吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学下学期第四次模拟考试试题 理
吉林省东北师范大学附属中学2021届高三下学期第四次模拟考试 数学(理) Word版含答案
切磋砥砺足千日 紫电龙光助鹰扬东北师大附中 2018级高三年级 第四次模拟考试数学（理）学科试卷本试卷共23题，共150分，共6页．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合2{|13},{|20}A x x B x x x =<<=-->，则A B =A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(1,3)- C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．(2,3)-2．已知,l m 是两条不同的直线，α是平面，/l α⊂，m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，若输出的S 是30A ．6n ≥B ．8n ≥C ．10n >D ．10n ≥4．若()cos sin f x x x =-在[],a a -上是减函数，则a 的最大值是A ．8π B ．4π C ．38π D ．34π 5．若双曲线C ：22221(0,0)x y a b ab -=>>的一条渐近线被以焦点为圆心的圆2240x y x +-=所截得的弦长为b =A ．1BCD ．26．函数ln xy x=的图象大致为A ．B ．C ．D ．7．某高中高一、高二、高三年级的人数分别为1200、900、900人．现按照分层抽样的方法抽取300名学生，调查学生每周平均参加体育运动的时间．样本数据（单位：小时）整理后得到如右图所示的频率分布直方图．下列说法错误．．的是 A ．每个年级抽取的人数分别为120、90、90人B ．估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为300人C ．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为600人D ．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为10% 8．已知ABC △的面积是221()4S b c =+（其中,b c 为ABC △的边长），则ABC △的形状 为 A ．等边三角形B ．是直角三角形但不是等腰三角形C ．是等腰三角形但不是直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知2sin(63πθ+=，则sin(26πθ-=A．19-B ．19C．9-D ．910．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton,1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法—用“作切线”的方法求方程的近似解．如图，方程()0f x 的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值0x ，()f x 在0x 处的切线与x 轴的交点为1x ，()f x 在1x 处的切线与x 轴的交点为2x ，一直继续下去，得到012,,,n x x x x ，它们越来越接近r ．若2()2(0),2f x x x x ，则用牛顿法得到的r 的近似值2x 约为A ．1.438B ．1.417C ．1.416D ．1.37511．已知2201()10xx x f x x x ⎧⎪⎪+=⎨⎪-<⎪⎩≥，，，若方程()f x t 有三个不同的解123x x x ，，，且123x x x ，则123111x x x -++的取值范围是A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．5(,)2+∞D ．(3,)+∞12．已知3log 15a =，5log 40b =，26c =，则A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知i 为虚数单位，复数z 满足()i 12i z -=，则z = ．14．若实数x ，y 满足约束条件26341400x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为 ．15．如图，在同一个平面内，向量OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=， 向量OB 与OC 的夹角为45，且||||1OA OB ==，||2OC =．若OC =m OA +n OB （m ∈R ，n ∈R ），则n m -= ．16．如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin(1794-1847)的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于,E F ，在截口曲线上任取一点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于,C B ，由球和圆的几何性质，可以知道，AE AC =，AF AB =，于是AE AF AB AC BC +=+=．由,B C 的产生方法可知，它们之间的距离BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以,E F 为焦点的椭圆．如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P ，则球在桌面上的投影是椭圆．已知12A A 是椭圆的长轴，1PA 垂直于桌面且与球相切，15PA =，则椭圆的离心率为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17.（12分）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ，已知11,1d q a b =+=，22431,1a b a b +=+=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．OA CBα18．（12分）近日，为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查．调查数据如下：共95份有效问卷，40名男性中有10名不愿意接种疫苗，55名女性中有5名不愿意接种疫苗．（1）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关？（2）从不愿意接种的15份调查问卷中得到拒绝接种新冠疫苗的原因：有3份身体原因不能接种；有2份认为新冠肺炎已得到控制，无需接种；有4份担心疫苗的有效性；有6份担心疫苗的安全性．求从这15份问卷中随机选出2份，在已知至少有一份担心疫苗安全性的条件下，另一份是担心疫苗有效性的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．（12分） 如图，在三棱锥A BCD -中，90BCD ∠=︒，1BC CD ==，ACB ACD ∠=∠． （1）证明：AC BD ⊥；（2）若直线AC 与平面BCD 所成的角为45︒，1AC =，求二面角A CD B --的余弦值．20．（12分）如图，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y P x y Q x y 四点都在抛物线上，直线AP 与直线BQ 相交于点F ，且直线AB 斜率为1． （1）求12y y +和13y y 的值；（2）证明直线PQ 过定点，并求出该定点．21．（12分）已知函数2()2ln 1f x x ax x =-+有两个极值点1,x x（1）求a 的取值范围；（2）证明：2211221()()1x f x x f x a x x -<+-．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．22. [选修44-：坐标系与参数方程]（10分）平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线OM ：0(0)θαρ=≥平分曲线2C ，且与曲线1C 交于点A （异于O 点），曲线1C 上的点B 满足2AOB π∠=，求AOB △的面积S .23. [选修45-：不等式选讲]（10分）已知函数()|2||4|f x x x =--+. （1）求()f x 的最大值m ；（2）已知,,(0,)a b c ∈+∞，且a b c m ++=，求证：22212a b c ++≥.B ACD切磋砥砺足千日 紫电龙光助鹰扬东北师大附中 2018级高三年级 第四次模拟考试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．i 1-+14．415．1216．23三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17.（本小题满分12分）【试题解析】解：（1）由题意11112111131d q a b a d b q a d bq =⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，解得111,2,2a b d q ====，（2分）所以21n a n =-，（4分）2n n b =．（6分） （2）212n n n a n b -=，（7分）23135212222n n n S -=++++（8分）21352121222n n n S --=++++ 相减得231222221122222n n nn S --=+++++- 111212321312212n n n n n n S ---+=+-=--． （12分）【另解】1212123222n n n nn a n n n b --++==-，23011211352135572123()()2222222222n n n n n n n S --++=++++=-+-++- 18．（本小题满分12分） 【试题解析】解：（1）（2分）222()95(3055010) 4.408 3.841()()()()40558015n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯（7分）有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关．（8分）（2）1164221592486923C C p C C ===-．（12分）19．（本小题满分12分）【试题解析】证明：（1）取BD 中点O ，连接OA ，OC ，则OC BD ⊥，又BC DC =，ACB ACD ∠=∠，AC AC =，所以ABC ADC ≅△△，所以AB AD =，所以AO BD ⊥．AO CO O =，AO ⊂平面AOC ，CO ⊂平面AOC ，所以BD ⊥平面AOC ．又AC ⊂平面AOC ，所以AC BD ⊥．（4分)（2）解：（2）由（1）知BD ⊥平面AOC ，BD ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AOC ．所以CA 在平面上的射影是CO ，所以ACO ∠为直线AC 与平面BCD 所成的角， 即45ACO ∠=︒．（6分)又因为122CO BD ==1AC =，在ACO △中由余弦定理可知AO 2= 所以222AO OC AC +=，所以AO OC ⊥．且平面AOC 平面BCD OC =，所以AO ⊥平面BCD ．（8分)【方法一】取CD 中点E ，连接OE ，AE ， 则OE CD ⊥，AE CD ⊥，所以AEO ∠为二面角A CD B --的平面角，132cos 332OE AEO AE ∠===． （12分)【方法二】以O 为原点，,,OC OD OA 分别是x 轴，y 轴，z 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则(0,0,0)O ,2C ,2D ,2A ． 2222(,0,),(0,2222CA DA =-=-， 平面BCD 的法向量为)(0,0,1n =， 设平面ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =，则2202222022m CA x z m DA y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，可得(1,1,1)m =，记二面角A CD B --的平面角为θ，则3cos 3|||1|m n m n θ⋅===⨯． 即二面角A CD B --的余弦值为33．（12分) 20．（本小题满分12分）【试题解析】解：（1）因为直线AB 斜率为1，所以设直线AB 方程为y x b =+，与24y x =联立得，2440y y b -+=，124y y +=，（2分） 因为焦点(1,0)F ，所以设直线AP 方程为1x my =+，与24y x =联立得2440y my --=，134y y =-，（4分）（2）设直线PQ 方程为x ty n =+， 与24y x =联立得，2440y ty n --=，344y y t +=，344y y n =-，（6分）由（1）知134y y =-，同理244y y =-， 所以341234344()444y y t y y y y y y n-+--+=+==，又由（1）知124y y +=，所以n t =，（10分）所以直线PQ 方程为(1)x ty t t y =+=+，过定点(0,1)E -． （12分）21．（本小题满分12分）【试题解析】 解：（1）因为函数2()2ln 1f x x ax x =-+有两个极值点12,x x ，所以()()22(1ln )g x f x x a x '==-+有两个零点，（1分）2()2ag x x '=-①若0a ≤，()g x 在(0,)+∞单调递增，至多1个零点，不符合题意；（2分）②若0a >，令2()20ag x x'=-=，x a =， 0x a <<，()0g x '<，()g x 单调递减，x a >时，()0g x '>，()g x 单调递增，min ()()2ln g x g a a a ==-，（i ）01a <<，min ()()2ln 0g x g a a a ==->，无零点，（3分）（ii ）1a =，min ()()2ln 0g x g a a a ==-=，1个零点，（4分） （iii ）1a >，min ()()2ln 0g x g a a a ==-<， 又1212()2(1ln )0g a e e e e=-+=>， 且222(2)42(1ln 2)2(22ln 1ln 2)0g a a a a a a a =-+=--->， 所以()g x 在21(,),(,2)a a a e各有一个零点，即()f x 有两个极值点12,x x ，综上，1a >．（6分） （2）【证法一】 由（1）知1a >，且112222(1ln )0,22(1ln )0x a x x a x -+=-+=，1122ln ,ln x a a x x a a x -=-=，22111111()2ln 121f x x ax x x ax =-+=-++， 22222222()2ln 121f x x ax x x ax =-+=-++，222112211122122121()()(21)(21)1x f x x f x x x ax x x ax x x x x x x --++--++==+--，要证明2211221()()1x f x x f x a x x -<+-，只需证212x x a <．（8分）由1122ln ,ln x a a x x a a x -=-=相减得2211lnx x x a x -=， 不妨设211x t x =>，则111ln ln ,1a t tx x a t x t -==-，2ln 1at t x t =-，所以22122ln ln ln 11(1)a t at t t t x x a t t t ==---，所以只需证22ln 1(1)t t t <-，只需证ln t <(1)t >，（10分）设()ln 1)p t t t =->，21()0p t t '==<所以()ln p t t =(1,)+∞单调递减，()ln (1)0p t t p =<=，所以ln t <212x x a <． （12分）【证法二】不妨设120x x <<，1222112122112()()()()111f x f x x f x x f x x x a x x x x --=<+--2121212()()11(1)()f x f x a x x x x ⇔-<+-221212()1()1f x a f x a x x ----⇔<（9分） 设2222()12ln ()2ln f x a x ax x a a F x x a x x x x ----===--， 2222()1(1)0a a aF x x x x'=-+=-≥，()F x 在(0,)+∞为增函数，221212()1()1f x a f x a x x ----<． （12分）【说明】建议教师重点讲证法一，因为本题中由a 确定12,x x ，即12,x x 都与a 有关，而证法二中的12,x x 并没有利用12,x x 与a 相关，说明本题的结论12,x x 不是极值点也成立． 原来编的题是证明2211221()()21x f x x f x a x x -<<+-，考虑到学生的计算量和难度问题只保留了比较简单的右侧不等式，讲解时可以加上． 要证明2211221()()21x f x x f x a x x -<<+-，只需证2121x x a <<． 【证法一】由1122ln ,ln x a a x x a a x -=-=相减得2211ln xx x a x -=，不妨设211x t x =>，则111ln ln ,1a t tx x a t x t -==-，2ln 1at t x t =-，要证121x x >，由1122ln ,ln x a a x x a a x -=-=相加得12122ln x x a a x x +-=， 要证121x x >，只需证122x x a +>，即12ln ln (1)ln 2111a t at t a t tx x a t t t ++=+=>---， 只需证(1)ln 21t t t +>-，即只需证2(1)ln 01t t t -->+，设2(1)()ln (1)1t h t t t t -=->+，22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t -'=-=>++， 所以()h t 在(1,)+∞单调递增，2(1)()ln (1)01t h t t h t -=->=+，所以122x x a +>，所以12122ln 0x x a a x x +-=>，所以121x x >． 【证法二】()()22(1ln )g x f x x a x '==-+ 设()()()G x g a x g a x =+--，[0,)x a ∈，则222224()()()220a a x G x g a x g a x a x a x a x-'''=++-=-+-=≤+--， ()()()G x g a x g a x =+--在[0,)a 为减函数，当(0,)x a ∈，()()()(0)0G x g a x g a x G =+--<=， 所以()()g a x g a x +<-，取1x a x =-，则112(2)()()g a x g x g x -<=，又因为122(,),(,)a x a x a -∈+∞∈+∞，且()g x 在(,)a +∞单调递增， 所以122a x x -<，所以122x x a +>，所以12122ln 0x x a a x x +-=>，所以121x x >．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．22. [选修44-：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 【试题解析】解：（1）曲线1C 的直角坐标方程是24y x =，化成极坐标方程为2sin 4cos ρθθ⋅=；曲线2C 的直角坐标方程是()(2214x y -+-=. （5分）（2）曲线2C 是圆，射线OM 过圆心，所以方程是()03πθρ=≥，代入2sin 4cos ρθθ⋅=得83A ρ=， 又2AOB π∠=，所以B ρ=，因此118322AOBA B Sρρ=⋅⋅=⨯⨯=.（10分）23. [选修45-：不等式选讲]（本小题满分10分）【试题解析】解：（1）242(4)6x x x x --+≤--+=，当且仅当4x ≤-时等号成立.也可以画图解答（5分）（2）由（1）可知，6a b c ++=.又∵0a b c >，，， ∴2222222223()2()()a b c a b c a b c ++=+++++ 222222222()()()()a b b c c a a b c =++++++++ 2222222()()=36ab bc ac a b c a b c ≥+++++=++（当且仅当2a b c ===时取等），∴22212a b c ++≥．（10分）。
吉林省东北师范大学附属中学2021届高三下学期第四次模拟考试数学(文)试题答案
切磋砥砺足千日 紫电龙光助鹰扬东北师大附中 2018级高三年级 第四次模拟考试数学（文）学科试题答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DACBDCCBADBA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1； 14．4； 15．19； 16．23． 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）解：（1）由题意11112111131d qa b a d b q a d b q =⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，解得111,2,2a b d q ====，所以21,2nn n a n b =-=．（2）212nn n a b n +=-+，23(12)(32)(52)(212)nn S n =+++++++-+23135212222n n =++++-+++++2122n n +=+-．18.（12分） 解：（1）222()95(3055010) 4.408 3.841()()()()40558015n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关． （2）记3份男性问卷为,A B C ,，2份女性问卷分别为,a b ．则5份问卷任取2份的方法为：,,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab ，10种． 其中是1份男性问卷和1份女性问卷的有：,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb ，6种． 所以这2份问卷分别是1份男性问卷和1份女性问卷的概率63105p ==． 19．（12分）证明：（1）取BD 中点O ，连接OA ，OC ，则OC BD ⊥，又BC DC =，ACB ACD ∠=∠，AC AC =， 所以ABC ADC ≅△△，所以AB AD =， 所以AO BD ⊥． 又因为AOCO O =，AO ，CO ⊂平面AOC ，所以BD ⊥平面AOC ．又AC ⊂平面AOC ，所以AC BD ⊥．解：（2）由（1）知BD ⊥平面AOC ，BD ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AOC ．所以CA 在平面上的射影是CO ，所以ACO ∠为直线AC 与平面BCD 所成的角，即45ACO ∠=︒． 又因为1222CO BD ==，1AC =，在ACD 中由余弦定理可知AO 22=， 所以222AO OC AC +=，所以AO OC ⊥．且平面AOC平面BCD OC =，所以AO ⊥平面BCD ． 所以111122113326212A BCD BCDV S AO BC CD AO -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．愿意接种不愿意接种合计 男 30 1040 女 50555 合计80159520．（12分）解：（1）因为焦点(1,0)F ，所以设直线AP 方程为1x my =+，与24y x =联立得2440y my --=，134y y =-．同理244y y =-． （2）①因为直线AB 过定点(0,1)E -，所以设直线AB 方程为1y kx =-， 代入24y x =中得2440ky y --=，121244,y y y y k k-+==，所以121212111y y y y y y ++==-．②直线PQ 的斜率为343422343434444PQy y y y k y y x x y y --===-+-，由（1）知134y y =-，244y y =-．所以344PQ k y y =+12124114411y y y y ==-=--++．21．（12分）解：（1）()1af x x'=-，0x >，①若0a ≤，则()10af x x '=->，()f x 在(0,)+∞单调递增；②若0a >，令()10af x x'=-=，x a =，当0x a <<，()0f x '<；当x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增． （2）由（1）知 ①当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增，至多1个零点，不合题意；②当0a >时，min ()()ln f x f a a a ==-，（i ）01a <<，min ()()ln 0f x f a a a ==->，无零点，不合题意； （ii ）1a =，min ()()ln 0f x f a a a ==-=，1个零点，不合题意； （iii ）1a >，min ()()ln 0f x f a a a ==-<，又1111()(1ln )0e e e ef a =-+=>，且222(2)2[1ln(2)](22ln 1ln 2)(21ln 2)0f a a a a a a a a =-+=--->-->，所以()f x 在21(,),(,2)ea a a 各有一个零点． 综上，1a >．（二）选考题：共10分。
东北师大附中高三四模理科数学试题(解析版)
东北师大附中高三四模理科数学试题（解析版）一、选择题: 本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. 已知，为虚数单位，若为实数，则的值为（）A. 4B. 3C. 2D. 13. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（）A. 15B. 16C. 18D. 214. 已知，，则（）A. B. C. D.5. 一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.6. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为15，则判断框中应填入的条件为（）A. B. C. D.7. 商场一年中各月份的收入.支出(单位:万元)情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）A. 2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B. 支出最高值与支出最低值的比是C. 第三季度平均收入为50万元D. 利润最高的月份是2月份8. 学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说:“或作品获得一等奖”；乙说:“作品获得一等奖”；丙说:“,两项作品未获得一等奖”；丁说:“作品获得一等奖”.若这四位同学只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）A. 作品B. 作品C. 作品D. 作品9. 设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若,则抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.10. 若函数满足且的最小值为，则函数的单调递增区间为（）A. B.C. D.11. 已知双曲线在左，右焦点分别为，以为圆心，以为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在轴左侧交于两点，且是等边三角形.则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.12. 已知函数，若对区间内的任意实数，，，都有则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题: 本题共4 小题，每小题5分，共20 分.13. 二项式的展开式中的常数项为__________．14. 若满足约束条件，则的取值范围是__________．15. 已知向量与的夹角为，且，若，且,则实数的值为__________．16. 已知在数列中，，则数列的通项公式为__________．三、解答题: 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 在中，内角所对的边分别为，且.(1)求角的大小:(2)若点为的中点，且,求的值的值18. 如图1,在正方形中，是的中点，点在线段上,且.若将, 分别沿折起，使两点重合于点,如图2.(1)求证: 平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值19. 从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位: ) 组成一个样本，且将纤维长度超过315的棉花定为一级棉花.设计了如下茎叶图:(1)根据以上茎叶图，对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论（不必计算）；(2)从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，求其中恰有3根一级棉花的概率；(3)用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从甲、乙两种棉花中各随机抽取1根，求其中一级棉花根数X的分布列及数学期望20. 已知椭圆的焦点坐标分別为,,为椭圆上一点，满足且(1) 求椭圆的标准方程:(2) 设直线与椭圆交于两点，点，若，求的取值范围.21. 已知函数，曲线在点处的切线方程为(1) 求的值；(2) 证明: .22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），与交于两点(1) 求的直角坐标方程和的普通方程；(2) 若,,成等比数列，求的值.23. 已知定义在上的函数..存在实数使成立，(1) 求实数的值:(2)若，且求证，求证东北师大附中高三四模理科数学试题（解析版）一、选择题: 本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据一元二次不等式的解法求得集合B，之后根据子集的定义可以判断出，根据交集中元素的特征求得，根据并集中元素的特征，可以求得，从而求得结果.详解：由可以求得，从而求得，所以，，故选B.点睛：该题以集合为载体，考查了一元二次不等式的解法，并考查了集合间的关系以及集合的交并运算，属于简单题目.2. 已知，为虚数单位，若为实数，则的值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】分析：首先利用复数的运算法则，求得，再结合复数对应实部和虚部满足什么样的条件，从而对其进行分类的标准，得到a所满足的等量关系式，求得结果.详解：，若该复数是实数，只需，解得，故选A.点睛：该题考查的是复数的有关问题，在解题的过程中，需要先将题中所给的复数利用其运算法则将其化简，之后利用复数的分类对实虚部的要求找出其满足的等量关系式，之后求解即可.3. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（）A. 15B. 16C. 18D. 21 【答案】C【解析】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果.详解：设第一个人分到的橘子个数为，由题意得，解得，则，故选C.点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可.4. 已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，，∴，，∴故选B.点睛：这个题目考查的是比较指数和对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和，，比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小.5. 一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，将几何体还原，得到该几何体是由一个长方体切割而成的，从而能够确定该几何体的各个顶点都在同一个长方体的顶点处，所以该几何体的外接球即为其对应的长方体的外接球，借助于长方体的对角线就是其外接球的直径，利用公式求得结果.详解：根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、高分别是长方体所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的对角线就是其外接球的直径，所以有，从而求得其表面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关几何体的外接球的的问题，关键是需要利用三视图还原几何体，再者就是应用长方体的对角线就是其外接球的直径，之后利用相应的公式求得结果即可.6. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为15，则判断框中应填入的条件为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先根据题中所给的框图，分析可知其任务是对等比数列求和的问题，发现数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，从而很容易发现其前4项和等于15，而对于k的值为数列的项，结合题中的条件，分析各选项，可以求得正确结果.详解：根据题中所给的程序框图，可以确定该题要求的是，对应的正好是以1为首项，以2为公比的等比数列，该数列的前4项和正好是15，结合题中所给的条件，一一试过，可知选A.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，该题属于补充条件的问题，在求解的过程中，注意数列的项的大小，以及项之间的关系，从而求得正确结果.7. 商场一年中各月份的收入.支出(单位:万元)情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）A. 2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B. 支出最高值与支出最低值的比是C. 第三季度平均收入为50万元D. 利润最高的月份是2月份【答案】D【解析】由图可知至月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同，故正确；由图可知，支出最高值是，支出最低值是，则支出最高值与支出最低值的比是，故正确；由图可知，第三季度平均收入为，故正确；由图可知，利润最高的月份是月份和月份，故错误. 故选D.8. 学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说:“或作品获得一等奖”；乙说:“作品获得一等奖”；丙说:“,两项作品未获得一等奖”；丁说:“作品获得一等奖”.若这四位同学只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）A. 作品B. 作品C. 作品D. 作品【答案】B【解析】分析：首先假设每一项作品若获得一等奖，看看下边对应的预测，分析分别有几个同学说的是对的，如果有两位同学说的是对的，那就是该问题对应的那个结果，如果不是两位同学说的是对的，那就说明不是该作品获一等奖，从而完成任务.详解：若B作品获得一等奖，则根据题中所给的条件，可以判断乙和丙两位说的话是对的，而甲和丁说的都是错的，满足只有两位说的话是对的，而若A作品获一等奖，则没有一个同学说的是正确的，若C作品获得一等奖，则甲、丙、丁三人说的话正确，若D作品获一等奖，则只有甲说的话是对的，故只能选B.点睛：该题考查的是有关推理的问题，解决该题的关键是对每一项作品获一等奖时分析说话正确的同学的人数，如果不是两人，就说明不对，如果正好两人，那就是该题要的结果，注意只能一一验证.9. 设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若,则抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先利用题的条件，写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，需要联立方程组，消元化成关于x的方程，利用韦达定理求得两根和，之后结合抛物线的定义，得到过于p的等量关系式，进而求得抛物线的准线方程.详解：根据题意，设直线的方程为，与抛物线联立，可得，整理可得，从而有，根据，结合抛物线的定义可知，所以，所以抛物线的准线方程为，即，故选A.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的问题，在解题的过程中，利用直线过的点以及直线的倾斜角，利用点斜式写出直线的方程，之后与抛物线联立，求得两根和，之后借助于抛物线的定义，转化得出p 所满足的等量关系式，最后求得题中所要的结果.10. 若函数满足且的最小值为，则函数的单调递增区间为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题的条件求得函数的最小正周期，求得的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间.详解：，根据题中条件满足且的最小值为，所以有，所以，从而有， 令，整理得，从而求得函数的单调递增区间为，故选D.点睛：该题考查的是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确.11. 已知双曲线在左，右焦点分别为，以为圆心，以为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在轴左侧交于两点，且是等边三角形.则双曲线的离心率为（ ）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】分析：首先将双曲线的焦距设出，之后借助于正三角形的特征，求得对应线段的长，从而进一步求得点A 的坐标，利用点在双曲线的渐近线上，得到点的坐标所满足的关系式，从而确定的关系，结合双曲线中的关系，进一步求得离心率的大小. 详解：设，设与x 轴相较于M 点，根据正三角形的性质，可以求得，从而求得，所以有，故选A.点睛：该题考查的是有关双曲线的性质的问题，在解题的过程中，注意找渐近线上的点的坐标，也可以利用等边三角形的性质，可以确定出渐近线的倾斜角，从而求得的关系，结合双曲线中的关系，进一步求得离心率的大小，这样更省时间.12. 已知函数，若对区间内的任意实数，，，都有则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：首先对题中的条件进行分析，任意实数，，，都有，让不等号的左边尽量小，右边尽量大，相当于，之后的任务就是求函数在区间内的最大最小值，利用导数分析函数的单调性，从而求得函数的最值，代入求得参数的取值范围............................详解：根据题意，题中条件可以转化为，，当时，恒成立，所以在区间上是增函数，即，即，解得，当时，恒成立，所以在区间上是减函数，即，即，解得，当时，函数在上单调增，在上单调减，所以有，即，解得，综上，故选C.点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的综合题，最关键的一步就是对题中条件的转化，归纳出结论至关重要，之后就是利用导数研究函数的单调性，从而求得相应的最值，从而求得结果.二、填空题: 本题共4 小题，每小题5分，共20 分.13. 二项式的展开式中的常数项为__________．【答案】60【解析】由题额意得，二项式的展开式的通项为，令，所以，所以展开式的常数项为。
吉林省东北师大附中度高三第四次摸底考试数学试题(文科)
吉林省东北师大附中2007—2008学年度高三第四次摸底考试数学试题（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．第Ⅰ卷的答案用2B 铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷的答案或解答过程均写在答题纸内的指定处，写在试题卷上的无效．2．答题前，考生务必将自己的“班级”、“学号”、“姓名”写在答题卡和答题纸上． 3．考试结束后，只交答题卡和答题纸．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，则（ ）A ．1≥∈⌝x cos R x p ，使：存在B ．1≥∈⌝x cos R x p ，有：对任意C ．1>∈⌝x cos R x p ，使：存在D ．1>∈⌝x cos R x p ，有：对任意2．已知向量()43，-=a ，()43-=，b ，则a 与b（ ）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向3．某水果经销商进了一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：148，146，151，150，152，147，150，152，153，149，由此估计这车苹果单个重量的期望是（ ）A ．147.8克B ．149.4克C ．149.8克D ．150.2克4．集合{}，，若，φ=⋂<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=B A b x x B x x x A 1011则b 的取值范围是 （ ）A ．－2≤b ＜0B ．0＜b≤2C ．－2≤b≤2D ． 22-≤≥b b 或5．双曲线x 2－y 2=4的两条渐进线和直线x=2围成一个三角形区域（含边界），则该区域可表示为（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+200x y x y xB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+200x y x y xC ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≤+200x y x y xD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+200x y x y x6．已知数列｛a n ｝对于任意m 、n ∈N*，有a m +a n =a m+n ，若，411=a 则a 40等于 （ ）A ．8B ．9C ．10D ．117．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()∞+，4上为减函数，且函数()4+=x f y 为偶函数，则S EF ABC（ ）A ．()()32f f >B ．()()52f f >C ．()()53f f >D ．()()63f f >8．如图，在正四面体S —ABC 中，E 为SA 的中点，F 为∆ABC的中心，则异面直线EF 与AB 所成的角是 （ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒ 9．在821⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，含x 的项的系数是 （ ）A ．55B ．－55C ．56D ．－5610．已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<>>∈+=200πϕωϕω，，，A R x x sin A x f 的图象（部分）如图所示，则()x f 的解析式是（ ）A ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=62ππ Ｂ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=622ππ Ｃ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32ππＤ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=322ππ 11．a n =()*N n C n ∈+21，则na a a 11121+++ 等于 （ ）A ．2⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111n B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 112 C ．2－n1 D ．1－n2 12．已知椭圆15922=+y x ，过右焦点F 做不垂直于x 轴的弦交椭圆于A 、B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则=AB NF ： （ ）A ．21B ．31 C ．32D ．41第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．若函数()y f x =的图象与函数x y 4=的图象关于直线y x =对称，则()f x =________；14．若抛物线22y px =的焦点与椭圆14822=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 ； 15．某考生从“××大学”所给的7个专业中选择3个作为自己的志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有 种不同的填写．．志愿方法； 16．对于函数的这些性质：①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数；⑤周期性；函数()R x x x x f ∈+=，35具有的性质的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，，22sin 2sin =++CB A ． I ．试判断△ABC 的形状；II ．若△ABC 的周长为16，求面积的最大值．18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛． （1）求所选3人都是男生的概率；（2）求所选3人中至少有1名女生的概率．19．（本小题12分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，2,11===AB AD AA ，点E 在棱AB 上移动．（1）求证：D A E D 11⊥；（2）E 为AB 中点时，求点E 到平面 1ACD 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D EC D --1的大小是4π．20．（12分）设数列{}n a 满足*N n na a a a n n ∈=++++-，444413221 ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．21．（12分）已知函数c bx ax x x f ++-=23)(的图象为曲线E .（I ）若曲线E 上存在点P ，使曲线E 在P 点处的切线与x 轴平行，求b a ,的关系； （II ）说明函数)(x f 可以在1-=x 和3=x 时取得极值，并求此时b a ,的值； （III ）在满足(2)的条件下，c x f 2)(<在]6,2[-∈x 时恒成立，求c 的取值范围.22．（12分）已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是0=+y x ，且双曲线C 过点)1,2(-P .（1）求此双曲线C 的方程；（2）设直线l 过点)1,0(A ，其方向向量为),1(k e =)0(>k ，令向量满足0=⋅.双曲线C 的右支上是否存在唯一一点B=. 若存在，求出对应的k 值和B 的坐标；若不存在，说明理由.吉林省东北师大附中2007—2008学年度高三第四次摸底考试数学试题（文科）参考答案一、选择题CDBBB CDCDA BB13．()04>=x x log y 14．4 15．2116．①③ 17．（10分）解：Ⅰ、)42sin(22sin 2cos 2sin2sinππ+=+=+-C C C C C2242πππ==+∴C C 即 所以此三角形为直角三角形.Ⅱ．ab ab b a b a 221622+≥+++=2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号，此时面积的最大值为()24632-．18．（12分）（1）解：所选3人都是男生的概率为 513634=C C（2）解：所选3人中至少有1名女生的概率为543614222412=+C C C C C 另解：1－545113634=-=C C19．（12分）解：（1）由于 D AE 11D AA 面⊥，11AD D A ⊥，根据三垂线定理，得D A E D 11⊥． (4分) （2）设E 到平面1ACD 的距离为h ．在1ACD ∆中，51==CD AC ，21=AD ，231=∆C AD S ， 而21=∆ACE S ，h S DD S C AD ACE ⋅=⋅∴∆∆113131V 1-D ＝ＡＥＣ， 得31=h ． (8分) （3）过D 作CE DH ⊥于H ，连接DE H D 、1，则CE H D ⊥1．1DHD ∠∴为二面角D EC D --1的平面角．设,x AE =则,2x BE -=在DH D 1∆中，1DHD ∠∴4π=，得1=DH ．由于DA CD DH CE ⋅=⋅, 即21)2(2=+-x ，解得32-=x ．因此，当32-=x 时，二面角D EC D --1的大小为4π． (12分)20．（12分）解：(I) ，444413221n a a a a n n =++++-()，241444123221≥-=++++--n n a a a a n n ()，241441≥--=∴-n n n a n n()241≥=∴n a n n 验证1n =时也满足上式， ()*N n a nn ∈=∴41(II) ∵n nnb a =，∴n n n b 4⋅=， ()1443424132nn n S ⋅++⋅+⋅+⋅=()()244143424141432+⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S（1）－（2）得1324414141413+⋅-⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n S()14414143+⋅---=-∴n nn n S ()44439111+-⋅=∴++n n n n S21．（12分）解：（1）b x a x x f +-='23)(2,设切点为),(00y x P ,则曲线)(x f y =在点P 的切线的斜率b ax x x f k +-='=020023)(,由题意知023)(0200=+-='b ax x x f 有解， ∴01242≥-=∆b a 即b a 32≥.（2）若函数)(x f 可以在1-=x 和3=x 时取得极值，则023)(2=+-='b x a x x f 有两个解1-=x 和3=x ，且满足b a 32≥. 易得9,3-==b a .（3）由（2），得c x x x x f +--=93)(23.根据题意，x x x c 9323-->(]6,2[-∈x )恒成立.∵函数x x x x g 93)(23--=（]6,2[-∈x ）在1-=x 时有极大值5（用求导的方法）， 且()=6g 54，()，22-=-g .∴函数x x x x g 93)(23--=（]6,2[-∈x ）的最大值为54.所以54>c .22．解：（1）设双曲线C 的方程为)0(22≠=-λλy x ，将点)1,2(-P 代入可得1=λ， ∴双曲线C 的方程为122=-y x .（2）依题意，直线 l 的方程为1+=kx y )1(>k .设),(00y x B 是双曲线右支上满足= 的点，结合 0=⋅e n ，得11200+=+-k y kx ，即点),(00y x B 到直线l 的距离 111200=++-=k y kx d若1>k ，则直线l 在双曲线C 右支的上方，故100+<kx y ，从而11200+-+=k kx y . 又因为 12020=-y x ，所以 0123)11(2)1(2202202=+-+++-+-k k x k k x k .此时 012>-k ，由0=∆得 25=k ，此时方程有唯一解 50=x ，则)2,5(B 综上，符合条件的k 值为 25=k ，此时)2,5(B .。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学(理科)第一轮高考总复习阶段测试卷(第24周)Word版含答案
）
9. 不等式 x 1 x 2 5 的解集为
.
10. 直 线 l 的 参 数 方 程 是 x
y
2
t 2
（ 其 中 t 为 参 数 ）， 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为
2 t 42
2
2 cos(
) ，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是
.
4
11. 如图， AB 是⊙ O 的直径， P 是 AB 延长线上的一点，过 P 作⊙ O 的切线，切点为 C ，
时量 120 分钟 总分 150 分
【测试目标：了解外地考卷命题形式】
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求的 .
1. 如图：给定全集 U 和集合 A,B ，则如图阴影部分表示的集合是（
）
A. A (CU B)
B. (CU A) B
C. CU ( A B) B
D. CU ( A B) A
1
2. 函数 f ( x) ln x 的一个零点所在的区间是（
）
x
AU
A. ( 1,1)
B. (1,2)
C.( 2, e)
1
3. 化简对数式
log 3 1 得到的值为（
log 5 3
15
D. (e,3)
）
AA
AB
A. 1
B. 2
C. - 1
1
D.
则 m=
；
（Ⅱ）令 U (a1, a2, a3 , , an) ，若 V Sn ，则所有 d(U ,V ) 之和为
．
一 选择题：
高三周考 数学 (理科） 答卷
时量 120 分钟 总分 150 分
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学(理科)第二轮高考总复习阶段测试卷1(含答案)
东北师大附中2015届高三年级数学[理科]第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( ) A ．{0} B ．{0,1} C ．{－1,1} D ．{－1,0,1} 2．命题p ：0∀>x ，都有sinx ≥-1，则( )A ．p ⌝：0∃>x ，使得sin 1x <- B. p ⌝：0∀>x ，都有sinx <-1 C. p ⌝：0∃>x ，使得sin 1x >- D. p ⌝：0x ∀>，都有sinx ≥-1 3．已知向量)0,3(),1,2(-=-=，则在方向上的投影为( )A ．5-B ．5C ．-2D ．24. 在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝（ ）A. 58B. 88C.143D.1765. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．同时具有性质①最小正周期是π；②图像关于直线3π=x 对称；③在]3,6[ππ-上是增函数的一个函数是（ ）A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x y C ．)62sin(π-=x y D ．cos()26x y π=- 7．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ） A ．38 B ．83 C ．316 D ．163 8. 已知函数()()31log 13xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭有两个零点12,x x ，则（ ）A.121x x <B.1212x x x x >+C.1212x x x x <+D.1212x x x x =+ 9.与直线04=--y x 和圆02222=-++y x y x 都相切的半径最小的圆的方程是( ) A. 22(1)(1)2x y +++= B. 22(1)(1)4x y +++= C. 2)1()1(22=++-y x D. 4)1()1(22=++-y x10. 已知)(x f ，)(x g 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①)(x f =x a 〃)(x g （1,0≠>a a ）；②)(x g 0≠； ③)()()()(x g x f x g x f ⋅'>'⋅； 若25)1()1()1()1(=--+g f g f ，则a 等于( ) A ．21 B ．2 C ．45D ．2或2111．已知()2sin(+)f x x ωϕ= , (ω>0 , 22πϕπ<<-) ， A 、B 为图象上两点，B 是图象的最高点，C为B 在x 轴上射影，且点C 的坐标为),0,12(π则AB 〃BC =( ). A.4π4+ B. 4π4- C. 4 D. 4-12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且[]0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：()31f =；乙：函数()f x 在[]6,2--上是增函数；丙：函数()f x 关于直线4x =对称；丁：若()0,1m ∈，则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为-8，其中正确的是（ ）A.甲，乙,丁B.乙,丙C.甲,乙,丙D.甲,丁第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px （p >0）的准线相切，，则此抛物线的焦点坐标是___________。
吉林省东北师范大学附属中学2020届高三第四次模拟考试数学(理)试题
外…………○……学校:___内…………○……绝密★启用前吉林省东北师范大学附属中学2020届高三第四次模拟考试数学（理）试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合{}260,{21,}A x x x B x x k k Z =--≤==-∈，则A B =（ ）A ．{1,1}-B ．{1,3}C ．{1,1,3}-D ．{1,3}-2．在复平面内，复数z i +对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A ．1--B ．i +C ．1-+D ．i3．某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高，2019年全年总收入与2018年全年总收入相比增长了一倍，同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生相应变化，下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法错误的是（ ）A ．该企业2019年研发的费用与原材料的费用超过当年总收入的50%B ．该企业2019年设备支出金额及原材料的费用均与2018相当C ．该企业2019年工资支出总额比2018年多一倍D ．该企业2018年与2019研发的总费用占这两年总收入的20%○…………外………装…………○…………订…※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答○…………内………装…………○…………订…①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则d =（ ） A ．12B ．14C ．4D ．26．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长､b 为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（ ）A ．a <b ?;a =a 2a +B ．a <b ?;a =a +2aC ．a ≥b ?;a =a 2a+D ．a ≥b ?;a =a +2a7．函数ln ()sin xf x x x=+的部分图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．8．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点为12,F F ，过2F 作x 轴的垂线与C相交于,A B 两点，1F B 与y 轴相交于D ，若1BF AD ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ） AB C ．2D ．39．已知函数()y f x =是定义域为(,)ππ-的偶函数，且在(0,)π上单调递增，设(log 3)a f π=，1313(log 9),()b f c f π==，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b a c >>10．把函数sin2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =有以下四个判断：①该函数的解析式为2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；②该函数图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③该函数在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；④函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则a =其中，正确判断的序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②④11．已知圆C ：22(1)12x y -+=，点P 是圆C 上的动点，点(1,0)M -，线段PM 的中垂线交PC 于Q ，当MQC ∠最大时，QM 所在直线的方程是（ ） A ．1)y x =+ B ．2(1)y x =±+C ．1(1)2y x =±+ D ．1)y x =+ 12．已知()()()sin 0xxf x a e e x a π-=-->存在唯一零点，则实数a 的取值范围（ ）. A ．,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明○…………外……………………○……※※在※※装※※订※※○…………内……………………○……二、填空题13．已知非零向量a b ， 满足aa b ，则1()2a b b -⋅=__.14．二项式61)x的展开式的常数项是_______.（用数字作答） 15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122n n n S a --=，则2020S =_______. 三、双空题16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为____．四、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=，PAB △为正三角形，PC =E 为线段AB 的中点．1………○………………线………学校:___________………○………………线………（2）若3PM PD =，求二面角M EC D --的大小． 18．如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，, 1.4ADC AB BD π∠===（1）求AD 和sin B ；（2）若(1tan )(1tan )2++=B C ，求sin C . 19．设函数()1f x mx =+（m R ∈），()ln g x x =. （1）求()()()h x f x g x =-的极值；（2）当01x <<时，函数1()(1)y a g x x=++的图象恒在直线1y =的上方，求实数a 的取值范围；20．随着现代电子技术的迅猛发展，关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科——可靠性理论．在可靠性理论中，一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性．元件组成系统，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性．现有n （*n N ∈，2n ≥）种电子元件，每种2个，每个元件的可靠性均为p （01p <<）．当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路．现要用这2n 个元件组成一个电路系统，有如下两种连接方案可供选择，当且仅当从A 到B 的电路为通路状态时，系统正常工作．（1）（i ）分别写出按方案①和方案②建立的电路系统的可靠性1P 、2P （用n 和p 表示）； （ii ）比较1P 与2P 的大小，说明哪种连接方案更稳定可靠； （2）设4n =，45p =，已知按方案②建立的电路系统可以正常工作，记此时系统中损坏的元件个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．21．已知O 为坐标原点，直线:1l x my =+过椭圆22221(0)x ya b a b+=>>右焦点F 且交椭圆于,A B 两点，P 为直线4x =上动点，当PF l ⊥时，直线OP 平分线段AB （1）求椭圆方程；（2）记直线,PA PB 斜率分别为12,k k ，直线PF 斜率为k ，求证：122k k k +=． 22．在平面直角坐标系xOy 中，将曲线11cos :2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数) 上任意一点(,)M x y 经过伸缩变换'2'x xy y=⎧⎨=⎩后得到曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ+=． （1）求直线l 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线2C 交于,A B 两点，(1,0)P ，求||||||PA PB -的值. 23．若关于x 的不等式22210x x t +---≥在实数范围内有解. （1）求实数t 的取值范围；（2）若实数t 的最大值为a ，且正实数m n p ，，满足23m n p a ++=，求证：123m p n p+++≥.参考答案1．C 【解析】 【分析】由题意结合一元二次不等式的解法可得{}23A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}()(){}{}26032023A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以{}{}{}2321,1,1,3A B x x x x k k Z ⋂=-≤≤⋂=-∈=-. 故选：C. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合交集的运算与运算求解能力，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】由题意结合复数的坐标表示可得z i =，再利用复数的除法运算法则即可得解. 【详解】i在复平面内对应的点为)，复数zi +对应的点关于实轴对称，∴复数z在复平面内对应的点为)1-，∴z i =，∴)21i i z i i ii⋅===-.故选：A. 【点睛】本题考查了复数的运算与复数几何意义的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】由题意对统计图的数据进行提取、整合，逐项判断即可得解.【详解】由题意设该企业2018年全年总收入为x，则2019年全年总收入为2x，对于A，该企业2019年研发的费用占全年总收入的0.25，原材料的费用占全年总收入的0.3，两者的费用和占全年总收入的0.250.30.55+=，超过50%，故A正确；对于B，该企业2019年设备支出金额为全年总收入的0.2，即为0.4x，原材料的费用占全年总收入的0.3，即为0.6x；2018年设备支出金额占全年总收入的0.4，即为0.4x，原材料的费用占全年总收入的0.15，即为0.15x；所以该企业2019年设备支出金额与2018年相当，但原材料的费用不相同，故B错误；对于C，该企业2019年、2018年工资支出总额均占全年总收入的0.2，分别为0.4x、0.2x，所以该企业2019年工资支出总额比2018年多一倍，故C正确；对于D，该企业2018年与2019研发的费用分别占全年总收入的0.1与0.25，分别为0.1x与0.5x，两年的总费用为0.6x，占这两年总收入的0.60.220%3xx==，故D正确.故选：B.【点睛】本题考查了统计图的应用，考查了数据分析能力，关键是对于统计图中的数据进行有效提取、整合，属于基础题.4．B【解析】【分析】利用线线、线面、面面位置关系的性质与判定，逐项判断即可得解.【详解】对于①，由线面平行的判定可知若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，故①错误；对于②，由面面垂直的判定可知若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故②正确；对于③，同一平面中垂直于同一直线的两条直线相互平行，空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；对于④，若一个平面内存在一条直线垂直另一平面，由线面垂直的性质可知该直线必然垂直两平面的交线，所以若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了空间中线线、线面、面面位置关系性质与判定的应用，考查了空间思维能力，属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】由题意结合等差数列通项公式、前n 项和公式列方程即可得解. 【详解】数列{}n a 为等差数列，4505S a ==，， 设数列{}n a 的公差为d ，∴41514340245S a d a a d ⨯⎧=+⋅=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩. 故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式与前n 项和公式的基本量运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】由程序框图模拟程序的运行，结合题意即可得解. 【详解】竹逾松长，意为竹子比松高，即a <b ，但这是一个含当型循环结构的程序框图，当不满足条件时，退出循环，故菱形框中条件应为a ≥b ？，松日自半，则表示松每日增加一半，即矩形框应填a =a 2a+. 故选：C【点睛】本题考查数学文化和补全程序框图相结合的综合问题，重点考查理解题意，并能正确模拟程序运行，属于基础题型. 7．C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，根据奇偶函数图象特征排除，再利用特值验证排除可得解. 【详解】因为ln ||0,()sin()()x x f x x f x x-≠-=-+=--, ln ()sin xf x x x∴=+奇函数，图象关于原点对称，所以排除选项D ； 因为2ln2()102f πππ=+>，所以排除选项A ；因为ln ()00f πππ=+>，所以排除选项B ；因此选项C 正确.故选：C. 【点睛】本题考查函数图象识别问题.其解题思路：由解析式确定函数图象：①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 函数图象识别有时常用特值法验证排除 8．B 【解析】 【分析】连接1AF ，设该双曲线的焦距为2c ，将x c =代入双曲线方程可得A 、B 坐标，由平面几何知识可得1AF AB =，利用双曲线定义可得2122b a AF AF a=-=，化简后再利用双曲线离心率公式即可得解. 【详解】连接1AF ，如图：设该双曲线的焦距为2c ，则122F F c =，()2,0F c ，由22221c y a b -=、222c a b =+可得2by a =±，所以2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以22b ABa ，22b AF a=， 因为点O 为12F F 的中点，且2//OD F B ，所以点D 为1BF 的中点，又1BF AD ⊥，所以212b AF AB a==，所以2221222b b b a AF AF a a a=-=-=，即222a b =，所以该双曲线的离心率c e a ====故选：B. 【点睛】本题考查了双曲线性质的应用，考查了双曲线离心率的求解，关键是对于条件的合理转化，属于中档题. 9．A 【解析】 【分析】由题意结合偶函数的性质可得()2b f =，利用对数函数、幂函数的单调性可得130log 312ππ<<<<，再利用函数的单调性即可得解.【详解】函数()y f x =是定义域为(,)ππ-的偶函数,∴()()13log 922b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，log 1log 3log ππππ<<，∴0log 31π<<，11133318π<<，∴1312π<<，∴130log 312ππ<<<<，又函数()y f x =在(0,)π上单调递增，∴()132()(log 3)f f f ππ>>即b c a >>.故选：A. 【点睛】本题考查了对数函数单调性、幂函数单调性的应用，考查了函数单调性与奇偶性的应用，属于中档题. 10．D 【解析】 【分析】先利用三角函数的平移变换和伸缩变换得到函数()2in 23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f s x x ，再利用正弦函数的性质一一验证. 【详解】把函数sin2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位得到sin 2in 263ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦y x s x ， 纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()2in 23π⎛⎫=+⎪⎝⎭f s x x ，故①正确； 因为2in 2=033ππ⎛⎫⨯+⎪⎝⎭s ，故②正确； 因为0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则22,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin y x =不单调，故③错误；因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2in 223π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭s x ，若函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦a = 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．A 【解析】 【分析】由题意可得，点Q 的轨迹是以,C M 为焦点的椭圆，则当点Q 位于椭圆的短轴的端点时，MQC ∠最大，由此可求出答案．【详解】解：由题意，点M 在圆C 内，圆22(1)12x y -+=的圆心()1,0C ，半径r =∵线段PM 的中垂线交PC 于Q ，∴QM QP PC =<，∴QM QC QP QC +=+2PC CM ==>=，∴点Q 的轨迹是以,C M 为焦点、长轴长为即a =1c =，b =∴点Q 的轨迹方程为22132x y +=，由椭圆的几何性质可知，当点Q 位于椭圆的短轴的端点(0,时，MQC ∠最大，此时QM 所在直线的方程是11x =-，即1)y x =+， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查椭圆的定义的应用，考查椭圆的几何性质，属于中档题． 12．B 【解析】 【分析】利用奇偶性可确定唯一零点0x =，将问题转化为()f x 在0x >时无零点问题的求解；利用放缩法，令()()xxh x a e ex π-=--，利用导数可求得2a π≥时()0h x >，由此知满足题意；当02a π≤<，利用零点存在定理可确定()f x '在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在零点，由此可确定存在()00,x x ∈时，()0f x <，结合x →+∞时，()f x →+∞，可确定02a π≤<不合题意，由此得到结论. 【详解】()f x 定义域为R 且()()()sin x x f x a e e x f x π--=-+=-，()f x ∴为定义在R 上的奇函数，()f x ∴的唯一零点为0x =，则只需0x >时，()f x 无零点即可得到结论；当0x >时，令()sin g x x x ππ=-，则()()cos cos 10g x x x πππππ'=-=-≤，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即sin x x ππ<，∴()()sin x x x x a e e x a e e x ππ---->--，令()()xxh x a e ex π-=--，则()()xx h x a ee π-'=+-，()()x x h x a e e -''=-，0a >，则()0h x ''>，()()02h x h a π''∴>=-，当2a π≥时，()()00h x h ''>≥，()()00h x h ∴>=，()()sin 0xxa e e x h x π-∴-->>，满足当0x >时，()f x 无零点； 当02a π≤<时，()()cos x xf x a e ex ππ-'=+-， ()020f a π'∴=-<，111122221cos 022f a e e a e e ππ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()f x '∴在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在最小零点0x ，使得()00f x '=，又()f x '为连续函数，则当()00,x x ∈时，()0f x '<；()()00f x f ∴<=，又x →+∞时，()f x →+∞，()f x ∴在()0,∞+上必存在零点，不合题意；综上所述：实数a 的取值范围为,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，涉及到函数奇偶性、零点存在定理的应用；关键是能够根据函数奇偶性确定零点位置，进而将问题转化为函数在0x >时无零点问题的求解；难点在于通过放缩和零点存在定理确定符合题意的区间. 13．0 【解析】 【分析】aa b 两边平方求出2||2b a b =⋅；化简1()2a b b -⋅ 可求解.【详解】由aa b 两边平方，得222|||||+|2a a b a b -=⋅，2||2b a b =⋅，211()=022a b b a b b a b a b -⋅=⋅-=⋅-⋅，故答案为：0 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用. 求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22•a a a a ＝＝或2222||)2?(a b a b aa b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．14．240 【解析】 【分析】直接根据二项展开式的通项公式求解即可． 【详解】解：∵61)x的展开式的通项公式(6161rrr r T C x -+⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭()3362621r rr rC x--=⋅⋅-⋅，令3302r -=，得2r ，则()2243621240T C =⋅⋅-=，故答案为：240． 【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题． 15．101021(1)34- 【解析】 【分析】可由所给等式利用n S 与n a 的关系求得1121122n n n n a a ---+=-，列出2020S 利用分组求和法及等比数列求和公式即可得解. 【详解】当2n ≥时，1122n n n S a --=，-1-12122n n n S a -∴-=， 两式相减可得1121122n n n n a a ---+=-，()()()2020123420192020S a a a a a a ∴=++++++103220192018111111222222=-+-++-132019022018111111+222222⎛⎫⎛⎫=+++-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1010101010101010111111[1]121244224(1)1133411444⎛⎫⎛⎫---+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-==---.故答案为：101021(1)34- 【点睛】本题考查递推公式、分组求和法、等比数列求和公式，属于中档题. 16．23 1627π 【解析】 【分析】求出一个正四面体的体积乘以2，即为所求六面体的体积；取该六面体的一半记为正四面体S ABC -，取BC 中点为D ，连接SD，AD ，作SO ⊥平面ABC ，垂足O 在AD上，当六面体内的球体积最大时球心为O 且该球与SD 相切，过球心作OE SD ⊥，则OE 就是球半径，求出OE 代入球体体积计算公式即可得解. 【详解】一个正三角形面积为12=，的正三角形构成的，所以，该六面体看成由两个全等的正四面体组合而成，，如图，S ABC-中，取BC中点为D，连接SD，AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，则AD SD===13OD AD==，SO==111133233ABCV S SO∆=⋅⋅=⋅=，该六面体的体积为两个正四面体的体积之和21223V V==，当该六面体内有一球，如上图，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心作OE SD⊥，则OE就是球半径，因为SO OD SD OE⨯=⨯，所以球半径SO ODR OESD⨯====所以该球体积的最大值为：2164927Sππ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎪⎝⎭.故答案为：答题空1：23；答题空2：1627π；【点睛】本题考查多面体的体积、球体体积、球与多面体内切问题，属于中档题.17．（1）见解析（2）60︒．【解析】【分析】（1）根据PAB△为正三角形及E为线段AB的中点可知PE AB⊥，再由所给线段长度及勾股定理逆定理证明PE CE⊥，即可由线面垂直的判定定理证明PE⊥平面ABCD；（2）以E 为原点，分别以EB ，EC ，EP 为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，结合3PM PD =可求得M 的坐标，由空间向量法求得平面CEM 的法向量及平面ABCD 的法向量，由空间向量法即可求得二面角M EC D --的余弦值，进而求得二面角的大小． 【详解】（1）证明：连接CE ，PE 如下图所示：∵PAB △是边长为2的正三角形，且E 是AB 中点，∴PE AB ⊥，PE =，又∵ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=，∴ABC 是正三角形，CE =又∵PC =∴222PC PE CE =+，即PE CE ⊥，又PE AB ⊥，CE AB E ⋂=， ∴PE ⊥平面ABCD ．（2）由（1）可得：以E 为原点，分别以EB ，EC ，EP 为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -如下图所示则()000E ，，，()100B ，，，(00P，()00C，()20D -． 设点M 坐标为()x y z ，，，由3PM PD =，得((32x y z =-，，，∴2333M ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，，∴23EM ⎛=- ⎝⎭，()00EC =， 设平面CEM 的法向量为()n x y z =，，，则20330n EM x y z n EC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩，令z =1，得()301n =，，．∵PE ⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的法向量()001m =，，， ∴11os ==212c n m n m n n⋅=⨯⋅，，由空间结构体图形可知，二面角M EC D --为锐二面角， ∴二面角M EC D --的大小为60︒． 【点睛】本题考查了线面垂直的判定，由空间向量法求二面角的应用，属于中档题.18．（1）AD =sin B =（2）sin C =【解析】【分析】（1）在ABD △中，应用余弦定理可求得AD ，然后由正弦定理求得sin B ； （2）利用两角和的公式求得B C +，再由两角差的正弦公式求得sin C ． 【详解】解：（1）344ADB πππ∠=-=，设AD x =， 在ABD ∆中， 2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，即2512(x x =+-⨯，解得x =-（舍），x =，AD ∴=. 在ABD ∆中，sin sin 5AD ADB B AB∠===.故AD =sin B =. （Ⅱ）由(1tan )(1tan )2++=B C 得tan tan 1tan tan C B C B +=-，tan tan tan()11tan tan C BC B C B++==-∵,B C 是三角形内角，∴(0,)B C π+∈， 4B C π∴+=由（1）知sin 5B =，(0,)2B π∈，cos B ∴===，sin sin()sin cos cos sin sin )444210C B B B B B πππ=-=-=-=． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查两角和与差的正切、正弦公式，考查知识点较多，对学生的运算求解能力要求较高，属于中档题． 19．（1）见解析（2）12a ≥ 【解析】 【分析】（1）求出导函数()h x '，按0m ≤和0m >分类讨论可得；（2）问题转化为不等式恒成立，对不等式讨论，由于(0,1)x ∈，按1a <-和1a ≥-分类讨论，1a ≥-时，由于10a x +>恒成立，不等式变形为ln(1)0(01)1x x x ax+-><<+，引入新函数()ln(1)1xF x x ax =+-+，01x <<.求出导函数22[(12)]()(1)(1)x a x a F x ax x --'=++，01x <<.讨论()0F x '=的根的情况，按此分类得出函数的单调性，从而得出结论．【详解】解：（1）∵()1ln h x mx x =+-，0x >，∴11()mx h x m x x-'=-=，0x >. 当0m ≤时，∵0x >，∴()0h x '<，所以()h x 在区间为(0,)+∞单调递减，所以()h x 无极值；当0m >时，令()0h x '=，解得1x m =，当1(0,)x m ∈时，()0h x '<，当1(,)x m∈+∞时，()0h x '>所以()h x 在区间为1(0,)m递减，在区间为1(,)m+∞递增，所以当1x m=时()h x 取得极小值1()ln 2h m m=+，无极大值. （2）由题可知，不等式1()ln(1)1a x x ++>对(0,1)x ∈恒成立.当1a <-时，取1(0,1)x a =-∈代入上述不等式，此时01>，不符合题意；当1a ≥-时，因为110axa x x++=>在(0,1)x ∈上恒成立， 所以不等式等价于ln(1)0(01)1xx x ax+-><<+ 令()ln(1)1xF x x ax=+-+，01x <<.则22[(12)]()(1)(1)x a x a F x ax x --'=++，01x <<.当0a =，()01xF x x -'=<+，所以()F x 在(0,1)递减，所以()(0)0F x F <=，不符合题意； 当2120aa -≤，即12a ≥时，()0F x '>，所以()F x 在(0,1)递增，所以()(0)0F x F >=，01x <<，符合题意；当2120a a ->，即112a -≤<且0a ≠时，取0212min{,1}ax a-=，当0(0,)x x ∈时，必有()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 上递减，所以()(0)0F x F <=，0(0,)x x ∈，不符合题意.综上：a 的取值范围是12a ≥. 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，考查用导数研究不等式恒成立问题，不等式恒成立问题常常转化为求函数的最值，利用最值满足的性质确定结论． 20．（1）（i ）()12nnP pp =-，()22nnP p p =-（ii ）12P P <，按方案②建立的电路系统更稳定可靠．（2）见解析，43【解析】 【分析】（1）（i ）利用对立事件的概率公式计算，n 个元件串联通路的概率是np ，而n 个元件并联时不通的概率是np ，由此可计算可计算方案①和方案②建立的电路系统的可靠性1P 、2P ；（ii ）作差后构造函数()()22nn f x x x =---，利用导数可得其单调性从而得()f p 与(1)0f =的大小，得出结论；（2）在方案②电路系统可以正常工作的条件下，元件损坏的概率是条件概率，可计算编号相同的两个并联元件中至多有一个损坏，且有一个损坏的条件概率为()()12211311C p p p -=--，由此可知，14,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，依次计算出各概率，得分布列，再由二项分布计算出期望． 【详解】解：（1）（i ）按方案①建立的电路系统的可靠性()()21112nn n P pp p =--=-；按方案②建立的电路系统的可靠性为()()22112nn n P p p p ⎡⎤=--=-⎣⎦； （ii ）()1222n n n P P p p p ⎡⎤-=---⎣⎦． 令()()22nn f x x x =---，*n N ∈且2n ≥，则()()112n n f x n x x --⎡⎤'=--⎣⎦．当()0,1x ∈时，()1121n n x x --->>，从而()0f x '>，所以()f x 在()0,1上单调递增；当()0,1p ∈时，()()10f p f <=，即()220nn p p ---<．所以，12P P <，按方案②建立的电路系统更稳定可靠．（2）在方案②电路系统可以正常工作的条件下，编号相同的两个并联元件中至多有一个损坏，且有一个损坏的条件概率为()()12211311C p p p -=--，由此可知，14,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ()42160381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314123213381P X C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()222412823327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()33412833381P X C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()4114381P X ===；所以，随机变量X 的分布列为()14433E X =⨯=．【点睛】本题考查对立事件的概率关系，考查二项分布与期望，解题关键是掌握串联电路与并联电路正常工作和不正常工作的概率的求解方法．考查学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．21．（1）22143x y （2）见解析【解析】 【分析】（1）直线l 与x 轴交点为(1,0)F ，即1c =，由直线l 方程代入椭圆方程，设1122(,),(,)A x y B x y 后可得1212,y y y y +，得中点M 坐标，设(4,)P n ，由OM OP k k =，1l FPk k ⋅=-可得22b a，从而可得,a b ，得椭圆方程．（2）在（1）的基础上直接计算12k k +与k ，即证得结论．【详解】解：（1）由222211x y a b x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得22222222()20b m a y b my b a b +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则222212122222222,b m b a b y y y y b m a b m a--+==++， 设AB 中点00(,)M x y ，则2212000222222,12y y b m a y x my b m a b m a +-===+=++ 22222222(,)a b m M b m a b m a -++，22OM b mk a-=设(4,)P n ，3FP n k =，1l k m =，4OP nk =， 依题意，OMOP k k =，即224b m n a -=，13FP l n k k m ==-，得2234b a =，又2221a b c -==，解得224,3a b ==，椭圆方程为22143x y ．（2）由（1）知12122269,3434m y y y y m m --+==++，3FPnk k == 12121212124433y n y n y n y nk k x x my my ----+=+=+---- 1212122121223()()63()9my y y y nm y y n m y y m y y -+-++=-++2222222218186634343491893434m m nm n m m m m m m m -++++++=-++++222266(34)2927363nm n m nm m ++==++， 所以122k k k +=． 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，方法是“设而不求”的思想方法，即设交点为1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得1212,y y y y +（或1212,x x x x +），把1212,y y y y +整体代入题中其他条件参与计算化简．22．（1）2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，l 的普通方程为10x y +-=；（2【解析】 【分析】（1）先求出曲线2C 的参数方程，然后消去参数θ，即可求出曲线2C 的直角坐标方程；由cos x ρθ=，sin y ρθ=，能求出直线l 的普通方程；（2）求出直线l 的参数方程，并代入2240x y x +-=，得到230t -=，由此借助韦达定理即可求出||||||PA PB -的值. 【详解】（1）设曲线2C 上任意一点(,)M x y '''，则有'2(1cos )'2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，消去θ得2240x y x +-''='，所以，曲线2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=. 由(cos sin )1ρθθ+=，得l 的普通方程为10x y +-=.（2）直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，将其代入2240x y x +-=，得221410⎛⎫⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即230t -=， 设,A B 对应的参数分别为12,t t，则12123t t t t +==-， 因为1230t t =-<，所以，1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=+=【点睛】参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化；极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程；解决极坐标方程与参数方程的综合问题时，对于参数方程或极坐标方程应用不熟练的情况下，我们可以先化为直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰；对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷.23．（Ⅰ） 3t ≤ （Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】（Ⅰ）不等式22210x x t +---≥在实数范围内有解，也即是2221x x t +--≥成立，求出2221x x +--最大值即可； （Ⅱ）先由（Ⅰ）得到3a =，因此()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，展开之后结合基本不等式即可证明结论成立；也可利用柯西不等式()()2121141223223m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++≥ ⎪⎣⎦++++⎝⎭来证明. 【详解】解：（Ⅰ）因为22210x x t +---≥所以2221x x t +--≥ 又因为()222122213x x x x +--≤+--= 所以3t ≤（Ⅱ）由（1）可知，3a =,则 方法一：()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()41221141433223m p n p m p n p ⎛⎡⎤++=+++≥++=⎢⎥ ++⎣⎦⎝ 123m p n p∴+≥++方法二：利用柯西不等式()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭2133≥= 123m p n p∴+≥++ 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，以及不等式的证明，常用到基本不等式或柯西不等式等，需要考生灵活运用各类结论，属于常考题型.。
东北师范大学附属中学2015届高三第四次模拟考试数学(理)试题及答案
2014-2015学年（下）高三年级“三年磨一剑之亮剑”第四次模拟考试 数学学科（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 设集合错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
(A)错误！未找到引用源。
(B)错误！未找到引用源。
(C) 错误！未找到引用源。
(D) 错误！未找到引用源。
(2) 设复数错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
(A)错误！未找到引用源。
(B) 错误！未找到引用源。
(C) 错误！未找到引用源。
(D) 错误！未找到引用源。
(3) 已知命题错误！未找到引用源。
“错误！未找到引用源。
”，则命题错误！未找到引用源。
(A)错误！未找到引用源。
(B)错误！未找到引用源。
(C)错误！未找到引用源。
(D)错误！未找到引用源。
(4) 各项均为正数的等差数列错误！未找到引用源。
中，错误！未找到引用源。
，则前12项和错误！未找到引用源。
的最小值为(A)错误！未找到引用源。
(B)错误！未找到引用源。
(C)错误！未找到引用源。
(D)错误！未找到引用源。
(5) 已知错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
(A)错误！未找到引用源。
(B)错误！未找到引用源。
(C)错误！未找到引用源。
(D)错误！未找到引用源。
(6) 高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为(A) 错误！未找到引用源。
(B) 错误！未找到引用源。
(C) 错误！未找到引用源。
(D) 错误！未找到引用源。
(7) 已知实数错误！未找到引用源。
满足平面区域错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的最大值为 (A)错误！未找到引用源。
吉林省东北师范大学附属中学高三理综下学期第四次模拟
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理综下学期第四次模拟考试试题注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分300分，考试时间150min；2．请在答题卡的指定位置上填写姓名、考号，并将条形码贴在相应位置；3．第I卷（选择题）答案填涂在答题卡相应位置，第II卷（非选择题）答案填写在答题卡上；4．请仔细审题、认真做答。
可能用到的原子量：H：1，C：12，N：14，O：16，Na：23，Mg：24，S：32，Al：27；Fe：56，Cu：64。
第I卷（选择题，共126分）一、选择题：本大题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请仔细审题，认真做答。
1．下列物质的合成与氨基酸没有直接关系的是A．生长素 B．胰岛素 C．甲状腺素 D．纤维素2．下列有关人体细胞分裂、分化、衰老和癌变的叙述中，不正确的是A．神经细胞和肌肉细胞内的mRNA种类大多相同B．心肌细胞和甲状腺细胞膜上的糖蛋白基本相同C．衰老细胞内色素积累会妨碍细胞内物质的交流和传递D．致癌病毒诱导癌变主要是因为病毒中含有病毒癌基因及有关的致癌核酸序列3．下列生物学经典实验方法与结论均正确的一组是A．恩格尔曼用极细光束照射黑暗环境中的水绵，得出了水绵在光下可以释放O2的结论B．艾弗里利用同位素标记法设计实验，证明了“转化因子”是DNAC．温特设计对照实验，证明胚芽鞘的弯曲生长是一种化学物质引起的D．科学家利用绿色和红色荧光染料分别对人和鼠细胞膜表面蛋白质进行标记、培养观察，证明了细胞膜是选择透过性膜4．免疫系统针对某种抗原的刺激，不能产生相应的特异性免疫活性物质和免疫效应细胞，称为免疫耐受。
而免疫缺陷是指由于遗传、发育及感染等因素引起机体免疫细胞分化、增殖和代谢等方面出现异常，最终导致免疫系统功能异常。
下列有关机体免疫的叙述中，不正确的是A．免疫耐受的存在可能让器官移植更容易成功B．HIV感染可能引起机体免疫缺陷C．由于机体免疫耐受的存在可引起患癌症的机会增加D．只有B细胞或T细胞的功能出现异常才可能引起免疫缺陷5．当体表痛和内脏痛共用一个中间神经元时（如图），神经中枢无法判断刺激究竟来自内脏还是体表，但由于神经中枢更习惯于识别体表的信息，常将内脏痛误认为是体表痛，这种现象称为牵涉痛。
吉林省东北师范大学附属中学2020届高三第四次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
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理科数学
本试卷共8页．本试卷满分150分，考试时间为120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合{}260,{21,}A x x x B x x k k Z =--≤==-∈，则A
B =（ ） A. {1,1}-
B. {1,3}
C. {1,1,3}-
D. {1,3}- 【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合一元二次不等式的解法可得{}23A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解.
【详解】由题意{}()(){}{}
26032023A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤， 所以{}{}{}2321,1,1,3A B x x x x k k Z ⋂=-≤≤⋂=-∈=-.
故选：C.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合交集的运算与运算求解能力，属于。
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2014-2015学年（下）高三年级“三年磨一剑之亮剑”
第四次模拟考试数学学科（理）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1) 设集合2
1
{|},{|1}
A x x x
B x
x
=≤=≥，则A B=
(A)(,1]
-∞(B)[0,1](C) (0,1](D) (,0)(0,1]
-∞
(2) 设复数z满足(12)34
i z i
-=+，则z=
(A)12i
-(B) 12i
-+(C) 2i
+(D) 2i
-+
(3) 已知命题:p“,10
x
x e x
∃∈--≤
R”，则命题:p
⌝
(A),10
x
x e x
∀∈-->
R(B),10
x
x e x
∀∉-->
R
(C),10
x
x e x
∀∈--≥
R(D),10
x
x e x
∃∈-->
R
(4) 各项均为正数的等差数列}
{
n
a中，
49
36
a a=，则前12项和
12
S的最小值为
(A)78(B)48(C)60(D)72
(5) 已知
1
cos()
3
θπ
+=-，则sin(2
2
π
θ+=
(A)
7
9
(B)
7
9
-(D)
(6) 高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概
率为
(A)
5
12
(B)
1
5
(C)
12
25
(D)
43
100
(7) 已知实数,x y满足平面区域
10
:220
220
x y
D x y
x y
+-≥
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪-+≥
⎩
，则22
x y
+的
最大值为
(A)
1
2
(B) 1 (C)(D) 8
(8) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
(A) (B)
4
3
(C)
8
3
(D)4
(9) 执行如图所示的程序框图，则输出的S=
(A)
3
2
(B)
5
3
(C)
8
5
(D)
12
7
(10)
“相关曲线”．已知12,F F 是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当
1260F PF ∠=︒时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为
(C)
2
(D)12
(11) 函数1
ln ||
x x y e e -=
-的部分图象大致为
(A)
(B) (C)
(D)
(12) 已知函数()x f x e ax =-有两个零点12x x <
，则下列说法错误．．
的是 (A)a e >
(B)122x x +>
(C)121x x >
(D)有极小值点0x ，且1202x x x +<
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
(13)已知向量,a b 满足||3b = ，a 在b 方向上的投影是3
2
，则a b ⋅ = ；
(14)直线2y x =+被圆22:4410M x y x y +---=所截得的弦长为 ；
(15)如下图数阵中的前n 行的数字和为 ；
2 第一行
3 3 第二行
4 6 4 第三行
5 10 10 5 第四行
6 15 20 15 6 第五行 ……… … … …
(16)如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）1111ABCD A B C D -中， E 是BC 的中点，F 是1C D 的中点，P 是棱1CC 所在直线上的动点．则下列四个命题：
①CD PE ⊥ ②EF //平面1ABC ③111P A DD D ADE V V --=
④过P 可做直线与正四棱柱的各个面都成等角．
其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号)． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分）
已知函数()(sin
cos cos sin )(0,0)222
x x f x A A π
ϕϕϕ=+><<的最大值是2，且(0)1f =．
（Ⅰ）求ϕ的值；
D
A
1
C 1
B 1
A B
C （Ⅱ）已知锐角△
ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b
c ，若2a =，(2)f A =2sin b C =．求△ABC 的面积．
(18)（本小题满分12分）
砷是广泛分布于自然界中的非金属元素，长期饮用高砷水会直接危害群众的身心健康和生命安全，而近水农村地区，水质情况更需要关注．为了解甲、乙两地区农村居民饮用水中砷含量的基本情况，分别在两地随机选取10个村子，其砷含量的调查数据如下（单位:/1000mg L ）:
甲地区的10个村子饮用水中砷的含量:
52 32 41 72 43 35 45 61 53 44
乙地区的10个村子饮用水中砷的含量:
44 56 38 61 72 57 64 71 58 62
（I ）根据两组数据完成茎叶图，试比较两个地区中哪个地区的饮用水中砷含量更高，并说明理由；
（II ）国家规定居民饮用水中砷的含量不得超过50/1000mg L ，现医疗卫生组织决定向两个地区中每个砷超标的村子派驻一个医疗救助小组．用样本估计总体，把频率作为概率，若从乙地区随机抽取3个村子，用X 表示派驻的医疗小组数，试写出X 的分布列并求X 的期望．
(19)（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11
2
A C
B C
A A ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1．
（Ⅰ）证明：BC DC ⊥1；
（Ⅱ）求二面角11C BD A --的大小．
(20)（本小题满分12分）
已知抛物线C ：2
2(0)x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴的交点为P ，与C 的交
点为Q ，且5
||||4
QF PQ =
． （I ）求C 的方程；
（II ）点(,)(0)A a a a ->在抛物线C 上，是否存在直线:4l y kx =+与C 交于点,M N ，使得△MAN 是以MN 为斜边的直角三角形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在说明理由．
(21)（本小题满分12分）
已知函数()ln()(0)f x x x a a =-+>．
（I ）若函数()f x 在(0,)+∞单调递增，求a 取值范围；
（II ）若函数()f x 的最小值为0，且当0x ≥时，2()f x kx ≤，求k 的最小值．
请考生在第22，23，24三题中任选一题做答．注意：只能做选定的题目．如果多做，则按所做的第一道题目计分．
(22)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，若BC MC =．
（I
）求证:△APM ∽△ABP ;
（II ）求证:四边形PMCD 是平行四边形．
(23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕ
ϕϕ
=+⎧⎨=⎩为参数）.以O 为极点，x 轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l
极坐标方程是2sin()3
π
ρθ+
=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、
P ，
与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.
(24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()|32|f x x =+．
（I
（II ）已知1(,0)m n m n +=>a 的取值范围．
P。