人教版九年级数学下册 第二十七章 相似 27.2.1相似三角形的判定 课后练习一
人教版九年级数学下册第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定课后练习一一、选择题1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．485B．325C．245D．1252．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是72，则点C的坐标是（）A．（4，2）B．（3，32）C．（3，94）D．（2，32）3．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，ABC和DEF的顶点都在格点上(小正方形的顶点).1P，2P，3P，4P，5P是DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与ABC相似，所有符合条件的三角形的个数为( )A．2B．3C．4D．54．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出下列结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=725.其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45．如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AB ＝CD ＝5，AC ＝7，BE ＝3，下列命题错误的是( )A ．⊙AED⊙⊙BECB ．⊙AEB ＝90°C ．⊙BDA ＝45°D ．图中全等的三角形共2对6．如图，已知在ABCD 中，BC=3⊙AB=4⊙60BAD ∠=⊙E 为线段BC 上任意一点，连接AE 并延长与DC 交于点G ，若BE=2EC ，则AE 的边长为（ ⊙A ．B ．C ．D ．7．ABC ∆和A B C '''∆符合下列条件，其中使ABC ∆与A B C '''∆不相似的是（ ）A ．45,26,109A AB B ∠=∠=︒∠='︒∠='︒B ．1, 1.5,2,12,8,16AB AC BC A B A C B C ''''''======C ．153, 1.5,,, 2.1142A B AB AC A B B C ∠=∠===''='''D ．,,,BC a AC b AB c B C A C A B ''====''''== 8．如图，在平面直角坐标系中，A ⊙0⊙4⊙⊙B ⊙2⊙0），点C 在第一象限，若以A ⊙B ⊙C 为顶点的三角形与△AOB 相似（不包括全等），则点C 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．在三角形纸片ABC 中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）10．如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且CF =3FD ．则图中相似三角形的对数是⊙ ⊙A ．1B ． 2C ．3D ．)4二、填空题11．已知在Rt ABC ∆中，90,3,4C BC cm AC cm ︒∠===，点,M N 分别在边AC AB 、上，将ABC ∆沿直线MN 对折后，点A 正好落在对边BC 上，且折痕MN 截ABC ∆所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与ABC ∆相似，则折折痕MN =__________cm12．如图，点D 、E 在△ABC 的边AB 、AC 上，请添加一个条件：____，使△ADE ∽△ACB ．13．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC =____________度14．已知Rt △ABC 中，∠A =90°，M 是BC 的中点．如图，(1)以M 为圆心，MB 为半径，作半圆M ；(2)分别B ，C 为圆心，BA ，CA 为半径作弧，两弧交于D 点；(3)连接AM ，AD ，CD ；(4)作线段CD 的中垂线，分别交线段CD 于点F ，半圆M 于点G ，连接GC ；(5)以点．．G ．为圆心．．．，线段GC 为半径，作弧．CD ．．．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中：①点A 在半圆M 上；②AC =CD ；③弧AC =弧CD ；④△ABM ∽△ACD ；⑤BC =GC ；⑥∠BAM =∠CGF ．一定正确的是_______．15．如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，在ABC ∆的外部和内部（不在边上）分别取一点D ，E ，若4AD AE ==，8BD =，2CE =，CAD ∠的补角等于CAE ∠，则下列结论：①点A 在线段DE 的垂直平分线上；②ACE BAD ∆∆∽；③ACB ABC BAD CAE ∠+∠=∠+∠；④BC 的最大值是14．其中正确的结论是_________．（填写所有正确结论的序号）三、解答题16．如图1，矩形ABCD 中，点E 为AB 边上的动点（不与A ，B 重合），把△ADE 沿DE 翻折，点A 的对应点为A 1，延长EA 1交直线DC 于点F ，再把∠BEF 折叠，使点B 的对应点B 1落在EF 上，折痕EH 交直线BC 于点H ． （1）求证：△A 1DE ∽△B 1EH ；（2）如图2，直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，若点A 1恰好落在直线MN 上，试判断△DEF 的形状，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，点G 为△DEF 内一点，且∠DGF ＝150°，试探究DG ，EG ，FG 的数量关系．17．关于x 的方程12(1)k x -=-①和一元二次方程2(2)380k x mx m -+++=②中，k ，m 均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为最小整数时，方程②有两根分别为1p -+和5p -+，求m 的值；（3）在（2）的条件下，若直线y=kx+1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点C 是双曲线2y mx=在第一象限图像上一动点，作CD ⊥y 轴交线段AB 于点E ，作CF ⊥x 轴交线段AB 于点G ，坐标原点为O ．按要求补全图形并完成： ①BG·AE ＝___________；②求∠EOG 的度数．18．如图，在ABC 中，点D E 、分别在边BC AC 、上，连接AD DE 、，且B ADE C ∠=∠=∠．（1）证明：BDA CED △∽△；（2）若45,2B BC ∠=︒=，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合），且ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．19．如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 边上动点(不与,B C 重合)．连接,AE 过点E 作,EF AE ⊥交DC 于点F ．()1求证：ABE ECF ；()2连接AF ，试探究当点E 在BC 什么位置时，BAE EAF ∠=∠，请证明你的结论．20．如图，已知P 是菱形ABCD 中CD 边上一点，AP 交对角线BD 于点E ，将ADP ∆沿AP 翻折得AFP ∆，FP 交边BC 于点G ，//FP BD ．（1）求证：DE BG =；（2）若:1:3CP DP =，7AP =，求FG 的长．21．已知抛物线23y ax bx =++与x 轴分别交于两点()()3,0,1,0A B -，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）点F 是线段AD 上一个动点．①如图1，设AF k AD =，当k 为何值时，有2CF AD =1． ②如图2，若AFO CAB ，求出点F 的坐标．22．如图，O 是ABC ∆的外接圆，AB BC =，延长AC 到点D ，使得CD CB =，连接BD 交O 于点E ，过点E 做BC 的平行线交CD 于点F ．（1）求证：AE DE =；（2）求证：EF 为O 的切线；（3）若5AB =，3BE =，求弦AC 的长．23．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ． （1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，设点P 的横坐标为t ；①当S △ACP ＝S △ACN 时，求点P 的坐标；②是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E 的坐标；若不能，请说明理由．【参考答案】1．C2．B3．B4．C5．D6．A7．D8．D9．D10．C11．32或158． 12．⊙1＝⊙C 或⊙2＝⊙B 或AD⊙AC ＝AE⊙AB （答一个即可）．13．14514．①②15．①③16．解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE ＝∠DA 1E ＝90°，∠EBH ＝∠EB 1H ＝90°，∠AED ＝∠A 1ED ，∠BEH ＝∠B 1EH ，∴∠DEA 1+∠HEB 1＝90°．又∵∠HEB 1+∠EHB 1＝90°，∴∠DEA 1＝∠EHB 1，∴△A 1DE ∽△B 1EH ；（2）结论：△DEF 是等边三角形；理由如下：∵直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，∴点A 1是EF 的中点，即A 1E ＝A 1F ，在△A 1DE 和△A 1DF 中11111190DA DA DA E DA F EA FA =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△A 1DE ≌△A 1DF （SAS ），∴DE ＝DF ，∠FDA 1＝∠EDA 1，∴△DEF 是等腰三角形，又∵△ADE ≌△A 1DE ，∠ADF ＝90°．∴∠ADE ＝∠EDA 1＝∠FDA 1＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴△DEF 是等边三角形；（3）DG ，EG ，FG 的数量关系是DG 2+GF 2＝GE 2，理由如下：由（2）可知△DEF 是等边三角形；将△DGE 顺时针旋转60°到△DG'F 位置，如解图（1），∴G'F ＝GE ，DG'＝DG ，∠GDG'＝60°，∴△DGG'是等边三角形，∴GG'＝DG ，∠DGG'＝60°，∵∠DGF ＝150°，∴∠G'GF ＝90°，∴G'G 2+GF 2＝G'F 2，∴DG 2+GF 2＝GE 2．17．（1）∵12(1)k x -=-，∴x=12k +， ∵方程12(1)k x -=-的根为非负数，方程2(2)380k x mx m -+++=是一元二次方程， ∴12k +≥0，2-k≠0， 解得：k≥-1且k≠2．（2）由（1）可知k≥-1，∵k 为最小整数，∴k=-1，∴方程②为23380x mx m +++=，∵方程②有两根分别为1p -+和5p -+，∴1p -++(5p -+)=33m -，即-m=-4， 解得：m=4．（3）①根据题意补全图形如下，过点E 作EP ⊥x 轴于P ，过G 作GQ ⊥y 轴于Q ，由（2）可知k=-1，m=4， ∴直线AB 解析式为y=-x+1，双曲线的解析式为2142y x x==， ∵直线y=kx+1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，∴A（1，0），B（0，1），∴OA=OB=1，∠OBA=∠OAB=45°，∴⊙AOB是等腰直角三角形，∵EP⊥x轴，GQ⊥y轴，∴⊙BQG和⊙EPA是等腰直角三角形，∴GQ，PE，∵CD⊥y轴，CF⊥x轴，∴GQ=CD，PE=CF，设点C坐标为（t，12t），则CD=t，CF=12t，∴·12t=1．②如图，连接OE、OG，由①得BG·AE=1，OA=OB=1，∠OBA=∠OAB=45°，∴BG=1 AE，∴BG OA OB AE，∴⊙BOG∽⊙AEO，∴∠OGB=∠EOA，∵∠OGB=∠GOA+∠OAB，∠EOA=∠EOG+∠GOA，∴∠EOG=∠OAB=45°．18．（1）如图可知：180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒在ABD △中，∴ 180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒ 又B ADE C ∠=∠=∠∴EDC DAB ∠=∠∴BDA CED △∽△．（2）B ADE C ∠=∠=∠，45B ∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形∴90BAC ∠=︒BC=2，∴AB=AC=2 ①当AD=AE 时，∴ADE AED ∠=∠45B ∠=︒，∴=45B ADE AED ∠=∠∠=︒∴90DAE ∠=︒∴90DAE BAC ∠=∠=︒点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合）,点E 在AC 上∴此情况不符合题意．②当AD=DE 时，∴DAE DEA ∠=∠∴由（1）结论可知：BDA CED ≌∴∴2BD =．③当AE=DE 时，45ADE DAE ∠=∠=︒∴AED 是等腰直角三角形45B ∠=︒，∴==45B C DAE ∠∠∠=︒∴90ADC ∠=︒，即AD BC ⊥ ∴1=12BD BC =．综上所诉：2BD =1．19．（1）四边形ABCD 是正方形，90B C ∴∠=∠=︒，90BAE BEA ∴∠+∠=︒，EF AE ⊥，90AEF ∴∠=︒，90BEA CEF ∴∠+∠=︒，BAE CEF ∴∠=∠，在ABE △和ECF △中，B C BAE CEF ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ABE ECF ∴；（2）点E 在BC 中点位置时，BAE EAF ∠=∠，证明如下：如图，连接AF ，延长AE 于DC 的延长线相交于点H ， E 为BC 中点，BE CE ∴=，四边形ABCD 是正方形，//AB DH ∴，,B ECH BAE H ∴∠=∠∠=∠，在ABE △和HCE 中，BAE HB ECH BE CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE HCE AAS ∴≅，AE HE ∴=，EF AH ⊥，AFH ∴是等腰三角形，EAF H ∴∠=∠，BAE EAF ∴∠=∠，故当点E 在BC 中点位置时，BAE EAF ∠=∠．20．（1）证明：在菱形ABCD 中，BC=CD∵FP //BD∴∠DEP ＝∠APF ＝∠APD ，BG=DP ，∴DE=PD又∵BG ＝DP ，DE=PD∴BG ＝DE ．（2）连结AC ，交BD ，FP 分别为M ，N 两点．∵四边形ABCD 是菱形AC BD ∴⊥，BM ＝DM ，PN=GN ．∵AB //CD∴∠ABE=∠PDE ，∠BAE=∠DPE在△ABE 和△PDE 中ABE PDE BAE DPE ⎧⎨⎩∠=∠∠=∠ ∴△ABE ∽△PDE∴AB AE BE DP PE DE== ∵DP=DE ，∴ AB=BE又∵CP:DP=1:3，AP=7，设CP=a∴DP=DE=3CP=3a ，AB=BE=4a ， BD=7a ，12EM a =，在Rt △ADM 和Rt △AEM 中，AM 2=222271(4)()4()22a a a -=-， 得a =2．1sin sin 47PN NAP MAE ∠=∠==， 得77,42NP PG ==． 75622FG FP PG DP PG =-=-=-=．21．解：()1抛物线23y ax bx =++过点()()3,0,1,0A B -，933030'a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩解得:12a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线解析式为223y x x =--+；()222314y x x x =--+=-++∴顶点D 的坐标为()1,4-；()2①在Rt AOC 中，3,3OA OC ==，22218,AC OA OC ∴=+=()()()1,40,3,,3,0D C A --，()()222221043112CD =--+-=+=∴，()()2222213402420AD ∴=-++-=+=，222AC CD AD ∴+=， ACD ∴为直角三角形，且90,ACD ∠=︒ 12CF AD =F ∴为AD 的中点，12AFAD ∴=12k ∴=②在Rt ACD 中，13DC tan DAC AC ∠=== 在Rt OBC 中，13OB tan OCB OC ∠==,DAC OCB ∴∠=∠,OA OC =45,OAC OCA ∴∠=∠=︒,FAO ACB ∴∠=∠连接,BC 当AOF ABC ∠=∠时，AOF CBA ，//,OF BC设直线BC 的解析式为,y kx b =+3k b b +=⎧∴⎨=⎩解得:33k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为33,y x =-+∴直线OF 的解析式为3,y x =-设直线AD 的解析式为,y mx n =+430k b k b -+=⎧∴⎨-+=⎩解得:26k b =⎧⎨=⎩∴直线AD 的解析式为26,y x =+263y x y x =+⎧∴⎨=-⎩解得:65185x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩618,55F ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭22．（1）∵CD CB =，∴DBC BDC ∠=∠，∵DBC CAE ∠=∠，∴BDC CAE ∠=∠，∴AE DE =．（2）如图，连接OE ，∵∠DBC=∠BDC ，∴∠ACB=2∠DBC ，∵∠DBC=∠EAC ，∴∠ACB=2∠EAC ，∵AB=BC ，∴∠BAC=∠ACB ，∴∠BAC=2∠EAC ，∴∠EAC=∠EAB ，∴点E 为BC 的中点，∴OE BC ⊥，∵//EF BC ，∴OE EF ⊥，∴EF 为圆O 的切线．（3）在ABE ∆和DBA ∆中，ABE DBABAE BDA ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴ABE DBA ∆∆∽， ∴ABDBDAEB AB AE ==，∴2AB BE DB =⋅，∵AB=5，BE=3， ∴253BD = ∴2516333DE BD BE =-=-=，由（1）得163AE DE ==，∵AB DA EB AE=， ∴809DA =， ∵5CD CB AB ===， ∴359AC DA CD =-=． 23．（1）将A （﹣1，0），C （2，3）代入y ＝﹣x 2+bx+c 中，得127b c b c -+=⎧⎨+=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x+3，设直线AC 解析式为y ＝mx+n ，∵点A （-1，0）、C （2，3）在直线AC 上，∴023m n m n -+=⎧⎨+=⎩， 解得：11m n =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 解析式为y ＝x+1.（2）①在y ＝﹣x 2+2x+3中，令x ＝0，得y ＝3，∴N （0，3），∵点P 的横坐标为t ，点P 在抛物线y=-x 2+2x+3图象上，∴P （t ，﹣t 2+2t+3），如图，过点P 作PH//AC ，∵平行线间的距离相等，∴S △ACP ＝S △CAN ，设直线NP 的解析式为y=kx+a ，∴k=1，把N （0，3）代入得a=3，∴直线NP 的解析式为y=x+3，联立直线NP 与抛物线解析式得2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩，解得：14xy=⎧⎨=⎩或3xy=⎧⎨=⎩（舍去），∴P（1，4）.②如图2，过P作PS⊥x轴于S，过C作CK⊥PS于K，则∠CKP＝∠PSA＝90°，∵P（t，﹣t2+2t+3），A（﹣1，0），C（2，3），∴CK＝2﹣t，PK＝﹣t2+2t，PS＝﹣t2+2t+3，AS＝t﹣（﹣1）＝t+1，∵△ACP是以AC为斜边的直角三角形，∴∠APS+∠CPK＝∠APC＝90°，∵∠PCK+∠CPK＝90°，∴∠APS＝∠PCK，∴△APS∽△PCK，∴ASPS＝PKCK，即2123tt t+-++＝222t tt-+-，解得：t，∵P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，∴﹣1＜t＜2，2，∴t 35，∴﹣t2+2t+3=5+∴P 35，．（3）∵y ＝﹣x 2+2x+3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点D （1，4），∴B （1，2），BD ＝2，∵点E 在直线AC 上，AC 解析式为y=x+1，∴设点E （m ，m+1），∵B ，D ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形，∴EF=BD ，∵EF//BD ，BD 为抛物线对称轴，∴F （m ，﹣m 2+2m+3），EF ＝22m m --，∴m 2-m -2＝±2，解得：m 1＝0，m 2＝1（舍去），m 3＝12，m 4＝12+，∴，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能为平行四边形，点E 的坐标为：（0，1，．。
人教版九年级下册数学第27章27.2.1《相似三角形的判定》课后练习：15道经典题目(含答案解析)
27.1.1 相似三角形的判定：课后练习一、选择题。
1、已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（）A．B．C．D．2、如图已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，则图中相似（但不全等）的三角形共有（）A．6对B．8对C．9对D．10对3、如图，已知∠ACB=∠CBD=90。
，BC=a，AC=b，当CD为（）时，△CDB∽△ABC？A. B.C.D.4、如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD、CD上的点，∠BEF=90。
，则图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个三角形中一定相似的是（）A.Ⅰ 和ⅡB.Ⅰ和ⅢC.Ⅱ和ⅢD.Ⅲ和Ⅳ5、如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、B D，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A．2：5：25 B．4：9：25C．2：3：5 D．4：10：256、如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：2D．2：17、如图，Rt△ABC∽Rt△ACD，且AB=10cm，AC=8cm，则AD的长是（）A．2厘米B．4厘米C．6厘米D．6.4厘米8、如图，△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=2，则△ADE与△ABC的相似比是（）A．3：2 B．2：3 C．3：5 D．5：39、△ABC中，AB=63，BC=15，AC=49，和它相似的三角形的最短边是5，则最长边是（）A．18 B．21 C．24 D．1710、如图，在△ABC中，点D在BC上，在下列四个条件：①∠BAD=∠C；②∠ADC+∠BAC=180°；③BA2=BD·BC；④中能使△BDA∽△BAC的条件有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题。
11、在△ABC中，D为AB的中点，AB=4，AC=7，若AC上有一点E，且△ADE与原三角形相似，则AE=______．12、△ABC经相似变换后得△DEF，若对应边AB=3DE，则△ABC的周长是△DEF的周长的_ _____倍．13、已知如图，梯形ABCD中，AB∥CD，△COD与△AOB的周长比为1：2，则CD：AB =______，S△COB：S△COD=______．14、如图，已知∠ABC=∠CDB=90°，若两直角三角形相似，且AC=5，BC=4，则AB的对应边BD的长为______．三、解答题。
人教版九年级数学下册27.2 相似三角形 同步练习1 含答案
27.2.1相似三角形的判定（1）1、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件， 使ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的条件即可).2、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）A AC AE AB AD = B FB EA CF CE =C BD AD BC DE = D CBCF AB EF =3、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ）A 1对B 2对C 3对D 4对4、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）① ② ③ ④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④.5、如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC ，②ΔBCD ，③ΔBDE ，④ΔBFG ，⑤ΔFGH ，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）(A)②③④ (B)③④⑤ (C)④⑤⑥ (D)②③⑥6、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A 1B 1C 1，使ΔA 1B 1C 1与格点三角形AB C 相似(相似比不为1).7、如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长.8、一个钢筋三角架三边长分别为20cm ，50cm ，60cm ，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，写出所有不同的截法？答案1、D E ∥BC2、C3、C4、C5、B6、略7、AD=516cm 8、两种截法（1）新截三角形的三边分别是10cm,25cm,30c m （2）新截三角形的三边分别是12cm,30cm,36cm。
初三九年级数学人教版 第27章 相似27.2 相似三角形27.2.1 平行线分线段成比例习题课件
点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知
AB 1
，则
EF
＝________. 2
AC 3 DE
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知识点 2 平行于三角形一边的直线的性质
6．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段__成__比__例____．
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7．如图，DE∥BC，以下结论正确的是( C ) A．AE∶AC＝AD∶BD B．AE∶AC＝BD∶AB C．AE∶CE＝AD∶BD D．AC∶CE＝AD∶BD
∵S△ABD＝ AB·DE＝ BD·AH，
S△ACD＝ AC·DF＝1 CD·AH，1
2
2
∴
1 ，即 1 .
2
2
SVABD AB BD SVACD AC CD
AB BD AC CD
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8．如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，则下列比例式 不成立的是( ) B A．OC∶OD＝OA∶OB B．OC∶OD＝OB∶OA C．OC∶AC＝OD∶DB D．BD∶AC＝OD∶OC
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9．(中考·兰州)如图，在△ABC中，DE∥BC，若 AD 2 ，
则 AE 等于( )
DB 3
C
求证
.
证明：A如B 图 B，D过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E. ∴∠1A＝C∠ED，C∠2＝∠3.①
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2.∴∠3＝∠E.
∴AC＝AE.②
又∵AD∥CE，∴
.③
∴
. AB BD
(1)上AB述证B明D过程中A，E步骤D①C ②③处的理由是什么？(写出 A两C条即DC可)
(2)用三角形内角平分线定理解答：在△ABC中，AD是角平 分线，AB＝7 cm，AC＝4 cm，BC＝6 cm，求BD的长．
人教新版数学九年级下册《相似》习题含答案
人教版初中数学九年级第二十七章-相似-及习题-含答案第二十七章相似本章小结小结1 本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．小结3 中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．(1)求证CD CE AC CB=；(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．分析利用△CDE∽△CAB，可证明CD CE AC CB=．证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CD CE AC CB=.解：(2)∵AE＝8，OC＝12，∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．又∵CD CE AC CB=，∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．连接OB，在△OBC中，OB＝12AE＝4，OC=12，∴8＜BC＜16．【解题策略】将证CD CEAC CB=转化为证明△CDE∽△CAB.专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】证明形如22a cb d=，33a cb d=或abcdef=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a cb d=，可设法证a cb x=，a xb d=，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。
人教版数学九年级下册数学：27.2.1 相似三角形的判定 同步练习(附答案)
27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．如图所示，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE ACC.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AD AB ＝AE EC ＝DE BC2．两个三角形相似，且相似比k ＝1，则这两个三角形 ．3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，已知AB AC ＝13，则EFDE＝ ．5．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于点E ，交BD 于点F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为( )A ．4B ．7C ．3D ．126．如图，点E ，F 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，且EF ∥BC ，点M 在边BC 上，AM 与EF 交于点D ，则图中相似三角形共有( )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对7．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点P 是直线AB 上一点，且AP ＝2，过点P 作BC 边的平行线，交直线AC 于点M ，则MC 的长为 ．8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB 于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是()A.ABAE＝AGADB.DFCF＝DGADC.FGAC＝EGBDD.AEBE＝CFDF9．如图，AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，则AE∶EC的值是()A．3∶2B．4∶3C．6∶5D．8∶510．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上，若线段AB＝4 cm，则线段BC＝cm.11．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，线段BE，CD相交于点O，若OD＝2，则OC＝.12．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝．13．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择作MN的平行线BC，并测得AM＝900米， AB＝30米，BC＝45米，求直线隧道MN的长．14．如图，延长正方形ABCD的一边CB至点E，ED与AB相交于点F，过点F作FG∥BE 交AE于点G，求证：GF＝FB.15．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．第2课时 相似三角形的判定定理1，21．将一个三角形的各边长都缩小12后，得到的三角形与原三角形( )A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法确定2．若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝ cm 时，△ABC ∽△DEF. 3．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．4．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF.5．能判定△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( )A.AB A ′B ′＝ACA ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′且∠A ＝∠A ′ C.AB BC ＝A ′B ′A ′C ′且∠B ＝∠C ′ D.AB A ′B ′＝ACA ′C ′且∠B ＝∠B ′6．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是()7．如图，AB与CD相交于点O，OA＝3，OB＝5，OD＝6，当OC＝时，△AOC∽△BOD.8．如图，点C，D在线段AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝4.5，DE＝5，求CF的长．9．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．10．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为()A．P 1B．P2C．P3D．P411．如图，在△ABC中，点P在AB上，下列四个条件：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·CB.其中能满足△APC和△ACB相似的条件有()A．1个 B．2个C．3个D．0个12．如图，已知∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE.13．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC.14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.15．如图，正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ ∽△QCP.16．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是．第3课时相似三角形的判定定理31．下列各组图形中有可能不相似的是()A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形2．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是.3．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形．(用相似符号连接) 4．如图，点B，D，C，F在一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE，求证：△ABC∽△EFD.5．如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D.求证：△ABC ∽△AED.6．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝12，AB ＝15，A ′C ′＝8，则当A ′B ′＝ 时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.7．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm 和15 cm ，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm 和454 cm ，这两个直角三角形 (填“是”或“不是”)相似三角形．8．一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形 (填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．9．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，且∠DCE ＝∠B.那么下列判断中，错误的是( )A ．△ADE ∽△ABCB ．△ADE ∽△ACDC ．△DEC ∽△CDBD ．△ADE ∽△DCB10．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．811．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．12．如图，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝6，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？13．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.求证：△ABF∽△BEC.14．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?15．如图，在△ABC中，AD，BF分别是BC，AC边上的高，过点D作AB的垂线交AB于点E，交BF于点G，交AC的延长线于点H，求证：DE2＝EG·EH.参考答案：27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．A2． 全等．3．B4． 2．5．B6．B7． 6或12．8．D9．D10．12.11．4.12．169．13．解：∵BC ∥MN ，∴△ABC ∽△AMN.∴AB AM ＝BC MN ，即30900＝45MN .∴MN ＝1 350.答： 直线隧道MN 的长为1 350米．14．证明：∵GF ∥AD ，∴GF AD ＝EFED .又FB ∥DC ，∴FB DC ＝EFED .又AD ＝DC ，∴GF AD ＝FBAD .∴GF ＝FB.15．解：∵在△ABC 中，EG ∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ，∴EG BC ＝AEAB .∵BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，∴EG 10＝35，∴EG ＝6. ∵在△BAD 中，EF ∥AD ，∴△BEF ∽△BAD ，∴EF AD ＝BE AB. ∵AD ＝6，AE ＝3，AB ＝5，∴EF 6＝5－35.∴EF ＝125. ∴FG ＝EG －EF ＝185.第2课时 相似三角形的判定定理1，21．A2．3.3．解：相似．理由如下：在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝32－2.42＝1.8，在Rt △DEF 中，DF ＝DE 2－EF 2＝62－3.62＝4.8，∴AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.4．证明：∵AC ＝2，BC ＝12＋32＝10，AB ＝4，DF ＝22＋22＝22，EF ＝22＋62＝210，ED ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.5．B6．C7． 1858．解：∵AE BF ＝34.5＝23，AD BC ＝23，∴AE BF ＝AD BC.又∵∠A ＝∠B ，∴△AED ∽△BFC.∴AD BC ＝DE CF .∴23＝5CF. ∴CF ＝152. 9． 125或53． 10．C11．B12． AD AB ＝AE AC 13．证明：∵AB ∥DE ，∴△ODE ∽△OAB.∴DE AB ＝OE OB. ∵BC ∥EF ，∴△OEF ∽△OBC.∴EF BC ＝OE OB ＝OF OC. ∵AC ∥DF ，∴△ODF ∽△OAC.∴DF AC ＝OF OC. ∴DE AB ＝EF BC ＝DF AC. ∴△DEF ∽△ABC.14．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝DB ·CE ，∴AB CE ＝DB AB . 又AB ＝AC ，∴AB CE ＝DB AC. ∴△ADB ∽△EAC.15．证明：设正方形的边长为4a ，则AD ＝CD ＝BC ＝4a.∵Q 是CD 的中点，BP ＝3PC ，∴DQ ＝CQ ＝2a ，PC ＝a.∴DQ PC ＝AD CQ ＝21. 又∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP.16．3__s 或4.8__s ．第3课时 相似三角形的判定定理31．A2． △EFD ，△HGK .3． 答案不唯一，如△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACE 等．4．证明：∵AB ∥EF ，AC ∥DE ，∴∠B ＝∠F ，∠ACB ＝∠EDF.∴△ABC ∽△EFD.5．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠EAD.又∵∠C ＝∠D ，∴△ABC ∽△AED.6．10.7．是．8．不一定．9．D10．B11．6017． 12．解：①若△ABC ∽△ADB ，则AB AD ＝AC AB.∴AD ＝3； ②若△ABC ∽△DAB ，则AB AD ＝BC AB.∴AD ＝3 2.综上所述，当AD ＝3或32时，两直角三角形相似．13．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D ＋∠C ＝180°，∠ABF ＝∠BEC.又∵∠AFB ＋∠AFE ＝180°，且∠AFE ＝∠D ， ∴∠C ＝∠AFB.又∵∠ABF ＝∠BEC ，∴△ABF ∽△BEC.14．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD.∴△APQ ∽△CDQ.(2)当DP ⊥AC 时，∠QCD ＋∠QDC ＝90°.∵∠ADQ ＋∠QDC ＝90°，∴∠DCA ＝∠ADP. 又∵∠ADC ＝∠DAP ＝90°，∴△ADC ∽△PAD.∴AD PA ＝DC AD .∴10PA ＝2010，解得PA ＝5. ∴t ＝5.15．证明：∵AD ，BF 分别是BC ，AC 边上的高， ∴∠ADB ＝∠BED ＝90°.∴∠EBD ＋∠EDB ＝∠EDB ＋∠ADE.∴∠EBD ＝∠EDA.∴△AED ∽△DEB.∴AE DE ＝DE BE，即DE 2＝AE ·BE. 又∵∠HFG ＝90°，∠BGE ＝∠HGF ，∴∠EBG ＝∠H.∵∠BEG ＝∠HEA ＝90°，∴△BEG ∽△HEA.∴EG AE ＝BE EH，即EG ·EH ＝AE ·BE. ∴DE 2＝EG ·EH.。
人教版数学九年级下册 第27章 相似 27.2 相似三角形 27.2.2相似三角形的判定 同步训
第27章 相似 27.2 相似三角形 27.2.2相似三角形的判定 同步训练1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对2. 如图，点P 是▱ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对3．如图，在△ABC 中，∠AED ＝∠B ，则下列等式成立的是( )A.DE BC ＝AD DB B ．AE BC ＝AD BD C.DE CB ＝AE AB D ．AD AB ＝AE AC 4. 下列各组图形中有可能不相似的是( ) A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形 B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形 C ．各有一个角是105°的两个等腰三角形 D ．两个等腰直角三角形5. 如图，∠1＝∠2＝∠3，则图中共有相似三角形( )A ．1对B ．2对 C.3对 D ．4对6. 如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交AD 的延长线于点E ，若AB ＝12，BM ＝5，则DE 的长为( )A ．18B ．1095 C.965 D ．2537. 如图，有三个三角形，其中相似的是 .8. 如图，∠1＝∠2，∠B ＝∠E ，△ABC 与△AED 相似吗？为什么？9. 如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且∠EFG ＝90°.求证：△EFB ∽△FCG.10. 如图已知，在△ABC 中，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，BE 交CD 于点O.求证：△ABE ∽△OCE.11．如图，在▱ABCD 中，AD ＝10cm ，CD ＝5cm ，E 为AD 上一点，且BE ＝BC ，CE ＝CD ，则DE ＝ cm.12．如图，正方形ABCD 中，BC ＝2，点M 是边AB 的中点，连接DM ，DM 与AC 交于点P ，点E 在DC 上，点F 在DP 上，且∠DFE ＝45°，若PF ＝56，则CE ＝ . 13. 如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，E 为边AD 上一点．若∠1＝∠B ，CD ＝CE ，试说明△ACE ∽△BAD.14. 如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD.(1)证明：∠BDC＝∠PDC；(2)若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长．参考答案： 1---6 CDCAD B 7. ①与②8. 解：△ABC ∽△AED ，∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC ＝∠2＋∠DAC ，∴∠BAC ＝∠EAD ，在△ABC 和△AED 中，∵∠B ＝∠E ，∠BAC ＝∠EAD ，∴△ABC ∽△AED. 9. 证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∴BEF ＋∠BFE ＝90°，∵∠EFG ＝90°，∴∠BFE ＝∠CFG ，∴△EFB ∽△FCG.10. 证明：因为CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，所以∠AEB ＝∠ADC ＝90°.又∠A ＝∠A ，所以∠ABE ＝∠OCE.又因为∠AEB ＝∠OEC ，所以△ABE ∽△OCE. 11. 2.5 12. 7613. 证明：∵CD ＝CE ，∴∠CED ＝∠CDE ，即∠B ＋∠3＝∠1＋∠2，又∠1＝∠B ，∴∠2＝∠3，∴△ACE ∽△BAD.14. (1)证明：∵AB ＝AD ，AC 平分∠BAD ，∴AC ⊥BD ，∴∠ACD ＋∠BDC ＝90°，∵AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ，∴∠ADC ＋∠BDC ＝90°，∵PD ⊥AD ，∴∠ADC ＋∠PDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠PDC ；(2)解：过点C 作CM ⊥PD 于点M ，∵∠BDC ＝∠PDC ，∴CE ＝CM ，∵∠CMP ＝∠ADP ＝90°，∠P ＝∠P ，∴△CPM ∽△APD ，∴ CM AD ＝PCPA ，设CM ＝CE ＝x ，∵CE ∶CP ＝2∶3，∴PC ＝32x ，∵AB ＝AD ＝AC ＝1，∴x 1＝32x 32x ＋1，解得：x ＝13，故AE ＝1－13＝23.。
九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定同步练习新版新人教版
相似三角形的判定一、基础题目1．如图，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE AC C.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AE EC ＝DE BC2．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( ) A.AD AB ＝12 B.AE EC ＝12 C.AD EC ＝12 D.DE BC ＝123．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF＝( ) A.13 B.12 C.23D ．1第1题图 第2题图 第3题图4． 如果△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比为2，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为 ．5．如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BCCE 的值等于 ．6．如图，AB 、CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD.EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为 ． 7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且AD ＝2，DB ＝3，则DEBC＝ ．第5题图 第6题图 第7题图 8．如图，EG ∥BC ，GF ∥CD ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．二、训练题目9．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形的对数是( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对10.如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．1∶1 D ．1∶211．如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,3,2AD BD ==,则ADE ∆和ABC ∆的相似比是 ；若6DE =，则BC =第9题图 第10题图 第11题图12．一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm ，则其余两边长为______________.13.如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,DE 分别与,AB AC 相交于D E 、，若4AD =,2DB =,求:DE BC 的值。
27.2.1相似三角形的判定
∵AB＝2，BC＝2 2，AC＝2 5，FE＝2，DE＝ 2，
DF＝ 10，
∴
DABE＝
2＝ 2
2，BECF＝2 2 2＝
2，DACF＝2
5＝ 10
2.
∴ DABE＝BECF＝DACF，∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知识点 5 边角关系判定三角形相似定理
知5－讲
1. 相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个
感悟新知
知识点 1 相似三角形
知1－讲
1. 定义：如果在两个三角形中，三个角分别相等，三条边 成比例，那么这两个三角形相似.
感悟新知
如图27.2-1，在△ ABC 和△ A′B′C′中，
知1－讲
∠ A= ∠ A′，∠ B= ∠ B′，∠ C= ∠ C′， △ABC
AB BC AC k,
↔ ∽△A′B′C′.
感悟新知
知2－练
3-1. 如图，l1 ∥ l2 ∥ l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=9， 求BC，BF 的长.
感悟新知
解：∵ l1∥l2∥l3, ∴ ABBC＝ADDE.
∵
AB＝3，AD＝2，DE＝4,
∴
3 BC
＝24，
解得 BC＝6.
知2－练
∵ l1∥l2∥l3,
∴
BF EF
＝
AB AC
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
学习目标
1 课时讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
相似三角形 平行线分线段成比例 平行线截三角形相似的定理 三边关系判定三角形相似定理 边角关系判定三角形相似定理 角的关系判定三角形相似定理 直角三角形相似的判定
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定同步练习及答案【新改】
27.2.1 相似三角形的判定（3）一、基础练习1．已知线段AC 、BD 交于O ，如图1，OC ：OB=1：2，OA=6cm ，•OD=•3cm ，•AB=•7cm ，则CD=____．OBACDBA C DGF BACE D M G F(1) (2) (3)2．如图2，△ABC 中，∠C=90°，四边形DEFG 是正方形，点G 、F 分别在AC 、BC 上，DE 在AB 上，则图中相似的三角形共有_______对，它们分别是____________．3．如图3，△ABC 中，DE ∥BC ，GF ∥AC ，则图中与△ABC 相似的三角形为_________．4．•如图4，•∠1=•∠2=•∠3，•则图中相似三角形共有______•对，•它们分别是_________．BAC 31ED 2BA CE DP(4) (5) (6) 5．如图5，有下列条件：①∠B=∠C ；②∠ADB=∠AEC ；③AD AE AC AB =；④AD AE AB AC =；⑤PE BPPD PC=，•其中一个条件就能使△BPE ∽△CPD 的条件有_______个，它们分别是_________．（填序号就可以）6．如图6，在△ABC 中，AB=24，AC=18，D 是AC 上一的点，AD=12，在AB 上取一点E ，使A 、D 、E 三点组成的三角形与△ABC 相似，则AE 的长为________． 7．如图7，在Rt △ABC 的直角边AC 上有一点P （P 不同于A 、C ），过P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足条件的直线共有_______条，这些直线与△ABC•的边的位置关系分别是______________．B AC ED F(7) (8) (9)8．如图8，在YABCD 中，AB=10，AD=6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则BF 的长为__________．9．如图9，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P ，AP=4cm ，BP=3cm ，CP=5cm ，则DP=______cm ．10．如图，在正方形网格上，请你画两个三角形，使它们不全等且分别与图中的△ABC 相似，其相似比不为1，三角形的顶点都在正方形的顶点上，并注明相应的字母．BAC二、整合练习1．如图，已知△ABC 的高CD 、BE 相交于点F ，求证：CF ·FD=BF ·FE ．BAC E DF2．如图，D 是△ABC 的边BC 上的一点，且BD ABDC AC，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，求证：AB ·DF=AC ·DE ． BA CE DF3．如图，已知正方形ABCD 中，P 是BC 边上的点，BP=3PC ，Q 是CD 的中点． 求证：（1）△ADQ ∽△QCP ；（2）AQ ⊥QP ；（3）AQ=2AQ ；（4）AQ 平分∠DAP ．BA CQD P答案:一、基础练习1．3．5cm 2．6 △ABC 与△GFC △ABC 与△AGD △ABC 与△FBE • •△AGD•与△GFC △AGD 与△FBE △GFC 与△FBE 3．△ADE △GBF △GDM4．4 △ADE 与△ABC △ACD 与△ABC △ACD 与△ADE △DEC 与△CDB 5．4 ①②④⑤6．16或9（△AED ∽△ABC 或△ADE ∽△ABC ）7．3 一条与AB 平行，一条与BC 平行，一条与BC 垂直 8．1．8 9．125（连结AC 、BD ，证明△APC ∽△DPB ） 10．如图B 2C 1A 2C 2B 1A 1B A C二、整合练习1．因为BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∠CEF=∠BDF=90°，∠CFE=∠BFD ，△CFE ∽△BFD （两角对应相等，两三角形相似），CF FEBF FD=，即CF ·FD=BF ·FE ． 2．因为BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，可证△BDE ∽△CDF ，得BD DE DC DF =，又BD ABDC AC=， 所以AB DE AC DF=，即AB ．DF=AC ．DE ． 3．（1）∠D=∠C=90°，AD DQQC PC==2． （2）证∠AQD+∠PQC=90° （3）由（1）得AQ ADPQ QC==2 （4）•证△ADQ ∽△AQP。
人教版九年级数学下册 第二十七章 相似 27.2 相似三角形 同步练习(含答案)
人教版九年级数学下册第二十七章相似27.2 相似三角形同步练习一、选择题1、能判定与相似的条件是（）A. B.，且C.且D.，且2、如图，下列条件中不能判定的是（）A. B.C. D.3、.如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.D.4、如图1，在三角形纸片ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④5、如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（）A．∠2=∠B B．∠1=∠C C．D．6、如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB交BC于E，EC=6，BE=4，则AB长为（）A． 6 B． 8 C．D．7、如图，DE是△ABC的中位线，已知△ABC的面积为8，则△ADE的面积为（）．A． 2 B． 4 C． 6 D． 88、如图所示，在河的一岸边选定一个目标A，再在河的另一岸边选定B和C，使AB⊥BC，然后选定E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE相交于D，此时测得BD=120米，CD=60米，为了估计河的宽度AB，还需要测量的线段是（）A.CEB.DEC.CE或DED.无法确定9、已知：如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对10、某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某同学的身高是1.5米，影长是1米，且旗杆的影长为8米，则旗杆的高度是（）A.12米 B．11米 C．10米 D．9米11、．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则的值为（）A． B． C． D．12、如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )A. 4.5秒B.3秒C. 3秒或4.8秒D.4.5秒或4.8秒二、填空题13、如图，是的中位线，的面积为，则四边形的面积为．14、如图，已知零件的外径为25，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝10，则零件的厚度．15、如图，AC与BD交于点E，AB∥CD∥EF，AB=10，CD=15，则EF的长为16、已知△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长比△A′B′C′的周长少8cm，则△A′B′C′的周长为 cm 。