第03章静电场的边值问题详解

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第3章边值问题及静电场的求解

r r

Q Q
const.
若镜像位置满足
OQ ~ P OPQ

r r

R0 a
const .
由三角形相似，
b R0 R0 a

2 R0 b a Q R0 Q a
导体球外部空间的电势为
Q R 0Q 4 0 r ar 1 4 0 1 Q R a 2 Ra cos
sin d
(sin
sin
0
该方程的解有两种情况
■
1 d
2
d
2
m
2
的解
0,
当电位与方位角无关时，
2 即： m 0
( ) A
■
1 d R dr
(r
2
2
dR dr
) n ( n 1) 的解
1
(1) n 0 时， R ( r ) A0 B 0 r
n
|S f 2 ( S )
称为第二类边界条件或“诺伊曼”条件。这类问题称为第二类边值问题。（3）已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组合值，即给定
( N ) |S f 3 ( S )
称为第三类边界条件或“混合边界条件”。这类问题称为第三类边值问题。
P
Q Q 4 0 r r 1
考察空间：导体球外部空间。镜像电荷：用位于对称轴上的等效代
替导体球面上的感应电荷。
球面上任意点P 的电势
Q Q ( P) 0 4 0 r r 1

r r

Q Q
镜像电荷不应随P 变化，

第三章静电场的边值问题

u (1 2 ) 0
积分后 , 1 - 2 C, 该式既满足场域 , 又满足边界 , 故 C 0,1 2 ,得证
若导体边界为第二类边界条件 , 即已知电荷面密度

1 2 , n n
即
(1 -2 ) u 0 n n
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
0
( y 0 ,b x a )
0
例设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度
为，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。
解: 采用球坐标系,分区域建立方程 1 d d 21 2 (r 2 1 ) (0 r a ) r dr dr 0
2u 21 2 2
利用矢量恒等式
0 (uu) u2u (u) 2 ( u )2
对场域求体积分, 并利用高斯散度定理

V
(uu )dV uu dS (u ) 2 dV
s V
S为体积 V的边界面 ,即S S0 S , S S1 S2 Sn , 由于在无穷远 S0处电位为零 ,因此有
静电场的边值问题数学物理方程定解条件通常分为初始条件和边界条件。静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯
方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解泊松方程
或拉普拉斯方程就是静电场的边值问题。
边值问题微分方程
边界条件
2 2 0

场域边界条件
分界面衔接条件
S f1 (s)
已知场域边界上各点电位的法向导数
布或边界是电力线的条件是等价的？边值问题框图

第3章---- 静电场及其边值问题的解法--4

电磁场
第3章静电场及其边值问题的解法
结论：

由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 , n
π n
为整数时，该角域中的点电荷将有(2n-1)个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解;
当n=3时：

/3
q

/3
q

电磁场
第3章静电场及其边值问题的解法
q
q

当n=3时：
r

2π
r
S
衔接条件
----不同媒质分界面上的边界条件，如
1 2 1 2 , 1 2 n n
1 2
1
2
电磁场
第3章静电场及其边值问题的解法
例：
b
y
U0
2 2 2 0 2 x y (0, y) 0, (a, y) 0
1
d1

q d2 2 q1 d2
d1 R1
d1 R
q
d2
d2
q3
R3
d1
R2
d1
d2
q2
电位函数 q 1 1 1 1 ( ) 4π R R1 R2 R3
镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 ) 镜像电荷q3 = q , 位于(－d1, －d2 )
镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 )
（第三类边值问题）
§3.5 电磁场
静电场边值问题，唯一性定理
第3章静电场及其边值问题的解法
3. 边值型问题的解法
解析法
镜像法
分离变量法
复变函数法格林函数法计算法
…
有限差分法有限元法数值法边界元法矩量法

第3章---- 静电场及其边值问题的解法 (1)

积分形式:
∫ D ⋅ dS = q ∫ E ⋅ dl = 0
S l
微分形式：
∇⋅D = ρ ∇× E = 0
D = εE
静电场:无旋有散场
本构关系:
线形、各向同性媒质
电磁场
第3章静电场及其边值问题的解法
二、静电场的无旋性与电位
一、静电场的无旋性
试验电荷q0位移dl时，电场力作功：
dA= F ⋅ dl = q0E ⋅ dl
从A点移到B点：
A = ∫ q0 E ⋅ dl
A
B
定义： A、B点间电压：
U AB
A = = ∫ E ⋅ dl q A
B
(2 - 19)
电磁场
第3章静电场及其边值问题的解法
∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl − ∫ E ⋅ dl = 0
_____ _____
电磁场
第3章静电场及其边值问题的解法
均匀电场中带电粒子的轨迹
阴极射线示波器原理
电磁场
第3章静电场及其边值问题的解法
磁分离器回旋加速器
电磁场
第3章静电场及其边值问题的解法
磁悬浮列车
电磁场
第3章静电场及其边值问题的解法
磁录音原理：
电磁场
第3章静电场及其边值问题的解法
§3.1 静电场基本方程与电位方程一、静电场的麦克斯韦方程组
∞
r
ρ 0a ρ 0a dr = 2 3ε 0 r 3ε 0 r
3
3
当r<a时，
ϕ = ∫ Er dr = ∫ Er dr + ∫
r r
∞
a

第三章静电场边值关系

电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系
中的展开式只剩下包含变量r 的一项，即电位微分方程为
2 1 d d r 0 r dr dr
求得
C1 ln r C 2
利用边界条件：
V r a
C1 ln a C 2 V C1 ln b C 2 0
q q 4 π r 4 π r
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
r q q r
上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 △OPq
r 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值对于球面 r
r a 与 △ OqP 相似，则常数。由此获知镜像电荷应为 r f
代入上述边界条ห้องสมุดไป่ตู้，求得镜像电荷如下：
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
例已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其
内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。
解
V a b
O
对于这种边值问题，镜像法不适
用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，
以格林函数表示的积分解。
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值，这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半

《静电场的边值问题》课件

有限差分法
用离散的差分代替微分方程中的导数项，将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限元方法
将连续的求解区域离散化为有限个小的单元，用每个单元的中心函数近似代替该单元上的函数，从而将微分方程转化为线性方程组进行求解。
2023
PART 03
静电场的边界条件
REPORTING
边界条件的定义
01
边界条件是指在求解静电场问题时，电场在边界处的
2023
PART 05
静电场的实际应用
REPORTING
电场在物理中的应用
静电感应
当一个带电体靠近导体时，导体因静电感应而带电。
电容器的充放电
电容器在充电和放电过程中，电荷在电场的作用下移动。
电子显微镜
利用电场对电子的加速和聚焦作用，实现高分辨率的显微成像。
电场在化学中的应用
离子交换
利用电场对离子的作用力，实现离子的分离和纯化。
VS
详细描述
有限元法是一种将连续的静电场划分为有限个小的区域（即元），然后对每个元进行求解的方法。这种方法能够处理复杂的几何形状和边界条件，并且具有较高的计算精度和稳定性。
边界元法
总结词
只对静电场的边界进行离散化，然后对边界上的离散点进行求解的方法。
详细描述
边界元法是一种只对静电场的边界进行离散化，然后对边界上的离散点进行求解的方法。这种方法能够大大减少未知数的数量，并且适用于处理具有复杂边界条件的问题。但是，由于只对边界进行离散化，因此需要更高的计算精度和更复杂的数学处理。
电化学反应
在电解池和原电池中，电场驱动离子在溶液中的迁移，并参与化学反应。
电泳技术
在电场的作用下，带电粒子在介质中移动，用于分离和纯化生物分子。

电磁场及电磁波_第三章

从而电场为:
3.1.3 导体系统的电容
电容是导体系统的一种基本属性, 它是描述导体系统储存电荷能力的物理量。定义两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比, 即
电容单位是F(法拉), 此比值为常数
1. 双导体的电容计算
在电子与电气工程中常用的传输线，例如平行板线、平行双线、同轴线都属于双导体系统。通常，这类传输线的纵向尺寸远大于横向尺寸。因而可作为平行平面电场（二维场来研究），只需要计算传输线单位长度的电容。其计算步骤如下:
√ 所有电位系数
, 且具有对称性, 即
（2）电容系数
对电位系数的矩阵方程求逆，可得:
或表示为:
式中, 称为电容系数或感应系数。下
标相同的系数
称为自电容系数或自
感应系数，下标不同的系数
称
为互电容系数或互感应系数。
电容系数具有以下特点:
√ 在数值上等于第j个导体的电位为一个单位而其余导体接地时, 第i个导体上的电量, 即
可见, 点P、Q之间电位差的物理意义是把一个单位正电荷从点P沿任意路径移动到点 Q的过程中, 电场力所做的功, 根据静电场的无旋性, 这个功是路径无关的。因而电位差是唯一的。。
为了使电场中每一点电位具有确定的值，必须选定场中某一固定点作为电位参考点，即规定该固定点的电位为零。例如，若选定Q点为零，则
电场强度为: • 内外导体间的电压为:
可得同轴线单位长度的绝缘电阻为:
方法之二:
已经知道同轴线单位长度的电容为: 因此，同轴线单位长度的漏电导为:
例二: 计算半球形接地器的接地电阻解: 通常要求电子、电气设备与大地有良好的连接，将金属物体埋入地内，并将需接地的设备与该物体连接就构成接地器。

静电场的边值问题

电磁场与电磁波
静电场的边值问题
第三章静电场旳边值问题
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中旳分离变量法 4. 圆柱坐标系中旳分离变量法 5. 球坐标系中旳分离变量法
1
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.1 电位微分方程
已知电位与电场强度 E 旳关系为
E 对上式两边取散度，得
E 2
r0作为参照点，则及l 在l 圆柱面上P点共同产生
旳电位为
P
l 2π
ln r0 l r 2π
ln r0 r
l 2π
ln r r
已知导体圆柱是一种等位体，必须要求比值
r 常数 r
与前同理，可令 r a d
r fa
d a2 f
21
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
（4）点电荷与无限大旳介质平面
或者
X (x) C sinh x D cosh x
含变量 x 或 y 旳常微分方程旳解完全相同。
♣这些解旳线性组合依然是方程旳解。一般为了
满足给定旳边界条件，必须取其线性组合作为方
程旳解。
解旳形式旳选择决取于给定旳边界条件。
解中待定常数也取决于给定旳边界条件。
30
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
8
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.2 镜像法
实质: 以一种或几种等效电荷替代边界旳影响，将原来具有边界旳非均匀空间变成无限大旳均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。
这些等效电荷一般处于原电荷旳镜像位置，所以称为镜像电荷，而这种措施称为镜像法。
9
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
根据：惟一性定理。等效电荷旳引入不能变化原来旳边界条件。

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关键：确定镜像电荷的大小及其位置。
局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。
（1）点电荷与无限大的导体平面
P q h h q P
r q
r
介质
导体
r
介质介质
以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为的空间，则空间任一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生，即
V ( )dV S n dS
2
V
可得到
0 V (0 ) dV S 0 n dS 0
2
(0 )2 0
0 0
S
0 C
C 0
S
对于第一类边界条件：0
0
1 2 1 2
对于第二类边界条件：若 1 和 2 取同一点Q为参考点，则
' S
式中格林函数 G(r , r ' ) 为
G0 (r , r ' ) 1 4π | r r ' |
对于无限大的自由空间，表面 S 趋向无限远处，由于格林函数
G0 (r , r ' ) 及电位均与距离成反比，而 dS 与距离平方成正比，所以，
对无限远处的 S 表面，上式中的面积分为零。
那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为
该方程称为泊松方程。

对于无源区，上式变为
2 0
上式称为拉普拉斯方程。
泊松方程的求解
(r ' ) 在无限大的自由空间产生的已知分布在 V 中的电荷电位为 1 (r ' ) (r ) dV ' V 4π |r r |
静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。
由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值，因此，解的稳定性具有重要的实际意义。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可以证明电位微分方程解也是惟一的。
的边界面S上，给定域V内具有唯一解。
唯一性定理是静电场边值问题的一个重要定理，表述为：在场域V
静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任
一点的电位就是静电场的边值问题。
通常给定的边界条件有三种类型：第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄利克雷问题。第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为诺依曼问题。
或
的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场 n
因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。
惟一性定理的重要意义
给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据
20 21 22 f f 0
且在边界面S 上有
0 S 1 S 2
或
S
0 或
S1
0
S1
1
S1
2
0,
0 1 2 S S n n n 0 1 2 S2 S2 n n n
S
0 0
S2
由格林第一恒等式
第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界
上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。
对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。
y
例：
bU0oa源自x 2 2 x 2 y 2 0 (0, y ) 0, (a, y ) 0 ( x, 0) 0, ( x, b) U 0
2 2 x 2 y 2 0 x 0 0, x a 0 x x ( x, 0) 0, ( x, b) U 0
因此，上式就是电位微分方程在自由空间的解。应用格林函数 G(r , r ' )，即可求出泊松方程的通解为
( r ') (r ) G0 (r , r ) dV V [G0 (r , r ' ) (r ' ) ( r ' )G0 ( r , r ' )] dS
若 V 为无源区，那么上式中的体积分为零。因此，第二项面积
分可以认为是泊松方程在无源区中的解，或者认为是拉普拉斯方程以格林函数表示的积分解。数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值，这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为该方程的定解条件。
0
Q
0
S1
C 0
0
对于第三类边界条件：0
C 0
1 2
3-2 镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过
程大为简化。
依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。
（第一类边值问题）
例：
y
b
0 x
U0
0 x
o
a
x
（第三类边值问题）
惟一性定理的证明
反证法：假设解不惟一，则有两个位函数 1
和 2 在场域V内满足同样的方程，即
V
21 f ,
22 f
S
且在边界面S 上满足同样的边界条件。令 0 1 2 ，则在场域V内
第三章
静电场的边值问题
主要内容
电位微分方程，镜像法，分离变量法。
作业：3-4、3-19
*3-1 电位微分方程及其解的唯一性
已知，电位与电场强度
E
对上式两边取散度，得
E 的关系为
E 2
对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为
E
2