军事数学建模
(完整版)三方军备竞赛数学模型
东北大学秦皇岛分校数学建模课程设计报告三方军备竞赛模型及其改进分析学院数学与统计学院专业数学与应用数学学号7100405姓名燕云指导教师刘超张尚国成绩教师评语：指导教师签字:2013年7月15日1 绪论1.1背景军备竞赛是指和平时期敌对国家或潜在敌对国家相互视为假想敌，在军事装备方面展开的质量和数量上的竞赛。
各国之间为了应对未来可能发生的战争，相互扩充军备，增强军事实力。
是一种预防式的军事对抗。
近代比较著名的例子是第一次世界大战前20年欧洲列强之间展开的军备竞赛。
资料显示，几乎所有的先到战争都是以军备竞赛为前导的。
1979年加拿大人理查森研究了1816-1965年间99件国际争端[1]得到了理查森军备竞赛模型。
这个属性模型可为从事社会科学研究的人们提供一个借鉴。
引起两国间爆发战争的原因是多种多样的，但是在这众多原因中,军备竞赛是一个很重要的原因.例如，甲乙两国是敌对国家,乙国感到甲比他强大,就会为了自身的安全而增加预防开支,扩充军备；当甲看到乙在增加军费，扩充军备，其目的是在针对自己,为了保证自身的安全，甲也会扩充军备，如此循环，造成恶性循环，最终导致战争爆发。
1。
2 预备知识在解决这一类模型时，我们常常要求解一些三次方程.所以我们在这里介绍一些实系数三次方程根的性质。
1. 实系数一元三次方程320x ax bx c +++=的根具有负实部的充要条件是：若0c >有0,a a bc >>成立。
2. 理查森军备竞赛模型（两国家）：两国家的理查森军备竞赛模型如下:()x ()t x ky gy t y lx h αβ⎧=-++⎪⎨⎪=-++⎩甲乙两方在时刻t 的军备数量分别是()(),x t y t ，在一方军备增加时,另一方军备也增加，设甲的增长速率为k ，乙的增长速率为l 。
同时,由于一个国家的经济实力有限，任一方军备越大，对其军备增长的制约作用也越大。
设甲的制约系数为α，乙为β。
数学建模实例战争模型
x
y0
x = f ( y)
x0
x
战争模型正规战和游击战军备竞赛核武器竞赛正规战与游击战战争分类正规战争游击战争混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关第一次世界大战lanchester提出预测战役结局的模型00ytgxyvtxtfxyxyut?????一般模型?每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力?每方非战斗减员率与本方兵力成正比?甲乙双方的增援率为utvtxt甲方兵力yt乙方兵力模型假设fg取决于战争类型模型vtxyaybxxyut???????正规战争模型?甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力fxy?aya乙方每个士兵的杀伤率arypyry射击率py命中率双方均以正规部队作战xxgbxbrp??忽略非战斗减员?假设没有增援0000xyxaybxxyy???????正规战争模型???????000y0xyxbxyayxaybxdxdy???2020bxayk?0kbxay?22tytx0ak0k0kbk?0k00kx?y0kk??0yyxxprprabxy甲方胜?????200乙方胜平局游击战争模型双方都用游击部队作战?甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加fxy?cxyc乙方每个士兵的杀伤率crypyry射击率py命中率sry乙方射击有效面积?忽略非战斗减员?假设没有增援gxyxxxrxydxydrprss???0000xyxcxydxyxyy?????pysrysxsx甲方活动面积tycm0dm?tx0m0m0m??????游击战争模型?dxyy0000xyyxcxyx00dxcymmdxcy??r?000mxy?y00yryyxrxxssrsscdxmm00??cddxdy乙方胜甲方胜平局tytx0乙方胜0n平局0n甲方胜0n0000xyxcxybxxyy???????220022cynbx???ncy??0ybx混合战争模型甲方为游击部队乙方为正规部队?yx??设x0100rxry12px01sx1km2sry1m2200202crb2??0nx200100yx00xsrspxryyxxx??????乙方必须10倍于甲方的兵力乙方胜美国人曾用这个模型对越南战争进行分析认为在混合战争中要想战胜至少应投入8倍于游击部队一方的兵力而美国人只能派出6倍于越南的兵力那么就不得不接受和谈的结局退兵根据二战中的硫磺岛战役中的纪录数据engel对正规战争模型进行了验证
12水2数学建模核军备
数学建模课程设计第一作者：陈日训第二作者：专业班级：2012级水利水电工程2班论文题目：美苏核武器平衡状态变化模型团队个人信息：2014年11月30号美苏核武器平衡状态变化问题【摘要】：核武器是一种大规模杀伤性武器，拥有核武器对一国的国防安全具有重要意义。
当今世界上以美俄（苏）的核武器为最多，两个国家存在用核武器威慑对方以确保自身安全的竞争关系，对世界安全有重要影响。
本课程设计以双方核威慑战略为基础，建立简化的数学模型，通过提出函数作图分析双方的安全区、威慑值、残存率及他们核军备的平衡问题。
关键词：竞争、威慑值、残存率、平衡问题1.1.1模型问题的提出：战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。
随着苏联解体和冷战结束，双方通过了一系列核裁军协议。
问：（1）在什么情况下双方核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时平衡。
（2）估计平衡状态下双方拥有最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。
（3）当一方采取加强防御，提高武器精度，发展多弹头导弹等不同措施时，平衡状态会发生什么变化。
1.2.1建立模型的条件假设为了有利我们建立模型，我们这样假设：（1）双方均只采用核威慑战略，没有其他影响对抗的方法。
（2）以他们的核导弹数量来描述核军备规模。
（3）不存在一枚导弹可以摧毁数枚导弹的情况（视为一对一的游戏），可以认为一枚导弹就是一个基地。
这样的话合理的攻击行为就是不同的导弹尽可能去攻击对方不同的核基地。
但我们不能确定一枚导弹就一定会摧毁一个基地，所以基地有一个存活率的问题，为了定量描述模型，我们再假设这一存活率为常数。
1.2.2模型求解设当甲有x枚核导弹时，乙需要至少y=f(x)枚核导弹才会感到安全；当乙有y枚导弹时，甲需要至少x=g(y)枚导弹才会感到安全。
依此，我们可以确定y=f(x)和x=g(y)两条曲线形式。
在实际中X和y, f(x)和g(y)都不可能为负值，所以f(x)和g(y)均为在第一象限上的曲线。
数学建模在军 事战略规划中的应用有哪些
数学建模在军事战略规划中的应用有哪些在当今复杂多变的国际形势下，军事战略规划的科学性和准确性至关重要。
数学建模作为一种有效的工具，为军事战略规划提供了精确的分析和预测手段，帮助决策者在战争迷雾中做出明智的决策。
本文将探讨数学建模在军事战略规划中的多种应用。
一、战场态势评估战场态势评估是军事战略规划的基础，它需要对敌我双方的兵力部署、武器装备、作战能力等多方面因素进行综合分析。
数学建模可以通过建立各种数学模型，如概率模型、统计模型和优化模型等，对战场态势进行量化评估。
例如，利用概率模型可以预测敌方武器系统的命中概率、我方防御系统的拦截概率等。
通过统计模型，可以对历史作战数据进行分析，总结出作战规律和趋势，为当前的战场态势评估提供参考。
优化模型则可以帮助决策者在资源有限的情况下，合理分配兵力和装备，以达到最佳的作战效果。
二、作战效能分析作战效能是衡量军事力量在作战中发挥作用的重要指标。
数学建模可以通过建立作战效能模型，对武器装备、作战策略等因素对作战效能的影响进行分析。
以导弹打击为例，可以建立导弹的飞行轨迹模型、命中精度模型和毁伤效果模型等，综合评估导弹的作战效能。
对于军事行动中的部队协同作战，可以建立协同作战模型，分析不同兵种之间的配合效果，以及通信、指挥等因素对协同作战效能的影响。
通过这些模型的建立和分析，可以为军事战略规划提供科学依据，优化作战策略，提高作战效能。
三、资源分配与优化在军事战略规划中，资源的合理分配是至关重要的。
包括人力、物力、财力等各种资源的分配都需要考虑到作战需求、战略目标和资源限制等多方面因素。
数学建模中的线性规划、整数规划和动态规划等方法可以有效地解决资源分配问题。
例如，在后勤保障中，可以通过线性规划模型确定物资的最优运输路线和运输量，以最小化运输成本和时间。
在兵力部署中，可以利用整数规划模型确定各个作战区域的兵力分配，以满足作战需求和战略目标。
动态规划则可以用于解决资源在不同时间阶段的分配问题，以适应战争的动态变化。
舰艇追击问题数学建模
舰艇追击问题数学建模导言：在海上，当一艘舰艇发现目标之后，就必须采取必要的措施来对其进行追击。
然而在追击过程中，舰艇与目标之间往往需要考虑很多因素，如距离、航速、转向等等。
因此，如何进行科学的数学建模，以便更好地解决舰艇追击问题，成为了值得我们思考的问题。
一、航行路线建模在进行舰艇追击时，我们首先需要将两艘船之间的距离建模，并且需要对两船的航行路线进行建模。
对于一个一直航行的目标，我们可以将其航向和航速作为常数，通过莫卡托投影的方法将其建模，而对于一条航行路线不固定的目标，我们可以通过卡尔曼滤波器对其进行建模。
卡尔曼滤波器是利用线性系统的状态来对不确定的情况进行估计的方法，它可以通过船的动态观测值来预测船的下一步行动，并根据预测的结果进行调整。
二、船舶速度建模在建立了航行路线的基础上，我们需要对船舶的速度进行建模。
船舶速度受到许多因素的影响，如风速、涡流、水流等等。
因此，我们可以通过船舶动力学原理，对船舶的速度、加速度、减速度等进行建模，进而计算出船舶在不同环境条件下的最佳航速。
三、转向建模在追击目标的过程中，船舶的转向非常关键。
在进行转向时，一般需要考虑到目标的位置、距离、航向、自身的速度等因素。
在建模时，我们可以通过克鲁姆贝格-最优控制理论来求解最佳控制策略，选择一种最佳的转向方式，以便能够以最快的速度追上目标。
四、寻找最佳路径在追击目标的过程中，选择最佳路线也是很重要的。
在选择航行路线时，我们需要考虑目标的位置、船舶的速度等因素，并进行最小化路径长度、时间等的优化。
在建模时，我们可以通过动态规划、遗传算法等方法，寻找最佳航行路径和速度，使得船舶能够以最快的速度追上目标。
五、总结舰艇追击问题是一个非常重要的问题，需要我们采用科学的数学建模方法才能更好地解决。
建立航行路线模型、船舶速度模型、转向模型和寻找最佳路径模型等，可以通过数学模型预测出舰艇的行动轨迹，实现快速追击目标，提高舰艇追击目标的成功率。
数学建模军事建模
类似地，乙方的战斗减员率设为
g = bx
且甲方的战斗有效系数
b = rx p x
rx和 px 是甲方的射击率和命中率。于是
dx dt dy dt ay x u (t ) (2) bx y v(t )
忽略非战斗减员与增援，则模型进一步简化为
y0 2 01 01106 100 2 1100 x0
即y0 / x0 >10，乙方必须 10 倍于甲方的兵力。
美国人分析越南战争： y0 / x0 ＝6 < 8，所以美 国败。
等因素，而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战
争胜负的， 所以用这些模型判断整个战争的结
局是不可能的，但是对于局部战役来说或许还有
参考价值。 更重要的是，建模的思路和方法为
我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问
题提供了可以借鉴的示例。
数学建模
军事模型
4
一般战争模型
用x( t ) 和y( t ) 表示甲乙交战双方 t 时刻的兵力
数学建模
军事模型
6
正规战模型
甲乙双方都用正规部队作战。我们只须分析甲方的 战斗减员率f ( x, y ) . f 可简单假设为
f ＝ay
其中：a —乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位 时间的杀伤数），称为乙方的战斗有效系数。
a ＝ ry py
其中： ry—乙方的射击率（每个士兵单位时间的射击次数) py—乙方的命中率
区域内活动，乙方士兵不是向甲方士兵开火， 而是向
这个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情况。这时甲方战
斗减员率不仅与乙方兵力有关， 而且随着甲方兵力的
增加而增加。
数学建模正规战与游击战ppt课件
6
f=ay
a表示乙方平均每个士兵对甲方士兵 的杀伤率（单位时间的杀伤数）， 称乙方的战斗有效系数。可以进一 步分解为a=ry py，其中ry是乙方的射 击率（每个士兵单位时间内射击次 数），py是每次的命中率。
进一步分析某一方譬如乙方获胜
条件。由(6)式并注意到a , b的含义,乙 方获得胜利的条件可表示为
y0 x0
2
b a
rx ry
px py
(7)
12
Y(t)
k a
0
k
x(t)
b
图5-6 正规战争模型的相线
13
(7)式表明双方初始兵力之比y0/x0 以平方关系影响着战争结局。例如若
乙方的兵力增加到原来的2倍（甲方 不变），则影响战争结局的能力增加
2
2 • 0.1• 0.1106 2 •1•100
100
（18）
即y0/x0>10，乙方必须10倍于甲方的 兵力。
美国人曾用这个模型分析越南战 争（甲方是越南，乙方为美国）。更 具类似于上面的计算以及四五十年代 发生在马来西亚、菲律宾、印尼、老 挝等地的混合战争的实际情况估计出，
27
正规部队一方要想取胜必须派出8 倍于游击部队的兵力，而美国最 多只能够派出6倍于越南的兵力。 越南战争的结局是美国不得不接 受和谈撤军，越南人民取得最后 的胜利。
由此可以写出关于x(t)、y(t)的微 分方程为
x(t) f (x, y) x u(t), 0 y(t) g(x, y) x v(t), 0 （1）
导弹攻击问题的数学建模
湖南第一师范学院HUNAN FIRST NORMAL UNIVERSITY论文题目: 导弹攻击姓名专业班级及学号分工队员1 李丽11402050122 建立模型，计算队员2 盛名11402050128 建立模型，编程队员3 张旋11402050148 建立模型，画图摘要本文研究导弹攻击敌艇的问题。
首先，本文关于可改变角度的导弹攻击敌艇的问题建立了相关数学模型。
针对第一问，研究速度大小恒定，速度方向随时间改变的导弹，来攻击沿水平方向运动，速度大小不变的敌艇的问题。
由于导弹在任意时刻都指向敌艇，我们通过图形找到了速度和坐标的相似三角形，又根据速度和时间有函数关系，以及对导弹合速度的分解，使用了微分方程模型。
在第二个问题中，由于敌艇的运动方向与导弹每个时刻都成固定90度的角，再利用第一问的方法不再那么简单。
所以采取微元思想把整个攻击过程划分为非常小的时间段来进行研究，然后再用数学归纳法得出一般化的迭代格式，再利用迭代格式得到击中点。
在第三个问题中，本文对第二个问题的特殊角度进行了推广来得出最优逃离角度，即逃离时间周期最长的角度。
第四问根据前三问算出来的数据和画出的图像得出结论。
针对模型的求解，本文第一问使用偏微分方程和参数方程的求解方法计算出，并只用c语言编写程序求解出第二，三问题。
本文模型方法简单易懂，结果采用相关程序用计算机计算，并用matlab画出图像，明了，准确。
在模型的检验模型中，本文分别讨论了以上模型的精度和稳定性。
最后通过修改模型，得出导弹追击敌艇的模型。
关键词：微分方程模型、微元思想、数学归纳法、迭代公式一、问题重述1、问题背景：导弹自第二次世界大战问世以来，受到各国普遍重视，得到很快发展。
导弹的使用，使战争的突然性和破坏性增大，规模和范围扩大，进程加快，从而改变了过去常规战争的时空观念，给现代战争的战略战术带来巨大而深远的影响。
导弹技术是现代科学技术的高度集成，它的发展既依赖于科学与工业技术的进步，同时又推动科学技术的发展，因而导弹技术水平成为衡量一个国家军事实力的重要标志之一。
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2014年《数学建模》课程结课试题
问题A ：协同搜索识别问题
一架舰载直升机与一架舰载无人机协同进行对海搜索与目标识别，其中舰载直升机装备有机载雷达主要进行目标搜索，但其无法对发现的目标类型（如敌、我、商船或敌假目标）进行识别；无人机搭载光电设备（类似于摄像机）可传回目标的图像信息，用于完成目标识别，但必须接近到目标一定距离时才能实现。
假设舰载直升机机载雷达对特定目标的发现距离为R ，搜索范围为机身前方左右各 角。
当舰载直升机发现目标后，其引导无人机靠近目标，并占领目标舷角为m q ，距离为m d 的阵位，以便对目标进行识别。
现假设舰载直升机搜索速度固定，舰载无人机速度可在一定范围内变化，则
（1）若目标的航向为m C ，航速为m V ，舰载直升机发现目标后，应如何引导无人机对目标进行识别（无人机的飞行航向）？完成识别所需时间大约是多少？
（2）舰载无人机应配置在何处，可保证舰载直升机发现目标后舰载无人机能在平均意义下以最短时间完成对目标的识别。
问题B ：飞行计划问题
在甲、已双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围，需坚守长达4个月。
由于乙方封锁了所有水、陆交通通道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。
运送4个月的供给分别需要2，3，3，4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成（每架飞机需要3名飞行员），可以运送10万吨物资。
每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每个月也只能飞行一次。
在执行完运输任务后的返回途中有20%的飞机会被乙方部队击落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。
在第一个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员。
在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。
新飞机必须经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行。
每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20名飞行员（包括他自己在内）进行训练。
每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假期，假期结束后才能再投入飞行。
已知各项费用（单位略去）如下表所示，请为甲方安排一个飞行计划，使得所需要的费用最低。