等腰三角形导学案赵静
12.3等腰三角形（1）导学案
五常市山河一中
赵静
12.3等腰三角形（1）导学案
学习目标:
1、理解和掌握等腰三角形的性质，会应用等腰三角形的性质计算、证明。
2、经历等腰三角形性质的探究，学生通过实践、操作、观察、猜想、论证,发展了合情推理的能力和演绎推理的能力，同时增强了语言表达能力。
3、在活动中，培养学生自主探究，合作交流的意识，提高学习的兴趣。
教学重点和难点：
重点：等腰三角形的性质及其应用。
难点：等腰三角形性质的证明。
学习过程：
活动1：1、多媒体展示图片同学们找出图片中建筑的共同特点.
2、等腰三角形定义，各元素名称回顾并填表
活动2
1、动手操作：用一张长方形纸片，折剪一个等腰三角形。
（只剪一刀）
2、想一想：
1）剪出的三角形是等腰三角形吗？并指出其中的腰、底边、顶角、底角。
2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
3）由这些重合的部分，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想。
3、猜想展示：猜想一：
猜想二：
活动3：探知求证
你能证明你的结论吗？（注意证明命题的必要步骤）A A
命题一证明
B C B D C
命题二证明(命题一备图) (命题二备图)
活动4：性质应用，完成问题：
1、等腰三角形的頂角为360,则它的两底角分别为：
2、等腰三角形中有一角为400,则其它两角为：
3、已知等腰三角形的一个外角为70°，则这个三角形的三个内角分别为
4、△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD A
①图中有个等腰三角形，它们分别为
②△ABC的三个内角分别为。
解： D
B C
活动5：能力提升(方法不唯一)
已知：△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点， A
DF⊥AC于F DE ⊥AB 于E .求证：DE＝DF。
E F
B C
D
四、评价小结：
本节课我学会了：
五、布置作业：
1、必做题：（1）、等腰三角形有一角为1100,则其它两角分别为：
（2）、等腰三角形中有一角为800,则其它两角为：
（3）P51：1、2、3
2、选做题：如图，在△ABC中，∠ABC＝50 ，∠ACB= 80,
延长CB至D,使DB=BA,延长BC至E，使CE=CA，连接AD,AE, A
求∠D, ∠E, ∠DAE的度数。
D B C E。
新冀教版八年级数学上册《等腰三角形(2)》导学案
新冀教版八年级数学上册《等腰三角形（2）》导学案
主备人：备课组长签字：年级主任（组长）签字：日期：编号：
课题
17.1等腰三角形（2）
课时
1
历实验操作的探索活动，发现并归纳：等角对等边；
重点
难点
等腰三角形的识别
等腰三角形的识别的灵活运用
教学内容
师生随笔
一：感悟新知
复习上节课学习过的等腰三角形的性质并填空.
3.有一个角是60°的等腰三角形一定是等边三角形吗？和同学说说你的看法.
四、展示交流
1.一个三角形的三个外角的度数之比为3：3：2，则这个三角形为（）A.等腰三角形B.等边三角形
C.直角三角形D等腰直角三角形
2.下图中，其中△ABC是等腰三角形的是[ ]
3.把一张长方形纸条，象图示那样折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
三、整理归纳
这节课我们学到了……
四、达标测评
1.若一个三角形一条边上的中点到其他两边的距离相等，那么这个三角形是（）
A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.任意三角形
2.已知如图，在△ＡＢＣ中，已知ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ，ＣＥ是两条角平分线，ＢＤ、ＣＥ相交于点Ｏ.
△ＯＢＣ是等腰三角形吗？试证明.
3.如图，已知ＡＤ∥ＢＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ.△ＡＢＤ是等腰三角形吗？请说明你的理由.
（1）求∠ACB的度数.
（2）轮船在B处时，到灯塔C的距离是多少？
2.如下图所示，已知∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC，
试说明AB=AC
三、谈谈你的看法
1.如果一个三角形三个角都相等，那么这个三角形各内角的度数是多少？为什么？
2.三个内角相等的三角形是等边三角形吗？说说你的理由.
新人教版初中八年级数学上册等腰三角形导学案
13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形（1）学习目标1、掌握等腰三角形的性质1、22、会利用等腰三角形的性质解决简单问题学习重点:等腰三角形的性质学习难点:等腰三角形的性质课前预习1、认真学习探究的内容，边看边操作、思考X k b 1 . c o m（1）剪出的等腰三角形是否为轴对称图形（2）把剪出的等腰三角形沿折痕对折，找出其中重合的线段和角2、认真学习等腰三角形性质的证明部分，注意辅助线的添加方法，体会能否可以添加底边上的高或顶角的平分线。
3、学习例1，体会等腰三角形性质的应用。
4、自学后完成展示内容，20分钟后进行展示。
课内探究1、等腰三角形的两个底角＿＿＿＿＿，简写成＿＿＿＿＿＿＿2、等腰三角形的顶角平分线＿＿＿＿、＿＿＿＿＿相互重合。
3、已知△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，求证：（1）∠B=∠C（2）∠BAD＝∠CAD（3）BD＝CD4、如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数。
（1）（2）36︒C BA120︒CBA5、 在△MNP 中，MN = MO = OP,∠NMO =260.求∠N 和∠PPNMO当堂检测1、等腰三角形的底角只能是 角，不能是 角或 角，但顶角 可以是 角或 角，也可以是 角.2、等腰直角三角形的两个底角相等且都等于.3、等腰三角形三线合一性.等腰三角形的顶角的 、底边上 的 和底边上的 互相重合.只要知道其中一个量，就可以得出其它两个量.(1) ∵AB=AC ，∠ 1= ∠2 ∴ (2) ∵AB=AC ，AD ⊥BC ∴(3) ∵AB=AC ，BD=CD∴个性反思：通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处：1、在△ABC 中，AB=AC,BD 是角平分线，如果∠A=40 o，那么∠BDC = .2、 在△ABC 中，点D 在CB 上，且AB=AD=CD,∠C =25 o,那么∠BAC= . 3、下列说法正确的是（ ）A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B.顶角相等的两个等腰三角形全等C.等腰三角形一边不可是另一边的两倍D.等腰三角形的两个底角相等4、 在△ABC 中，AB=AC, ∠A ︰∠B=4︰7,求三角形的各个内角度数.5、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，D 、E 在底边BC 上且AD=AE ，你能说明BD 与CE 相等吗？为什么？课后反思：课后训练1、如图，等腰三角形两腰上的中线BD,CE 相交于点F ，连结AF ， 请你判断AF 和BC 的位置关系,并说明理由.E D C B AE DCBA2．等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于（ ）A.顶角B.顶角的两倍C.顶角的一半D.底角的一半3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝20o， AD ＝AE ，则∠EDC = ．4、如图D 是△ABC 中AB 边上的一点，E 是CA 延长线上的点，AB=AC,AE=AD ，请你用所学知识说明DE 与BC 的位置关系.13.3.1等腰三角形（2）学习目标1、掌握等腰三角形的判定方法2、利用等腰三角形的判定方法（1）证明相关问题（2）辅助以尺规作图手段作等腰三角形学习重点:等腰三角形的判定学习难点:等腰三角形的判定课前预习自学课本51－53页内容，完成下列要求：1、通过预习，思考51页内容后，你有哪些方法证明“等角对等边”这一结论？小组交流，互相探讨。
人教版八年级上册13.3.1等腰三角形学案设计(无答案)
通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．
教学重点
等腰三角形的概念及性质．
教学难点
等腰三角形性质的应用．
教学方法
自主探究，合作交流
教学准备
课件
导案设计
学案
设计
二次
备课
教
学
过
程
设
计
教
学
过
程
设
计
1、导入
1、什么是等腰三角形？三角形的三边关系？
（1）、探究中剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？
（2）、把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
（3）由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的哪些性质呢？
重合的线段
重合的角
（4）大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗?
（5）猜想与论证性质1：等腰三角形的两个底角相等。
2、等腰三角形中，相等的两边都叫做，另一边叫做，两腰的夹角叫做，腰和底边的夹角叫做.
3.（1）等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是；
（2）等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是；
（3）等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是。
2、探究
1、思考75页探究：想一想
已知：△ABC中，AB=AC。求证：∠B=∠C
方法一：证明:作顶角的平分线AD
方法二（作中线）：
方法三（作高）：
几何语言
结论：
（6）性质2：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
①∵AB=AC，BD=CD（已知）
《等腰三角形》(第一课时)导学案
《等腰三角形》导学案一、学习目标1．探索并证明等腰三角形的两个性质．2．能运用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等。
3.结合等腰三角形性质的探索与证明，体会轴对称在研究几何问题中的应用。
重点：探索并证明等腰三角形性质．难点：性质1证明中辅助线的添加和等腰三角形的“三线合一”的性质的理解及应用。
二、教学过程利用多媒体展示实物图片，引入等腰三角形的课题。
活动1：动手做一做学生观察剪纸得到的等腰三角形，明确相关概念。
活动2：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，观察它是否是轴对称图形？找出其中重合的线段和角.活动3：观察剪得的等腰三角形，结合活动2得到的结论大胆猜想并验证：猜想1：猜想2：思考与讨论：如何论证以上猜想的正确性？如何用几何语言表达？几何语言：性质1∵，∴75°,它的另外两个角为_____。
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角____ 。
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为____ 。
证明:∵△ABD≌△ACD（已证）（1）∴BD＝CD∴AD是BC边上的（2）∴∠BAD ＝∠CAD∴AD是∠BAC的（3）∴∠ADB ＝∠ADC∴∠ADB ＝∠ADC＝90°∴AD是BC边上的∴AD是△ABC 的BC边的中线，又是∠BAC的角平分线，还是BC边上的高线。
几何语言（1）∵AB=AC，AD是角平分线，∴、（2）∵AB=AC，AD是中线，∴、（3）∵AB=AC，AD⊥BC，∴、归纳总结上述论证得到的结论：等腰三角形的性质1等腰三角形的性质21BD=BC=AD，求△练习：如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F，则DE与DF相等吗？.请说明理由.三、课堂小结：学生谈收获，教师小结。
性质1 : 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”，前提是在同一个三角形中。
）性质2 : 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
冀教版八年级上册数学17.1等腰三角形导学案(无答案)
17.1等腰三角形导学案课题：17.1等腰三角形学习目标1：理解并掌握等腰三角形的相关概念，培养学生的识图能力和自主学习的意识。
2：通过对等腰三角形图形的观察、操作、猜想和证明，探究归纳出等腰三角形的性质定理，培养学生通过添加辅助线，以全等三角形为推理工具来解决几何问题的能力。
3：培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．重、难点在掌握轴对称图形的基础上，利用所学知识探索等腰三角形的重要性质并会合理应用。
【复习案】【学法指导】独立思考，自主完成，回顾三角形的内角和定理和三边关系定理1：在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A= ，∠B= ，∠C= 。
2：有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，现在再取一根木棒与它们摆成一个三角形，设第三根木棒的长度为xcm，则x的取值范围为【自学案】【学法指导】第一步：利用5分钟阅读课本140页—141页，同时勾画出你认为重要的概念和定理，并对定理的证明方法进行初步的理解和感悟；第二步：结合下面的“自学提纲”进行第二次的阅读和理解，并对所学的知识点进行盘点和梳理，找出自己的困惑；第三步：把自己的困惑与小组其他成员进行交流探讨，寻求帮助。
知识点1：等腰三角形的概念：阅读完教材后，根据自己的理解填空1：有两条边的三角形叫等腰三角形，其中相等的两边叫，另一边叫，两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫。
如图：在△DEF中，DE=DF，DE、DF叫；EF叫；是顶角；是底角。
2：顶角为直角的等腰三角形叫做；知识点2：等腰三角形的性质（1）等腰三角形是图形，有条对称轴，它的对称轴是（2）等腰三角形的两个底角。
（简称）理解课本中性质定理证明的依据和方法，思考后，小组交流：还有其他证法吗？请你写下来已知：在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C【跟踪练习】温馨提示：请注意解题格式如图：在△ABC中，AB=AC，请求出下图中各等腰三角形的内角度数：等腰三角形中常见的辅助线：总结【探究案】【学法指导】第一步：独立思考，写出答案（可以画草图，帮助解题）；第二步：与对子交流，互查；第三步：小组成员之间对每组题目中给出的条件进行比对，找出区别，总结出解题技巧和规律。
冀教版-数学-八年级上册- 17.1等腰三角形 导学案
等腰三角形导学案(1)学习目标：1、通过动手实践、观察猜想并证明等腰三角形的性质，使学生了解数学探究研究的一般过程。
2、掌握等腰三角形的性质；会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
学习重点、难点：重点：掌握等腰三角形的性质；会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
难点：等腰三角形性质的运用一.导入新知：操作：取一张长方形纸片并将它对折，沿着折叠处剪下一个直角三角形，并展开观察并回答问题：1、剪下的三角形是什么三角形？为什么？2、重叠的两条边叫什么？另一条边叫什么？3、两腰的夹角叫什么？腰和底的夹角呢？4、等腰三角形是轴对称图形吗？它们的对称轴是什么？二.探究新知：（一）自主研讨： 1.如图，把上面的图形标上字母，思考并回答下面的问题：等腰三角形除了两腰相等这条性质外，还有那些相等的角？相等的线段？折痕所在的直线AD与底边BC有什么位置关系？并将你的结论与同学交流。
2.总结等腰三角形的性质：性质1：等腰三角形的两个底角________,简称“__________________________”。
性质2：等腰三角形顶角的平分线_____________________________相互重合，简称“三线合一”。
（二）合作探究：1．你能从数学的角度来说明你的结论是正确的吗？试试看已知：如图，⊿ABC中，AB=AC.求证：∠B = ∠C.2.等腰三角形性质定理的应用形式：根据性质定理，已知：如图，在△ABC中，⑴∵AB=AC。
∴ = ；⑵∵AB=AC ，AD⊥BC，∴∠ =∠， = 。
⑶∵AB=AC ，，∴⊥，∠BAD= ∠CAD⑷∵，AD是顶角的平分线，∴AD⊥BC， = 三.新知应用：例1：填空：如图所示，AB=AC（1）∠A=70°,则∠B=______.（2）∠B=70°, ∠A= ______。
变形：（1）等腰三角形有一个角是70°则顶角是______ °底角是______°。
数学人教版八年级上册《等腰三角形》导学案
《等腰三角形》导学案【学习目标】： 1、理解等腰三角形概念，能够判断等腰三角形。
2、通过小组合作探究，发现并理解等腰三角形的性质。
3、能够利用等腰三角形的性质解决相关题目。
【重点难点】：探索并发现等腰三角形的性质，性质在实际中的应用。
【学法指导】：主动探索，小组合作【知识链接】：轴对称知识，角的平分线，活动一、知识回顾1、下列图形不一定是轴对称图形的是（） A.圆 B.长方形 C.线段 D.三角形2、怎样的三角形是轴对称图形？答：3、有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫4、如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称活动二、探索与发现1、动手操作，制作等腰三角形想一想（1）、探究中剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？（2）、把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.（3）由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的哪些性质呢？（4）大胆猜想等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗?2猜想与论证：等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C方法一：证明: 作顶角的平分线AD 则有∠1＝∠2 在△ABD和△ACD中AB=AC∴△ABD≌△ACD （SAS）∴∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）方法二（作中线，如图）：方法三（作高）：B C1 2DAB CD性质2：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（三线合一）(1)“等腰三角形”是三线合一的大前提(2)要注意是哪三线?3等腰三角形的性质用几何符号表示①在ΔABC中，∵AB=AC，∴ ∠B=∠C（）②在△ABC中， AB=AC时，（1）∵AD⊥BC，∴∠____ = ∠____，___= ___（2）∵AD是中线，∴___⊥___ ，∠____ =∠____（3）∵AD是角平分线，∴___ ⊥___ ，___ =___三讲例例1、例1、已知：在△ABC中，AB = AC，∠B = 80°，求∠C 和∠A的度数。
八年级上册《等腰三角形》导学案
12.3.1《等腰三角形》导学案责任学校 责任教师一、学习目标1、 巩固等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质，并能灵活应用等腰三角形的性质解决一些实际问题。
2、 通过独立思考，交流合作，体会探索数学结论的过程，发展推理能力。
二、预习内容自学课本49页至51页，完成下列问题：1、动手操作：把一张长方形的纸片按课本中虚线对折,然后沿实线剪开,再把它展开,得到什么三角形？2、有两边相等的三角形叫 ，相等的两边叫 ，另一边叫 ，两腰的夹角叫 ，腰和底边的夹角叫 。
3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，标出各部分名称。
4、（1） 观察剪出的等腰三角形是否为轴对称图形？它的对称轴在哪里？（2） 将等腰三角形沿折痕对折，观察重合的线段和角，你有什么发现？猜想： 。
5、如图,在△ABC 中, （1）如果AB=AC,且∠1=∠2，那么 = ，且 。
（2）如果AB=AC,且BD=DC ，那么 = ，且 。
（3）如果AB=AC,且AD ⊥BC ，那么 = ，且 。
等腰三角形性质： 性质1 等腰三角形的两个 相等（简写成“ ”）。
性质2 等腰三角形 、 、 互相重合。
三、探究学习1、证明等腰三角形性质1、2：B DAC1 22、如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD.求△ABC 各角的度数。
.四、巩固测评1、（1）如图.在△ABC 中,如果AB=AC,那么∠________=∠_______； （2）如图.在△ABC 中, AB=AC,点D 在BC 上。
如果∠BAD=∠CAD,那么 AD ⊥BC , BD=CD 。
如果BD=CD,那么∠________=∠_______, _______⊥______; 如果AD ⊥BC,那么_______________, _____________。
2、（1）如图，在下列等腰三角形中，分别求出其它两角的度数。
（2）等腰三角形一个角为130°,它的另外两个角为 。
等腰三角形第1课时导学案
等腰三角形第1课时导学案一、新课导入1.导入课题：前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，同学们思考①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？那什么样的三角形是轴对称图形呢？那就是等腰三角形。
2.学习目标：（1）知道等腰三角形的性质。
（2）能运用等腰三角形的性质进行证明和计算3.学习重、难点：重点：学会等腰三角形的性质及应用。
难点：等腰三角形的性质的证明。
二、分层学习第一层次学习1.自学指导（1）自学内容：75页到P76页例1上面部分。
（2）自学时间：8分钟。
（3）自学方法：通过实践、观察、证明等腰三角形的性质。
（4）自学参考提纲：①除了剪纸的方法，你能作出一个等腰三角形吗？课本中剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？②把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，由此你能猜出等腰三角形有什么性质吗？说说你的猜想。
③性质1的条件和结论分别是什么？你能用数学符号表达条件和结论吗？请你证明这条性质。
④把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，受性质1的启发，你还能得出什么性质？能证明吗？2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：师助生：（1）明了学情：在小学阶段，学生就已经具备等腰三角形的表象知识，性质1、性质2理解起来并不难，但这些知识点放在一起理解时，学生还不具备整体分析问题的能力，所以性质2 的理解及证明是本层次的难点。
（2）差异指导：引导学生回忆我们以前证明角相等、线段相等的常用方法，让学生找出解决这一类问题的方法是什么。
生助生：分组讨论证明性质2，相互说说自己这样证明的理由。
4. 强化：（1）交流学习成果：小组展示学习成果，得出腰三角形的两条性质，及数学符号表示方法。
并能在老师的引导下证明这两条性质。
（2）总结：①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．第二层次学习1.自学指导（1）自学内容： P76页例1.（2）自学时间：3分钟。
八年级数学上册 17.1 等腰三角形课堂导学案 (新版)冀教版
17.1 等腰三角形知识点1 等腰三角形及其性质定理(重点)★有两边相等的三角形叫做等腰三角形．在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角，顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．★等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．★等腰三角形的性质定理：(1)等腰三角形的两个底角相等(简写为“等边对等角”)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”)．注意：等边对等角是证明同一个三角形中的两个角相等的重要依据．“三线合一”用途更广泛，可以证明线段相等、垂直以及角相等．等腰三角形“三线合一”的性质可分为如下三条：①等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边；②等腰三角形底边上的高线平分底边，并且平分顶角；③等腰三角形底边上的中线垂直于底边，并且平分顶角．例1 如图17–1–1所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AC、AB上，BD=BC，AD=DE=BE，求∠A的度数．图17–1–1分析：题目已知条件中，相等的边较多，且都是在同一个三角形中，为求“角”的度数，将“边相等”转化为有关的“角相等”，充分利用“等边对等角”这一性质，再联系三角形内角和为180°，求解此题．解：∵AD=DE，∴∠2=∠A．∵DE=BE，∴∠4=∠3．又∵∠2=∠4+∠3=2∠4，∴∠4=12∠2=12∠A．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+2∠C=180°．又∵BD=BC，∴∠1=∠C．又∵∠DBC+∠1+∠C=180°，∴∠DBC+2∠C=180°，∴∠A=∠DBC，∴∠C=∠ABC=∠4+∠DBC=12∠A+∠A=32∠A．∴∠A+32∠A+32∠A=180°，4∠A=180°，∠A=45°．点拨本题反复运用了“等边对等角”，将已知的边相等转化为有关角相等，并利用三角形内角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质解有关角的度数问题．例2 如图17–1–2所示，已知房屋的顶角∠B AC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，垂足为D，屋椽AB=AC，求∠B，∠C，∠B AD，∠C AD的度数．分析：本题主要利用等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合求解．解：∴AB=AC，∠B AC=100°，∴∠B=∠C=12(180°－∠B AC)=40°．又∵AD⊥BC，∴∠B AD=∠C AD=12∠B AC=50°．图17–1–2点拨此题解法不唯一，注意对等腰三角形“三线合一”性质的灵活运用．知识点2 等边三角形及其性质定理(重点)★三边都相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形是等腰三角形的一个特例．★等边三角形的性质定理：等边三角形的三个角相等，并且每一个角都等于60°．提示：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴，任一边的垂直平分线都是它的对称轴．例3 如图17–1–3所示，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD，AB=10 cm，求BE的长．分析：BE=BC+CE，只要求出BC与CE的长即可．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=10cm．又∵D是AC的中点，∴CD=12AC=5cm．又∵CD=CE，∴CE=5 cm，∴BE=BC+CE=10+5=15(cm)图17–1–3点拨等边三角形三边相等，且每个角都等于60°，结合等腰三角形的性质，从而建立边或角之间的等量关系．知识点3 等腰三角形的判定(重难点)判定等腰三角形常用的两种方法：(1)根据定义判定：有两边相等的三角形是等腰三角形；(2)根据判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．其中，两个相等的角所对的边相等(简称“等角对等边”)．注意：“等边对等角”与“等角对等边”是不同的两个结论，“等边对等角”是等腰三角形的性质，是由边相等证角相等；“等角对等边”是等腰三角形的判定，是由角相等证边相等．例4 如图17–1–4所示，F，C为线段BE上的两点，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E，QR∥BE．求证：△PQR是等腰三角形．分析：欲证PQ=PR，只需证∠Q=∠R，而从QR∥BE知∠Q=∠1，∠R=∠2，所以只需证∠1=∠2，为此只需证△ABC≌△DEF即可．证明：∵BF=CE，FC=CF，∴BF+FC=CE+CF，∴BC=EF．又∠B=∠E，AB=DE，∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴∠1=∠2．∵QR∥BE，∴∠Q=∠1，∠R=∠2(两直线平行，内错角相等)，∴∠Q=∠R，∴PQ=PR(等角对等边)，即△PQR是等腰三角形．图17–1–4点拨“等角对等边”是判定等腰三角形的常用方法，当直接说明两角相等有困难时，可寻求中间角进行过渡，如本例中的∠1和∠2．知识点4 等边三角形的判定(重点)判定等边三角形的方法有：(1)三边相等的三角形是等边三角形；(2)判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．总结：识别等边三角形可以从以下几个角度入手：(1)从边入手：有三条边相等的三角形是等边三角形；(2)从角入手：三个内角都相等的三角形是等边三角形，或有两个角等于60°的三角形是等边三角形；(3)从边及角入手：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；(4)从对称轴入手：有三条对称轴的三角形是等边三角形．例5 如图17–1–5所示，△ABC是等边三角形，且∠1=∠2=∠3，判断△DEF的形状，并简要说明理由．图17–1–5解：△DEF是等边三角形．理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠C AB=60°．∵∠1=∠2=∠3，∴∠DFE=∠3+∠FAC=∠1+∠FAC=∠C AB=60°．同理∠DEF=∠E DF=60°．∴△DEF是等边三角形点拨当已知条件为角的关系时优先考虑从角入手判断三角形的形状，此题应用“三个角都是60°的三角形为等边三角形”来判定是等边三角形．知识点5 作等腰三角形(难点)利用直尺和圆规根据等腰三角形的性质和已知条件可作出等腰三角形．例6 已知线段a、b，如图17–1–6所示，求作△ABC，使AB=AC，BC=a，且BC边上的高AD=h．图17–1–6分析：先画出草图，由草图知，等腰三角形的底边已确定，关键是再确定出顶点A．根据等腰三角形“三线合一”的性质，得顶点A在BC的垂直平分线上，且顶点A与BC的距离即是高h．解：作法：(1)作线段BC，使BC=a；(2)作线段BC的垂直平分线EF，交BC于点D；(3)在射线DE上截取DA=h；(4)连接A B、AC．△ABC就是所求作的等腰三角形，如图17–1–7所示．图17–1–7点拨解决本题的关键是确定等腰三角形的三个顶点，在作出线段BC=a后，关键是确定顶点A的位置．。