销售运输最优问题及其模型

销售运输最优问题及其模型
简介
随着科技的发展,数学模型已广泛应用到社会生活的各个领域。

随着经济的发展，道路交通运输成为了世界各国经济贸易的重要环节之一。

因此，如何确定一条运输成本最低的路线，使商家获得最大利润变得尤为重要。

本题就是关于销售运输最优方案的确立问题，在运输总量不变的情况下，考虑各路线运输成本的高低。

在假设无分散运输的情况下，我们建立了动态规划模型，分阶段讨论运输的最优解，得出总路线的最优解，从而解决了求最短运输费用问题,这一模型具有广泛的实际意义。

关键字：动态规划，分阶段，最少运费
（一）问题重述
一、概述
在日常生活中，我们经常遇到求最短路径或者最少运费路径的问题。

其中主要考虑的就是运输成本的问题，在运输货物数量一定的条件下，综合考虑各方面因素，从而得出最佳运输方案，使运费成本最少，以保证商品产家获得最大利润。

二、解决的问题
如图所示，弧上的数字为相邻两节点间的单位运费，现将总量为Q的某种产品从产地一运往销售地七，求总运费最少的运输方案。

② 15 ④
20 12 8 9
① 10 ⑤ 10 ⑦
14 ③ 8 12
13 ⑥
（二）问题分析
由题干可知，从产地一运出的货物总量是一定的，若不考虑分散运输，则问题转化为求最短运输路径的问题，这样可以将问题简化求解。

我们可将整个过程分为三个阶段，①运往②或③为第一阶段，②运往④或⑤以及③运往④或⑥为第二个阶段，剩下的运输路径为第三阶段，通过比较每一阶段的子问题即最少运输费用，来得出总的路线所需的最少运输费用。

（四）模型假设
1、运输过程中不考虑分散运输类型；
2、任意相邻两点间的运输路径相等；
3、不考虑运输时间对运输成本的影响；
4、两点间货物的单位运费表示它们之间的距离。

（五）模型建立与求解
一、问题的分析
我们把整个过程划分3个阶段,用K表示, K = 1 ,2 ,3
K = 1 (第一阶段) :从一级结点①结点到二级结点( ②,③) ;
K= 2 (第二阶段) :从二级结点(②,③)到三级结点( ④，⑤,⑥) ;
K= 3 (第三阶段) :从三级结点(④，⑤,⑥)到终级结点⑦，其中包括从4到5,5到6的路径。

从一个路径的每一结点到达下一路径的那个结点,是由阶段初的地点、阶段未的地点所确定,图中用结点间的连线表示,再将本阶段的两地点间所需的单位运费作为两结点间的距离,标在结点间的连线上,这样就转化为求解决从地点1经地点B（2,3）、地点C（4，5，6）至终点7的最少运输费问题就转化为寻找从一级结点①至终级结点⑦的一条最短路径问题。

求最短路径问题有两种解法:顺序递推法和逆序递推法。

顺序递推法即从前向后求解,逆序递推法即从后向前求解。

因为从①至⑦的最短路径与从⑦至①的最短路径相同,所以两种解法的结果是唯一确定的;并且若某一路径为最短路径,则它的任一子路径也必为最短路径。

二、模型的建立
建立相应动态规划模型来求解运输过程中的最短路径。

将图形转化为：
B1 15 C1
20 12 8 9
① 10 C2 10 ⑦
14 B2 8 12
13 C3
第一阶段 第二阶段 第三阶段
阶段变量用k 表示；阶段指标k d 表示k 阶段与所选择的路段相应
的路长；指标函数kn d =∑=k
k i i d 表示k 至三阶的总路长。

k f 表示第k 阶段
点k s 到终点⑦的运输成本；递推公式k f =min{k d +1+k f }，k=3，2，1；
每两个点间距离是一定的,用d ( i , j)表示,且 d ( i , j) = d ( j , i) 。

K = 1时,考虑第一个阶段。

第一阶段的最短路程记作 1f ( Bi) ，i = 1,2 ,则)1(1B f = 20 , ()21B f = 14。

K = 2时,联合考虑前两个阶段。

第一阶段、 第二阶段至Bi （2,3）结点的最短路程之和记为()Ci f 2 ，其中i= 1 ,2,3。

f 2 (C1) = min{ d (B1 ,C1) + f 1 (B1) ,d(B2 , C1 +f1 ( B2) } = min{20+15 ,14+ 10} =24 ,即从①结点至 C1 结点最短路径为 ① —B1—C1, 从 ① 结点至 C2 结点仅有一条路径① —B1 —C2，f 2 ( C2) =d(B1,C2)+f1( B1) =20+12=32。

从①结点至C2仅有①—B2—C2一条路径，则f2(C3)=d(B2,C3)+f1(B2)=27.
K = 3时,联合考虑前三个阶段。

前三个阶段至⑦结点的最短路程记作f 3（⑦）。

由图可知，从c1到⑦有两段路径，即直接从c1至⑦或从c1至c2后再至⑦,通过比较可以看出前者更加节约运输成本，即运输路线为c1直接运往⑦。

同理可得，从c2直接运往⑦为最优方案。

则f3(⑦)=min{d(c1,⑦)+f2(c1),d(c2,⑦)+f2(c2),d(c3,
⑦)+f2(c3)}=min{9+24,10+34,12+27}=33。

综合以上三阶段可得，最短路线为①——B2——C1——⑦，即为①——③——④——⑦，总运输费用最少f=f3=33。

（六）分析与讨论
动态规划模型具有静态规划模型无法比拟的优越性。

如能得到全局最优方案;可以得到一组最优解;在计算时,可以利用实际知识和个人经验提高求解效率。

但是它也具有一些缺点,如没有统一的标准模型;用数值方法求解时存在维数灾等。

在上述问题中，我们假设了货物不可以分散运输，如果考虑这点，则问题将变得更为复杂，，模型的建立也并不简单。

（三）模型的推广
本文将动态规划思想运用到求解运输问题最短路径中，其优点在于思路清晰，方法简便，理论可靠，在实际运用中取得了良好的效果。

但是本文只考虑了一个发货中心的应用实例，在实际中有可能存在多个发货中心的情况，因此我们可以考虑将其进行改进或者结合启发式算法，使之更好的运用在实际中。

（八）附录
参考文献：
[1]姜启源,等1数学模型[M]1北京:高等教育出版社,2003
[2]谬慧芬，邵小兵．动态规划算法的原理及应用[J]．中国科技信息，2005
[3]/view/bbe58748e45c3b3567ec8b89.html?fr om=rec&pos=0&weight=4&lastweight=3&count=5 杜彦娟，利用动态规划数学模型求最短路径，2011.11.12
源程序：
a=[0,20,14,inf,inf,inf,inf
20,0,inf,15,12,inf,inf
14,inf,0,10,inf,13,inf
inf,15,10,0,8,8,9
inf,12,inf,8,0,8,10
inf,inf,13,inf,8,0,12
inf,inf,inf,inf,9,10,12];
n=size(a,1);
D=a;
path=zeros(n,n);
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,j)~=inf
path(i,j)=j;
end;
end;
end;
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)
D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
path(i,j)=path(i,k);
end;
end;
end;
end;
D(1,7)
w1=path(1,7);
w2=path(w1,7);
w3=path(w2,7);
w=[1,w1,w2,w3]
运行结果：
ans =33
w =1 3 4 7
结果分析，最短距离ans=33 路径为w=[1,3,4,7]
即为：①——③——④——⑦数学建模第7组。