【高考第一轮复习数学】统计与概率专题
高考数学一轮专项复习ppt课件-概率与统计的综合问题(北师大版)
§10.7 概率与统计的综合问题
题型一 频率分布直方图与分布列的综合问题
例1 (2023·上饶模拟)为了解某高校学生每天的运动时间，随机抽取了 100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间 (单位：分钟)的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于40分钟的 学生称为“运动族”. (1)用样本估计总体，已知某学生每天 平均运动时间不低于20分钟，求该学生 是“运动族”的概率；
的学生中随机抽取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少有一位 女生的概率为 56，求随机变量X的分布列和数学期望；
因为
1－
C24 C2
y1
＝56，所以y14y×1－31＝16，
所以y1(y1－1)＝4×3×6＝9×8，解得y1＝9，
即第一天新增感冒就诊的学生有9位，其中男生4位，女生5位，
则随机变量X的所有可能取值为0,1,2，且X服从超几何分布，其中N
＝9，M＝4，n＝2，
P(X＝0)＝CC2925＝158，P(X＝1)＝CC15C29 14＝59，P(X＝2)＝CC2924＝16，
X的分布列为
X
0
P
5 18
1
2
5
1
9
6
X 的数学期望 EX＝0×158＋1×59＋2×16＝89.
(2)已知两个变量 x 与 y 之间的样本相关系数 r＝1176，请求出 Y 关于 X 的
(3)若这批设备有A，B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的 概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本不增加； 若A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B工序出现故障，则生产 成本增加3万元；若A，B两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元. 求这批设备增加的生产成本的期望.
高考数学一轮总复习概率与统计的推理
高考数学一轮总复习概率与统计的推理概率与统计是高考数学中一个重要的考点，也是学生们普遍感到困惑和难以掌握的内容之一。
然而，通过系统的总复习和深入理解概率与统计的推理方法，同学们可以充分准备自己，提高应对高考的能力。
本文将介绍高考数学一轮总复习概率与统计的推理的方法和技巧，帮助同学们更好地备考。
一、概率的基本概念在复习概率与统计的推理之前，我们需要先了解概率的基本概念。
概率是描述某个事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的数表示，0表示不可能发生，1表示必然发生。
在概率的计算中，我们需要考虑样本空间、随机事件和概率的性质等基本概念，通过这些概念我们可以更好地理解概率的推理过程。
二、概率的计算方法概率的计算方法有很多，常见的有古典概率、几何概率和条件概率等。
古典概率是指在样本空间中各个事件发生的可能性相等的情况下，根据事件的个数来进行概率计算。
几何概率是指通过测量、实验和几何图形等方法来计算概率。
条件概率是指在已知某种条件下发生某个事件的概率。
在概率的计算过程中，我们可以运用排列组合、加法原理和乘法原理等方法，来简化计算过程，提高计算准确性。
掌握这些方法和技巧，可以帮助同学们更好地解答概率与统计的推理题目。
三、统计的概念与分析方法统计是指通过数据的收集、整理、分析和解释等方法来研究和说明事物的规律性。
在高考数学中，我们需要了解统计的基本概念，如频率、众数、中位数和均值等，并掌握统计的分析方法，如构造分布表、绘制统计图和计算统计量等。
在统计的推理过程中，我们需要善于分析和解读统计数据，根据题目的要求运用合适的统计方法和工具来解决问题。
同时，还需要注意数据的真实性和可靠性，避免在分析中出现错误和误导。
四、概率与统计的应用在高考中，概率与统计的推理题目通常涉及到生活和实际问题，如抽样调查、信赖区间和假设检验等。
在解答这些问题时，我们需要通过运用概率和统计的知识来分析和解决问题，尽可能准确和有效地回答问题。
2024届高考数学一轮总复习专题七概率与统计的热点问题课件
故 y 关于 μ 的经验回归方程^y＝5298 x－73.
题型三 均值与方差在决策中的应用 [例 3]某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品 在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为 合格品.检验时，先从这箱产品中任取 20 件做检验，再根据检验结 果决定是否对余下的所有新产品做检验.设每件产品为不合格品的 概率都为 p(0<p<1)，且各件产品为不合格品相互独立. (1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)，求 f(p)的 最大值点 p0；
【互动探究】 1.(2022 年湛江市模拟)某高三学生小明准备利用暑假的 7 月和
8 月勤工俭学，现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选 择.已知“销售员”工作每日底薪为 50 元，每日销售的前 5 件每件 奖励 20 元，超过 5 件的部分每件奖励 30 元.小明通过调查，统计 了 100 名销售员 1 天的销售记录，其柱状图如图 7-2.“送外卖员” 没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1 至 20 单(含 20 单) 每送一单 3 元，超过 20 单且不超过 40 单的部分每送一单 4 元，
1
4
9
16
25
36
49
y 高度 cm
0
4
7
9
11
12
13
作出这组数据的散点图发现：y(cm)与 x(天)之间近似满足关系 式 y＝b x＋a，其中 a，b 均为大于 0 的常数.
(1)在这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的 3 个点， 记这 3 个点中幼苗的高度大于－y 的点的个数为 ξ，其中－y 为表格中 所给的幼苗高度的平均数，求 ξ 的分布列和数学期望；
这箱余下的所有产品做检验？
2024年高考数学一轮复习(新高考版) 《概率、统计与其他知识的交汇问题》课件ppt
X的所有可能取值为5,6,7,8,9,10， P(X＝5)＝125＝312， P(X＝6)＝C15×121×124＝352， P(X＝7)＝C25×122×123＝1302＝156， P(X＝8)＝C35×123×122＝1302＝156， P(X＝9)＝C45×124×121＝352，P(X＝10)＝C55×125＝312.
例1 “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”.某公 司组织全员每天进行体育锻炼，订制了主题为“百年风云”的系列纪 念币奖励员工，该系列纪念币有A1，A2，A3，A4四种.每个员工每天自 主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼.锻炼结束后员工将随机 等可能地获得一枚纪念币. (1)某员工活动前两天获得A1，A4，则前四天恰好能集齐“百年风云” 系列纪念币的概率是多少？
所以选择“田径”的人数的均值为800.
即经过足够多天后，估计该公司接下来每天有600名员工参加球类
运动，800名员工参加田径运动.
思维升华
高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题 常常以概率、统计为命题情景，同时考查等差数列、等比数列的判定 及其前n项和，解题时要准确把握题中所涉及的事件，明确其所属的 事件类型.
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率 为f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值， 并求出最大值.
由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为 p(0<p<1)，则5箱产品恰有3箱被记为B的 概率为 f(p)＝C35p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)
＝10(p3－2p4＋p5)， ∴f′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(p－1)(5p－3)， ∴当 p∈0，35时，f′(p)>0，函数 f(p)单调递增；
高考数学一轮总复习第九章概率与统计 5随机事件与概率课件
【教材梳理】
1.有限样本空间与随机事件
概念
随机试验
样本点
样本空间
有限样本空间
定义
试验
基本结果
续表
概念
定义
子集
事件
基本事件
随机事件
必然事件
件
不可能事
2.事件的关系和运算
概念
包含
相等
并事件（和事件）
交事件（积事件）
互斥（互不相容）
互为对立
含义
符号表示
3.古典概型
2
对于D，每次出现点数大于2的概率为 ，则抛掷6
3
为4 000，正确.
故选BD.
000次，出现点数大于2的次数大约
4.（2022年全国乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙
3
都入选的概率为___.
10
解：从甲、乙等5名同学中随机选出3人，基本事件总数为C53 = 10.甲、乙被选中，则
（方法二）“派出医生至少2人”的概率为1 − ∪ = 1 − 0.1 − 0.16 = 0.74.
【点拨】求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法.
①直接法.
②间接法（正难则反，特别是“至多”“至少”型问题，用间接法求解较简单）.
变式2（1） （教材题改编）从某班学生中任选一人，其身高小于160 cm的概率为0.2，
1−
1−
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 =_________,
=______
_____.
≤
性质5：如果 ⊆ ,那么_____________.
特别地，对任意事件,因为⌀ ⊆ ⊆ Ω ,所以0 ≤ ≤ 1.
新教材高考数学一轮复习：概率与统计课件
=
C 24
P(ξ=0)= 2
C6
=
6
15
=
2
C 12 C 14
,P(ξ=1)= 2
5
C6
1
,
15
故 ξ 的分布列为
ξ
0
1
2
P(ξ)
2
5
8
15
1
15
=
8
,
15
^
^
^
(2)由散点图可知 = bz+更适合于此模型.其中
6
^
∑ -6
= =16
2
∑ 2 -6
=
^
-1.07
量的散布列、数学期望与方差、超几何散布、二项散布、正态散布等基
础知识和基本方法.
二、考查方向分散
从近五年的高考试题来看,对概率与统计的考查主要有四个方面:一是统计
与统计案例,其中回归分析、相关系数的计算、独立性检验、用样本的数
字特征估计总体的数字特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率散
布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计与概率散布的综合,常与抽样方
10
零假设为H0:“使用手机支付”与年龄无关联.
年龄不低于45岁
15
15
根据列联表中的数据,经计算得到
2
100×(60×15-15×10)
χ2=
≈14.286>10.828=x0.001.
75×25×70×30
根据小概率值α=0.001的独立性检验,推断H0不成立,即认为“使用手机支付”
与年龄有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001.
与 = z+ 哪个更合适于此模型(给出判断即可,不必说明理由)?并根据你的判
2025年高考数学一轮复习课件第九章概率与统计-9.4二项式定理
10 的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和；
（5）的奇次项系数和与的偶次项系数和.
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解：设 2 − 3
10
= 0 10 + 1 9 + 2 8 2 + ⋯ + 10 10 ∗ .
数和等于偶数项的二项式系数和，即C0 + C2 + C4 + ⋯ = C1 + C3 + C5 + ⋯ = 2−1 .
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常用结论
杨辉三角
杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表（如下），是我国数学史上一个伟大成
就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论.
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（1）最外层全是1，第二层（含1）是自然数列1,2,3,4，⋯ ,第三层（含1，3）是
2
>
+1
时，C 随
2
+1
2
的增加而减少.如果二项式的幂指数是偶数，那么其展开式中间一项，即______的
+1
+1+1
二项式系数最大；如果是奇数，那么其展开式中间两项_____与_______的二项式系
2
2
数相等且最大.
2
（3）各二项式系数的和：C0 + C1 + C2 + ⋯ + C =____，且奇数项的二项式系
( ×)
（2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.
( ×)
（3） + 的展开式中某一项的二项式系数与，无关.
高考数学一轮复习概率与统计单元专项练习题附参考答案
高考数学一轮复习概率与统计单元专项练习题附参考答案1.(理)设，那么的展开式中的系数不可能是( )A.10B.40C.50D.80(文)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是( )A.20B.30C.40D.502.(理)四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是平安的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么平安存放的不同方法种数为( )A.96B.48C.24D.0(文)从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( )A. B. C. D.3.甲：A1、A2是互斥事件;乙：A1、A2是对立事件，那么( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件4.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，，270，并将整个编号依次分为10段。
如果抽得号码有以下四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254;④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270;关于上述样本的以下结论中，正确的选项是( )A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样5.在正方体上任选3个顶点连成三角形，那么所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )A. B. C. D.6.在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就()A.越大B.越小C.无法判断D.以上都不对7.(理)抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，那么在10次试验中，成功次数的期望是( )A. B. C. D.(文)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将局部数据丧失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，那么a, b的值分别为( )A.0,27,78B.0,27,83C.2.7,78D.2.7,838.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.这组数据的平均数为10，方差为2，那么|x-y|的值为( )A.1B.2C.3D.49.一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量。
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专题二：统计与概率
1、随即现象的概念：
必然现象是在一定的条件下必然发生的某种结果的现象.在试验中必然不发生的现象叫做不可能现象，在相同条件下多次观察同一现象，每次观察到得结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现，这种现象就叫做随机现象.
2.必然事件、不可能事件、随机事件
在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件.
在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件. 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件.通常用大写的英文字母A 、B 、C 。
表示随机事件，随机事件可以简称为事件.
3.基本事件和基本事件空间
在试验中，能够表示其他事件且不能再分的最简单的事件成为基本事件. 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写的希腊字母Ω表示. 4.频率与概率
（1）.在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率
n
m ，当n 很大时，总是在某个常数
附近摆动，随着n 的增加，摆动的幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P(A).0《P(A)《1，这个定义叫做概率的统计定义.当A 是必然事件时，P(A)=1,当A 是不可能事件时，P(A)=0.
（2）.频率与概率的关系
频率不能很准确的反应出事件发生的可能性大小，但从大量的重复试验中发现，随着试验次数的的增多，频率就稳定与某一固定的值.
概率是通过频率来测量的，或者说频率是概率的一个近似值. 5.概率的加法公式 （1）.互斥事件
不能同时发生的两个事件叫做互斥事件.（或称互不容事件）
不能同时发生的两个事件A 、B 是指，如果A 发生，则B 不一定发生；如果B 发生，则A 不一定发生.
推广：如果A 、B 、C 、D 。
中的任何两个都互斥，就称事件A 、B 、C 、D 。
彼此互斥，从集合角度看，n 个事件彼此互斥是指各个事件所含结果的集合彼此不相交.
（2）.事件的并
一般的，事件A 与B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A 、B 都发生），则由事件A 与B 构成的事件C 叫做A 与B 的并.
记作：A ∪B ；
类比集合：事件A ∪B 是由事件A 或事件B 所包含的基本事件组成的集合. 事件A 与事件B 的并等于事件B 与事件A 的并，即A ∪B=B ∪A. （3）.互斥事件的概率加法公式 如果A 、B 是互斥事件，在n 次试验中，事件A 出现的频数为n 1，事件B 出现的频数为n 2，则事件A ∪B 出现的频数正好是n 1+n 2，所以时间A ∪B 的频数为
n
n
n
n
n
n
n
2
1
2
1
+
=
+.而
).
()(n
n
n
n
2
1
n
B A B A n B n
A n
n
μ
μ
μμ
+
=⋃）（总有
中事件出现的频率，则次试验
表示在果用
出现的频率，因此，如是事件出现的频率，
是事件由概率的统计定义，可知P （A ∪B ）=P （A ）+P(B). 6.对立事件及概率公式
（1）.对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件。
事件A 的对立事件记作A .
（2）.对立事件的概率公式：
若A 与事件A 互为对立事件，则P(A )=1-P(A).
由于A 与A 是互斥事件，所以P(Ω)=P(A A ⋃)=P(A)+P(A ). 7.古典概型
如果一个试验具有下列特征：
（1）.有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个； （2）.等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的. 则称这种随机试验的概率模型为古典概型.
由于古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要的特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.
8.古典概型的概率公式
如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个事件的概率都是n
1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率为
P(A)=
N
M =
基本事件总数
中所含的基本事件数
A .
根据公式P(A)=N
M
进行概率计算时，关键是求出n 、m 的值，在求n 的值时，应注意这n
种结果必须是等可能的.对一些比较简单的概率问题，求n 、m 的值只需枚举即可.
9.概率的一般加法公式
事件A 和B 同时发生所构成的事件D ，叫做事件A 和事件B 的交集（有时也叫事件A 和事件B 的积），记作D=A ∩B.
设A 、B 是两个事件，则古典概型情况下概率的一般加法公式如下：P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(A ∩B).
10.几何概型
若一个试验具有以下特征：
1. 每次试验的结果有无穷多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
2. 每次试验的各种结果是等可能的. 那么这样的试验称为几何概型.
如向一个圆内均匀的投点，这个试验就是几何概型，这里的“均匀”两字即意味着此试验的结果是等可能的. 11.几何概率
设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A 所对应的区域用A 表示（A ⊆Ω），则P （A ）=
的度量
的度量
ΩA 称为事件A 的几何概率.
12. 三种抽样——简单随机抽样、系统抽样、分层抽样
系统抽样——将总体分成均衡的若干部分，然后按预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本。
分层抽样——总体由有明显差别的几部分组成，每一部分叫层，在各层中按层在总体中所占的比例进行简单随机抽样或系统抽样。
13.频率分布直方图（1）纵坐标为——频率/组距，（2）小矩形面积为频率(3)所有小矩形的面积和为1.
14.回归直线方程为y=a+bx,过定点(x,y),b 的意义是x 每增加一个单位，y 平均增加（或减少）b 个单位。
15.平均数反映的是样本的平均水平，方差与标准差反映的是样本围绕平均数的波动情况，方差越小波动越小越稳定。