第3章 静电场及其边值问题的解法
其中 r 1 e ——相对介电常数；
——介电常数，单位（F/m）
9
§3.2 静电场中的介质 图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、E 线和P 线的分布。
E'
D线
E线
D、E与 P 三者之间的关系
P线
• D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；
• E 线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上； • P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。
R
1 40
＝8.99 10 (m) 10 Re
9 3
12
§3.3 静电场中的导体
二、两个导体的电容
ˆ E ds E ds Q s ds n
s s s
U E dl E dl
B
求电容的两条途径
Q sE ds C ＝ U E dl
2
R r r
拉普拉斯方程
2 0
6
§3.2 静电场中的介质
3.2.1
介质的极化
无极性分子 电介质的极化过程
有极性分子
电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩； 电介质内部和表面产生极化电荷； 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。
7
§3.2 静电场中的介质
用极化强度P表示电介质的极化程度，即
E1t E2t E1 sin1 E2 sin2
tan 1 1 tan 2 2
折射定律
16
§3.4 静电场中的边界条件
2、介质与导体之间的边界条件
当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为：
D2 n D1n s E1t E2t
2 1 2 1 s n n 在介质分界面上， s 0 所以
2 n
1 2 1 2 n n
18
§3.4 静电场中的边界条件
3.4.2 电位的边界条件 2、介质与导体之间的电位边界条件
const
1 1 s n 介质与导体之间 两种介质之间
定义电位移矢量（ Displacement） 则有
D 0E P
D
电介质中高斯定律的微分形式
D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。 在各向同性介质中
D 0 E P 0 E e 0 E 0 (1 e )E r 0 E E
的积分关系
E dl dl
[
p0
dx dy dz] d x y z
p0 p
d ( p) ( p0 ) E dl
p
设P0为参考点
( p)
参考点
p
E dl
4
§3.1 静电场基本方程与电位方程 ４) 电位参考点的选择原则
一、静电场边值问题 分布型问题 静 态 场 问 题
给定场源分布，求任 意点场强或位函数
直接求解 高斯方法求解 间接求解 第一类 边界条件
s f1 s
已知场域边界上 各点电位值 已知场域边界上各 点电位的法向导数 f 2 s n s 一、二类边界条件 的线性组合，即
21
15
§3.4 静电场中的边界条件
3.4.1
E
和 D 的边界条件
ˆ E1 E2 0 n
ˆ D1 D2 s n
1、两种介质之间的边界条件
在交界面上不存在 s 时，E、D满 足折射定律。 D1n D2 n 1 E1 cos1 2 E2 cos2
第 3章
静电场及其边值问题解法
The Electrostatic Field and Solution Techniques for Boundary –Value Problems
主要内容 静电场基本方程与电位方程 静电场中的介质、导体与电容 静电场边值问题、惟一性定理 镜像法 分离变量法
§3.1
（1） （2）
E dl 0
l
（3） （4）
D v
D ds Q
s
E v （2.a）
E ds Q
s
（4.a）
2
§3.1 静电场基本方程与电位方程
3.1.2
1)
电位定义
电位的引出
E 0, 根据矢量恒等式 0 E
§ 3.6 镜像法
z
q
p ( x, y , z )
E1t E2t 1E1n 2 E2n
E1t 0 1E1n s
1 2
1 2 1 2 n n
const
1 1 s n
19
§3.4 静电场中的边界条件
例题:3.4-1
例题:3.4-2
20
§3.5
静电场边值问题，唯一性定理
Electrostatic-Field Boundary-Value Problems, Uniqueness Theorem
Q 板间场强： E 0S
Qd 电势差： U 1 －U 2 ＝Ed＝ 0S
S d
0S Q 电容： C 0 U1 U 2 d
2) 圆柱形电容器
R2 R 1
E 2 0 r
14
§3.3 静电场中的导体
dr R2 U＝ ＝ ln R 2 r 2 R1 0 0
证明见P.86～ P.87(反证法)
惟一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、解
析解、数值解等）提供了思路及理论根据。
24
§ 3.6 镜像法Image Method
镜像法: 用虚设的镜像电荷来替代实际边界,将原来具有边 界的空间变成同一媒质空间，使计算简化。 要点： 确定镜像电荷的个数、位置与大小，使镜像电荷和原 电荷共同产生的场保持原有边界条件不变，根据唯一
P
式中
V 0
lim
p
V
C/m2
电偶极矩体密度
p 为体积元 V内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向
P e 0 E
正极化电荷。 实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中
e——电介质的极化率,无量纲量。
各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性； 线性：媒质的参数不随电场的值而变化； 均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。
11
§3.3 静电场中的导体
3.3.2 电容 一、孤立导体的电容 孤立导体球的电势: 当R确定时,
U
Q 4 0 R
R Q
Q ＝ 4 0 R const. U
C Q U
定义电容:
单位: 1F（法拉）=1C/V= 103 mF 106 F 1012 pF 例: 用孤立导体球要得到1F 的电容，球半径为大？
8
§3.2 静电场中的介质
3.2.2
介质中的高斯定理,相对介电常数
v 0
1
a）高斯定律的微分形式 （真空中） E （电介质中） E
v v 0
P ,得 E 代入v
0
( v P)
( 0 E P) v
其间距为d，d 0 ,则
1 2 lim E dl lim( E1n
1 2 1
2
因此
1 2
1 n ,
d 0
d d E2 n ) 0 2 2
表明:
在介质分界面上，电位是连续的。
D1n 1 E1n 1
D2 n 2 E2 n 2
l
A
l
电容与电场强度的大小无关, 但与电场强度的分布有关.电 容值取决与导体的形状,尺寸 以及介电常数
1)先假定两导体带等量异号的电量Q,通过计算电场得出两导体 间的电压U,然后计算出电容 2)先假定两导体间的电压U,通过计算电场得出电量Q,然后计算 出电容 13
§3.3 静电场中的导体
三、几种典型的电容器及电容 1) 平行板电容器
q 4 0 R
q
电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；
4 0 R
q 4 0 R1
电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。
5
§3.1 静电场基本方程与电位方程
3.1.2
1)
电位方程
泊松方程
解为: 2)
v v 1 r dv 4 v R
R2
1
3) 球形电容器
2 0 l Q C0 R2 U1 U 2 ln R1
E
U＝ 4 0 R1 Q
R2
Q 40 r
2
R2
R1
dr Q 1 1 ＝ 2 r 4 0 R1 R2
R1 R2 Q C0 4 0 U1 U 2 R R 1 2
边值型问题
给定边界条件，求任 意点位函数或场强
第二类 边界条件
第三类 边界条件
§3.5 静电场边值问题，唯一性定理
直接求解 (2.1-8)
分布型 问题解 法
高斯方法求解 (2.1-16) 间接求解 (3.1-9)-(3.1-12)
22
§3.5 静电场边值问题，唯一性定理
镜像法 分离变量法
解析法
计算法 边值型 问题解 法 实验法 图解法
静电场基本方程与电位方程
Fundamental Equations of Electrostatic-Field and electric potential equations
3.1.1 静电场的基本方程 静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。
——介电常数，单位（F/m）
9
§3.2 静电场中的介质 图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、E 线和P 线的分布。
E'
D线
E线
D、E与 P 三者之间的关系
P线
• D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；
• E 线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上； • P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。
R
1 40
＝8.99 10 (m) 10 Re
9 3
12
§3.3 静电场中的导体
二、两个导体的电容
ˆ E ds E ds Q s ds n
s s s
U E dl E dl
B
求电容的两条途径
Q sE ds C ＝ U E dl
2
R r r
拉普拉斯方程
2 0
6
§3.2 静电场中的介质
3.2.1
介质的极化
无极性分子 电介质的极化过程
有极性分子
电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩； 电介质内部和表面产生极化电荷； 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。
7
§3.2 静电场中的介质
用极化强度P表示电介质的极化程度，即
E1t E2t E1 sin1 E2 sin2
tan 1 1 tan 2 2
折射定律
16
§3.4 静电场中的边界条件
2、介质与导体之间的边界条件
当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为：
D2 n D1n s E1t E2t
2 1 2 1 s n n 在介质分界面上， s 0 所以
2 n
1 2 1 2 n n
18
§3.4 静电场中的边界条件
3.4.2 电位的边界条件 2、介质与导体之间的电位边界条件
const
1 1 s n 介质与导体之间 两种介质之间
定义电位移矢量（ Displacement） 则有
D 0E P
D
电介质中高斯定律的微分形式
D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。 在各向同性介质中
D 0 E P 0 E e 0 E 0 (1 e )E r 0 E E
的积分关系
E dl dl
[
p0
dx dy dz] d x y z
p0 p
d ( p) ( p0 ) E dl
p
设P0为参考点
( p)
参考点
p
E dl
4
§3.1 静电场基本方程与电位方程 ４) 电位参考点的选择原则
一、静电场边值问题 分布型问题 静 态 场 问 题
给定场源分布，求任 意点场强或位函数
直接求解 高斯方法求解 间接求解 第一类 边界条件
s f1 s
已知场域边界上 各点电位值 已知场域边界上各 点电位的法向导数 f 2 s n s 一、二类边界条件 的线性组合，即
21
15
§3.4 静电场中的边界条件
3.4.1
E
和 D 的边界条件
ˆ E1 E2 0 n
ˆ D1 D2 s n
1、两种介质之间的边界条件
在交界面上不存在 s 时，E、D满 足折射定律。 D1n D2 n 1 E1 cos1 2 E2 cos2
第 3章
静电场及其边值问题解法
The Electrostatic Field and Solution Techniques for Boundary –Value Problems
主要内容 静电场基本方程与电位方程 静电场中的介质、导体与电容 静电场边值问题、惟一性定理 镜像法 分离变量法
§3.1
（1） （2）
E dl 0
l
（3） （4）
D v
D ds Q
s
E v （2.a）
E ds Q
s
（4.a）
2
§3.1 静电场基本方程与电位方程
3.1.2
1)
电位定义
电位的引出
E 0, 根据矢量恒等式 0 E
§ 3.6 镜像法
z
q
p ( x, y , z )
E1t E2t 1E1n 2 E2n
E1t 0 1E1n s
1 2
1 2 1 2 n n
const
1 1 s n
19
§3.4 静电场中的边界条件
例题:3.4-1
例题:3.4-2
20
§3.5
静电场边值问题，唯一性定理
Electrostatic-Field Boundary-Value Problems, Uniqueness Theorem
Q 板间场强： E 0S
Qd 电势差： U 1 －U 2 ＝Ed＝ 0S
S d
0S Q 电容： C 0 U1 U 2 d
2) 圆柱形电容器
R2 R 1
E 2 0 r
14
§3.3 静电场中的导体
dr R2 U＝ ＝ ln R 2 r 2 R1 0 0
证明见P.86～ P.87(反证法)
惟一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、解
析解、数值解等）提供了思路及理论根据。
24
§ 3.6 镜像法Image Method
镜像法: 用虚设的镜像电荷来替代实际边界,将原来具有边 界的空间变成同一媒质空间，使计算简化。 要点： 确定镜像电荷的个数、位置与大小，使镜像电荷和原 电荷共同产生的场保持原有边界条件不变，根据唯一
P
式中
V 0
lim
p
V
C/m2
电偶极矩体密度
p 为体积元 V内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向
P e 0 E
正极化电荷。 实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中
e——电介质的极化率,无量纲量。
各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性； 线性：媒质的参数不随电场的值而变化； 均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。
11
§3.3 静电场中的导体
3.3.2 电容 一、孤立导体的电容 孤立导体球的电势: 当R确定时,
U
Q 4 0 R
R Q
Q ＝ 4 0 R const. U
C Q U
定义电容:
单位: 1F（法拉）=1C/V= 103 mF 106 F 1012 pF 例: 用孤立导体球要得到1F 的电容，球半径为大？
8
§3.2 静电场中的介质
3.2.2
介质中的高斯定理,相对介电常数
v 0
1
a）高斯定律的微分形式 （真空中） E （电介质中） E
v v 0
P ,得 E 代入v
0
( v P)
( 0 E P) v
其间距为d，d 0 ,则
1 2 lim E dl lim( E1n
1 2 1
2
因此
1 2
1 n ,
d 0
d d E2 n ) 0 2 2
表明:
在介质分界面上，电位是连续的。
D1n 1 E1n 1
D2 n 2 E2 n 2
l
A
l
电容与电场强度的大小无关, 但与电场强度的分布有关.电 容值取决与导体的形状,尺寸 以及介电常数
1)先假定两导体带等量异号的电量Q,通过计算电场得出两导体 间的电压U,然后计算出电容 2)先假定两导体间的电压U,通过计算电场得出电量Q,然后计算 出电容 13
§3.3 静电场中的导体
三、几种典型的电容器及电容 1) 平行板电容器
q 4 0 R
q
电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；
4 0 R
q 4 0 R1
电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。
5
§3.1 静电场基本方程与电位方程
3.1.2
1)
电位方程
泊松方程
解为: 2)
v v 1 r dv 4 v R
R2
1
3) 球形电容器
2 0 l Q C0 R2 U1 U 2 ln R1
E
U＝ 4 0 R1 Q
R2
Q 40 r
2
R2
R1
dr Q 1 1 ＝ 2 r 4 0 R1 R2
R1 R2 Q C0 4 0 U1 U 2 R R 1 2
边值型问题
给定边界条件，求任 意点位函数或场强
第二类 边界条件
第三类 边界条件
§3.5 静电场边值问题，唯一性定理
直接求解 (2.1-8)
分布型 问题解 法
高斯方法求解 (2.1-16) 间接求解 (3.1-9)-(3.1-12)
22
§3.5 静电场边值问题，唯一性定理
镜像法 分离变量法
解析法
计算法 边值型 问题解 法 实验法 图解法
静电场基本方程与电位方程
Fundamental Equations of Electrostatic-Field and electric potential equations
3.1.1 静电场的基本方程 静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。
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第3章 边值问题及静电场的求解
r r
Q Q
const.
若镜像位置满足
OQ ~ P OPQ
r r
R0 a
const .
由三角形相似，
b R0 R0 a
2 R0 b a Q R0 Q a
导体球外部空间的电势为
Q R 0Q 4 0 r ar 1 4 0 1 Q R a 2 Ra cos
sin d
(sin
sin
0
该方程的解有两种情况
■
1 d
2
d
2
m
2
的解
0,
当电位与方位角无关时，
2 即： m 0
( ) A
■
1 d R dr
(r
2
2
dR dr
) n ( n 1) 的解
1
(1) n 0 时， R ( r ) A0 B 0 r
n
|S f 2 ( S )
称为第二类边界条件或“诺伊曼”条件。 这类问题称为第 二类边值问题。 （3）已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性 组合值， 即给定
( N ) |S f 3 ( S )
称为第三类边界条件或“混合边界条件”。 这类问题称为 第三类边值问题。
P
Q Q 4 0 r r 1
考察空间：导体球外部空间。 镜像电荷：用位于对称轴上的等效代
替导体球面上的感应电荷。
球面上任意点P 的电势
Q Q ( P) 0 4 0 r r 1
r r
Q Q
镜像电荷不应随P 变化，
第3章---- 静电场及其边值问题的解法--4
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
结论：
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 , n
π n
为整数时，该角域中的点电荷将有(2n-1)个镜像电荷，该角 域中的场可以用镜像法求解;
当n=3时：
/3
q
/3
q
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
q
q
当n=3时：
r
2π
r
S
衔接条件
----不同媒质分界面上的边界条件，如
1 2 1 2 , 1 2 n n
1 2
1
2
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
例：
b
y
U0
2 2 2 0 2 x y (0, y) 0, (a, y) 0
1
d1
q d2 2 q1 d2
d1 R1
d1 R
q
d2
d2
q3
R3
d1
R2
d1
d2
q2
电位函数 q 1 1 1 1 ( ) 4π R R1 R2 R3
镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 ) 镜像电荷q3 = q , 位于(－d1, －d2 )
镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 )
（第三类边值问题）
§3.5 电磁场
静电场边值问题，唯一性定理
第3章 静电场及其边值问题的解法
3. 边值型问题的解法
解析法
镜像法
分离变量法
复变函数法 格林函数法 计算法
…
有限差分法 有限元法 数值法 边界元法 矩量法
第3章---- 静电场及其边值问题的解法 (1)
积分形式:
∫ D ⋅ dS = q ∫ E ⋅ dl = 0
S l
微分形式：
∇⋅D = ρ ∇× E = 0
D = εE
静电场:无旋有散场
本构关系:
线形、各向同性媒质
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
二、静电场的无旋性与电位
一 、静电场的无旋性
试验电荷q0位移dl时，电场力作功：
dA= F ⋅ dl = q0E ⋅ dl
从A点移到B点：
A = ∫ q0 E ⋅ dl
A
B
定义： A、B点间电压：
U AB
A = = ∫ E ⋅ dl q A
B
(2 - 19)
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl − ∫ E ⋅ dl = 0
_____ _____
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
均匀电场中带电粒子的 轨迹
阴极射线示波器原理
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
磁分离器 回旋加速器
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
磁悬浮列车
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
磁录音原理：
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
§3.1 静电场基本方程与电位方程 一、静电场的麦克斯韦方程组
∞
r
ρ 0a ρ 0a dr = 2 3ε 0 r 3ε 0 r
3
3
当r<a时，
ϕ = ∫ Er dr = ∫ Er dr + ∫
r r
∞
a
第三章 静电场边值关系
电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系
中的展开式只剩下包含变量r 的一项，即电 位微分方程为
2 1 d d r 0 r dr dr
求得
C1 ln r C 2
利用边界条件：
V r a
C1 ln a C 2 V C1 ln b C 2 0
q q 4 π r 4 π r
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
r q q r
上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 △OPq
r 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面 r
r a 与 △ OqP 相似，则 常数。由此获知镜像电荷应为 r f
代入上述边界条ห้องสมุดไป่ตู้，求得镜像电荷如下：
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其
内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。
解
V a b
O
对于这种边值问题，镜像法不适
用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱 坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，
以格林函数表示的积分解。
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值， 这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为 该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的 泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界 条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
电磁场及电磁波_第三章
从而电场为:
3.1.3 导体系统的电容
电容是导体系统的一种基本属性, 它是描 述导体系统储存电荷能力的物理量。 定义两导体系统的电容为任一导体上的总 电荷与两导体之间的电位差之比, 即
电容单位是F(法拉), 此比值为常数
1. 双导体的电容计算
在电子与电气工程中常用的传输线，例如 平行板线、平行双线、同轴线都属于双导 体系统。通常，这类传输线的纵向尺寸远 大于横向尺寸。因而可作为平行平面电场 （二维场来研究），只需要计算传输线单 位长度的电容。 其计算步骤如下:
√ 所有电位系数
, 且具有对称性, 即
（2）电容系数
对电位系数的矩阵方程求逆，可得:
或表示为:
式中, 称为电容系数或感应系数。下
标相同的系数
称为自电容系数或自
感应系数，下标不同的系数
称
为互电容系数或互感应系数。
电容系数具有以下特点:
√ 在数值上等于第j个导体的电位为一个 单位而其余导体接地时, 第i个导体上的电 量, 即
可见, 点P、Q之间电位差的物理意义是把 一个单位正电荷从点P沿任意路径移动到点 Q的过程中, 电场力所做的功, 根据静电场 的无旋性, 这个功是路径无关的。因而电 位差是唯一的。。
为了使电场中每一点电位具有确定的值， 必须选定场中某一固定点作为电位参考点， 即规定该固定点的电位为零。 例如，若选定Q点为零，则
电场强度为: • 内外导体间的电压为:
可得同轴线单位长度的绝缘电阻为:
方法之二:
已经知道同轴线单位长度的电容为: 因此，同轴线单位长度的漏电导为:
例二: 计算半球形接地器的接地电阻 解: 通常要求电子、电气设备与大地有良 好的连接，将金属物体埋入地内，并将需 接地的设备与该物体连接就构成接地器。
第三章作业答案
μ0
μ0
ˆx 10 + e ˆy 20 + e ˆz 20 V / m ，试问该电场能否表示匀强电场？为什么？电场 7、已知电场 A = e ˆx 20 − e ˆy 5 − e ˆz 5 V / m ， 大小是多小？方向余弦？如果有另一电场 B = e 试问这两个矢量是否
垂直？为什么？
G
G
ˆx 10 + e ˆy 20 + e ˆz 20 是匀强电场，电场的大小是 答：矢量 A = e G 1 2 2 E = 102 + 202 + 202 = 30 V / m ，方向余弦为 cos α = ， cos β = ， cos γ = ； 3 3 3 G G 两矢量垂直，因为 A ⋅ B = 0 。
μ0
2
c b
(
I 2 c2 − ρ 2 2 μ I2 ) ( 2 2 ) 2 πρ dρ = 0 2 πρ c − b 4π
单位长度内总的磁场能量为
Wm = Wm1 +Wm2 + Wm3
b μ0 I 2 ln + = + 16 Βιβλιοθήκη 4π a 4πμ0 I 2
μ0 I 2
15、 一个点电荷 q 与无限大接地导体平面距离为 d， 如果把它移至无穷远处， 需要做多少功？ 解：由镜像法，感应电荷可以用像电荷-q 替代。当电荷 q 移至 x 时，像电荷 q 应位于－x， 则像电荷产生的电场强度
G ˆx 2 + e ˆz 4 ，求电介质中的电场？ E =e
解：由在介质表面处 z = 0 ， E1t = E2t 即 E1x = E2x = 2 ， z = 0 时， D1n = D2 n 即 D1z = D2 z
静电场的边值问题
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
第三章 静电场旳边值问题
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中旳分离变量法 4. 圆柱坐标系中旳分离变量法 5. 球坐标系中旳分离变量法
1
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.1 电位微分方程
已知电位 与电场强度 E 旳关系为
E 对上式两边取散度，得
E 2
r0作为参照点，则 及l 在l 圆柱面上P点共同产生
旳电位为
P
l 2π
ln r0 l r 2π
ln r0 r
l 2π
ln r r
已知导体圆柱是一种等位体，必须要求比值
r 常数 r
与前同理，可令 r a d
r fa
d a2 f
21
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
（4）点电荷与无限大旳介质平面
或者
X (x) C sinh x D cosh x
含变量 x 或 y 旳常微分方程旳解完全相同。
♣这些解旳线性组合依然是方程旳解。一般为了
满足给定旳边界条件，必须取其线性组合作为方
程旳解。
解旳形式旳选择决取于给定旳边界条件。
解中待定常数也取决于给定旳边界条件。
30
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
8
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.2 镜像法
实质: 以一种或几种等效电荷替代边界旳影响， 将原来具有边界旳非均匀空间变成无限大旳均匀自 由空间，从而使计算过程大为简化。
这些等效电荷一般处于原电荷旳镜像位置，所以 称为镜像电荷，而这种措施称为镜像法。
9
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
根据：惟一性定理。等效电荷旳引入不能变化原 来旳边界条件。
静电场的边值问题
第三章 静电场旳边值问题
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中旳分离变量法 4. 圆柱坐标系中旳分离变量法 5. 球坐标系中旳分离变量法
1
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.1 电位微分方程
已知电位 与电场强度 E 旳关系为
E 对上式两边取散度，得
E 2
r0作为参照点，则 及l 在l 圆柱面上P点共同产生
旳电位为
P
l 2π
ln r0 l r 2π
ln r0 r
l 2π
ln r r
已知导体圆柱是一种等位体，必须要求比值
r 常数 r
与前同理，可令 r a d
r fa
d a2 f
21
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
（4）点电荷与无限大旳介质平面
或者
X (x) C sinh x D cosh x
含变量 x 或 y 旳常微分方程旳解完全相同。
♣这些解旳线性组合依然是方程旳解。一般为了
满足给定旳边界条件，必须取其线性组合作为方
程旳解。
解旳形式旳选择决取于给定旳边界条件。
解中待定常数也取决于给定旳边界条件。
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电磁场与电磁波
静电场的边值问题
8
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.2 镜像法
实质: 以一种或几种等效电荷替代边界旳影响， 将原来具有边界旳非均匀空间变成无限大旳均匀自 由空间，从而使计算过程大为简化。
这些等效电荷一般处于原电荷旳镜像位置，所以 称为镜像电荷，而这种措施称为镜像法。
9
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
根据：惟一性定理。等效电荷旳引入不能变化原 来旳边界条件。
第三章静电场及其边值问题的解
r e ez z ，故
在圆柱面坐标系中，取 E 0与x轴方向一致，即 E 0 e E ，而 x 0
r r r r ( P) E0 gr ex gE0 (e ez z ) E0 cos
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
由此解得
C1
利用边界条件，有
x 0 处， 1 (0) 0 2 (a) 0 x a处， x b 处，1 (b) 2 (b),
S 0 2 ( x) 1 ( x) x 0 x x b
所以 D 0 1 C2 a D2 0 C1b D1 C2b D2 C2 C1 S 0 0
故单位长度的电容为
l
U
0
ln ( D a)
F/m
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
19
例3.1.6 同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体
间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 ll， ll 和 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
2. 导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分布于
导体表面 3.导体为一等位体，其表面为等位面 4.导体表面切向电场为0，而只有法向电场分量En
En en E s /
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
14
任何两个导体都可看作一点容器 电容器广泛应用于电子设备的电路中： • • • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用； 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路； 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
在圆柱面坐标系中，取 E 0与x轴方向一致，即 E 0 e E ，而 x 0
r r r r ( P) E0 gr ex gE0 (e ez z ) E0 cos
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
由此解得
C1
利用边界条件，有
x 0 处， 1 (0) 0 2 (a) 0 x a处， x b 处，1 (b) 2 (b),
S 0 2 ( x) 1 ( x) x 0 x x b
所以 D 0 1 C2 a D2 0 C1b D1 C2b D2 C2 C1 S 0 0
故单位长度的电容为
l
U
0
ln ( D a)
F/m
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
19
例3.1.6 同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体
间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 ll， ll 和 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
2. 导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分布于
导体表面 3.导体为一等位体，其表面为等位面 4.导体表面切向电场为0，而只有法向电场分量En
En en E s /
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
14
任何两个导体都可看作一点容器 电容器广泛应用于电子设备的电路中： • • • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用； 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路； 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
第三章 静电场的边值问题
oP adq′r′OP adq′r′为常数。
对于不接地的导体球，若引入镜像电荷 q' 后，为了满足电荷守 恒原理，必须再引入一个镜像电荷q"，且必须令q ′′ = − q ′P a O d q′ r′ r q f而且，为了保证球面边界是 一个等位面，镜像电荷 q′′ 必须位 于球心。
事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等于零。
由q 及 q‘在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷 q“ 以提供一定的电位。
（思考：等位线的形状是否和以前一样？）（3）线电荷与带电的导体圆柱。
P a O d f -ρl已知线电荷为rr′ρl，导体圆柱单位ρl长度的电荷量为-ρl 。
在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根 镜像线电荷 − ρ l 。
求d 的大小。
已知无限长线电荷产生的电场强度为E=ρl er 2πε r因此，离线电荷 r 处，以 r0 为参考点的电位为ϕ=∫r0rEdr =ρl ⎛ r0 ⎞ ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠若令镜像线电荷 − ρ l 产生的电位也取相同的 r0 作为参考点， 则 ρ l 及 − ρ l 在圆柱面上 P 点共同产生的电位为P a O d f -ρlr′rρlϕP =ρl ⎛ r0 ⎞ ρl ⎛ r0 ⎞ ln⎜ ⎟ − ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠ 2πε ⎝ r ′ ⎠ ρl ⎛ r ′ ⎞ = ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠已知导体圆柱是一个等位体,即 ϕ p 是一个常数，因此，为了 满足这个边界条件，必须要求比值r′ r为常数。
2a r′ a d 与前同理，可令 = = ，由此得 d = r f a f可以想象与实际导体圆柱对称位置的右侧，也存在一个圆柱等位 面，如上图，则可计算两根平行导线间的电容（P79）。
（4）点电荷与无限大的介质平面。
qq′ Enr0r0′E'E t′ Etq"ε1 ε2et en=ε1 ε1q'θ+ε2 ε2r0′′θ′ E n′E t′′EnEE"为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q' 等效边界上束缚电 荷的作用，将整个空间变为介电常数为ε1 的均匀空间。
第三章 边值问题的解法
解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，
R2
采用圆柱坐标系
R1
1 (r ) 0 积分 Aln r B
r r r
由边界条件 U A ln R1 B 0 Aln R2 B
A U ln R1 R2
B
U ln R1
ln
R2
第3章 边值问题的解 法
给定边界条件下求有界空间 的静电场和电源外恒定电场的问 题，称之为边界值问题。
3.1边值问题的提法(分类)
3.1.1边值问题的分类
1 狄利克雷问题：给定整个场域边界面S上各点电位的（函数）
值
f (s)
2 聂曼问题：给定待求位函数在边界面上的法向导数值
/ n f (s)
q
4π0
(r
2
2dr
1
cos
d
)2 1/ 2
(d
2r2
a
2dra2 cos
a4 )1/ 2
导体球不接地：
q a q d
b a2 d
q q a q d
a
—
a
导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代
数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜
球壳内：边界为r = a1的导体球面，
边界条件为 (a1, ,) 0
➢ 根据球面镜像原理，镜像电荷
的位置和大小分别为
a1 q1
q
1
b1
a12 d1
q1
q1