
11、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）.在an中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent），当an看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂.
12、有理数混合运算的运算顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减.
（2）同级运算，从左到右进行.
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.
13、把一个大于10的数表示成a×10n的形式（a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是科学计数法.。
有理数和无理数的概念
有理数和无理数的概念
有理数和无理数
有理数是指可以写成分数形式的数，包括整数和分数。
而无理数则是指无限不循环小数的数，例如圆周率和根号2等。
有理数可以进一步分为整数和分数两类。
整数和分数都可以表示成分数的形式，因此它们都属于有理数的范畴。
另外，零既不是正数也不是负数，但它也是有理数。
无理数的定义有两个前提条件，即它是无限的且不循环。
无理数可以被看作是无限不循环小数，而有理数则可以是有限小数或无限循环小数。
不同于有理数，无理数无法被写成分数的形式。
因此，无理数和有理数是有区别的。
有理数可以表示成m/n的形式，其中m和n是整数，n不等于0.而实数可以分为正数、负数、正分数、负分数、正无理数和负无理数等多种类型。
需要注意的是，通常将正数和零统称为非负数，将负数和零统称为非正数。
同时，正整数也被称为自然数，而负整数则被称为非正整数。
最后，需要注意的是几个易混淆的概念，包括非负数、非正数、非负整数和非正整数等。
如果用字母表示数，则a＞表示a是正数，a＜表示a是负数，a表示a是非负数，而a表示a是非正数。
1-1有理数及相关概念、测试
有理数及其相关概念一、有理数的定义和性质（一）有理数的定义1、整数和分数统称为有理数。
有理数的分类：2、能够表示成一个既约分数mn （m 、n 都是整数，且m 、n 互质）的数叫有理数（有理数又叫可比数）；（二）有理数的性质1、有序性：任意两个有理数a 、b ，在,,a b a b a b >=<三种关系中，有且只有一个成立 。
2、封闭性：任何两个有理数的和、差、积、商（0不是除数）还是有理数。
3、稠密性：任何两个有理数之间都有无数个有理数。
例1、将下列循环小数化成分数。
（1）0.2 （2）0.6- （3）0.25 （4）0.34- （5）321.0 -例2、说明：边长为1的正方形的对角线不是有理数。
二、有理数的相关概念（一）数轴：（二）相反数：（三）绝对值：数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记做a . 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
例3、（1）指出数轴上A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数．（2）已知点A 在数轴上对应的有理数为a ，将A 向左移4个单位长度后，再向右移动1个单位长度得到点B ，点B 对应的数为5.3-，则有理数=a ________．例4、化简下列各数：（1）)];([a --- （2）)]};([{m +-+- （3）)];([y x --- （4）)].([b a +-+例5、如果a 是一个不等于1-的负整数，试用“<”连接a 、a 1、a -、a1-这几个数．例6、（1）已知2=a ，5=b ，且b a >，试求a ，b 的值．（2）若032=-++y y x ，试求y x 32+的值．例7、设a 、b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||b a b a +=+；（2）||||||b a ab =；（3）||||a b b a -=-；（4）若b a =||，则b a =；（5）若||||b a <，则b a <；（6）若b a >，则||||b a >。
初中数学 什么是有理数
初中数学什么是有理数有理数是指可以表示为两个整数的比例的数，包括整数、分数和小数。
下面我将为你详细解释有理数的定义、性质和运算规则。
一、有理数的定义：有理数是指可以表示为两个整数的比例的数。
它们可以用分数形式表示，其中分子和分母都是整数，且分母不等于零。
二、有理数的性质：1. 有理数的加法和乘法封闭性：两个有理数的和或积仍然是有理数。
2. 有理数的加法和乘法结合律：对于任意三个有理数a、b和c，满足(a + b) + c = a + (b + c)和(a × b) × c = a × (b × c)。
3. 有理数的加法和乘法交换律：对于任意两个有理数a和b，满足a + b = b + a和a × b = b × a。
4. 有理数的加法和乘法的零元素：对于任意有理数a，满足a + 0 = a和a × 1 = a。
5. 有理数的加法的逆元素：对于任意有理数a，存在一个有理数-b，使得a + (-b) = 0。
6. 有理数的乘法的逆元素：对于任意非零有理数a，存在一个有理数1/a，使得a × (1/a) = 1。
三、有理数的运算规则：1. 有理数的加法：对于任意两个有理数a/b和c/d，其中a、b、c、d都是整数且b和d不等于零，它们的和可以通过分数的通分和分子相加得到：(a/b) + (c/d) = (ad + bc)/(bd)。
2. 有理数的减法：有理数的减法可以转化为加法，即(a/b) - (c/d) = (a/b) + (-c/d)。
3. 有理数的乘法：对于任意两个有理数a/b和c/d，它们的乘积可以通过分数的分子相乘和分母相乘得到：(a/b) × (c/d) = (ac)/(bd)。
4. 有理数的除法：有理数的除法可以转化为乘法，即(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)。
有理数ppt课件
03
有理数的混合运算
顺序法则
总结词
在进行有理数的混合运算时，应遵循运算的顺序法则，即先进行乘除运算，再进 行加减运算。
详细描述
在数学中，有理数的混合运算需要遵循一定的顺序，即先进行乘除运算，再进行 加减运算。这是由于乘除运算是全域性的，而加减运算不是。因此，在进行混合 运算时，必须先完成乘除运算，然后再进行加减运算。
有理数的性质
总结词
有理数具有封闭性、有序性、可数性等性质。
详细描述
有理数具有封闭性，即有理数的四则运算结果仍为有理数。有理数具有有序性 ，可以比较大小和排列。有理数还具有可数性，即有理数集与自然数集之间存 在一一对应关系。
有理数在数学中的地位
总结词
有理数是数学中基本且重要的概念之一，是解决实际问题的重要 工具。
04
有理数的应用
在日常生活中的应用
80%
购物时找零钱
在购物时，我们经常使用到有理 数，如找零钱，计算折扣等。
100%
测量和计算
在日常生活中，我们经常需要进 行测量和计算，如长度、重量、 时间等，这些都需要用到有理数 。
80%
金融计算
在金融领域，如股票交易、保险 计算等，都需要用到有理数进行 计算。
有理数可以用于描述几何图形的长度、面积和体 积等属性。
有理数在数学中的未来发展
数学教育改革
01
随着数学教育的发展，有理数作为基础数学知识，将在数学教
育中得到更加广泛的重视和应用。
数学与其他学科的交叉
02
有理数作为数学的基础概念，将进一步与其他学科进行交叉融
合，促进跨学科的发展。
数学研究的新领域
03
随着数学研究的不断深入，有理数理论将进一步发展，并应用
高三复习-有理数的定义和分类
有理数的定义和分类
一、有理数的定义和分类
1、定义：整数和分数统称为有理数，正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。
2、分类：
$有理数\begin{cases}整数\begin{cases}正整数，如：1,2,3... \\ 0 \\ 负整数，如:-1,-2,-3... \end{cases} \\分数\begin{cases} 正分数，如: \dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, 5.3... \\ 负分数，如: -4 \dfrac{1}{2},-3.6,- \dfrac{6}{7}... \end{cases} \end{cases}$
$有理数\begin{cases} 正有理数\begin{cases} 正整数\\ 负整数\end{cases} \\ 0 \\ 负有理数\begin{cases} 负整数\\ 负分数\end{cases} \end{cases}$
二、例题
1、在0,1，-2，-3.5这四个数中，是负整数的是（）
A. 0 ㅤㅤ
B.1 ㅤㅤ
C. -2 ㅤㅤ
D. -3.5
答案：C解析：只有-2是负整数，故选C.
2、指出下列各数中的正数、负数、整数和分数:
$-17，+6，-1，-0.81，3，0，\dfrac{2}{3}，2\dfrac{3}{5}，0.8，-8.75$
解析：
正数：$+6，3，\dfrac{2}{3}，2 \dfrac{3}{5}，0.8；$负数：$-17，-1，-0.81，-8.75；$整数：$+6，-1，3，0;$分数：$-0.81，\dfrac{2}{3}，2\dfrac{3}{5}，0.8，-8.75.$。
【数学知识点】有理数和无理数的定义及分类
【数学知识点】有理数和无理数的定义及分类有理数为整数和分数的统称，不是有理数的实数称为无理数。
接下来给大家分享有理数和无理数的定义及分类。
有理数是指整数(正整数、0、负整数)和分数的统称，有理数是整数和分数的集合。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
有理数a,b的大小顺序的规定：如果a-b是正有理数，则称当a大于b或b小于a，记作a>b或b<a。
任何两个不相等的有理数都可以比较大小。
(一)按有理数的定义分类：(1)整数：整数就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等这样的数。
整数包括正整数、0、负整数。
其中零和正整数统称自然数。
(2)分数：分数是一个整数a和一个正整数b的不等于整数的比。
分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。
(二)按有理数的性质分类:(1)正有理数：除了负数、0、无理数的数字都是正有理数。
正有理数还被分为正整数和正分数。
(2)0：0是介于-1和1之间的整数，是最小的自然数，也是有理数。
(3)负有理数：负有理数指小于0的有理数，就是小于零并能用小数表示的数。
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e(其中后两者均为超越数)等。
无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率等。
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非负数
非正数
整数
有理数
有限小数
实数
无理数
无限循环小数 无限不循环小数
【基础平台】
1．__正整数、0和负整数________________统称为整数，___正分数和负分数 _________统称为分数，整数和分数统称为___有理数_____________． 2．零和负数统称为__非正数_______，零和正数统称为__自然数_______． 3．下列说法中正确的是……………〖 〗 A．非负有理数就是正有理数 B．零表示没有，不是自然数 C．正整数和负整数统称为整数 D．整数和分数统称为有理数 4．下列说法中不正确的是…………………………〖 〗 A．-3.14既是负数，分数，也是有理数 B．0既不是正数，也不是负数，但是整数 C．-2000既是负数，也是整数，但不是有理数 D．O是非正数 5．把下列各数分别填在相应集合中： 1，-0.20，，325，-789，0，-23.13，0.618，-2004． 正数集合：{ 1 325 …}； 负数集合：{ -0.20 -789 -23.13 -2004 …}； 非正数集合：{ 0 …}； 非负数集合：{ 0.618 …}．
(1)1，-1，1，-1，1，-1，1，-l，____，____，____，…；
(2)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，____，____，____，…； (3)- 1， ， ， ， ， ， ，____，____，____，…． 2．下列说法中正确的是 …………………………〖C 〗 A．有最小的负整数，有最大的正整数 B．有最小的负数，没有最大的正数 C．有最大的负数，没有最小的正数 D．没有最大的有理数和最小的有理数
有理数的定义
1.2
引题
负数：在正数前面加上负号“-”的数叫负数。 正数：小学所学过的所有数统称为正数。 （0除外）
现在我们学习了正数、负数这种数的分类方 法，那么数是否又有了新的名称呢？
正数 正整数
有理数
负数
正分数 自然数 整数 0 负整数 负分数
分数
有理数的概念：
有理数按照整数分数的分类方法分为：有限 小数和有限循环小数两种
4．把下列各数分别填在相应的大括号里： -2，+5， ，0，-3.4，-21，3. 正数集合：{ 0 3.7 +5 负数集合：{ 有理数集合：{ 3.7． -2 整数集合：{ 0 +5 7 3.7 7 -3.4 -21 …}； 7，
7， 3.7．
…}； …}；
，0，-3.4，-21，3.
， ，-3，，0，2010，-35，6.2，-l，5 …}．
有理数总可以用分数来表示； 任何有限小数或无限循环小数都是有理数．
有理数的分类方法
正整数 整数 0 负整数 有理数 正分数 分数 负分数
正整数 正有理数 正分数 有理数0 负整数 负有理数 负分数
【自主检测】
1．在下表适当的空格里画上“√”号 有理数 整数 -9是 分数 正整数 负分数 自然数
-2.35是
O是
+5是
是
2．下列各数：-2，5， ，0.63，0，7，-O.05，-6，9， 其中正数有___3_个，负数有4___个，正分数有_2__个， 负分数有_1_个，自然数有___4个，整数有_4__个． 3．给出下列说法： ①0是整数；② 是负分数；③4.2不是正数；④自然数一定是正 〗 D．4个 数；⑤负分数一定是负有理数． 其中正确的有……………………………〖 A．1个 B．2个 C．3个
…}；负数集合：{ …}；
5．把下列各数填在相应的大括号里：
正数集合：{
自然数集合：{
分数集合：{
…}；整数集合：{
…}；负分数集合：{
…}；
…}．
【拓展平台】
1．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着
， 写出后面的3个数，你能说出第 10个数，第200个数，第201个
数是什么吗?
， ，