第3章静电场及其边值问题的解法
导体表面的总感应电荷
∫ ∫ ∫ Qi =
S ρsds =
2π dϕ
0
∞ 0
⎜⎛ ⎝
−
qh
2π
∑ p分子≠0
位移极化
10
取向极化
§3.2 静电场中的介质
极化强度
N
∑ pi
极化ห้องสมุดไป่ตู้度定义为介质中给定点处单位体积中电矩的矢量和： P = i=1 Δv
对于均匀、线性，各向同性的简单媒质：
式中电极化率 χe [ka:]是正实数。
P = χeε0 E
11
§3.2 静电场中的介质
束缚电荷密度
极化介质对电场的影响可归结于束缚电荷所产生的影响，极化介质内取一微分
解:（a）因为电荷均匀分布于球体中，所有电场有球对称性。可应用高斯 定理求距球心r处的电场强度。取该处球面为高斯面，有：
∫ 当 r < a :
E ⋅ ds = rˆE ⋅ rˆ4πr 2 = − ρ 0 4 πr 3 , E = rˆ − ρ 0r
s
ε0 3
3ε 0
当
r>a:
E 4πr 2 = − ρ 0 4 πa 3, ε0 3
则可得： ∇⋅ D = ρv
可见，D 的源是自由电荷， D矢量线从正自由电荷出发终止于负的自由电荷。
14
§3.2 静电场中的介质
作业：3.1-3，3.2-2
举例说明介质极化是如何影响电场的：
坐标原点处点电荷q在P点产生的电场为：
E
=
rˆ
q
4πε0ε
r
r
2
由上式得：
P
=
D
−ε0
E
=
rˆ
εr −1 4πεr r 2
体积元 dv′ ，其电偶极矩为 dp = Pdv′，产生的电位为(P70)：
( ) ( ) dφ r
=
P r′ ⋅ Rˆ
4πε 0 R 2
dv′,
R = r − r′
则体积v中的所有电矩在场点产生的电位为：
( ) ( ) ∫ φ r
=1
4πε0
v
P
r′ ⋅ R2
Rˆ
dv′
( ) 由式
∇ ′⎜⎛ 1 ⎟⎞ = ⎝R⎠
微分形式
∇×E =0
∇⋅D = ρv ∇⋅E = ρv ε
积分形式
∫l E ⋅ dl = 0 ∫l D ⋅ ds = Q ∫l E ⋅ ds = Q ε
第三个仅适用于简单媒质，其中
D =εE
2
§3.1 静电场基本方程与电位方程
二、电位定义
1）电位的引出
∵∇×E =0 根据矢量恒等式 ∇×∇φ = 0 ∴ E = −∇ φ
20
§ 3.6 镜像法
一、导体平面附近的点电荷
设一无限大接地导体平面附近有一点电荷q，它与导体板的垂直距离是h，如图。 现求（1）导体上方（即z>0的空间）的电位分布；（2）导体表面的感应电荷。
z
p(x, y, z)
z
p(x, y, z)
q
ε
h
x
q
ε
h
ε
0
x
h
q′
q
′
(1)设想将导体板抽去，使整个空间充满同一种媒质，在与原来点电荷对称
Rˆ R2
，并利用矢量恒等式
∇ ⋅ φ A = φ∇ ⋅ A + A⋅∇φ
12
§3.2 静电场中的介质
可将电位中的积分分为两项：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ φ r
∫ ∫ = 1
4πε 0
∇′
v
⋅
⎜⎜⎝⎛
P r′ R
⎟⎟⎠⎞dv′ −
1 4πε 0
∇′⋅ P r′ dv′ vR
∇⋅E
=
1 r2
∂ ∂r
⎜⎜⎝⎛ r 2
− ρ0r 3ε 0
⎟⎟⎠⎞
=
− ρ0 ε0
,
当
r >a:
∇⋅E
=
1 r2
∂ ∂r
⎜⎜⎝⎛ r 2
− ρ0a3 3ε 0 r 2
⎟⎟⎠⎞
=
0,
（c）取 r → ∞处为电位参考点，得
得证。 得证。
当
∫ ∫ ∫ r < a :
φ=
∞
Edr
r
=
a − ρ 0 r dr + r 3ε 0
§3.5 静电场边值问题，惟一性定律
一、静电场边值问题
电位方程
∇2φ = −ρv ε
电位边界条件
两种介质分界处
ϕ1
= ϕ2、ε1
∂ϕ1 ∂n
=
ε2
∂ϕ2 ∂n
导体介质分界处
ϕ1
=
Cons.、ε
1
∂ϕ1 ∂n
=
−ρs
证明见P83
16
§3.5 静电场边值问题，惟一性定律
分布型问题
给定场源分布，求任意点
17
§3.5 静电场边值问题，惟一性定律
边值型问 题解法
计算法 实验法
解析法 数值法
镜像法 分离变量法 复变函数法 格林函数法
…
有限差分法 有限元法 矩量法
…
18
§3.5 静电场边值问题，惟一性定律
二、惟一性定律
对于任一静电场，若整个边界上的边界条件给定(可能给出一部分 边界上的位函数，另一部分边界上位函数的法向导数)，则空间中的场 就惟一地确定了。
故对z=0平面上任意点有 (R = R′ = R0 ):
φ = q + q′ = 0 得 q′ = −q 4πεR0
φ
=
q
4πε
⎛ ⎜⎝
1 R
−
1⎞ R′ ⎟⎠
=
q
4πε
⎡ ⎢ ⎢⎣
1
−
x2 + y2 + (z − h)2
1
⎤ ⎥
x 2 + y 2 + ( z + h)2 ⎥⎦
可见，引入镜像电荷 q′ = −q 后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z<0的空间，
三、电位方程
根据静电场的基本方程 ∇⋅E = ρv ε ，以及 E = −∇ φ ，得泊松方程：
∇2φ = − ρv ε
( ) 在无界均匀媒质中，当体积V中有体电荷密度
方程的解为：
ρv r′
分布时，泊松
( ) ( ) ∫ φ r′ = 1 ρv r′ dv′ , R =| r − r′ | 4πε v R
8
§3.1 静电场基本方程与电位方程
（d）采用球坐标拉普拉斯表示式，因 φ 只是r函数，得
当
r<a:
∇ 2φ
=
1 r2
∂ ∂r
⎜⎛ r 2 ⎝
∂φ ∂r
⎟⎞ ⎠
=
1 r2
∂ ∂r
⎜⎜⎝⎛ r 2 2
ρ0r 6ε 0
⎟⎟⎠⎞
=
− ρv ε0
,
当
r>a:
∇ 2φ
=
1 r2
∂ ∂r
⎜⎜⎝⎛ r 2
− ρ0a3 3ε 0r 2
满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的，这就是静电 场惟一性定律。
惟一性定律为静电场问题的多种解法(解析解、数值解等）提供了思 路及理论根据。
19
§3.6 镜像法
镜像法:
用虚设的镜像电荷来替代实际边界,将原来具有边界的空间变成同一媒质 空间，使计算简化。
要点：
确定镜像电荷的个数、位置与大小，使镜像电荷和原电荷共同产生的场 保持原有边界条件不变，根据惟一性定律，所得的解是惟一的。
或
φr
=1 4πε 0
P r′ ⋅ nˆ′ ds′ − 1
sR
4πε 0
∇′⋅ P r′ dv′ vR
将两式与3.1节中的电位式比较，得一般形式：
( ) ( ) ( ) ( ) ρs′ r = nˆ ⋅ P r = Pn ρv′ r = −∇⋅ P r
由上式可得体束缚电荷： Q′ = −∫sP ⋅ ds
E
=
rˆ
− ρ0a3 3ε 0r 2
（b）采用球坐标旋度和散度表示式，因 E只有 rˆ分量且只是 r的函数得
∇ × E = θˆ 1 ∂Er − ϕˆ 1 ∂Er = 0, r sin θ ∂ϕ r ∂θ
得证。
( ) ∇
⋅
E
=
1 r2
∂ ∂r
r 2 Er
7
§3.1 静电场基本方程与电位方程
当
r < a:
式中负号表示电场强度从高电位指向低电位。 2）已知电荷分布求电位
定义式中 φ不是单值的，任加一常数C都有 ∇(φ +C) = ∇φ ，但任意两点间的
电位差是不变的：
∫ ∫ ∫ ∫ φ A − φB =
A
d
φ
=
B
A
∇
φ
⋅ dl
=
−
A
E ⋅ dl =
B
B
B
E ⋅ dl
A
可见，A、B两点间的电位差等于电场强度 E 从A点到B点沿任意路径的线积分。
为了用单值的电位描述电场，需要选定电位参考点（零点）。
3
§3.1 静电场基本方程与电位方程
电位参考点的选择原则：
y 同一个问题只能选择一个参考点 y 当电荷分布在有限区域时，通常选择无限远处为零电位点 y 当电荷分布在无穷远处时，通常选择有限远处为零电位点
在点电荷的电场中，选择无穷远处为电位参考点P，则任意点A的电位为：
∫ ∫ ∫ φA = φA −φP =
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第3章 边值问题及静电场的求解
r r
Q Q
const.
若镜像位置满足
OQ ~ P OPQ
r r
R0 a
const .
由三角形相似，
b R0 R0 a
2 R0 b a Q R0 Q a
导体球外部空间的电势为
Q R 0Q 4 0 r ar 1 4 0 1 Q R a 2 Ra cos
sin d
(sin
sin
0
该方程的解有两种情况
■
1 d
2
d
2
m
2
的解
0,
当电位与方位角无关时，
2 即： m 0
( ) A
■
1 d R dr
(r
2
2
dR dr
) n ( n 1) 的解
1
(1) n 0 时， R ( r ) A0 B 0 r
n
|S f 2 ( S )
称为第二类边界条件或“诺伊曼”条件。 这类问题称为第 二类边值问题。 （3）已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性 组合值， 即给定
( N ) |S f 3 ( S )
称为第三类边界条件或“混合边界条件”。 这类问题称为 第三类边值问题。
P
Q Q 4 0 r r 1
考察空间：导体球外部空间。 镜像电荷：用位于对称轴上的等效代
替导体球面上的感应电荷。
球面上任意点P 的电势
Q Q ( P) 0 4 0 r r 1
r r
Q Q
镜像电荷不应随P 变化，
第三章 静电场的边值问题
u (1 2 ) 0
积分后 , 1 - 2 C, 该式既满足场域 , 又满足边界 , 故 C 0,1 2 ,得证
若导体边界为第二类边 界条件 , 即已知电荷面密度
1 2 , n n
即
(1 -2 ) u 0 n n
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
0
( y 0 ,b x a )
0
例 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度
为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。
解: 采用球坐标系,分区域建立方程 1 d d 21 2 (r 2 1 ) (0 r a ) r dr dr 0
2u 21 2 2
利用矢量恒等式
0 (uu) u2u (u) 2 ( u )2
对场域求体积分, 并利用高斯散度定理
V
(uu )dV uu dS (u ) 2 dV
s V
S为体积 V的边界面 ,即S S0 S , S S1 S2 Sn , 由于在无穷远 S0处电位为零 ,因此有
静电场的边值问题 数学物理方程定解条件通常分为初始条件和边界条件。 静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯
方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解泊松方程
或拉普拉斯方程就是静电场的边值问题。
边值问题 微分方程
边界条件
2 2 0
场域 边界条件
分界面 衔接条件
S f1 (s)
已知场域边界 上各点电位 的法向导数
布或边界是电力线的条 件是等价的？ 边值问题框图
第3章---- 静电场及其边值问题的解法--4
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
结论：
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 , n
π n
为整数时，该角域中的点电荷将有(2n-1)个镜像电荷，该角 域中的场可以用镜像法求解;
当n=3时：
/3
q
/3
q
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
q
q
当n=3时：
r
2π
r
S
衔接条件
----不同媒质分界面上的边界条件，如
1 2 1 2 , 1 2 n n
1 2
1
2
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
例：
b
y
U0
2 2 2 0 2 x y (0, y) 0, (a, y) 0
1
d1
q d2 2 q1 d2
d1 R1
d1 R
q
d2
d2
q3
R3
d1
R2
d1
d2
q2
电位函数 q 1 1 1 1 ( ) 4π R R1 R2 R3
镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 ) 镜像电荷q3 = q , 位于(－d1, －d2 )
镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 )
（第三类边值问题）
§3.5 电磁场
静电场边值问题，唯一性定理
第3章 静电场及其边值问题的解法
3. 边值型问题的解法
解析法
镜像法
分离变量法
复变函数法 格林函数法 计算法
…
有限差分法 有限元法 数值法 边界元法 矩量法
第三章 静电场边值关系
电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系
中的展开式只剩下包含变量r 的一项，即电 位微分方程为
2 1 d d r 0 r dr dr
求得
C1 ln r C 2
利用边界条件：
V r a
C1 ln a C 2 V C1 ln b C 2 0
q q 4 π r 4 π r
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
r q q r
上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 △OPq
r 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面 r
r a 与 △ OqP 相似，则 常数。由此获知镜像电荷应为 r f
代入上述边界条ห้องสมุดไป่ตู้，求得镜像电荷如下：
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其
内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。
解
V a b
O
对于这种边值问题，镜像法不适
用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱 坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，
以格林函数表示的积分解。
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值， 这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为 该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的 泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界 条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
电磁场及电磁波_第三章
从而电场为:
3.1.3 导体系统的电容
电容是导体系统的一种基本属性, 它是描 述导体系统储存电荷能力的物理量。 定义两导体系统的电容为任一导体上的总 电荷与两导体之间的电位差之比, 即
电容单位是F(法拉), 此比值为常数
1. 双导体的电容计算
在电子与电气工程中常用的传输线，例如 平行板线、平行双线、同轴线都属于双导 体系统。通常，这类传输线的纵向尺寸远 大于横向尺寸。因而可作为平行平面电场 （二维场来研究），只需要计算传输线单 位长度的电容。 其计算步骤如下:
√ 所有电位系数
, 且具有对称性, 即
（2）电容系数
对电位系数的矩阵方程求逆，可得:
或表示为:
式中, 称为电容系数或感应系数。下
标相同的系数
称为自电容系数或自
感应系数，下标不同的系数
称
为互电容系数或互感应系数。
电容系数具有以下特点:
√ 在数值上等于第j个导体的电位为一个 单位而其余导体接地时, 第i个导体上的电 量, 即
可见, 点P、Q之间电位差的物理意义是把 一个单位正电荷从点P沿任意路径移动到点 Q的过程中, 电场力所做的功, 根据静电场 的无旋性, 这个功是路径无关的。因而电 位差是唯一的。。
为了使电场中每一点电位具有确定的值， 必须选定场中某一固定点作为电位参考点， 即规定该固定点的电位为零。 例如，若选定Q点为零，则
电场强度为: • 内外导体间的电压为:
可得同轴线单位长度的绝缘电阻为:
方法之二:
已经知道同轴线单位长度的电容为: 因此，同轴线单位长度的漏电导为:
例二: 计算半球形接地器的接地电阻 解: 通常要求电子、电气设备与大地有良 好的连接，将金属物体埋入地内，并将需 接地的设备与该物体连接就构成接地器。
第三章作业答案
μ0
μ0
ˆx 10 + e ˆy 20 + e ˆz 20 V / m ，试问该电场能否表示匀强电场？为什么？电场 7、已知电场 A = e ˆx 20 − e ˆy 5 − e ˆz 5 V / m ， 大小是多小？方向余弦？如果有另一电场 B = e 试问这两个矢量是否
垂直？为什么？
G
G
ˆx 10 + e ˆy 20 + e ˆz 20 是匀强电场，电场的大小是 答：矢量 A = e G 1 2 2 E = 102 + 202 + 202 = 30 V / m ，方向余弦为 cos α = ， cos β = ， cos γ = ； 3 3 3 G G 两矢量垂直，因为 A ⋅ B = 0 。
μ0
2
c b
(
I 2 c2 − ρ 2 2 μ I2 ) ( 2 2 ) 2 πρ dρ = 0 2 πρ c − b 4π
单位长度内总的磁场能量为
Wm = Wm1 +Wm2 + Wm3
b μ0 I 2 ln + = + 16 Βιβλιοθήκη 4π a 4πμ0 I 2
μ0 I 2
15、 一个点电荷 q 与无限大接地导体平面距离为 d， 如果把它移至无穷远处， 需要做多少功？ 解：由镜像法，感应电荷可以用像电荷-q 替代。当电荷 q 移至 x 时，像电荷 q 应位于－x， 则像电荷产生的电场强度
G ˆx 2 + e ˆz 4 ，求电介质中的电场？ E =e
解：由在介质表面处 z = 0 ， E1t = E2t 即 E1x = E2x = 2 ， z = 0 时， D1n = D2 n 即 D1z = D2 z
静电场的边值问题
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
第三章 静电场旳边值问题
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中旳分离变量法 4. 圆柱坐标系中旳分离变量法 5. 球坐标系中旳分离变量法
1
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.1 电位微分方程
已知电位 与电场强度 E 旳关系为
E 对上式两边取散度，得
E 2
r0作为参照点，则 及l 在l 圆柱面上P点共同产生
旳电位为
P
l 2π
ln r0 l r 2π
ln r0 r
l 2π
ln r r
已知导体圆柱是一种等位体，必须要求比值
r 常数 r
与前同理，可令 r a d
r fa
d a2 f
21
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
（4）点电荷与无限大旳介质平面
或者
X (x) C sinh x D cosh x
含变量 x 或 y 旳常微分方程旳解完全相同。
♣这些解旳线性组合依然是方程旳解。一般为了
满足给定旳边界条件，必须取其线性组合作为方
程旳解。
解旳形式旳选择决取于给定旳边界条件。
解中待定常数也取决于给定旳边界条件。
30
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
8
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.2 镜像法
实质: 以一种或几种等效电荷替代边界旳影响， 将原来具有边界旳非均匀空间变成无限大旳均匀自 由空间，从而使计算过程大为简化。
这些等效电荷一般处于原电荷旳镜像位置，所以 称为镜像电荷，而这种措施称为镜像法。
9
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
根据：惟一性定理。等效电荷旳引入不能变化原 来旳边界条件。
静电场的边值问题
第三章 静电场旳边值问题
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中旳分离变量法 4. 圆柱坐标系中旳分离变量法 5. 球坐标系中旳分离变量法
1
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.1 电位微分方程
已知电位 与电场强度 E 旳关系为
E 对上式两边取散度，得
E 2
r0作为参照点，则 及l 在l 圆柱面上P点共同产生
旳电位为
P
l 2π
ln r0 l r 2π
ln r0 r
l 2π
ln r r
已知导体圆柱是一种等位体，必须要求比值
r 常数 r
与前同理，可令 r a d
r fa
d a2 f
21
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
（4）点电荷与无限大旳介质平面
或者
X (x) C sinh x D cosh x
含变量 x 或 y 旳常微分方程旳解完全相同。
♣这些解旳线性组合依然是方程旳解。一般为了
满足给定旳边界条件，必须取其线性组合作为方
程旳解。
解旳形式旳选择决取于给定旳边界条件。
解中待定常数也取决于给定旳边界条件。
30
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
8
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.2 镜像法
实质: 以一种或几种等效电荷替代边界旳影响， 将原来具有边界旳非均匀空间变成无限大旳均匀自 由空间，从而使计算过程大为简化。
这些等效电荷一般处于原电荷旳镜像位置，所以 称为镜像电荷，而这种措施称为镜像法。
9
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
根据：惟一性定理。等效电荷旳引入不能变化原 来旳边界条件。
第三章 静电场的边值问题
oP adq′r′OP adq′r′为常数。
对于不接地的导体球，若引入镜像电荷 q' 后，为了满足电荷守 恒原理，必须再引入一个镜像电荷q"，且必须令q ′′ = − q ′P a O d q′ r′ r q f而且，为了保证球面边界是 一个等位面，镜像电荷 q′′ 必须位 于球心。
事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等于零。
由q 及 q‘在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷 q“ 以提供一定的电位。
（思考：等位线的形状是否和以前一样？）（3）线电荷与带电的导体圆柱。
P a O d f -ρl已知线电荷为rr′ρl，导体圆柱单位ρl长度的电荷量为-ρl 。
在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根 镜像线电荷 − ρ l 。
求d 的大小。
已知无限长线电荷产生的电场强度为E=ρl er 2πε r因此，离线电荷 r 处，以 r0 为参考点的电位为ϕ=∫r0rEdr =ρl ⎛ r0 ⎞ ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠若令镜像线电荷 − ρ l 产生的电位也取相同的 r0 作为参考点， 则 ρ l 及 − ρ l 在圆柱面上 P 点共同产生的电位为P a O d f -ρlr′rρlϕP =ρl ⎛ r0 ⎞ ρl ⎛ r0 ⎞ ln⎜ ⎟ − ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠ 2πε ⎝ r ′ ⎠ ρl ⎛ r ′ ⎞ = ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠已知导体圆柱是一个等位体,即 ϕ p 是一个常数，因此，为了 满足这个边界条件，必须要求比值r′ r为常数。
2a r′ a d 与前同理，可令 = = ，由此得 d = r f a f可以想象与实际导体圆柱对称位置的右侧，也存在一个圆柱等位 面，如上图，则可计算两根平行导线间的电容（P79）。
（4）点电荷与无限大的介质平面。
qq′ Enr0r0′E'E t′ Etq"ε1 ε2et en=ε1 ε1q'θ+ε2 ε2r0′′θ′ E n′E t′′EnEE"为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q' 等效边界上束缚电 荷的作用，将整个空间变为介电常数为ε1 的均匀空间。
第三章 边值问题的解法
解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，
R2
采用圆柱坐标系
R1
1 (r ) 0 积分 Aln r B
r r r
由边界条件 U A ln R1 B 0 Aln R2 B
A U ln R1 R2
B
U ln R1
ln
R2
第3章 边值问题的解 法
给定边界条件下求有界空间 的静电场和电源外恒定电场的问 题，称之为边界值问题。
3.1边值问题的提法(分类)
3.1.1边值问题的分类
1 狄利克雷问题：给定整个场域边界面S上各点电位的（函数）
值
f (s)
2 聂曼问题：给定待求位函数在边界面上的法向导数值
/ n f (s)
q
4π0
(r
2
2dr
1
cos
d
)2 1/ 2
(d
2r2
a
2dra2 cos
a4 )1/ 2
导体球不接地：
q a q d
b a2 d
q q a q d
a
—
a
导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代
数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜
球壳内：边界为r = a1的导体球面，
边界条件为 (a1, ,) 0
➢ 根据球面镜像原理，镜像电荷
的位置和大小分别为
a1 q1
q
1
b1
a12 d1
q1
q1
第3章---- 静电场及其边值问题的解法--5 (1)讲诉
a
r2 q
b
r1
M
q
1 q q c ( )0 4π 0 r1 r2
d
q ab q d a
r2 q q r1
q a b q d a
a q q d
a2 b d
空间任意点 ( r , ) 的电位： q 1 a 2 2 2 2 1/ 2 4π 0 (r 2dr cos d ) (d r 2dra 2 cos a 4 )1/ 25
解：
a1 q1
a2
( r , , )
q2
d2
a2
o
r
q2
b2
r2
r1
q2
d1
d2
球壳外：边界为r = a2的导体球面，边界条件为 (a2 , , ) 0 的位置和大小分别为 根据球面镜像原理，镜像电荷 q2 2 a2 a2 q2 q2 b2 d2 d2 球壳外区域任一点电位为 a2 q 1 外 2 2 2 2 1/ 2 2 4 1/ 2 4π 0 (r 2d2 r cos d2 ) (d2 r 2d 2 ra2 cos a2 )
9
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
球壳中： 球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。 球壳内：边界为r = a1的导体球面， 边界条件为 (a1 , , ) 0 根据球面镜像原理，镜像电 荷 q1 的位置和大小分别为 a1 a12 q q1 b1 1 d1 d1 q 内 球壳内区域任一点电位为 4π 0
q
d
q 1 a a 2 2 2 2 1/ 2 2 4 1/ 2 4π 0 (r 2dr cos d ) (d r 2dra cos a ) dr