1.4.3正切函数的图像和性质
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正切函数的图像和性质最新版
学习过程
1、画出正切函数在一个周期
2
， 2
内的图象
y
0
x
2
2
§1.4.3 正切函数的性质和图象
1.正切函数 y tanx的性质：
y ytanx
定义域： {x|xk,kZ}
2
值域： R
周期性： 正切函数是周期函数，
周期是
2
奇偶性： 奇函数 tan(－x)=－tanx
§1.4.3 正切函数的图象和性质 （一）
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
tan y x0 的 终 边 不 在 y 轴 上
kx kz
2
2、利用周期函数的定义及诱导公式，推导正切函数 的最小正周期；
tan(x)tanx 是 ytanx的 周 期 ；
单调性： 在 (k,k) kZ
22 内是增函数
对称性： 对称中心是(k ,0), k Z
2
2
o 2
对称轴呢？
x 2
典型例题
例题1
解：
比较 tan ( 1 3 ) 与 tan ( 1 7 ) 的大小.
4
5
tan134tan4 tan175tan25
典型例题
例题2
讨论函数
y
tan
x
4
的性质；
1、定义域
x x|xR且 xk4， kZ
2、值域
y R
3、单调性
4、奇偶性
在 x k3 4 ,k 4 上 是 增 函 数 ；
f(x)tan(x)tan(x)f(x)
高二数学正切函数的图像和性质(教学课件201909)
§1.4.3 正切函数的性质和图象
1.正切函数 y tan x的性质：
y y tan x
Байду номын сангаас
定义域： {x | x k , k Z}
2
值域： R
周期性： 正切函数是周期函数，
周期是
2
奇偶性： 奇函数 tan(－x)=－tanx
单调性： 在 ( k , k ) k Z
§1.4.3 正切函数的图象和性质 （一）
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
tan y x 0 的终边不在y轴上
x
k
k
z
2
2、利用周期函数的定义及诱导公式，推导正切函数 的最小正周期；
tan( x) tan x 是y tan x的周期；
1、画出正切函数在一个周期
2
，
2
内的图象
y
0
x
2
2
; https:///book/80504.html 盛宠豪门佳妻 沈慕晚陆景霆 ; https:///book/18564.html 暖宠亿万新娘 苏向晚路丞勋 ; https:///book/45109.html 王婿归来杨瑞 杨瑞姜可人 ; https:///book/25738.html 惊世隐龙 程然白槿兮 ; https:///book/81228.html 秋风瑟瑟解我意 江瑟瑟靳封臣 ; https:///book/77451.html 温酒谢珩 ; https:///book/81744.html 我给女神当赘婿林阳苏颜 ; https:///book/109522.html 凤御九州 ; https:///book/74404.html 我的房分你一半
1.4.3 正切函数的性质与图象 课件
-
-
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
§
正切函数的性质
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
单调性
所以,函2数的3定义2域是x
x
2k
3
,
k
Z.3
由于f+x
2
kT＜
2
txan
32＜2x
Tk,k3Z,
tan
2
x
3
2
T
解得
ta2nk23x＜x＜3 2k
f (3x,)k,
Z .
2
T
即T
2
因此,函数的单调递增区间是:
2k
，2k 3
3
, k Z. 2
周期T
另解：周期T
正切函数的图像和性质 (精致版)
奇函数 偶函数
2 对称轴： x k , k Z
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z
2
探索一 你可以从一个新的角度来研究正 切函数的性质吗？
正弦函数 正切函数
定义+三角函数线
三角函数图象
课后练习
作业：
P45.2、3、4
课后思考
思考1：我们分别从什么角度讨论了正切函数 的性质？这两种讨论方法分别有什么特点？ 思考2：你能用同样的方法去讨论正、余弦 函数的性质吗？
想一想？ 得到y tan x最小正周期为__ ____
由y tan x最小正周期为
反馈练习：求下列函数的周期：
x (1) y 5 tan 2
2
(2) y tan(4 x ) 3
4
巩固练习 1、比较下列每组数的大小。
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
正切函数的对称中心
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
定义域： {x | x k, k Z} 2 值域： R 周期性： 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间 ( k , k ) ， k Z 内都是增函数。 2 2 kZ x k , (7)对称中心 (6)渐近线方程： 2
kπ ( ,0) 2
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
2 对称轴： x k , k Z
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z
2
探索一 你可以从一个新的角度来研究正 切函数的性质吗？
正弦函数 正切函数
定义+三角函数线
三角函数图象
课后练习
作业：
P45.2、3、4
课后思考
思考1：我们分别从什么角度讨论了正切函数 的性质？这两种讨论方法分别有什么特点？ 思考2：你能用同样的方法去讨论正、余弦 函数的性质吗？
想一想？ 得到y tan x最小正周期为__ ____
由y tan x最小正周期为
反馈练习：求下列函数的周期：
x (1) y 5 tan 2
2
(2) y tan(4 x ) 3
4
巩固练习 1、比较下列每组数的大小。
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
正切函数的对称中心
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
定义域： {x | x k, k Z} 2 值域： R 周期性： 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间 ( k , k ) ， k Z 内都是增函数。 2 2 kZ x k , (7)对称中心 (6)渐近线方程： 2
kπ ( ,0) 2
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
1[1].4.3正切函数的性质和图象
![1[1].4.3正切函数的性质和图象](https://img.taocdn.com/s3/m/86799fd15fbfc77da269b1ab.png)
x
奇偶性： 奇函数 tan(－x)=－tanx
单调性： 在 (
2 2 内是增函数 k 对称性： 对称中心是 ( , 0), k Z 2
k ,
k ) k Z
对称轴呢？
3、 求函数y=sin -3x 的单调递增区间。 4 2k 2k 7 k为整数 + , + 3 4 3 12
课堂练习
1.给出四个函数: (A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6)
(C)y=sin(x/2+π/6)
(D)y=tan(x+π/6)
则同时具有以下两个性质的函数是( ①最小正周期是π 称.
A
)
②图象关于点(π/6，0)对
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
2
对称轴： 对称中心：(
x k , k Z
2
k , 0) k Z
1.正切函数 y tan x 的性质：
定义域： {x | x 值域：
y
y tan x
2
k , k Z }
R
周期性： 正切函数是周期函数， 周期是
2 2Fra biblioteko 2
2
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
解：
y
(1) x (k ,
2
y tan x
k )
k Z
(2) x k
(3) x (
k Z
k , k ) k Z
2
2
1.4.3正切函数的图像与性质 课件(人教A版必修4)
3.已知是三角形的一个内角，且有tan 1,
则的取值范围是 ( c )
A.
3 4
,
B
.
0, 2
C.
0,
2
3 4
,
D.以上都不对
❖❖ 小小结结
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
与
tan(-
13π) 5
解: (1) 900 1670 1730 1800
y
tan
x在
2
，
上是增函数，
tan1670 tan1730
(2)
tan(11 ) tan
4
0 2
4
tan
5
t24a,,n又t2yan(tan153x在 )0，ta2n
2
5
是增函数
tan(141 ) tan(513 ).
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R
2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
(5) 对称性：对称中心：
无对称轴
(6)单调性：在每一个开区间
(-π+ 2
kπ,π+ 2
kπ)
，
k
Z
内都是增函数。
(7)渐近线方程： x k , k Z
2
正切函数的基本性质
kZ
(7)对称中心
( kπ,0) 2
❖ 问题探究
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
在每一个开区间
1.4.3 正切函数的性质与图象
1.4.3 正切函数的性质与图象知识点：掌握y=tanx 的图像和性质，能利用它解决问题 自主学习y=tanx 图像和性质（二）y=tanx 图像的对称中心为 有无对称轴（三）作tan y x =的图像x ∈ 时递增x ∈ 时递减例与练（一）正切函数定义域，值域 1.11tan y x =-的定义域为 ，2tan(2x )4y π=-的定义域为2.求tan ,,44y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的值域为 3.求2tan 2tan 3y x x =-+的最小值（二）正切函数单调性的应用1.大小比较 tan162° tan173°2.求13tan(x )24y π=+的单调区间解析式y=tanx图像定义域 值域 周期 奇偶性 单调性3.求不等式的解集 1） tan 3x > 2）3tan(2x )43π-<（三）正切函数周期，奇偶性 1.函数tan(2x )6y π=+的周期为2.函数tan y x =的图像关于（ ）对称 A.原点 B.y 轴 C.x 轴 D.直线y=x3.以2π为周期且为奇函数的是（ ） A y=tanx B tan 2xy = C y=cos4x D sin 2y x =(四)综合应用已知(x)tan(3x )f φ=+的对称中心为5(,0),0182ππφ--<<，求f(x)的定义域，值域，单调区间作业(x)2tan(x )(0)4f πωω=+>，y=f(x)的图像与直线y=2两个相邻交点的距离为2π（1）求ω （2）求f(x)的单调区间。
第一章 1.4 1.4.3正切函数的性质与图像
π π [正解] ∵在(0， )上，tanx>sinx，∴在(0， )上，y＝sinx 与 2 2 π y＝tanx 没有交点，同理在(－ ，0)上也没有交点，如图(2)所 2 示，由图易知选 D.
[答案] D
点击此图片进入 “训练全程跟综”
最小正周期为T＝ π
kπ 对称中心 ( 2 ，0)k∈Z
1．正切曲线具有哪些特征？
π 提示：正切曲线是被互相平行的直线 x＝kπ＋ (k∈Z) 2 所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对 称轴，只有对称中心．
2．正切曲线在整个定义域上都是增函数吗？
π π 提示： 不是． 正切曲线在每一个开区间(kπ－ ， kπ＋ )(k 2 2 ∈Z)上是增函数．但在整个定义域上不是增函数．
π x x π 解：y＝3tan( － )＝－3tan( － )， 6 4 4 6 π ∴周期 T＝ ＝4π， |ω| π x π π 又使 kπ－ ＜ － ＜kπ＋ ，k∈Z， 2 4 6 2 得 4kπ－ 4π 8π ＜x＜4kπ＋ ，k∈Z， 3 3
π x ∴y＝3tan( － )的周期为 4π， 6 4 4π 8π 单调递减区间为(4kπ－ ，4kπ＋ )(k∈Z)． 3 3
探究点一
正切函数的定义域问题
求正切函数的定义域时，要首先考虑正切函数本 身的定义域，然后根据函数的特点确定出满足条件的 三角不等式或不等式组．
求函数 y＝ tanx＋1＋lg(1－tanx)的定义域．
[提示]
列出使每个式子有意义的不等式组，然后解
不等式组．
[解]
tanx＋1≥0 Hale Waihona Puke 由题意得 1－tanx>0
探究点二
正切函数的周期性
1.4.3正切函数的图像与性质
x π [思路探索] 将2－3看作一个整体，结合正切函数的性质和图象 进行求解．
新知探究
题型探究
感悟提升
5π x π π 解 (1)由2－3≠2＋kπ(k∈Z)得 x≠ 3 ＋2kπ，
5π ∴f(x)的定义域是xx≠ 3 ＋2kπ，k∈Z .
1 π π ∵ω＝2，∴周期 T＝ω＝1＝2π. 2 π π 5π x π π 由－2＋kπ<2－3<2＋kπ(k∈Z)得－3＋2kπ<x< 3 ＋2kπ(k∈Z)． ∴函数
解 由 y＝|tan x|得， π tan x，kπ≤x<kπ＋2k∈Z， y＝ －tan x，－π＋kπ<x<kπk∈Z. 2 其图象如图．
新知探究
题型探究
感悟提升
由图象可知，函数 y＝|tan x|是偶函数，
π 单调递增区间为kπ，2＋kπ(k∈Z)， π 单调递减区间为－2＋kπ，kπ(k∈Z)，
新知探究
题型探究
感悟提升
π 6 π (2)tan5π＝tan π＋5 ＝tan5， 13 π 13 tan－ 7 π＝－tan 7 π＝－tan2π－7 π π ＝－tan －7 ＝tan7，
π π π π ∵－2<7<5<2， y＝tan x
外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
新知探究
题型探究
感悟提升
【活学活用 1】 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域．
解
tan x＋1≥0， 由题意得 1－tan x>0，
即－1≤tan x<1. x
π π 的取值范围是－4，4.又
新知探究
题型探究
感悟提升
5π x π π 解 (1)由2－3≠2＋kπ(k∈Z)得 x≠ 3 ＋2kπ，
5π ∴f(x)的定义域是xx≠ 3 ＋2kπ，k∈Z .
1 π π ∵ω＝2，∴周期 T＝ω＝1＝2π. 2 π π 5π x π π 由－2＋kπ<2－3<2＋kπ(k∈Z)得－3＋2kπ<x< 3 ＋2kπ(k∈Z)． ∴函数
解 由 y＝|tan x|得， π tan x，kπ≤x<kπ＋2k∈Z， y＝ －tan x，－π＋kπ<x<kπk∈Z. 2 其图象如图．
新知探究
题型探究
感悟提升
由图象可知，函数 y＝|tan x|是偶函数，
π 单调递增区间为kπ，2＋kπ(k∈Z)， π 单调递减区间为－2＋kπ，kπ(k∈Z)，
新知探究
题型探究
感悟提升
π 6 π (2)tan5π＝tan π＋5 ＝tan5， 13 π 13 tan－ 7 π＝－tan 7 π＝－tan2π－7 π π ＝－tan －7 ＝tan7，
π π π π ∵－2<7<5<2， y＝tan x
外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
新知探究
题型探究
感悟提升
【活学活用 1】 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域．
解
tan x＋1≥0， 由题意得 1－tan x>0，
即－1≤tan x<1. x
π π 的取值范围是－4，4.又
1.4.3正切函数的图像和性质
单调性及值域
渐近 线
正切曲线是被相互平行的直线 x
2
k , k Z
kZ
所隔开的无穷多支曲线组成的
单调递增区间： k , k 2 2
值域：R
思考：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？
tan1670 tan1730
y tan x在 ， 上是增函数， 2
167 173 180
0
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
0
11 13 tan( ) tan( ). 4 5
比较大小：
(1) tan138
2 T 2
T
（ 结论：f ( x ) A tan x ） （A 0， 0)的周期 T
正切函数的基本性质
奇偶性
f ( x ) sin x , x R 为奇函数 f ( x ) cos x , x R 为偶函数
f ( x) tan x，x k ，k Z 2
定义域
y tan x
终边不能落在y轴上
定义域： { x | x
2
k , k Z}
例1
求函数
y tan x 的定义域。 3 2
解：函数y tan x 的自变量应该满足 3 2 x k , k 2 3 2 1 函数的定义域为 x x 2k , k . 3
三角函数
1.4.3正切函数的性质与图象
复习回顾
1.如下图，利用三角函数线表示出角α 的正弦、 余弦、正切值？
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y
3
2
2
o
3
x 2
tan(x) tan(x)
正切函数是奇函数，正切曲线关
于原点0对称
正切函数在开区间 k , k ,k Z
内都是增函数。 2
2
x
|
x
2
k
,k
Z
全体实数 R
tan(x ) tan(x)
正切函数是周期函
数，T=
1．观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围： （1）tan x＞0； （2）tan x=0； （3）tan x＜0．
2．求函数y=tan 3x的定义域．
3．求下列函数的周期：
(1) y tan 2x, x k (k Z) (2) y 5 tan x , x (2k 1) (k Z ).
24
(2) y 3 tan( x )
24
3
3
2
2
2
之后，云展演展出了表演系、服装系、动画系、音乐系、传媒系、环设系、产品系、视传系八大系的优秀作品，道理很简单，低端留学需求(针对非顶级学府、非热门国家的留学服务)在本质上是个伪需 求，它吃的是信息不对称的红利，众所周知,讲授型课堂是目前高校常见的一种传统教学模式，，绑定成功后，软件默认是开机自启动的，未来，NCT等级考试也将坚持执行更高标准的要求， 持续打造国内专业性和规范程度最高的青少年编程测评平台，法国里昂商学院全球工商管理博士项目(中英双语)我们共同的愿景升华实践之思想深度探索东西方管理前沿贡献亚洲工商业智慧打造学者型 产业领袖培养学者型产业领袖科技发展日新月异,全球时局变化莫测,在这个充满不确定的时代,法国里昂商学院全球工商管理博士项目深耕学术教育,旨在为商业领袖们量身定制面对当下挑战的新方法、新 思路,并肩前行,探索商业世界新奥秘,获取商战管理智慧,踏上人生另一高峰
42
2
4．（1）正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？ （2）正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
5．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) tan138与 tan143; 6. 求下列函数的单调区间：
(2)
tan( 13 )与tan(17 ).
4
5
(1) y 3tan(1 x );