优化模型的三要素
优化设计作业
作业1. 阐述优化设计数学模型的三要素。
写出一般形式的数学模型。
答：建立最优化问题数学模型的三要素：（1）决策变量和参数。
决策变量是由数学模型的解确定的未知数。
参数表示系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。
（2）约束或限制条件。
由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是用约束的数学函数形式来表示的。
（3）目标函数。
这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效率，即系统追求的目标。
2. 阐述设计可行域和不可行域的基本概念答：约束对设计点在设计空间的活动范围有所限制。
凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的可能活动范围，称可行设计区域(可行域)。
不能满足所有约束条件的设计空间便是不可行设计区域(不可行域)。
3、无约束局部最优解的必要条件？答： （1）一元函数(即单变量函数) 极值点存在的必要条件如果函数f (x )的一阶导数f’(x )存在的话，则欲使x *为极值点的必要条件为： f’(x *)=0但使f’(x *)=0的点并不一定部是极值点；使函数f (x )的一阶导数f’(x )=0的点称为函数f (x )的驻点；极值点(对存在导数的函数)必为驻点，但驻点不一定是极值点。
至于驻点是否为极值点可以通过二阶导数f’’(x )=0来判断。
（2）n 元函数在定义域内极值点X *存在的必要条件为即对每一个变量的一阶偏导数值必须为零，或者说梯度为零(n 维零向量)。
▽f (X*)=0是多元函数极值点存在的必要条件，而并非充分条件；满足▽f (X*)=0的点X *称为驻点，至于驻点是否为极值点，尚须通过二阶偏导数矩阵来判断。
3. 阐述约束优化问题最优解的K-T 条件。
答：K-T 条件可阐述为：如果X (k)是一个局部极小点，则该点的目标函数梯度▽f (X (k))可表示成该点诸约束面梯度为▽g u (X (k))、▽h v (X (k))的如下线性组合：()()()()0****21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=∇T n x X f x X f x X f X f式中：q —在X (k)点的不等式约束面数；j —在X (k)点的等式约束面数；λu (u =1,2,…q )、μv (v =1,2,…j )——非负值的乘子，亦称拉格朗日乘子。
优化模型与AML课件
# 加工时间 #单位产量 #单位利润
var x{i in P}>=0;
#生产计划
maximize profit: sum{i in P}L[i]*Q[i]*x[i];
subject to raw: sum{i in P}x[i] <=50; subject to time:sum{i in P}T[i]*x[i]<=480; subject to capacity: Q[first(P)]*x[first(P)]<=100;
优化模型与AML
MATLAB优化工具箱能求解的优化模型
优化工具箱3.0 (MATLAB 7.0 R14)
连续优化
离散优化
纯0-1规划 bintprog 一般IP(暂缺)
无约束优化
约束优化
非线性 极小 fminunc
非光滑(不பைடு நூலகம் 微)优化
fminsearch
线性规划 linprog
二次规划 quadprog
优化模型与 AMPL
优化模型与AML
优化模型和算法的重要意义
最优化: 在一定条件下，寻求使目标最大(小)的决策
最优化是工程技术、经济管理、科学研究、社 会生活中经常遇到的问题, 如: 结构设计 资源分配 生产计划 运输方案
解决优化问题的手段 • 经验积累，主观判断 • 作试验，比优劣 • 建立数学模型，求解最优策略
数学规划
g j ( x) 0, j 1,..., l x D n
连 • 线性规划(LP) 目标和约束均为线性函数
续 优
• 非线性规划(NLP) 目标或约束中存在非线性函数
化 ✓ 二次规划(QP) 目标为二次函数、约束为线性
• 整数规划(IP) 决策变量(全部或部分)为整数
优化模型的三要素课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 优化模型概述 • 优化模型的三个要素 • 优化模型的求解方法 • 优化模型的应用领域
01
优化模型概述
定义与特点
定义
优化模型是一种数学工具，用于 解决具有约束条件和目标函数的 决策问题，旨在寻找最优解。
实际问题的需求和限制。
选择原则
在选择决策变量时，需要遵循问 题实际、合理、可行的原则，确 保决策变量能够反映问题的本质
和特征。
01
优化模型的求解方 法
解析法
01
02
03
04
解析法是一种通过数学解析的 方式来求解优化问题的方法。
ห้องสมุดไป่ตู้
它通常适用于具有简单、凸或 凹的特性，且可以轻易找到解
析解的问题。
解析法包括了许多不同的技术 ，如梯度下降法、牛顿法等。
特点
优化模型具有抽象性、系统性、 动态性和复杂性等特点，能够描 述和解决实际生活中的各种问题 。
优化模型的重要性
实际应用
优化模型在各个领域都有广泛的应用 ，如经济、金融、物流、生产计划、 交通运输等，对于提高效率和降低成 本具有重要意义。
决策支持
优化模型可以为决策者提供科学依据 和最优方案，帮助决策者做出更加明 智和合理的决策。
01
优化模型的应用领 域
生产计划优化
生产计划优化是优化模型在生产领域的应用，旨在提高生产效率和降低生产成本。
通过合理安排生产计划，优化模型可以帮助企业实现资源的高效利用，减少生产过 程中的浪费和冗余。
生产计划优化通常需要考虑生产能力、市场需求、库存管理等多个因素，以制定出 最优的生产计划方案。
(word完整版)油田开发方案的规划
油田开发方案的规划油田开发方案的规划是指油田开发进入递减期后，为了延缓产量的递减、成本的上升、保持产量的相对稳定而采取的相应措施. 一、 问题的提出经过充分的对油田开发的研究，确定最优的开发方案，在经济、政治、科学、技术等允许条件下,使投入产出比达到最低，社会、科技、经济的效益最佳。
二、 问题的分析建立一个优化模型的三要素是：决策变量、目标函数、约束条件。
1、 决策变量取个采油厂的产油量为决策变量，由于其他指标可以由产油量决定，我们设x j 为第j 厂在规划年的产油量,j=1,2…n;万吨. 2()11max n ni j j j j F x a x c x ===-∑∑其中a 为规划年限的单位油价（万元/万吨）,c j 为第j 个采油厂在规划年的单位产油量的操作成本(万元/万吨）：j j c j =第个采油厂在规划年的总操作成本（万元）第个采油厂在规划年的总采油量（万吨）j j ≈第个采油厂在规划年以前的总操作成本（万元）第个采油厂在规划年以前的总产油量（万吨）3、 约束条件约束条件可以分为客观方面的约束条件和主观方面的约束条件,客观方面的约束条件主要是油田自身开发的条件制约，由于油田大小和油田钻井数的约束；主观方面主要是由于管理而产生的约束，如油田的投资和操作成本上限的约束.关于产油量：本次讨论对产油量的约束条件为在考虑国家对原油的需求量、石油地质储量、油田开发技术、开发规律后与油田磋商后的最第产油量：11nij xd =≥∑关于投资：投资包括油田的生产、经营、管理的一切费用，最大投资为：221njj a xd =≤∑其中a 2为在规划年限以前单位产油量的总投资.关于工作量:能完成公司的生产要求、又能使油田的效益最大的最小工作量:331njj a xd =≥∑以及其他等等的约束量.三、模型的公式化通过以上分析，假设一共有m 个约束条件，对规划年的产量分配则有如下线性规划模型:()11max n ni j j j j F x a x c x ===-∑∑S ．t ．0Ax dx ≤⎧⎨≥⎩其中 12(x ,x ,,x )T n x =2122212111n m m mn a a a A a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例：我国大多数油田已进入递减阶段，表现为后备储量不足，资源接替困难,高含水,高采出程度,稳定产量难度大；原油成本迅速上升；资金短缺，难以筹集;设备新度系数低，老化严重。
主成分分析优化模型三要素
主成分分析优化模型三要素
主成分分析（PCA）优化模型的三个要素是：
1. 变量选择：PCA分析是基于协方差矩阵或相关系数矩阵进行的,因此需要根据研究目的和数据类型选择适合的变量。
一般来说,变量数目应该比样本数少,并且变量之间不能存在高度的共线性。
2. 主成分数目选择：主成分数目应该足够大以解释数据的大部分变异,并且足够小以保留数据的主要信息。
一般来说,可以采用Kaiser准则和Scree图两种方法确定主成分数目。
3. 主成分旋转方法选择：主成分旋转是为了将主成分与原始变量联系起来,使得每个主成分都有解释上的可比性。
常用的旋转方法有Varimax、Quartimax、Equamax等方法。
选择旋转方法要基于数据类型和实际需求来进行。
数学建模最优化模型
有约束最优化问题的数学建模
有约束最优化模型一般具有以下形式：
m in f (x)
m ax f (x)
x
或
x
s .t. ......
s .t. ......
其中f(x)为目标函数，省略号表示约束式子，可以是 等式约束，也可以是不等式约束。
最优化方法主要内容
f1='-2*exp(-x).*sin (x)';
[xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)
运行结果： xmin = 3.9270 xmax = 0.7854
ymin = -0.0279 ymax = 0.6448
例2 有边长为3m的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以 制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
例1：求函数y=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最 大值与最小值。
解：令f(x)=y=2x3+3x2-12x+14
f’(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1) 解方程f’(x)=0，得到x1= -2，x2=1，又 由于f(-3)=23，f(-2)=34，f(1)=7，f(4)=142， 综上得， 函数f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在 x=1处取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7
ya11a3ln1a2expxa5a4
其中 a1 a2 a3 a4 和a 5 待定参数,为确定这些参数,
对x.y测得m个实验点: x 1 ,y 1 ,x 2 ,y 2, x m ,y m .
试将确定参数的问题表示成最优化问题.
优化模型的三要素
④ 一行中“！”后面的文字将被认为是说明语句，不参与
模型的建立，主要目的是增加程序的可读性。
现在我们用Lindo软件来求解这个模型，单击工具栏中的
Lindo求解器运行状态窗口各项的含义
型
xij
0,1;
这是一个线性0-1 规划模型，它是一个特 殊的线性整数规划。
Lingo/Lindo软件介绍
➢ 这套软件包由美国芝加哥大学的Linus Scharge教
授于1980年前后开发，专门用于求解最优化问题，后 经不断完善和扩充，并成立LINDO公司进行商业化运 作，取得了巨大的成功。全球《财富》杂志500强的企 业中，一半以上使用该公司产品，其中前25强企业中 有23家使用该产品。
队员
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳 66.8 57.2
78
70
67.4
仰泳 75.6
66
67.8
74.2
71
蛙泳
87
66.4 84.6
69.6
83.8
自由泳 58.6
53
59.4
57.2
62.4
线 性 规
·划
模 型
决策变量：引入0-1变量xij 若选择队员 i 参加泳姿 j
的比赛，记 xij=1，否则记 xij=0.这就是问题的决策变量， 共20个。
•松弛变量的值 【紧约束】
Lingo/Lindo软件介绍 ---Lindo
➢使用Lindo软件的一些注意事项：
① 变量以字母开头、不区分大小写，变量名可不超过8个字符；
最优化原理知识点
1.优化设计数学模型的三要素是什么？试写出其数学表达式。
2.常用的迭代终止准则有哪些？(1)点距准则 ||Xk+1-Xk||≤ε(2)值差准则 |f(Xk+1)-f(Xk)|≤ε(3)梯度准则 ||▽ f(Xk+1) ||≤ε3.设计的变量和设计空间的关系是什么？由n个设计变量x1,x2,…xn为坐标所组成的实空间称作设计空间。
4.梯度和方向导数的关系是什么？梯度▽ F(X) 是一个向量，梯度方向是函数具有最大变化率的方向（方向导数最大的方向）。
5.如何判断矩阵的正定性？若有HTHX>0，则称矩阵H是正定矩阵；矩阵A正定的条件是A的各阶主子式大于零。
6.为什么说正定二次函数在最优化理论中具有特殊意义？因为许多最优化理论和最优化方法都是根据正定二次函数提出并加以证明的,而且所有对正定二次函数适用并有效的最优化算法,经证明,对一般非线性函数也是适用和有效的。
7.什么是库恩-塔克条件？其几何意义又是什么？等式约束：不等式约束：8.为什么二次插值法的收敛速度要比黄金分割法快？而在相同τ下的实际精度没有黄金分割法高？9.试写出梯度法（最速下降法）的迭代算法公式，并简要叙述该算法的特点。
公式：方法特点：1）初始点可任选，每次迭代计算量小，存储量少，程序简短。
即使从一个不好的初始点出发，开始的几步迭代，目标函数值下降很快，然后慢慢逼近局部极小点；2）任意相邻两点的搜索方向是正交的，它的迭代路径为绕道逼近极小点。
当迭代点接近极小点时，步长变得很小，越走越慢。
梯度法只具有线性收敛速度。
10.梯度法计算速度慢的原因是什么？为什么一些好的算法第一步迭代都以负梯度作为搜索方向？在迭代点向函数极小点靠近的过程，走的是曲折的路线，形成“之”字形的锯齿现象，而且越接近极小点锯齿越细。
11.牛顿方向如何得到？有何优点？12.共轭方向如何产生？有何优点？13.线性规划的基本解、基本可行解和最优解之间有什么关系？14.在解的转换中，如何保证目标函数值不仅下降，而且下降的最多？15.非线性约束最优化问题的求解方法有哪两类？各有什么特点？16.约束优化方法中的可行方向法产生可行方向应满足什么条件？试用文字描述并用公式表达。