利用数形结合思想解决不等式问题
数形结合思想在函数方程与不等式中的简单应用(一)
± 2
.
x
小
结
本节讲了方程、函数、不等式中 的数形结合问题，在解题时既要由 数想形，又要以形助数。常见的 “以形助数”的方法有：
（1）借助于数轴，运用数轴的有关概念， 解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、 并、补、运算等问题是非常有效的。
（2）借助于函数图象，利用函数图象 分析问题和解决问题是数形结合的基本 方法。
例1、设函数f(x)是函数y=1-x与函数 y = x+1 中的较 小者，则函数f(x)的最大值为 。
分析： y = x + 1即y2 = x + 1( y ? 0), 其 图象为抛物线的一部分，y=1-x表示一条直 y = x+ 1 线，在同一坐标系中作出y=1-x与 图象可知f(x)的图象应为图中实线部分。故
华罗庚先生曾指出：
数缺形时少直觉， 形少数时难入微。 数形结合百般好， 隔裂分家万事非。
作业：
1.求函数 y = | log |x- 1| | 2 区间 2.已知关于x的方程 x
x
2
的单调递增
- 4| x |+ 5= m
的根的个数
有4个不相等的实根，则实数m的取值范围 3. 求方程
lg = sin x
为_________。
2 2 ( x ， y ) | x + y = 9， 0 < y ? 3} 集合M可化为 { 分析：
表示以(0,0)为圆心,以3为半径 的圆在x轴上方的部分。 集合N则表示一组平行直线,如图, 欲使 M∩N≠φ 即,直线与半 圆有公共点,则直线向上平移与圆 相切向下平移过点(3,0) 易知 -3<b≤ 3 2
y
5 2
3 4
如图
不等式恒成立问题——数形结合法
不等式恒成立问题——数形结合法一、基础知识：1、函数的不等关系与图像特征：（1）若x D ∀∈，均有()()()f x g x f x <⇔的图像始终在()g x 的下方； （2）若x D ∀∈，均有()()()f x g x f x >⇔的图像始终在()g x 的上方。
2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数；3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等；4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）；5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备；6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点： （1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图； （2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义； （3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征。
二、典型例题：例1：已知不等式()21log a x x -<在()1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是_________。
思路：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出()21y x =-的图像，观察图像可 得：若要使不等式成立，则log a y x =的图像应在()21y x =-的上方，所以应为单增的对数函数，即1a >，另一方面，观察图像可得：若要保证在()1,2x ∈时不等式成立，只需保证在2x =时，()21log a x x -<即可，代入2x =可得：1log 22a a ≤⇒≤，综上可得：12a <≤答案：12a <≤小炼有话说：（1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围。
（2）学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的2x =） （3）处理好边界值是否能够取到的问题例2：若不等式log sin 2(0,1)a x x a a >>≠对于任意的0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________。
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学
数形结合思想是数学教学中的一种教学方法，它通过将数学概念与图形进行结合，使
学生能够通过对图形的观察、分析和推理，深入理解数学概念，提高数学思维能力和解决
问题的能力。
在初中一元一次不等式求解的教学中，数形结合思想也可以发挥重要作用。
可以通过绘制数值的线段图或数轴图来将不等式问题可视化。
对于不等式x-2>3，可
以在数轴上找出满足条件的x的取值范围，并用阴影区域表示。
这样，学生可以通过观察
图形直观地理解不等式的含义，提高对不等式问题的认识和理解。
可以通过绘制几何图形来解决一元一次不等式问题。
对于求解不等式2x+3<9，可以将不等式化为2x<6，然后绘制2x=6的直线和y=9的直线，通过观察两者的交点来确定x的取值范围。
这样，学生可以通过几何图形的观察和推理，解决不等式问题，提高解决问题的
能力和思维能力。
数形结合思想还可以通过实际问题的分析和图形的绘制来提高学生的解决问题的能力。
通过绘制不等式2x+3>0的线段图，可以找出满足条件的x的取值范围，并根据实际问题的要求确定具体的解。
这样，学生不仅可以将数学知识应用到实际问题中，还可以通过图形
的分析和推理解决问题，提高解决问题的能力和思维能力。
数形结合思想在解题中的应用
数形结合思想在解题中的应用2012年秋季学期，广西将进入高中新课程改革，新课程理念逐渐深入人心；学习新理念，转变旧观念正成为高中教师重要的课题.数学课程改革的重心是发展学生的广泛的数学能力，注重数学思想、方法的教学渗透,培养学生形成良好的数学素质.数形结合是高中数学中重要的思想方法，通过数形结合可沟通数与形的内在联系，把代数语言的精确刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能使高中数学中许多复杂问题迎刃而解，收到事半功倍的效果.【例1】解不等式x+2＞x.解法一：原不等式可化为x≥0x+2≥0x+2≥x2或x＜0x+2≥0，解得0≤x＜2或-2≤x＜0，∴原不等式的解集为{x|-2≤x＜2}.解法二：设y1=x+2,y2=x,在同一坐标系中作出这两个函数的图象（如图1），则不等式x+2＞x的解就是y1=x+2的图象在y2=x的上方的那一段对应的横坐标，即不等式的解集为{x|xa≤x＜xb}，其中xa=-2，解方程x+2=x得xb=2.∴原不等式的解集为{x|-2≤x＜2}.评析：比较上述两种解法，可以看到用图形直观地反映数量关系，解决问题简洁明了.【例2】设f(x)=x2-2ax+2-a，当x∈［-1,+∞］时，f(x)＞a恒成立，求实数a的取值范围.解法一：f(x)＞a在x∈［-1,+∞)上恒成立等价于x2-2ax+2-a ＞0在x∈［-1,+∞)上恒成立.设函数g(x)=x2-2ax+2-a，其图象在x∈［-1,+∞)时位于x轴上方有两种情况（如图2、图3所示）.(1)δ=4a2-4(2-a)＜0,解得-2＜a＜1；(2)δ=4a2-(2-a）≥0a＜-1g(-1)=a+3＞0，解得-3＜a≤-2.故实数a的取值范围是(-3,1).解法二：由f(x)＞a得x2+2＞a(2x+1)，设h(x)=x2+2，t(x)=a(2x+1),在同一坐标系中这两个函数的图象如图4所示，直线l1与抛物线相切，的对应值为1，直线l2经过点(- 12,0) 和点（-1，3），a的对应值为-3，符合题意的直线t(x)=a(2x+1)恒过点(-12,0)且位于l1与l2之间，故实数a的取值范围是(-3,1).图5【例3】已知：椭圆x29+y24=1 与抛物线y=x2+m有四个不同的交点，求实数m的取值范围.错解：在同一坐标系中作出椭圆和抛物线的图象（如图5），根据图象可得：m＜-2-m＜3，解得-9＜m＜-2.评析：图形的直观性给解决问题提供了很大的帮助，但离开了严格的数学推理，往往受图形直观错觉的影响得出错误的结论.图6正解：联立椭圆和抛物线的方程，得x29+y24 =1y=x2+m ，消去y,整理得9x4+(18m+4)x2+9m2-36=0，令t=x2,得9t2+(18m+4)t+9m2-36=0.设f(t)=9t2+(18m+4)t+9m2-36，根据题意知方程f(t)=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根（如图6），即得δ=(18m+4)2-36(9m2-36)＞0，-18m+418 ＞0，f(0)=9m2-36＞0解得-829＜m＜-2 .评析：这是一个关于图形交点的问题，求解过程却是从分析方程的根的情况入手，而在讨论方程f(t)=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根时，又需要利用二次函数的图象特征，这样数和形的密切结合、相互补充，使问题得到了圆满的解决.(责任编辑黄春香）。
数形结合的思想解一元不等式
实数 ｍ、 ｉ １ 满足 ｆ （ ｍ ） ＞ ｎ ） 足， 则 ｍ、 ｎ的大小关系为 。 ５ ． 课堂 小 结 （ 以提 问 形式 让 学 生 总结 ） 提问 ： 本 课 我们 主 要 学 习 了哪 些 内 容 ？你 有 什 么 收获 ？
问题 １ ： 某 种 细 胞 分裂 时 ， 由 一个 分 裂 成 ２个 ， ２个 分 裂 成 ４个 ， …… ， 这样 的细 胞 分 裂 ｘ次 后 ， 细 胞 个 数 ｙ与 ｘ的 函数 关 系式为 ： ｙ ＝ ２ ｘ （ ｘ ∈Ｎ ） 问题 ２ ： 一根 １ 米 长的绳子 ， 第一次 剪掉绳子 的一半 ， 第 二 次 剪 掉 剩 余 绳 子 的一 半 … 剪 了 ｘ次 后 剩 余 绳 子 的 长 度 为
教学 ・ 信 息
２ ． 新课 引入 观看 解 答 下 面两 个 问 题 ：
课程教育 研究
Ｃ ｏ ｕ ｒ ｓ ｅ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ
ａ ＞ ｌ
２ ０ １ ３ 年 ３ 月 下旬 － ｒ ， Ｊ
Ｏ ＜ ａ ＜ ｌ
（ ３ ） 研 究 函 数 的一 般 思 路是 什么 ？
特征？ 答： 函数 解 析 式都 是 指 数 形 式 ． 底 数 为 定 值 且 自变 量在 指 数位置。 （ 若 用 ａ代换 两 个 式 子 中 的 底数 。 并 将 自变 量 的取 值 范 围 扩 展 到 实 数集 则 得 到 … … ） 师 板 书课 题 ： 指数 函数 （ 一） ３ ． 探 索新 知 （ 一＞ 指 数 函数 的定 义 般地 ， 函数 ｙ ＝ ａ ｘ （ ａ ＞ Ｏ ， 且ａ ≠１ ） ｎ ｑ 做 指 数 函数 ， 其中 ｘ 是 自变 量 。 提 问： 在 本 定 义 中 要注 意 哪 些 要 点 ？ 追 问： 为什 么 规 定 定义 中 ａ ＞ ｌ且 ａ ≠１ ７ 方法： 学 生 讨 论后 回答 ， 师讲解 。 再 多 媒 体 投影 以下 内容 ： 将 ａ 如数 轴所示分为 ： ａ ＜ Ｏ ， ａ ＝ Ｏ ， Ｏ ＜ ａ ＜ ｌ ， ａ ＝ ｌ和 ａ ＞ ｌ 五 部 分 进 行
从数形结合角度解绝对值不等式
从数形结合角度解绝对值不等式文︳吴远觉绝对值不等式的常见解法有定义法、平方法、零点分区法，要点在于去掉绝对值。
如果运用绝对值的几何意义，或者运用绝对值函数图像，从数形结合角度来解绝对值不等式，则显得直观、简便。
下面笔者结合实例加以说明。
例1（2017年全国卷Ⅲ）已知函数f（x）= |x+1|-|x-2|，求不等式f（x）≥1的解集。
解析：|x+1|-|x-2|表示x与-1的距离和x与2的距离之差，f（x）≥1表示这个差不小于1。
结合数轴可知，x需位于1或者1的右边（如图1），故不等式的解集为{x|x≥1}。
图1当然也可以通过零点分区讨论求解，还可以作出函数f（x）与y=1的图像，从图像上发现f（x）的解是{x|x≥1}。
例2（2009年辽宁卷）设函数f（x）=|x-1|+|x-a|。
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；（2）如果xf（x）≥2恒成立，求a的取值范围。
解析：（1）a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|表示x到-1的距离和到1的距离之和。
如图2，当x位于-1和1中间时，f（x）=2＜3，显然不成立，故x需位于-1左侧或者1的右侧。
由线段长可知，x∈（-∞，-1.5］∪［1.5，+∞）。
图2（2）xf（x）≥2恒成立表示f（x）的最小值大于等于2。
而f（x）最小时x位于1和a的中间，故a应该在1的左边或者右边最少相距2的位置，故a∈（-∞，-1］∪［3，+∞）。
本题常规做法需要对a与1进行比较，分三种情况讨论，显得繁琐。
数形结合让题目变得简单直观，方便快捷。
例3设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）>f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”。
已知f（x）是定义在上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为上的“2015型增函数”，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，20154） B.（20154，+∞）C.（-∞，20156） D.（20156，+∞）解析：本题的常规方法是由奇函数的性质可得f（x）的解析式：f（x）=|x-a|-2a，x＞0，0，x=0，-|x-a|+2a，x＜0。
浅谈数形结合的思想方法在列不等式解实际问题中的数学构想(教学实践类)
ｔ 、
解得 ： ｘ ≤３ ０ ．
ｊ
答： 她 家每 月 用气 最 多 ３ ０ ｍ 。
ｊ
５ ． 车费 问题 ： 某市 出租 车 的 收费 标 准 ： 起 步价 ３元 （ 即行 驶距 离 不 超过 ３千 象这样 ， 用一条线段 Ａ Ｂ来 表 示 总 费 用 ． 它包含两部分 ， 即线 ， 超过 ３ 千米 ， 每增 加 １ 千米 ， 加收 １ ． ２元 （ 不 足 段 Ａ Ｃ （ 月租费） 和 线段 Ｃ Ｂ （ 通话费） 。 很 直 观 又形 象 ， 学 生 理解 起 来 米都 需 付 ３元 车 费 ） １千米 按 １千米计 ） ， 某 人 乘 出 租 车 从 甲 地 到 乙 地 ， 共 支 付 车 费 ２ １ 很 容 易懂 ， 教 学效 果 也好 。 元． 问此 人 从 甲地 到 乙地 经过 的路 程最 远 是 多少 千米 ？ 解： 高小 明 家平 均 每 月通 话次 数 为 ｘ次 分析 ： 则有 ： ２ ２ ． ８ ８ ＋ ０ ． １ ８ ｘ ＞ ２ ８ 总路 程 ｘ ｋ ｍ
浅 谈 数 形 结 合 的 思 想 方 法 在 列 不 等 式 解 实 际
问题 中的数 学构 想 （ 教 学实 践 类 ）
罗 庆 莲 （ 重 庆市 渝 高 中学 重 庆
４ ０１ ５ ５ ４）
中图分类号 ： Ｇ６ ３
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ５ ８ １ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ － ０ １ ３ ８ － ０ ２
１ Ａ
解得 ： ｘ ＞ ２ ８
・ ．
收费 ３元
３ ｋ ｍ
非 负数 整 数 Ｘ 最小为 ２ ９ 答： 小 明家 平 均每 月 通话 至 少 ２ ９次 ２ ． 水 费 用 问题 ： 某市 自来水 公 司按 如 下标 准 收取 水 费 ．若 每 户 每月 用 水 不超 过５ ｍ３ ． 则 每立 方 米 收 费 １ ． ５元 ： 若 每 户 每 月 用水 超 过 ５ ｍ ３ ， 则超出 部分每立方米收费 ２ 元 ． 小 童家 某 月 的水 费 不 少 于 １ ０元 ． 那 么她 家这 个 月 的用 水 量至 少是 多 ｍ３ ７
利用数形的直观性求解不等式问题——谈数形结合思想的应用
容 时 分 子 总 数 不 变 的 可 逆 反 应 的 等 效 平 衡 换 算 ） 而 。 １ ｍｏＣ 换 算 到 反 应 物 后 ． 与 Ｂ 的 物 质 的 量 之 比 为 ２１与 ． ｌ ４ Ａ ：．
起 始 量 的投 料 比 相 同 ， ｘ ３ 立 。 故 选 Ｂ 故 ＝ 成 Ｃ。
（） 定 平 衡 的 移 动 方 向 ３确
形 结合 的 局 限性 。
在联系 ， 恰 的 变 量 转 化 ， 之 化 难 为 易 ， 繁 为 简 ， 就 是 使 化 这 数 形 结 合 的解 题 ‘ 。 本 文 主 要 足 介 数 形 结 合 这 一 思 想 法 法 及 其 在 不 等式 巾 的 应 用 。 １ 数 形结合解 不等式 ， 法更形 象 ， 观 ， 洁 明快 。 ． 用 解 直 简
Ｘ （ ２一 ，２（， ＋ Ｉ ａ ）１ｘ ａ ） Ｉ ＝ ／ ＝ ２
解题 思路发 难时 ． 不妨从数形结 合的角度 去探索 ： 在斛 题 过 巾繁 杂 的 运 算 常 使 人 望 生 畏 时 ，不 妨 从 数 形 结 合
观 点 去 开 辟 新 路 。这样 ， 常 会 收 到 事 半 功 倍 的效 。把 数 常 量 关 系 的 准 确 刻 划 Ｌ几 何 罔 形 的 直 观 揣 述 ／ 机 的 结 合 起 ｊ Ｆ 『 来 ， ｆ 分 揭 示 问题 的 条 什 条 什 、 什 Ｌ结 论 之 问 的 内 从 充 条 ｊ
『 象 ｒｊ ： ｌ Ｉ ｑ ｊＪ ’
Ｏ６ １４ ２ ｘ ２ ． ．＋ ．Ｘ ／ ＝
０３ １４ １ｘ ， Ｘ ２ ． ．ｘ ／ ＝１ 得 ｚ ＋
若 反 应 前后 气体 体 积 不 变 （ ｘ ３ ， 效 平 衡 只 需要 两 即 ＝ ）等
种 投 料 方 式 换 算 到 同一 边后 各 组 分 比 例 相 同 即 可 （ 温恒 恒
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解： 由线性 规划 可知不 等式组 ②确定 的区域 是 ｏ ， 不 等式组 ①
确 定 的区域是 ｂ ，
一 ｌ ２Ｉ ， 由图像６可知 ｓ （ ） ＞ ｒ （ ） ≥ｏ 恒成立．
事实 上 ， 当 ≤ ２时 ， ５ （ ）一ｒ （ ）＝２［ （ 一１ ） 。 ＋１ 】一
显然 ， 命题 Ｐ成立是 命题 ｑ 成立 的充 分不必 要条 件．
一
的各个章 节都 有 着千 丝 万 缕 的联 系 。不 等式 是 解决 数 学 问 题 的 个强有 力 的工具 ， 集合 问题 、 方程 （ 组） 的解 的讨 论 、 函数 单调 性
注 ： 此 题 有 一 错 误 解 口 由 ： 解 得 寻 ３ ③
的研 究 、 函数 定义 域的确 定 、 各 种 类型 的最 大值 、 最小 值 问题 无 一 且 ｏ ≤） ， ≤ ＠ ， 再 由③ × ４＋ ④ ×（ 一 ２ ） 得３ ≤４ 一 ２ ｙ ＜１ ￣ ２ ． 事实 不与不 等式有 着 密 切 的联 系。也 正 是这 个 原 因使 得 不 等式 问 题 满足限制条件③和④的点（ ， Ｙ ） 构成 图５区域 ６ ， 显然区域 ６ 的求解 方法灵 活 多 样 ， 除 了应 用 不 等 式本 身 的性 质 进 行 等 价 转 上， ， 所 以扩大 了限制条件 的范 围而导 致出错 。 化、 分 类讨论 以外 ， 还 可 以 运用 数 形 结合 的思想 赋 予 不 等式 相 应 大 于区域 ｏ ｙ Ｊ 的几 何特 征 ， 借助 于图 形 的性 质 ， 可 以使 抽 象 的数 量 关 系变 得 直
ｙ Ｊ
观而 形象 ， 常常有 事 半 功倍 的效 果 ， 下 面就 以 几个 简 单 的例 子 作 为说 明 。
一
、
解 不等式
Ｉ
０
？
＼
图４
３ ２
６ ＜ ÷＜ 。 ， 其 中 。 ＞ ０ ， ６ ＞ ０ ． 解 ： 画 出 函 数 ， ， ＝ ÷ 的 图 像 ， 容 易
语数外学 习
Ｎｏ ． １ １ ． ２ ０ １ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕ Ｗａ ｉ Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ
数 形 结 合 思想 解 决不 等式 问题 ★ 穗数 外学 司
李 伟 大庆 １ ６ ３ ３ １ ６ ） （ 大庆 实验 中学， 黑龙 江
—
， （ ） ＝ １
ｌ
Ｉ
１
一
＾ （
上
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百
“ —
一
｛
图５
知 道
一６
，
三、 证Ｉ ｉ ｝ Ｉ 不 等 式
即得 不等 式 的解
ｌ
图 １
典型 示 例 ４ ： 已 知 函 数 ，（ ）＝
而
÷， 丁， ∈ Ｒ ， 证 让 明 当 壹 ≠ ２ ， 时，
＋
＼ ） ≠ （ （ ｛ Ｉ Ｉ
ｆ
ｌ
数
集 为 ｛ Ｉ １ ， 或 一 Ｉ ）
Ｏ 二、 确定 不等式 表示 的平面 区域
） ｌ 一 ． ２ ） Ｉ ＜Ｉ 一 ２１ ．
学 教
古
—
解： 要证 明 Ｉ ） 一 ２ ） Ｉ ＜Ｉ 一 ２ Ｉ ，
四、 求不等式 中 的参 变量
、 ． ＼Ｊ
图２
、．
图３
典型 示例 ５ ； 已 知关 于 的不 等式
一 ＞一 的解 集 为
｛ １ ０＜ ＜ ２ ） ， 求 Ⅱ的值．
解： 由于 以 一 ＞ 的解集是 （ ｌ ０＜ ＜ ２ ） ， 故 方 程
典型示例 ３ ： 已知 １ ≤ — ｙ ≤２ ①且 ２ ≤ ， ， ≤４ ②， 求 一 ２ ） ，
摘 要： 运 用数 形 结合 思 想解决 有关 不等式 的 问题 ， 是 把代数 式的精 确刻 划与 几何 图形 的直观 描述 相 结合 ， 将 数 量关 系和 空间形 式 巧妙转 化 ， 可以使许 多抽 象概 念和 关 系直观 而形 象 ， 有利 于解 题途 径的探 求 ， 使 问题得 到解 决。运用 这一数 学思 想 ， 要 熟练 掌握 相关 概 念和运 算的 几何意 义及 常 见曲 线的代数特征 。本 文结合 具体 示例展 示 了数形 结合 思想在 不等式 问题 解 决过程 中的 多种 应 用。 关键 词 ： 解不等 式 ； 平面 区域 ； 证 明不等 式 ； 参 变量 中图分类 号 ： Ｇ ６ ３ ３ 文献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ０ ０ ５ — ６ ３ ５ １ （ ２ ０ １ ３ 】 一１ １ — ０ ０ ５ ４— ０ ２ 不 等式 的知识渗 透在 数学 中 的各个 分支 ， 可 以说 与 高 中数学 得 最小值 ５ ， 当直线 ４ ｘ 一 ２ ｙ ＝ 经 过 Ｂ点 时 ｋ 取得 最大值 １ ０ ．
的取值 范 围．
＝ 嬲的两根为０ 和２ ， 即函数Ｙ ＝、 码
函数Ｙ ＝
交 点 的横 坐标分 别为 ０和 ２ ． 在 同一 直 角 坐标 系 中画 出 函数 Ｙ＝
解： 由线性 规划 知识 可知 满 足 限制条 件 ① 和② 的点 （ ， Ｙ ） 构 成 图 ４区域 。 ， 设４ ｘ － ２ ｙ ＝ ， 则 当直线 ４ 一 ２ ｙ ＝ 经 过 Ａ点时 取
０
＼／
ｌ ２ Ｙ ＿
只需证 ｌ 鲁 一 ｌ ＜ｌ 典 型 示 仍 Ｊ ２ ． ｐ ： ① 成 立 ｛ ２ ② 成 立 的
—
图６
目
条件 ？ 在 同一 坐标 系中画 出 函数 ｓ （ ）＝ ２ ［ （ 一１ ） ＋ １ 】 和ｒ （ ）＝
＿ ｔ ， 一 ≠ ２ ＼
＼
＼ ‘ ） ＝ ÷
．
［ 一 （ 一 ２ ） ］ ＝ ２ （ 一 — ） ＋ — ｝＞ ０ ， 当 Ｉ ＞ ２ 时， ｓ （ ） 一 ｒ （ ） ＝ ２
） ＝ 一 ＋ ２ ＼
— 一
［ （ ｘ － １ ） ＋ １ ］ 一 （ ｘ － ２ ） ＝ ２ （ ｘ － ÷ ） ＋ 孚＞ ０ ． 故 得 证 ．