数形结合与几何直观
“由数及形”代数推理和几何直观的融合——以“反比例函数的图象与性质”为例
２０２３年５月下半月㊀案例赏析㊀㊀㊀㊀由数及形 代数推理和几何直观的融合以 反比例函数的图象与性质 为例◉杭州高新实验学校㊀杨张彩㊀㊀摘要:在 反比例函数图象与性质 的探究过程中,把 解析式特征 与 图形特征 紧密结合．通过先 想一想 再 画一画 的教学环节,紧紧抓住反比例函数解析式 定积 特征, 由数及形 推理得到反比例函数的图象 特征 ,观察图象 特征 归纳得到反比例函数的性质．尝试在教学过程中通过不断设问㊁追问,引导学生不断反思㊁深入思考,在学生独立思考㊁自主探究和合作交流中培养学生推理能力和几何直观等核心素养．关键词:代数特征;代数推理;几何直观１ 代数推理 的内涵和意义«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»(以下简称课程标准(２０２２年版))强调推理能力和几何直观素养的发展[１]．推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中．推理是数学的基本思维方式．在初中数学教学中,对于代数部分的教学,更多的是停留在代数的运算,而往往忽视了代数推理．代数推理就是通过归纳类比得到结论,侧重于对数与式的分析和变形,对学生自主建构知识体系㊁培养深刻的理性思维㊁发展核心素养有着不可替代的作用．因此,在日常的教学中,应抓住时机选择适当的教学载体提升学生的代数推理能力．特别是在函数的教学中,建立 数 与 形 的联系,在 由数及形 的过程中,培养学生代数推理的关键能力．本文中以浙教版«义务教育教科书 数学»八年级下册第六章 反比例函数 第２节 反比例函数图象与性质 内容为例,对教学设计进行了研究,现予以阐述．２基于 由数及形 的教学设计案例２．１内容解析学生在小学已经学习过反比例关系,七年级学了分式,八年级上册学习了常量㊁变量㊁自变量㊁因变量,函数及函数值等概念,研究了正比例函数㊁一次函数．学生对函数的概念㊁图象和性质有了一定的认识,知道了研究函数的一般方法,积累了画函数图象的一般经验:列表－描点－连线．本节课基于此展开对 反比例函数图象和性质 的探究,巩固画函数图象的一般方法,继续积累数学基本活动经验,为后续学习二次函数的图象和性质等积累活动经验[３]．㊀㊀２．２目标建构与难点分析２．２．１目标和目标解析基于课程标准(２０２２年版)要求,确定本节课的教学目标:(１)能利用反比例函数解析式的代数特征推理反比例函数图象的特征．(２)能画反比例函数图象,通过画反比函数图象,进一步体会反比例函数三种表示方法的联系和转化,通过反比例函数的三种表示方法感知反比例函数的变化规律．(３)经历反比函数性质的探索过程,发展类比迁移能力㊁代数推理能力和几何直观[２]．达成目标(１)的标志:能指出自变量和因变量都不能等于零,知道自变量和因变量的符号与比例系数k值相关联,理解两个变量之间的对应关系．达成目标(２)的标志:能画反比例函数图象．达成目标(３)的标志:能根据反比例函数图象归纳出反比例函数的性质特征,并利用性质解决问题．２．２．２教学问题诊断分析及解决策略本节课是建立在学生已经学习了一次函数图象画法的基础上,有了画函数图象的基本经验:列表㊁描点㊁连线．但一次函数图象是一条直线,点与点之间用线段连接,它是直线型函数图象,且一次函数是连续函数．这样的经验和函数特征对学生学习反比例函数图象会产生负迁移．根据以往的教学经验,学生会有以下错误呈现:(１)连线用线段;(２)图象不完整(只有一个分支);(３)两个分支用线段连接;(４)没有延伸趋势或延伸趋势错误．针对这些问题,本节课选择从反比例函数解析式的代数特征切入,引导学生发现自变量和因变量的取值特点和变化规律．在解释 反比例函数图１５Copyright©博看网. All Rights Reserved.案例赏析２０２３年５月下半月㊀㊀㊀象为什么不能用线段连接 环节,不仅用特殊点验证,还利用几何画板描点,通过不断增加点,帮助学生直观感知反比例函数图象是光滑曲线,且不断接近x 轴和y 轴．３教学过程简介环节一:激活旧知,引入新课．回顾:(１)想一想函数有哪几种表现形式?(２)说一说正比例函数的研究路径和性质．生:函数有解析式㊁表格㊁图象三种表现形式．正比例函数的研究路径是定义 图象 性质 应用．性质为k ＞０时,图象在一㊁三象限,y 随x 的增大而增大;k ＜０时,图象在二,四象限,y 随x 的增大而减小．设计意图:激活旧知,引导学生将正比例函数图象与性质的学习经验迁移至反比例函数图象与性质的学习中．问题１㊀我们已获得反比例函数解析式y ＝kx(k ʂ０),你能类比正比例函数图象与性质的研究方法来研究反比例函数图象与性质吗设计意图:只给一般式,让学生类比正比例函数性质的探究过程,自行发现反比例函数的图象和性质与k 有关,并对k 赋值,意在培养学生 从一般到特殊 的数学思想．环节二:交流对话,探究新知．针对有学生提出先研究y ＝１x ,y ＝２x ,y ＝８x,y ＝－８x,顺势给出问题２．问题２㊀你先选择哪个解析式进行研究?为什么?追问１:若先选y ＝８x进行研究,你能根据解析式的代数特征 想到 图象的样子吗?如果你有发现,先写下来,继续 想 ;如果发现不了,可以选择画图或尝试借助表格进行探究．追问２:说说你是怎么想到的?具有这些图象特征的根本原因是什么生１:因为x 为分母,分母不能为零,所以x ʂ０．又因为k ʂ０,所以y 也不能等于零,即图象与x 轴,y 轴都没有交点．生２:将解析式变形为x y ＝８,因为８是正数,所以可以知道x ,y 同号,所以图象在一㊁三象限．生３:从x y ＝８看,当x ,y 都取正数时,如果x 变大,根据积为８是定值,那么y 将变小．师:感谢这三位同学的分享,他们的想法对画图有很大帮助．现在请大家动手画图象,看看借助图象是否还有其他发现．通过列表,学生还发现函数图象上的点关于原点对称．设计意图:引导学生学会研究函数性质的一般方法,即先分析函数解析式的代数特征,再借助自变量与因变量的表格分析二者之间的关系,最后再结合函数的图象直观地理解所研究函数的性质．此过程中基础薄弱的学生可以边想边列表边画㊁边画边想,想画结合,使不同层次的学生都有不同的收获,得到不同的发展．追问３:描点后,你用什么线连接各个点?为什么?追问４:如果用线段连接,我们能否找个特殊点加以验证?设计意图:追问３是让学生 知其所以然 ．追问４是激活学生的已有知识 (１)用临近两点间的中点坐标代入解析式验证;(２)确定横坐标,通过函数解析式求出纵坐标并加以验证．不少学生因为正比例函数图象是直线,从而对反比例函数图象的学习产生了负迁移,描点后也用线段连接．针对这一问题,笔者提出追问３和追问４,引导学生思考并及时发现错误,再利用几何画板逐步增加取点的个数让学生逐步发现点越多函数图象越清晰,函数图象不同于直线而是光滑的曲线,如图１,图２所示．图１图２问题３㊀请分别画出y ＝１x ,y ＝２x ,y ＝－８x的草２５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年５月下半月㊀案例赏析㊀㊀㊀㊀图;对比这四个函数图象,说说你的发现．设计意图:培养学生的分类意识,从不同的角度切入可以获得不同发现,得到不同结论．环节三:梳理概括,形成结构．一般地,反比例函数y ＝kx(k ʂ０)的图象有以下几个特征:(１)图象是由两个分支组成的曲线(简称双曲线)．(２)当k ＞０时,图象在一㊁三象限;当k ＜０时,图象在二㊁四象限．(３)图象的两个分支分别无限接近于x 轴与y 轴,两个分支关于原点成中心对称．(４)若k 互为相反数,则相应的两函数图象关于x 轴㊁y 轴对称．(５)|k |越大,图象离原点越远．设计意图:帮助学生将研究得到的零散的知识系统化㊁结构化．环节四:应用新知,体验成功．例㊀已知反比例函数y ＝kx (k ʂ０)的图象的一支如图３所示,且经过点B (－４,２)．图３(１)求这个反比例函数的表达式;(２)补画这个反比例函数图象的另一分支．设计意图:巩固新知,让学生体验成功的喜悦．环节五:归纳总结,纳入系统．(１)本节课你学到了反比例函数的哪些新知识?(２)你有哪些感悟和收获?(３)你还有想继续探究的问题吗?设计意图:梳理本节课所学内容和方法．问题(１)引导学生类比正比例函数图象和性质的研究方法来研究反比例函数的图象与性质;问题(２)引导学生归纳总结反比例函数图象和性质的学习方法;问题(３)引导学生观察反比例函数图象,运用 数形结合 的方法可以进一步探究反比例函数的性质．三个问题重在对反比例函数图象学习过程的反思㊁感悟,提升学习能力．４进一步的思考(１)挖教材,关注通性通法多版本教材进行比较,深度挖掘,不局限于某一版本． 先画后想 或 先想后画 是让学生想画结合,从 想一想㊁列一列㊁画一画㊁再想一想 切入设计,能想就先不画,想象不出来的可以及时 列一列㊁画一画,再借助表格和图形思考．这样,能力强的学生有机会想象;想象力弱的学生可以借助表格和图形思考．如此分层任务,适时介入,让不同层次的学生在课堂上都有事可忙,都能在已有的基础上有所提高．同时,也培养了学生研究函数的一般方法:先分析函数解析式的代数特征,然后借助自变量与因变量的表格来分析二者之间的关系,最后再结合函数的图象直观地理解所研究的函数的性质．这样采用函数的三种表现形式研究函数性质的方法,不仅能让学生学会从多角度分析,也能让学生进一步明确三者之间的内在逻辑关系．(２)重系统,重视思维的生成和发展数学思想的发生发展蕴含在知识的形成和发展之中．本节课通过已有的正比例函数学习经验,激活学生学习函数的一般思路和方法,将正比例函数图象与性质的研究方式类比迁移至反比例函数的学习中．学生通过归纳概括感悟到了数学思想方法获得的路径．同时,将函数知识系统化和结构化,既体现了教学的整体性和层次性,又有助于学生形成分析和归纳的能力,有利于学生函数观念的形成和理性精神的培养．(３)育素养,提升学生的核心素养各版本教材对于反比例函数图象描点后如何连线,都是直接给出 用光滑的曲线连接 ,并未提出为什么要用曲线．本案例在连线的地方设计了 描点后,你用什么线连接各个点?为什么? 触发学生的深度学习,不仅让学生 知其然 ,还要让学生 知其所以然,何由以知其所以然 ．借助多媒体辅助教学,运用几何画板软件描点并运用点追踪等手段,让学生直观感知图象特征,使归纳推理更加可信,同时也培养了学生的几何直观,发展了学生的空间意识．参考文献:[１]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准(２０２２年版)[S ]．北京:北京师范大学出版社,２０２２．[２]章建跃．数学核心素养在初中阶段的主要表现之三:几何直观[J ]．中国数学教育,２０２２(Z ３):３Ｇ９．[３]章建跃．第三章 函数的概念与性质 教材介绍与教学建议[J ]．中学数学教学参考,２０１９(２８):１７Ｇ２４．Z ３５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
几何直观—与数轴相关的数形结合问题 教学设计
几何直观—与数轴相关的数形结合问题教学设计几何直观—与数轴相关的数形结合问题教学设计一、引言在数学教学中，几何直观的理解对学生的数学学习至关重要。
数轴作为数学中的重要工具，是帮助学生理解数学概念的重要手段之一。
本文将围绕几何直观与数轴的关系展开讨论，结合数形结合问题的教学设计，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
二、数轴的基本概念1. 数轴的定义数轴是一条直线上按照一定的单位长度刻度的线段，通常用于表示实数。
数轴上将实数与坐标一一对应，帮助我们直观地理解数的大小和大小之间的关系。
2. 数轴的特点数轴上的任意一点都可以与实数一一对应，数轴上距离原点越远的点对应的实数值也越大。
通过数轴，我们可以直观地比较不同实数的大小，并且进行加减乘除运算。
三、数形结合的教学设计在教学中，我们可以结合数轴的几何直观，帮助学生更好地理解数学概念。
以下是针对数形结合问题的教学设计：1. 引入实际问题引入一个与学生生活相关的实际问题，例如买菜花了多少钱、走路花费了多少时间等等。
2. 绘制数轴让学生自己绘制数轴，并在数轴上标出相关的数值。
通过绘制数轴，让学生更直观地理解数值之间的大小关系。
3. 解决问题让学生通过数轴来解决实际问题，比如计算买菜花了多少钱、走路花费了多少时间等等。
通过解决问题，让学生对数轴的应用有更深刻的理解。
四、个人观点和理解数轴作为一种几何直观的工具，在数学教学中有着重要的作用。
通过数轴，学生可以更直观地理解数值之间的大小关系，并且解决实际问题。
在教学中，我们应该注重培养学生对几何直观的理解和应用能力，让他们在数学学习中更加自信和熟练。
五、总结通过本文的讨论，我们可以看到几何直观与数轴的关系对于数学教学的重要性，并且结合数形结合问题的教学设计，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
在今后的教学中，我们应该注重培养学生的几何直观，让他们在数学学习中更加得心应手。
六、参考资料- 张三, 《数学教学研究》，2008年。
巧用数形结合优化几何直观——以“行程问题”教学为例
［摘要］在数学学习中，数形结合是重要的数学思想，也是最常用的解决问题方法之一。
数形结合可以将抽象的信息、复杂的数量关系用几何图形直观地呈现出来，使问题由抽象变具体、由复杂变简单，有利于培养学生解决问题的能力。
［关键词］数形结合；几何直观；行程问题；小学数学［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（2019）21-0030-02“行程问题”是小学数学的教学内容之一，一般以应用题的形式出现，有着丰富的变式。
下面，我就以“行程问题”的教学为例，谈谈如何巧用数形结合，优化几何直观，促进学生的数学学习，构建高效的数学课堂。
一、“行程问题”教学案例小学阶段，“行程问题”最早出现在人教版小学数学四年级上册教材，在人教版小学数学五年级上册第五单元中设计和编排了列方程解决“行程问题”的内容。
“行程问题”具体是指与速度、时间以及路程有关的数学问题，其中的数量关系式有“速度×时间=路程”“路程÷时间=速度”“路程÷速度=时间”。
在“行程问题”中，涉及的数有整数、小数和分数；设计的运动变化情况也很多，如单个物体运动、两个或两个以上的物体运动；运动方向有相向运动、同向运动以及背向运动。
在实际教学中，教师可先基于学生已有的知识经验，引导学生利用数形结合分析和理解题中的数量关系，找到未知数，再让学生依据等量关系列出正确的方程，最后解决问题。
为此，我对人教版小学数学五年级上册“行程问题”的教学进行改进，巧用数形结合，优化几何直观，引导学生解决问题。
教学片段1：（1）出示教材第79页的例5。
师：题中的已知条件和要求的问题是什么？生1：已知条件为“小林家和小云家相距4.5千米”“小林的骑车速度是0.25千米/分钟”“小云的骑车速度是0.2千米/分钟”，要求的问题是“两人何时相遇”。
师：求“两人何时相遇”是什么意思？（生答略）师（总结）：这里的路程已经不是指一个人行驶的路程了，而是指两个人行驶的路程之和，那么相遇时间就是指两个人共同行驶完全程用的时间。
数形结合,建立几何直观意识
综合论坛93摘 要：数形结合可以将抽象的数学理论进行转化，将抽象的数学逻辑具体化，使学生可以在探究数量关系的时候，充分理解和掌握立体几何知识，从而帮助学生建立几何直观意识。
目前，许多小学数学课堂忽略了数形几何对于培养学生几何直观思想的重要作用。
下面，本文将从开展数形结合教学的几点途径入手谈一谈如何在小学课堂上培养学生的几何直观意识。
关键词：数形结合；几何直观；数量关系；多元化几何直观思想主要是指学生对于数学图形的分析能力和理解能力。
在小学数学教学过程中，由于学生的抽象思维不完善，对于一些抽象的数学问题，教师可以采取数形结合的教学方法，在抽象图形中分析数学概念和原理，使学生在探究数量关系、分析图形运动的过程中，对于抽象图形从数学逻辑的角度进行分析。
一、动手画图，梳理数量关系绘制简图是学生解决几何问题的一个良好的学习习惯。
对于一些比较复杂描述比较多的题目，教师可以鼓励学生绘制简图来梳理题目中的数量关系，帮助学生进行分析。
简图的绘制可以体现出学生的思维发展，在帮助学生理清数学思路的同时，使学生更好地进行数量关系的分析。
例如在学习“面积”这节课时，同学们除了需要掌握面积的计算公式以外，还需要了解到面积这个概念在生活中的作用，并学会利用面积来进行数量关系的分析。
例如在题目“将边长是8米的正方形花园篱笆进行拆除，如果改成一个宽为40分米且有一条长边靠墙的长方形，求围成的长方形的面积”在这个题目中，同学们可以绘制一个简图来分析数量关系。
同学们首先要明确边长8米的正方形的周长为32米。
这32米的篱笆是进行花园改造的基础。
也就是说长方形的一条长边和两条短边的长度加起来等于32米。
同学们可以发现其中的数量关系，然后可以得出长方形的长边b=24m，该长方形的面积为96平方米。
同学们还需要注意其中的单位转化问题，注意将分米转化成米再进行计算。
将数字标注在图形上，可以使学生快速地获得数量关系式，使学生准确地完成计算。
在绘制简图的时候，学生可以将自己的思路和数字标注在简图上，将题目转化成一个比较简单的图形关系进行分析。
几何直观与数形结合的联系与区别
几何直观与数形结合的联系与区别【几何直观与数形结合的联系与区别】1. 引言在数学领域中，几何直观和数形结合是两个重要的概念，它们在数学学习过程中都扮演着非常重要的角色。
在本文中，我们将探讨几何直观和数形结合的联系与区别，以帮助读者更好地理解这两个概念。
2. 几何直观的概念几何直观是指人们对几何空间、形状和位置关系的直观理解和感知。
它是一种非形式化的数学思维方式，通常通过观察、图像和实物来帮助我们理解几何问题。
几何直观在初等数学教育中占据着重要地位，它可以帮助学生更直观地理解几何概念，从而提高数学学习的效果。
3. 数形结合的概念数形结合是指在数学学习中将几何形状和数学概念相结合，通过数学方法来研究几何问题。
数形结合可以帮助我们更深入地理解几何形状的性质、特点和变化规律，从而在解决实际问题时能够运用数学方法进行分析和求解。
4. 几何直观与数形结合的联系几何直观和数形结合在数学学习中并不是孤立的概念，它们之间存在着密切的联系。
几何直观为数形结合提供了直观的感受和图像化的理解，而数形结合则为几何问题的深入研究和分析提供了数学化的手段和方法。
通过几何直观和数形结合的联系，学生可以更全面地理解几何概念，并通过数学方法对几何问题进行更深入的探究。
5. 几何直观与数形结合的区别尽管几何直观和数形结合在数学学习中有着密切的联系，但它们又有着一定的区别。
几何直观更强调直观感受和视觉化的理解，注重学生对几何空间和形状的感知；而数形结合更注重数学方法和理论知识的应用，强调数学工具在解决几何问题中的作用。
几何直观和数形结合在数学学习过程中各自发挥着不同的作用，相辅相成，共同促进着学生对几何问题的全面理解。
6. 个人观点和理解就个人而言，我认为几何直观和数形结合在数学学习中都非常重要。
几何直观可以帮助我们更直观地理解几何概念，激发学生对数学的兴趣；而数形结合可以帮助我们深入研究几何问题，提高数学问题的解决能力。
我认为教学中应该注重几何直观的培养，同时也要注重数形结合的训练，以帮助学生全面、深刻地理解几何概念。
巧用数形结合 优化几何直观
巧用数形结合优化几何直观作者：江永胜来源：《小学教学参考(综合)》2019年第07期[摘要]在数学学习中，数形结合是重要的数学思想，也是最常用的解决问题方法之一。
数形结合可以将抽象的信息、复杂的数量关系用几何图形直观地呈现出来，使问题由抽象变具体、由复杂变简单，有利于培养学生解决问题的能力。
[关键词]数形结合;几何直观;行程问题;小学数学“行程问题”是小学数学的教学内容之一，一般以应用题的形式出现，有着丰富的变式。
下面，我就以“行程问题”的教学为例，谈谈如何巧用数形结合，优化几何直观，促进学生的数学学习，构建高效的数学课堂。
小学阶段，“行程问题”最早出现在人教版小学数学四年级上册教材，在人教版小学数学五年级上册第五单元中设计和编排了列方程解决“行程问题”的内容。
“行程问题”具体是指与速度、时间以及路程有关的数学问题，其中的数量关系式有“速度×时间=路程”“路程÷时间=速度”“路程÷速度=时间”。
在“行程问题”中，涉及的数有整数、小数和分数;设计的运动变化情况也很多，如单个物体运动、两个或两个以上的物体运动;运动方向有相向运动、同向运动以及背向运动。
在实际教学中，教师可先基于学生已有的知识经验，引导学生利用数形结合分析和理解题中的数量关系，找到未知数，再让学生依据等量关系列出正确的方程，最后解决问题。
为此，我对人教版小学数学五年级上册“行程问题”的教学进行改进，巧用数形结合，优化几何直观，引导学生解决问题。
教学片段1：（1）出示教材第79页的例5。
师：题中的已知条件和要求的问题是什么？生1：已知條件为“小林家和小云家相距4.5千米”“小林的骑车速度是0.25千米/分钟”“小云的骑车速度是0.2千米/分钟”，要求的问题是“两人何时相遇”。
师：求“两人何时相遇”是什么意思？（生答略）师（总结）：这里的路程已经不是指一个人行驶的路程了，而是指两个人行驶的路程之和，那么相遇时间就是指两个人共同行驶完全程用的时间。
几何直观,数形相得益彰
几何直观，数形相得益彰发表时间：2015-02-04T15:22:13.783Z 来源：《少年智力开发报》2014-2015学年第7期供稿作者：倪君霞[导读] 和代数相比,几何给人以生动直观的形象,借助于直观的形象,我们可以更直接地掌握研究对象各部分之间的具体关系。
绍兴市柯桥区安昌镇中学倪君霞《数学课程标准》2011版提出的十个核心概念，“几何直观”就是其中之一，从名称上就能看出它和图形与几何的学习关系比较密切。
课程标准指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
而几何直观的教学，并不是新课程标准修改后才出现的新名词，早在建国初期首次制定的中小学数学教学大纲中已提出，中小学数学教学在能力培养方面的要求是“通过数学教学，发展学生的逻辑思维和空间想像力”，之后经历多次的教学大纲修订，对几何直观教学进行不同的诠释，由“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维”，再到课程标准2011版的直接将“几何直观”作为十个核心概念之一。
几何直观不管是在代数当中，还是在统计概率当中，都要用到。
面对一个比较复杂的、比较抽象的对象，如果我们能用直观的办法，用图形的办法，把它描述刻画出来，会使这个对象更容易理解，这是一种思维——创造性思维，是一种很重要的科学研究方式。
那在数学课堂教学中如何培养学生几何直观的意识与能力？怎样运用几何直观，来提高学生的学习能力？下面我结合自已的教学实践，来谈谈我在教学中如何培养学生的几何直观的意识和能力，并能让学生自觉地运用几何直观一、解实际应用题时的几何直观几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解教学．是数学学习中的重要方面，甚至可以说．只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。
因此，在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，并旦学会利用几何直观来学习和理解数学。
数形结合与几何直观2012
• 策略4：假设全是鸡，也可以假设全是兔， 也可以假设一半是鸡一半是兔；
• 策略5：方程思路：用□表示鸡的只数，用 ○表示兔的只数，根据已知条件可以发现 □＋○＝8，2□＋4○＝22；由此可以得到 2（□＋○）＋2○＝22，2○＝22－16，○ ＝3。
• 策略6：面积图，利用长方形面积公式来计 算组合图形的面积。
最后的画与最后的话：
这是一棵什么树？ 这是一棵勾股树。也称智慧树。
Thanks。
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唐彩斌
四棵树，怎样栽，使得任两棵树之间距 离相等?
怎样用形来帮助思考？
5个朋友参加完聚会，一一道别，如果每 两人都握一次手，一共要握多少次手?
A
B
C
D
E
数形结合诗
华罗庚
数形本是相依偎， 焉能纷作两边飞. 数缺形时少直观， 形少数时难入微. 数形结合百般好， 割裂分家万事休. 几何代数统一体， 永远联系莫分离.
7
2
3
9 8 7 6 5 4 3 2 1
4+9=13
8+5=13
0 1 2 3 4 5 6 78 9
20以内进位加法 ：
• 分数的大小比较
坐标与图形 :
y
4 3 2 1
D
A
B
o
1
2
3
4
5
6
7xΒιβλιοθήκη • 用数对表示C点的位置；并画出这个长方形 的另外两条边。 • 如果以BC所在的直线为对称轴作出这个长 方形的轴对称图形，请用数对表示A点所对 应的点的位置。 • 将这个长方形向上平移一格，用数对表示 出移动后长方形四个顶点的位置。
1 100
÷10
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• 将这个长方形向上平移一格，用数对表示 出移动后长方形四个顶点的位置。
解决问题中的直观策略
• 欧拉解决哥尼斯堡“七桥问题”。
怎样让学生学会？
• 有一桶油，第一次取出这桶油的20％， 第二次取出12千克，两次共取出这桶油 的1/2，这桶油共多少千克？
• 画线段图：
• 画草图：
12千克
这桶油的20％， 这桶油的1/2
加法交换律
• 感受不完全归纳 • 列出算式； • 计算结果； • 提出猜测； • 举例验证； • 得出结论。
加法结合律
情境的现实性 与数学的规律 性很一致。
乘法分配律
• 从计算长方形周长的过程中，长×2+宽×2=（长 +宽）×2；引出乘法分配律；
• 用乘法分配律解释两位数乘两位数的原理；
乘法分配律的直观模型。
1 0.1 0.01 0.001
运算中的直观
数轴上直观表示 • 加法就是往右移，减法就是往左移。 • 乘法就是往右移动相同的格数；
分数四则运算
• 分数的运算与整数 的运算结合起来。
• 分数是分数单位的 累加，分数的运算 也就是分数单位相 同后整数的运算。
分数四则运算
• 借助直观模型。
两位数乘两位数
• 策略4：假设全是鸡，也可以假设全是兔， 也可以假设一半是鸡一半是兔；
• 策略5：方程思路：用□表示鸡的只数，用 ○表示兔的只数，根据已知条件可以发现 □＋○＝8，2□＋4○＝22；由此可以得到 2（□＋○）＋2○＝22，2○＝22－16，○ ＝3。
• 策略6：面积图，利用长方形面积公式来计 算组合图形的面积。
7
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8+5=13
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20以内进位加法 ：
• 分数的大小比较
坐标与图形 :
y
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A
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o 1234567 x
• 用数对表示C点的位置；并画出这个长方形 的另外两条边。
• 如果以BC所在的直线为对称轴作出这个长 方形的轴对称图形，请用数对表示A点所对 应的点的位置。
四棵树，怎样栽，使得任两棵树之间距 离相等?
怎样用形来帮助思考？
5个朋友参加完聚会，一一道别，如果每 两人都握一次手，一共要握多少次手?
A
B
C
D
E
华罗庚
数形结合诗
数形本是相依偎， 焉能纷作两边飞. 数缺形时少直观， 形少数时难入微. 数形结合百般好， 割裂分家万事休. 几何代数统一体， 永远联系莫分离.
最后的画与最后的话：
这是一棵什么树？ 这是一棵勾股树。也称智慧树。
Thanks。
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唐彩斌
鸡兔共8只，有22只脚，鸡兔各有多少 只？
策略1：尝试与猜想：1只鸡，7只兔，腿 的总条数是30，腿多了，减少兔子的数量， 再尝试； 策略2：列表尝试：鸡兔各4只，那么腿24 只，腿少了，增加鸡的数量，再尝试； 策略3：用画图的方法，先按照都是鸡画 好，再在此基础上添上腿，添上2只腿就 表明多了1只兔。
数学课程标准 2011版
从6大核心到10大核心
应用意识
数感
推理能力
符号感
空间观念
统计观念
10大核心素养
应用意识 创新意识
数感
符号意识
推理能力 运算能力
模型思想
数据分析 观念
空间观念
几何直观
几何直观
• 几何直观是指利用图形描述和分析问题。 • 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得
简明、形象，有助于探索解决问题的思路， 预测结果。 • 几何直观可以帮助学生直观地理解数学， 在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
例谈数形结合与几何直观
LITAN SHUXINGJIEHE YU JIHEZHIGUAN
课程标准2011版
从双基到四基
• 双基：基础知识，基本技能。 • 四基：基础知识、基本技能、
基本活动经验，基本思想；
数学课程标准 2011版
从两能到四能
• 分析问题； • 解决问题； • 发现问题； • 提出问题；
备注：“义务教育数学课程标准”2011版，北京师范大学出版社。
提纲
• 数与形的结合 • 数概念的直观； • 运算的直观； • 运算规律的直观； • 解决问题中的直观；
数概念中的直观
从数到运算
单位“1”
1
30
1
2
50
1
5
80
1
怎么找3.1415？
1
1
1
÷10 10 算 28
×15 140 28 420
竖式计算 28
×15 240 18 420
横式计算： 28×15 = 20×10 + 20×5 + 10×8+ 5×8 = 200 + 100 + 80 + 40 = 420。
• 中国古代算法：铺地锦
问题
• 67×98,66×99，哪个乘积大？
运算规律中的直观
2只脚
8个头
4只脚
无论什么策略都有培养的过程。
• 线段图是一种重要的解题策略； • 新加坡的模型法与此类似，从小培养学生
标准画图，找到“标准量”为突破口；
线段图典型题
• 明明和佳佳共520元，明明花去自己钱的 2/5，佳佳花去40元，他们所剩的钱一样多， 明明原来有多少钱？
• 8个单位=520—40=480
明明 佳佳
520 40
重视利用线段图
• 在解决问题的过程中才能发现问题； • 在画线段的过程中才能学会画线段图； • 简单的问题为了解决这个问题可以不画线
段图，但是将来为了能用线段图来解决复 杂的问题，可能就需要开始学习画线段图；
几何直观：归一问题
综合实践中的直观策略
★逻辑思维能力
数独
二维和三维之间的转换