(完整版)三角函数定义练习题集
三角函数的定义练习题
一、选择题
1．已知a 是第二象限角,5sin ,cos 13
a a =
=则（ ） A ．1213 B ．513- C ．513 D ．-1213 2．已知角的终边上一点（），且，则的值是( )
A. B. C.
D.
3．已知点P(sin ，cos )落在角θ的终边上，且θ∈［0，2π),则θ值为( )
A. B. C.
D.
4．把表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A. B. C.
D.
5．若α是第四象限角，则π－α是( )
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
6．cos （）－sin()的值是( )．
A. B ．－ C ．0 D.
7．4tan 3cos 2sin 的值（ ）
A ．小于0
B ．大于0
C ．等于0
D ．不存在
8．已知3α=-，则角α的终边所在的象限是()
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9．设角θ的终边经过点(3,4)P -，那么sin 2cos θθ+=（ ）
A ．15
B ．1
5- C ．2
5- D ．2
5
10．若0sin <α，且0tan >α，则α是（ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
11．若cos α=-
,且角α的终边经过点P(x,2),则P 点的横坐标x 是( ) (A)2
(B)±2 (C)-2 (D)-2
12．若α是第四象限角，5tan 12
α=-
，则sin α= (A)15. (B)15-. (C)513. (D)513-.
二、填空题
13．若点(),27a 在函数3x y =的图象上，则tan a π
的值为 .
14．已知角α(0≤α≤2π)的终边过点P 22sin ,cos 33ππ?
? ???
，则α＝__________． 15．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒尖位置P （x ，y ），其初始位置为P 0（1，3），当秒针从P 0（注此时t=0）正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为 ．
16．已知点P(tan α，cos α)在第二象限，则角α的终边在第________象限．
三、解答题
17．已知任意角α的终边经过点(3,)P m -,且,5
3cos -=α
(1)求m 的值．(2)求sin α与tan α的值．
18．如果点P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限；
第13题
x，求sinα和tanα. 19．已知角α的终边经过点P(x，－2)，且cosα＝
3
y，求cosα和tanα的值．20．已知角α终边上一点P(y)，且sinα＝
4
参考答案
1．D
试题分析：∵a 是第二象限角，∴2cos 1sin a a =--=1213
-，故选D ． 考点：同角三角函数基本关系．
2．B 【解析】由三角函数定义知，，当时，； 当时，，故选B
3．C 【解析】由sin
>0,cos ＜0知角θ在第四象限， ∵，选C.
4．A
【解析】∵
∴
与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A. 5．C
【解析】∵α是第四象限角．∴2k π－
<α<2k π(k ∈Z)， ∴－2k π<－α<－2k π＋.∴－2k π＋π<π－α<－2k π＋. ∴π－α是第三象限角，选C.
6．A cos()＝cos ＝cos ()＝cos ＝，sin()＝－sin ＝－sin
()＝－sin ＝－.∴cos （）－sin()＝＋＝.
7．A 试题分析：因为32,3,4222
π
π
ππππ<<<<<<，所以
sin 20,cos30,tan 40><>，从而sin 2cos3tan 40<，选A.
考点：任意角的三角函数.
8．C
试题分析：因为1≈57.3°，故3α=-≈-171.9°，所以α在第三象限.
考点：象限角、轴线角．
9．C 试题分析：根据三角函数的定义：sin ,cos y x r r
θθ=
=（其中22r x y =+），由角θ的终边经过点(3,4)P -，可得22(3)45r =-+=，43sin ,cos 55
θθ==-，所以432sin 2cos 2555θθ+=-?=-，选C. 考点：任意角的三角函数.
10．C
试题分析：根据各个象限的三角函数符号:一全二正三切四余，可知α是第三象限角. 考点：三角函数符号的判定.
11．D
【解析】由cos α=-<0,又点(x,2)在α的终边上,故角α为第二象限角,故x<0.
∴r=,∴=-,
∴4x 2=3x 2+12,∴x 2=12,∴x=-2
或x=2(舍). 12．选D
【解析】根据22sin 5tan ,sin cos 1cos 12ααααα=
=-∴+=,5sin 13
α∴=-. 133. 试题分析：由题意知327a =，解得3a =，所以tan tan 33a π
π
==.
考点：1.幂函数；2.三角函数求值
14．116
π 【解析】将点P 的坐标化简得31,2??-
? ???，它是第四象限的点，r ＝|OP|＝1，cos α＝x r ＝3.又0≤α≤2π，所以α＝
116π. 15．2sin 303y t ππ??=-+ ???（本题答案不唯一） 考点：由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式。
分析：求出转速ω 的值，再求出经过时间t ，秒针与x 正半轴的夹角以及秒针的长度为|OP|，即可求得点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系。
解答：
由于秒针每60秒顺时针转一周，故转速ω=-2π/60=-π/30，
由于初始位置为P 0（1，），故经过时间t ，秒针与x 正半轴的夹角为-πt /30+π/3， 再由秒针的长度为|OP|=2，可得点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为y=2sin （-πt /30+π/3）。
故答案为y=2sin （-πt /30+π/3）。
点评：本题主要考查由函数y=Asin （ωx+?）的部分图象求函数的解析式，属于中档题。
16．四
【解析】由题意，得tan α＜0且cos α＞0，所以角α的终边在第四象限．
17．(1) 4m =±; (2) 4sin 5α=
,4tan 3
α=-. 【解析】
试题分析：(1)由任意角的三角函数的定义可得关于m 的方程；（2）结合（1）由同角间的基本关系式可求.
求值过程中应注意角的范围,从而判断三角函数值的符号.
试题解析：
解：（1）∵角α的终边经过点(3,)P m -, ∴
||OP ==, 2分 又∵,53
cos -=α
∴3cos ||5x OP α===-, 4分 得216m =， 6分∴4m =±. 7分
（2）解法一： 已知(,)2παπ∈，且3cos 5
α=-,由22sin cos 1αα+=, 8分
得4sin 5α===
, 11分(公式、符号、计算各1分) ∴454tan ()cos 533
shi ααα==?-=-． 14分(公式、符号、计算各1分) （2）解法二： 若(,)2π
απ∈，则4m =，得P(-3,4)，||OP =5 9分 ∴4sin ||5y OP α== , 11分 44tan 33
y x α===--． 14分 (说明：用其他方法做的同样酌情给分)
考点：任意角的三角函数，同角间的基本关系式.
18．第二象限角
【解析】因为点P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，
所以sin θ·cos θ<0，2cos θ<0，即00sin cos θθ>??
所以θ为第二象限角． 19
因为r ＝|OP|
，所以由cos α＝3x ，
＝3x ，解得x ＝0或x ＝
当x ＝0时，sin α＝－1，tan α不存在；当x
sin α＝－23，tan
α＝－5；当x
sin α＝－23
，tan
α＝5.
20．cos α＝－1，tan α＝0.
【解析】r 2＝x 2＋y 2＝y 2＋3，由sin α＝y
r ＝4
y ，
∴y ＝y ＝0.当y α是第二象限角时，cos α＝
x r ＝－4tan α＝－3；
当y α是第三象限角时，
cos α＝x r ＝－4，tan α＝3；当y ＝0时，P(0)，cos α＝－1，tan α＝0.
任意角三角函数定义的教学认识
1.整体把握,使教学线索清晰,层次分明 三角函数是以函数为主线,刻画周期现象的数学模型.高中学习的三角函数是在初中学习锐角三角函数的基础上,通过用旋转的观点将角的概念推广到任意角,并使角与实数建立一一对应关系,然后结合坐标系和单位圆重新定义任意角的三角函数.因此,三角函数是函数的下位概念,同时又是锐角三角函数的上位概念,教学要以函数思想为指导,以坐标系和单位圆为定义工具,以初中锐角三角函数概念为认知的起点,促进任意角三角函数定义的有效生成.教科书在完成任意角三角函数定义基础上衍生出: (1)三角函数值在各个象限的符号; (2)单位圆中的三角函数线; (3)同角三角函数的基本关系; (4)三角函数的诱导公式; (5)三角函数的图象与性质等.可见,三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重,是整个三角部分的奠基石,它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用. 本节课的学习目标是理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程,领悟直角坐标系和单位圆的功能,丰富数形结合的经验. 由于三角函数的定义内涵丰富、外延广泛等原因,同时,用单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数定义,与学生初中学习的锐角三角函数定义有一定的距离,一个侧重几何的边与边的比值表示,一个侧重代数的坐标(比值)表示.与学生熟悉的一般函数定义也有距离,一般函数是实数到实数的对应,而三角函数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标)的对应.学生理解该定义很难一步到位,需要分成若干个层次,逐步加深提高.促进学生理解定义的关键是让学生经历定义的形成过程,增强学习活动的体验,在教师的引导下独立思考、自主探究,完成定义的意义建构.
任意角的三角函数及基本公式
第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式 （第课时） 任意角的三角函数? ? ?? ? ? ? ?? ??? ????? ?? ??????? ±±--?±?+????? ????? ??的函数关系与以及的函数关系 与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式 商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义 弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k 重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。 难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。 2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。 ⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 ⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。 2．弧度制 ⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。 注意：1sin 表示1弧度角的正弦，2sin 表示2弧度角的正弦，它们与?1sin 、?2sin 不是
一回事。 ⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。 ⑶ 设一个角的弧度数为α，则 r l = α （l 为这角所对的弧长，r 为半径）。 ⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。 ⑸ 1π=?弧度，1弧度?=)180 ( 。 设扇形的弧长为l ，扇形面积为S ，圆心角大小为α弧度，半径为r ， 则 αr l = ，α22 1 21r lr S == 。 3．角的集合表示 ⑴ 终边相同的角 设β表示所有终边与角α终边相同的角（始边也相同），则 αβ+??=360k （也可记为 απβ+=k 2 Z k ∈） 。 ⑵ 区域角 介于某两条终边间的角叫做区域角。例如 ?+??<
锐角三角函数的定义
锐角三角函数的定义 锐角的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。下面是小编为大家整理的关于锐角三角函数的定义，希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习! 锐角三角函数的定义 锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。 正弦等于对边比斜边 余弦等于邻边比斜边 正切等于对边比邻边 余切等于邻边比对边 正割等于斜边比邻边 余割等于斜边比对边 正切与余切互为倒数 它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
它有六种基本函数(初等基本表示)： 函数名正弦余弦正切余切正割余割 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有 正弦函数sin=y/r 余弦函数cos=x/r 正切函数tan=y/x 余切函数cot=x/y 正割函数sec=r/x 余割函数csc=r/y (斜边为r，对边为y，邻边为x。) 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数versin=1-cos 余矢函数covers=1-sin 同角三角函数间的关系： 平方关系： sin^2()+cos^2()=1 tan^2()+1=sec^2() cot^2()+1=csc^2() 积的关系： sin=tancos cos=cotsin
初中数学锐角三角函数定义大全
初中数学：锐角三角函数定义大全 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b 余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a 正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα. 平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1
sinα·cscα=1 cosα·secα=1 特殊的三角函数值 0°30°45°60°90° 01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式 sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosα tan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα
sin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα
任意角的三角函数定义
任意角的三角函数定义 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-
教材：任意角的三角函数（定义） 目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解角与=2k+(kZ)的同 名三角函数值相等的道理。 过程：一、提出课题：讲解定义： 1．设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离0222 2>+=+=y x y x r （图示见P13略） 2．比值 r y 叫做的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做的余弦 记作： r x = αcos 比值x y 叫做的正切 记作： x y = αtan 比值 y x 叫做的余切 记作： y x =αcot 比值x r 叫做的正割 记作： x r =αsec 比值 y r 叫做的余割 记作： y r =αcsc 注意突出几个问题： ①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名 三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。 ②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例 子说明） ③三角函数是以“比值”为函数值的函数
④0>r ，而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号 应由象限确定（今后将专题研究） ⑤定义域： αααtan cos sin ===y y y )(2 Z k k R R ∈+≠π πα αααcsc sec cot ===y y y ) ()(2) (Z k k Z k k Z k k ∈≠∈+≠∈≠παπ παπα 二、例一 已知的终边经过点P(2,3)，求的六个三角函数值 解：13)3(2,3,22 2=-+=-==r y x ∴sin=13133 cos=1313 2 23 cot=32 213 csc=3 13 例二 求下列各角的六个三角函数值 ⑴ 0 ⑵ ⑶ 2 3π ⑷ 2 π 解：⑴ ⑵ ⑶的解答见P16-17 ⑷ 当=2 π 时 r y x ==,0 ∴sin 2π=1 cos 2π=0 tan 2π不存在 cot 2π=0 sec 2π不存在 csc 2 π =1 例三 《教学与测试》P103 例一 求函数x x x x y tan tan cos cos + =的值域 解： 定义域：cosx0 ∴x 的终边不在x 轴上
任意角的三角函数教学设计
《任意角的三角函数》第一课时教学设计 会宁县第二中学数学教研组曹蕊 一、教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。二、学生情况分析 本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。 三、教学目标 知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。 方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。 情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。 四、教学重、难点分析： 重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。 五、教学方法与策略： 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备： 为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维． 七、教学过程 （一）教学情景 1．复习锐角三角函数的定义 问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1（课件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？
锐角三角函数的认识
星火教育一对一辅导教案 学生姓名性别年级9年级学科数学 授课教师李碧瑶上课时间年月日第（）次课 共（）次课 课时：课时 教学课题锐角三角函数的认识 教学目标1.掌握锐角三角函数(sin A，cos A，tan A）的定义； 2.记牢30°、45°、60°角的三角函数值； 3.能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4. 运用三角函数的关系化简或求值。 教学重点与难点1.理解正切、正弦和余弦的意义，并用它来表示两边的比. 2.添加辅助线解直角三角形 课后作业详见教案 提交时间 2014 年 12 月 12 日学科组长检查签名：
（ 注意咯，下面可是黄金部分！） 知识点1 正切 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．． ，记作tan A ，即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan . ①tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tan A 没有单位，它表示一个比值，其大小只与锐角A 的大小有关，与所在直角三角形的大小无关； ③tan A 不表示“tan ”乘以“A ”； ④任意锐角A ，都有tanA>0，且锐角的正切值随着角的度数的增大而增大； ⑤tan A 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tan A 的值越大． 【例1】在Rt △ABC 中，∠C=90o,AC=5,AB=13,求tanA 和tanB. 【变式】在Rt △ABC 中，∠C=90o,BC=3,tanA=12 5 ，求AC. ★坡度（或坡比） 定义：通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比），用字母i 表示，即i =l h 坡度即为坡角α的正切值tan α，即i =tan α= l h （1）坡角与坡度是两个不同的概念，坡角是坡面与水平面的夹角，是个角度，单位是度. （2）坡度描述的是坡面的陡峭程度，当tan α的值越大时，坡度越大，坡面也就越陡. （3）坡度一般写成1:m 的形式（比例的前项为1），后项可以是小数. 锐角三角函数的认识 典例
任意角的三角函数情景引入
任意角的三角函数情景引入 【情景1】复习引入、回想再认。 我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调 【设计意图】 学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）. 温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少。【情景2】引伸铺垫、创设情景。 我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导。 能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答. 用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于1.1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数. 设计意图：从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程. 教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！ 师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）： 把锐角α安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，构造一个RtΔOMP，则∠MOP=α（锐角），设P（x,y）（x＞0、y＞0），α的临边OM =x、对边MP=y，斜边长|OP∣=r. 根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值： 【设计意图】 此处做法简单，思想重要. 为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形. 由于前一节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生自然能想到仍然以直角坐标系为工具来研究任意角的三角函数. 初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义. 这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识,能够形成迁移能力,为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础.。 【情景3】思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变？显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数。 思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数。 先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：引导学生观察图3，联系相似三角形知识。 探索发现：对于锐角α的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化。
巩固练习_任意角的三角函数_基础
【巩固练习】 1．角θ的终边经过点12? ? ? ??? ，那么tan θ的值为（ ） A ．12 B ．- C ． D ．2．若角0420的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（ ） A ．34 B ．34- C ．34± D ．3 3．下列三角函数值结果为正的是（ ） A ．cos100° B ．sin700° C ．2tan 3π??- ??? D ．9sin 4π??- ??? 4．化简0sin 390的值是（ ） A ． 12B ．12-C ．5．若42π π θ<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．sin θ＞cos θ＞tan θ B ．cos θ＞tan θ＞sin θ C ．sin θ＞tan θ＞cos θ D ．tan θ＞sin θ＞cos θ 6．设α角属于第二象限，且2cos 2cos α α -=，则2 α角属于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7．若θ为锐角且2cos cos 1-=--θθ，则θθ1cos cos -+的值为（ ） A ．22 B ．6 C ．6 D ．4 8．若cos θ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．5sin90°+2cos0°―3sin270°+10cos180°=________。 10．若α为第二象限角，则|sin |cos sin |cos | αααα-=________。 11．已知角α的终边经过点(230,2cos30)P sin -o o ，则cos α=。 12．已知角α的终边在直线2y x =上，则sin α=。
锐角三角函数教案
第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数（2） 一、知识点 1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦 2. 用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算. 二、教学目标 知识与技能 1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2. 能够用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法 1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感态度与价值观 1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 三、重点与难点 重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 四、复习引入 设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 五、探究新知 探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考： （1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2） 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. B 1 B 2 A C 1 C 2
三角函数的定义
高三第一轮复习材料2009-10-20 三角函数的概念 一、基本知识 1. 角的概念的推广 （1）终边相同的角； （2）象限角； （3）象限界角 2.弧度制 （1）1弧度的角的定义； （2）弧度与角度的互换； （3）弧长公式与扇形的面积公式 3．任意角的三角函数 （1）定义：（建系、取点、定比） （2）三角函数在各象限内的符号 （3 （4）填表 4．用单位圆中的三角函数线来表示三角函数值 二、典型例题 例1 （1）若角α的终边和函数x y -=的图像重合，试写出角α的集合； （2）已知角α是第Ⅰ象限角，试确定2 α 所在象限. 感悟：
例2已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R . （1）若cm R 10,60==ο α，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积. （2）若扇形的周长是一定值)0(>C C ，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积. 例3已知角α终边经过点)0(),2,(≠-x x P 且x 6 3 cos =α，求ααcot sin +的值. 例4解答下列问题 （1）若∈θⅣ,试判断)sin(cos θ、)cos(sin θ的符号. （2）若0)cot(sin )tan(cos >?θθ，试指出θ所在象限，并用图形表示出 2 θ 所取值的范围. 例5 已知)2 , 0(π α∈，求证：αααtan sin <<.（提示：用三角函数线证明） 例6写出满足下列条件的角α的范围 （1）0cos sin >-αα； （2）ααcos sin >；
（3）0cos sin >+αα； （4）0cos sin <+αα. 三、课堂练习 1．钟表的分针和时针在3点到5点40分这段时间里，分针转过了_______弧度的角，时针转过了_______弧度的角. 2．已知α是锐角，那么α2是（ ） .A 第一象限 .B 第二象限 .C 小于ο180的正角 .D 不大于直角的正角 3．（05全国）已知α是第三象限角，则2 α 是（ ） .A 第一象限或第二象限 .B 第一或第三象限 .C 第二或第三象限 .D 第二或第四象限 4． 2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所对的扇形面积的数值是（ ） . A 1 sin 1 . B 1 sin 1 2 . C 2 cos 11 - .D 1tan 5．下列命题中正确的是（ ） .A 若两扇形面积的比是1：4，则它们弧长的比是1：2 .B 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值 .C 若扇形的面积一定，则弧长存在最小值 .D 任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系 6．点P 从)0,1(出发，沿单位圆12 2 =+y x 逆时针方向运动 3 2π 弧长达到Q 点，则Q 的坐标为（） .A )2 3,21(- .B )21,23(-- .C )2 3 ,21(-- .D )2 1 ,23(- 7．（07北京）已知 cos tan 0θθ?<，则角θ是______ .A 第一象限或第二象限 .B 第一或第四象限 .C 第二或第三象限 .D 第三或第四象限 8．函数x x x x x x x x x f cot cot tan tan cos cos sin sin )(+++=的值域是（ ） .A }4,2{- .B }2,0,2,4{- .C }4,0,2{- .D }4,0,2,4{-- 四、规范训练 1.已知扇形的面积为2 25cm .求该扇形周长的最小值.
任意角的三角函数和弧度制 基础练习(含解析)
任意角的三角函数和弧度制 基础练习 一、选择题 1.下列选项中与－80°终边相同的角为（ ） A. 100° B. 260° C. 280° D. 380° 2.在平面直角坐标系中，角 3πα+ 的终边经过点P (1,2)，则sin α=（ ） 3.若5sin 13α=- ，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A. 125 B. 512- C. 512 D. 125 - 4.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是 ( ) A. π3 B. π6 C. -π3 D. -π6 5.已知角α的终边经过点(sin 48,cos48)P ??，则 sin(12)α?-=（ ） A. 12 C. 12- D. 6.若12cos 13x = ，且x 为第四象限的角，则tanx 的值等于 A 、125 B 、－125 C 、512 D 、－512 7.若函数 ()cos 2()6f x x xf π=+'，则()3f π-与()3f π的大小关系是（ ） A. ()()33f f π π-= B. )3()3(ππf f <- C. )3()3(π πf f >- D. 不确定 8.若θ是第四象限角，则下列结论正确的是（ ） A ．sin 0>θ B ．cos 0<θ C ．tan 0>θ D ．sin tan 0>θθ 9.一扇形的中心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.已知tan 2α ，其中α为三角形内角，则cos α=（） A. 5 - D.
二、填空题 11.若扇形的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm,则扇形圆心角的弧度数为______. 12.已知角2α的终边落在x 轴下方，那么α是第 象限角． 13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=1 3，则 sin β=_________． 14.已知一扇形所在圆的半径为10cm ，扇形的周长是45cm ，那么这个扇形的圆心角为 弧度． 15.弧长为3π，圆心角为135°的扇形，其面积为____. 三、解答题 16.已知角α的终边经过点P (54，5 3-)． (1)求 sin α的值． (2) 17.(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个 同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的 半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）． （1）求θ关于x 的函数关系式； （2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为 9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最 大值？
理解锐角三角函数的定义
理解锐角三角函数的定义 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 知识网络 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；．要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系， 是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ， ，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．， (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值 (1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若 则锐角．，
三角函数的定义教案
教 学 设 计 课题：《任意角的三角函数》 教学目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.任意角的三角函数和锐角的三角函数的联系和区别； 3.理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关； 4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域； 5.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。 教学重点： 1. 任意角的三角函数的定义； 2. 运用任意角的三角函数的定义求函数值。 教学难点： 理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关； 教学方法： 1. 情境教学法； 2. 问题驱动教学法。 教学过程： 一、 复习引入 （情境1）前面我们学习了角的概念的推广，通过推广，使角动了起来，同时把角的范围也突破了0度和360度的界限，角可为任意大小。这节课我们要研究的问题是任意角的三角函数。 初中阶段我们学习了锐角的三角函数。 【问题1】在直角三角形中，锐角的三角函数是怎样定义的？（学生回答） 二、 新授知识 【目标一】任意角的三角函数的定义是什么？ 【情境二】事实上，锐角的三角函数定义，可以看作是在角的锐角的一边上任取一点，构造一个直角三角形，用直角三角形的边之比来定义。我们可以看出，取的点不同，所构造的三角形的大小也不一样。α的各三角函数值与所构造的三角形的大小有关吗？（无关，由三角形相似的性质可以得到。） A C B α sin B C AB α=cos AC AB α=tan BC AC α=α
【情境三】角的概念推广之后，角可以是任意大小，把角放在直角三角形中定义它的三角函数显然已经达不到要求，必须寻求一种新的方法！前面我跟同学们暗示过：今后在研究任意角的相关时，我们常常把角放在坐标系里进行研究！ 【问题2】任意角在坐标系中是如何放置的？（学生回答） 将角的顶点放在原点，始边与x轴正半轴重合。角的终边可能会落在某一象限内，也可能在坐标轴上。出示PPT。我们在角的终边上任取除顶点以外的一点P，则P有一确定的坐标，（x,y），P点到原点的距离也是确定的， >0。在有意义的前提下这样我们可以得到三组 比值：y r ，x r ，y x 。由相似三角形可以得到这些比值和取的点的位置 无关，比值只和终边的位置有关！ 定义：y r 为α的正弦，sinα=y r ; x r 为α的余弦，cosα=x r ; y x 为α的正切，tanα=y x 。 取以上各比值的倒数，又可相应得到α的另外三个三角函数，即： cscα=1 sinα=r y , secα=1 cosα =r x , cotα=1 tanα =x y 课本上没有这三个，作为高中生这也是必须了解的，同学们把它写在书上！ 这就是任意三角函数的定义，这种定义的方法称为坐标法，希望同学你们记牢固！ 【情境四】根据任意角的三角函数的定义，已知角终边上一点
8.锐角三角函数的定义
8.锐角三角函数的定义 (20070911190543578657)第1题. （2007甘肃陇南非课改，3分） 如图，P 是∠α的边OA 上一点， 且点P 的坐标为（3，4）， 则sin α= ( ) A ． 35 B ． 4 5 C ． 34 D ． 43 答案：B (20070911190544421885)第2题. （2007福建厦门课改，4分）已知在Rt ABC △中，90C ∠= ，直角边AC 是直角边BC 的2倍，则sin A ∠的值是 ． (2007091119054531242)第3题. （2007甘肃兰州课改，4分）把Rt ABC △各边的长度都扩大3倍得Rt A B C '''△，那么锐角A ，A '的余弦值的关系为（ ） Ａ．cos cos A A '= Ｂ．cos 3cos A A '= Ｃ．3cos cos A A '= Ｄ．不能确定 答案：Ａ (20070911190546140878)第4题. （2007甘肃兰州课改，4分）下列函数中，自变量x 的取值范围是2x >的函数是（ ） Ａ．y = Ｂ．y = Ｃ．y = Ｄ．y = 答案：Ｃ (20070911190546843991)第5题. （2007广西河池课改，2分）已知在Rt ABC △中，∠C 为直角，AC = 4cm ，BC = 3cm ，sin A = ． 答案：5 3 (20070911190547625356)第6题. （2007海南课改，2分）在Rt ABC △中， 90=∠C ，如果2=AB ，1=BC ，那么B sin 的值是（ ） A ． 2 1 B ．23 C ．33 D ．3 答案：B (20070911190548859809)第7题. （2007山西太原课改，3分）在正方形网格中，α∠的位置如图所示，则sin α的值为（ ） α
三角函数的引入和定义
三角函数第一部分 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表 示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 4、α与2 α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定. 如若α是第二象限角，则2 α 是第_____象限角，2α是第 象限角。 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度(1rad) 57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 练习：1．下列角中终边与330°相同的角是（ ） Α.30° B.-30° C.630° D.-630° 2．下列命题正确的是（ ） Α.终边相同的角一定相等。 B.第一象限的角都是锐角。 C.锐角都是第一象限的角。 D.小于?90的角都是锐角。 3.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ） Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 4．若α角的终边落在第三或第四象限，则2 α 的终边落在（ ） A ．第一或第三象限 B ．第二或第四象限 C ．第一或第四象限 D ．第三或第四象限 5．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）
任意角的三角函数知识点
2.1任意角的三角函数 课前复习： 1. 特殊角的三角函数值记忆 新课讲解： 任意点到原点的距离公式： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ， 它与原点的距离为(0)r r == >，那么 （1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α 的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z π απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等 于0，所以tan y x α= 无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值 y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数。 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。 有向线段： 坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义： 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T . 由四个图看出： 当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有 sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA α==== 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。 （Ⅳ） （Ⅲ）
任意角的三角函数的引入
=αsin 斜边的邻边α斜边的对边α=αcos 的邻边的对边 αα=αtan “任意角的三角函数”的引入 （一）引入课题 角的概念已经推广与之相应的锐角三角函数已经不能满足数学内部发展的需要，因此必须研究任意角的三角函数。 设计意图：通过结构图，简约而又明确地提出本节课的学习任务，让学生意识到研究任意角三角函数的必要性、任意角三角函数将要在锐角三角函数的基础上延伸。 （二）复习铺垫活动 问题1：在初中已经学习了锐角三角函数，它是怎样定义的，为什么这样定义？ 学生只知道在直角三角形中定义： 不知“为什么这样定义”，这个问题目的要帮助学生揭示锐角三角函数的本质。 学生回答不出为什么时教师提出问题2 问题2：任意画一个锐角α，以角α的两条边为边，能构造多少个直角三角形？这些直角三角形有什么关系？角α的正弦怎样表示？ 教师任意画一个锐角，要求学生画一个锐角，构造直 角三角形，并表示锐角α的正弦，不同学生所画锐角不同， 所得角α的正弦值也不同。学生回答问题时教师用媒体演示数学事实。 【设计意图】让学生体会直角三角形的构造思想，以及相似图形中的比值不
变性，即当角α确定时，无论在哪个直角三角形中对边与斜边的比值也唯一确定，认识到锐角三角函数是以锐角为自变量，以直角三角形边的比值为函数值的一类函数，这种对锐角三角函数本质的揭示，是任意角三角函数定义的生长点。 （三）任意角三角函数的定义过程 角是在平面直角坐标系中推广的， 锐角三角函数。 问题1：从α的终边上任取一点P 此时P 点的坐标（x,y 此时角α的正弦函数怎样表示？这个比值会因点P 在α终边上位置的改变而改变吗？ 【设计意图】引导学生借助坐标系定义锐角三角函数。通过寻找角α终边上点的坐标与直角三角形边长的关系，实现了锐角三角函数由直角三角形定义到坐标系定义的自然过渡，再借助几何画板和推理说明，让学生感受到当角α确定后，虽然角终边上点是任意的，但坐标所确定的比值不变，感受函数本质，得出锐角三角函数的坐标定义。 【 议一议】锐角α的三角函数是建立在怎样的两个集合上的函数？能否理解为是实数集（0， 2 π ）到实数集的对应？ 【设计意图】让学生在讨论、争辩的过程中认识到锐角三角函数就是以（0， 2 π ）内的角为自变量，学难点，培养学生的合作意识。 问题2：角的范围扩大了，比值 r y