高中四面体外接球万能公式
用公式巧解立体几何中的多面体外接球问题
用公式巧解立体几何中的多面体外接球问题
立体几何中的多面体外接球问题可以用以下公式巧解：
•体积公式法
对于一个多面体，可以使用它的体积公式来求其外接球半径。
公式为：V=4/3πR^3
其中 V 为多面体体积，R 为外接球半径。
•三角剖分法
对于一个多面体，可以使用三角剖分法将其分割成若干个三角形，再利用每个三角形对应的三角形面积和边长来求出外接球半径。
公式为: R=S*(abc)^1/3
其中 S 为多面体表面积， a,b,c 为三角形的三条边长。
这两种公式都是可以用来解决立体几何中的多面体外接球问题的,需要根据具体题目来使用。
高中数学外接球解题技巧
高中数学外接球解题技巧高中数学外接球解题技巧在高中数学中，外接球是一道常见的几何题，其目的是求出几何体 (如正方体、长方体等) 的外接球半径或直径，进而求解几何体的体积或表面积。
下面将介绍一些外接球解题技巧。
1. 熟悉常见几何体的外接球公式对于正方体、长方体等常见几何体的外接球，可以使用以下公式计算其半径或直径:正方体外接球半径 = √3/3 ×正方体边长长方体外接球半径 = √3/3 ×长方体边长×√2球体外接球半径 = 圆周率×球体直径其中，√表示开根号运算，√2 表示圆周率乘以 2。
2. 利用对称性求解外接球半径在某些情况下，几何体的外接球半径可以通过对称性得到求解。
例如，对于正方体，可以利用其对称性求解外接球半径。
正方体有六个等效面，每个面都是一个等边三角形，这些等效面都是正方体的外接球球面的一部分。
因此，可以利用对称性计算出正方体的外接球半径，进而求解其他几何体外接球半径。
3. 利用三角函数求解外接球半径对于一些较为复杂的几何体，可以利用三角函数求解外接球半径。
例如，对于正八面体，其外接球是一个正十二面体，可以利用正弦定理求解外接球半径。
具体而言，正八面体的每个面都是一个等腰三角形，相邻面的夹角为 30 度，正十二面体的每个面都是一个等边三角形，相邻面的夹角为 60 度。
因此，可以利用正弦定理计算正十二面体的外接球半径。
拓展:除了上述技巧外，还有一些其他的技巧可以用来求解外接球半径，例如用极坐标方程求解、用向量法求解等。
此外，外接球问题也与物理学中的牛顿第二定律、圆周运动等问题密切相关。
因此，对于外接球问题，需要从不同角度进行思考，灵活运用各种技巧和方法，以达到求解的目的。
四面体外接球的球心、半径求法
3 a ，正三棱柱的高为 6
图6
h 2 R2
3 a ，由 RtA1 D1O 中，得 3
2 2 2
3 3 3 5 2 2 R2 2 R1 a 3 3 a 6 a 12 a
，
R1
h 3h ( h 为正四面体的高)， 且外接球的半径 ， 4 4
从而可以通过截面图中 RtOBE 建立棱长与半径之间的关系。 例 2．设棱锥 M ABCD 的底面是正方形，且 MA MD ， MA AB ，如果 AMD 的面积为 1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径. 解： AB AD, AB MA, AB 平面 MAD ，
PB 5 ， PC 51 ， AC 10 ,求球 O 的体积。
解： AB BC 且 PA 7 ， PB 5 ， PC 51 ， AC 10 , 因为 7 2 51 102
2
所以知 AC 2 PA2 PC 2
所以 PA PC
所以可得图形为：
P
在 RtABC 中斜边为 AC 在 RtPAC 中斜边为 AC 取斜边的中点 O ， 在 RtABC 中 OA OB OC 在 RtPAC 中 OP OB OC
3 2 a 3a 2 ． 4
正四面体的体积 V A BCD
1 3 2 3 2 a AE a AB 2 BE 2 3 4 12
3 2 2 3 2 2 3 a a a a 12 3 12
3 2 3 a 6 12 a 2 12 3a
2 2
EFGH 的内切圆，得 R
a ； 2
2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图 4 作 截面图，圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆，易得 R
高中数学长方体外接球及正四面体公式
§2长方体外接球及正四面体公式秒杀知识点知识点1：（长方体外接球半径公式）长方体外接球半径为R ，a ，b ，c 为长方体的长、宽、高． 则22224R a b c =++．（外接球表面积()222πS a b c =++球） 特别：当a b c ==（正方体）时，2243R a =或2234R a =．知识点2：（正四面体公式）设正四面体棱长为a ，则：（1）3V =正四面体．（2）外接球半径R =．（3）内切球半径r =（:3:1R r =）．秒杀思路分析球的计算是考纲中的一个重要知识点．对特殊几何体特别是长方体或正四面体及其外接球的计算更是高考中的一个高频考点．这类试题秒杀思路一般是直接套用公式，或进行转化为长方体或正四面体后套用公式直接计算．后一种情况要求能力较高．【示例1】（2017年全国卷Ⅱ文15）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______．【示例2】（2013年辽宁卷理10）已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上．若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（）AB ．C ．132D ．【示例3】（2003年全国卷）一个四面体所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．D ．6π方法对比【例1】（2013年新课标全国卷Ⅱ文15）已知正四棱锥O ABCD -O为球心，OA 为半径的球的表面积为______．【例2】（2013年湖北预赛）已知四面体P ABC -的体积为1，G ，K 分别是ABC △，PBC △的重心，过G 作直线分别与AB ，AC 交于点M ，N ，则四棱锥K MNCB -体积的最大值为______．【例3】（清华2018年高三11月标准学术能力诊断测试（理）15）已知正四面体ABCD 的棱长为个顶点都在球心为O 的球面上，点P 为棱BC 的中点，过P 作球O 的截面，则截面面积的最小值为______秒杀训练【试题1】已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的体积为______．【试题2】在三棱锥A BCD -中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，ABC △，ACD △，ADB △的面积分别为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．6πC ．D ．24π【试题3】设长方体长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．23πaB ．26πaC ．212πaD ．224πa【试题4】如图是一个体积为72的正四面体，连接两个面的重心E ，F ，则线段EF 的长为______．【试题5】在平面上，若两个正三角形边长的比为:21，则它们的面积比为:41．类似地，空间中，若两个正四面体的棱长之比为:21，则它们的体积比为______．真题回放【试题1】（2017年天津卷文11）已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为______．【试题2】（2014年河南高二预赛）棱长为1的正四面体的四个面的中心所组成的小正四面体的外接球的体积为______．【试题3】（2017~2018学年度沈阳市郊联体高三一模文11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA =，1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π求异面直线所成角的正弦公式【公式】：如图，平面MCD ⊥平面NCD ．直线AB 与两平面分别相交于A ，B ，且直线AB 与平面MCD 所成角为α，直线AB 与平面NCD 所成角为β，记异面直线AB 与CD 所成角为θ，则222sin sin sin θαβ=+．【示例】（2014年新课标全国Ⅱ卷理11）直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．110B ．25C D§2 长方体外接球及正四面体公式秒杀知识点知识点1：（长方体外接球半径公式）长方体外接球半径为R ，a ，b ，c 为长方体的长、宽、高． 则22224R a b c =++．（外接球表面积()222πS a b c =++球） 特别：当a b c ==（正方体）时，2243R a =或2234R a =．知识点2：（正四面体公式）设正四面体棱长为a ，则：（1）3V =正四面体．（2）外接球半径R =．（3）内切球半径r =（:3:1R r =）．【证明】这里只证明知识点2中的公式（2），其余请同学自行完成．设正四面体外接球球心为O ，BCD △的中心为1O ，则1OO D △为直角三角形．可知12233O D MD ===，222211233AO a a a =-=，∴1AO =，∴1OO R -．在直角1OO D △中，由勾股定理得22213R a R ⎫=+-⎪⎭，∴R =．（也可转化为正方体证明，略）记忆方法：（1）长方体外接球直径平方（对角线平方）等于三边平方和．（2有关：即313V =．（3有关，共四个面．即R =，13r =． 秒杀思路分析球的计算是考纲中的一个重要知识点．对特殊几何体特别是长方体或正四面体及其外接球的计算更是高考中的一个高频考点．这类试题秒杀思路一般是直接套用公式，或进行转化为长方体或正四面体后套用公式直接计算．后一种情况要求能力较高．【示例1】（2017年全国卷Ⅱ文15）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______．这是典型长方体外接球问题，直接用公式即可“秒杀”． 【秒杀方法】由知识点1得()222321π14πS =++=球．【示例2】（2013年辽宁卷理10）已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上．若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）AB ．C ．132D ．由已知分析，直三棱柱恰为一个长方体的一半，即可转化为长方体“秒杀”．【秒杀方法】直三棱柱外接球恰为长方体外接球，由知识点1得22222434125R =++=+221213=，即213R =，故132R =．即选择C ．【示例3】（2003年全国卷）一个四面体所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．D ．6π正四面体可以放入正方体中，利用长方体公式求解．若利用正四面体公式即可速解． 【秒杀方法1】把正四面体放入正方体中，如图所示． 图中11D A BC -即为正四面体，可知正方体棱长为1．∴外接球表面积()222111π3πS =++=球．故选择A ．【秒杀方法2】直接用知识点2公式：R ==则234π4π3π4S R ==⨯=球．故选择A ．方法对比【例1】（2013年新课标全国卷Ⅱ文15）已知正四棱锥O ABCD -O为球心，OA 为半径的球的表面积为______．【例2】（2013年湖北预赛）已知四面体P ABC -的体积为1，G ，K 分别是ABC △，PBC △的重心，过G 作直线分别与AB ，AC 交于点M ，N ，则四棱锥K MNCB -体积的最大值为______．BC 时，59MNCB '=⨯153394⨯⨯（注：棱长为a 的正四面体高【例3】（清华2018年高三11月标准学术能力诊断测试（理）15）已知正四面体ABCD 的棱长为个顶点都在球心为O 的球面上，点P 为棱BC 的中点，过P 作球O 的截面，则截面面积的最小值为______秒杀训练【试题1】已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的体积为______．【解析】把四面体放入正方体中，可得正四面体棱长为∴3883V ==⨯=．【试题2】在三棱锥A BCD -中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，ABC △，ACD △，ADB △的面积分别为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．2π B ．6π C． D ．24π【解析】构造长方体，如图，设长、宽、高分别为x ，y ，z ．由题意得121212xy xz yz ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪===⎩①②③，②解得1,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()221236R =++=，即246R =．∴24π6πS R ==球．故选择B ．【试题3】设长方体长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．23πaB ．26πaC ．212πaD ．224πa 【解析】设球半径为R ，则()22222246R a a a a =++=，∴2232R a =．则224π6πS R a ==球．故选择B ．【试题4】如图是一个体积为72的正四面体，连接两个面的重心E ，F ，则线段EF 的长为______．【解析】∵372=，∴()136a =⨯．设EF x =，∵2232x a =，∴13x a =．∴()132x =⨯=EF的长为【试题5】在平面上，若两个正三角形边长的比为:21，则它们的面积比为:41．类似地，空间中，若两个正四面体的棱长之比为:21，则它们的体积比为______． 【解析】由公式2：31V =，32V =．∵:1:2a b =，∴31218VV ==．故体积比为1:8．真题回放【试题1】（2017年天津卷文11）已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为______．【解析】设正方体的棱长为a ，则2618a =，∴a =设球半径为R ，则()22239R a ==，∴32R =．故球的体积为249ππ32V R R =⋅=．【试题2】（2014年河南高二预赛）棱长为1的正四面体的四个面的中心所组成的小正四面体的外接球的体积为______． 【解析】如图，1122MN BD ==，∴1223O O MN =，∴12211323O O =⨯=．由公式2得，外接球半径13r =．∴34π3V r ==球．【试题3】（2017~2018学年度沈阳市郊联体高三一模文11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC，SA =，1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π【解析】把三棱锥S ABC -放入如图所示的长方体中，易知BC = 则()(222222221121316R a b c =++=++=++=．即16πS =球．故选择D ．求异面直线所成角的正弦公式【公式】：如图，平面MCD ⊥平面NCD ．直线AB 与两平面分别相交于A ，B ，且直线AB 与平面MCD 所成角为α，直线AB 与平面NCD 所成角为β，记异面直线AB 与CD 所成角为θ，则222sin sin sin θαβ=+．【证明】：如图，作AE CD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，过E 作//EG BF ，且//GB CD ，连接AF ，AG ，则ABG θ∠=，ABE α∠=，BAF β∠=． 则2222222222sin sin sin AE BF AE BF AG AB AB AB AB αβθ+⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故222sin sin sin θαβ=+．【示例】（2014年新课标全国Ⅱ卷理11）直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．110B ．25C D 【秒杀方法】令正方体1111AA BC A A B C ''-的棱长为2，易知平面AA N N ''⊥平面11A BB A ''，则sin sinMN N BM MB α''∠=== 过B 作BK A N ''⊥于K ，易求得BK =sin sin BK BMK MB β∠===．∴2221167sin sin sin 63010θαβ=+=+=．则273cos 11010θ=-=，故cos θ=，选择C ．。
四面体外接球地球心、半径求法
四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
A CDBEOABCP三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。
解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D )031(，，-C由平面知识得设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。
多面体外接球万能公式
多面体外接球万能公式
外接球意指一个空间几何图形的外接球，对于旋转体和多面体，外接球有不同的定义，广义理解为球将几何体包围，且几何体的顶点和弧面在此球上。
正多面体各顶点同在一球面上，这个球叫做正多面体的外接球
外接球万能公式=4π/3*（d/2）3，长方体一定有外接球，外接球的球心即其体对角线的交点，半径为体对角线的一半。
正方体既有内切球，也有外接球，球心都是体对角线的交点，内切球的半径为棱长的一半，外接球的半径为体对角线的一半。
正三棱锥外接球心在顶点与底面重心的连线的距底面1/4处。
长方体外接球的直径=长方体的体对角线长。
正方体外接球的直径=正方体的体对角线长。
十种求外接球与内切球模型(解析版)
十种求外接球与内切球模型【必备知识点】模型一:墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型,用构造法(构造长方体)解决.外接球的直径等于长方体的体对角线长.使用范围:3组或3条棱两两垂直;或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合推导过程:长方体的体对角线就是外接球的直径公式:找三条两两垂直的线段,直接用公式(2R)2=a2+b2+c2,即2R=a2+b2+c2,求出R.例1.四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB,AC,AD两两垂直，且AB=3，AC=2，AD= 3，则球O的表面积为( )A.64πB.16πC.4πD.π【答案】B【详解】四面体ABCD的外接球O即为以AB,AC,AD为长、宽、高的长方体的外接球，∴球O的外接球半径R=12AB2+AC2+AD2=2，∴球O的表面积S=4πR2=16π.故选：B.例2.在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A,B,C三点重合，得到三棱锥O-DEF，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.3πB.6πC.6πD.24π【答案】C【详解】解：在正方形ABCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，折起后OD，OE，OF两两垂直，故该三棱锥外接球即以OD，OE，OF为棱的长方体外接球.因为OD=2，OE=1，OF=1，所以2R=OD2+OE2+OF2=6，所以R=62，所以该三棱锥外接球的表面积为S表=4πR2=6π，故选：C.例3.已知P，A，B，C为球O的球面上的四个点，若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=1，AC=BC= 2，则球O的表面积为( )A.2πB.3πC.4πD.5π【答案】D【详解】解：在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，故可将三棱锥P-ABC补形成如图所示的长方体.若P，A，B，C为球O的球面上的四个点，则该长方体的各顶点亦在球O的球面上.设球O的半经为R，则该长方体的体对角线长为2R，即2R=PA2+AC2+BC2=5，从而有S球O=4πR2=π(2R)2=5π，故选：D.例4.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=2，E为BC中点，把△ABE和△CDE分别沿AE,DE折起，使点B与点C重合于点P，若三棱锥P-ADE的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )A.3πB.4πC.5πD.9π【答案】C【详解】依题意，PE⊥PA,PE⊥PD，PA∩PD=P，PA,PD⊂平面PAD，则PE⊥平面PAD，又PA=PD=2,AD=2，即有PA2+PD2=AD2，则PA⊥PD，因此可将三棱锥P-ADE补形成以PE,PA,PD为相邻三条棱的长方体，若三棱锥P-ADE的四个顶点都在球O的球面上，则该长方体的各顶点亦在球O的球面上，设球O的半径为R，则该长方体的体对角线长为2R，即2R=PE2+PA2+PD2=5，所以球O的表面积为S=4πR2=π(2R)2=5π.故选：C例5.在正三棱锥S -ABC 中, 点M 是SC 的中点,且AM ⊥SB ,底面边长AB =22,则正三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为()A.6πB.12πC.32πD.36π【答案】B【详解】因为三棱锥S -ABC 为正三棱锥, 所以SB ⊥AC ,又AM ⊥SB ,AC ∩AM =A ,AC ,AM ⊂平面SAC , 所以SB ⊥平面SAC,所以SB ⊥SA ,SB ⊥SC ,同理SA ⊥SC ,即SA ,SB ,SC 三线两两垂直,且AB =22,所以SA =SB =SC =2,所以(2R )2=3×22=12,所以球的表面积S =4πR 2=12π,故选 B .例6.将一个边长为4的正三角形ABC 沿其中线BD 折成一个直二面角，则所得三棱锥A -BCD 的外接球的体积为_________.【答案】2053π【详解】由题意得：AB =BC =4，AD =CD =2，BD ⊥AD ，CD ⊥BD ，即BD ⊥平面ADC ；∵二面角A -BD -C 为直二面角，∴AD ⊥CD ，则三棱锥A -BCD 的外接球即为以BD ,CD ,AD 为长宽高的长方体的外接球，又BD =16-4=23，∴三棱锥A -BCD 的外接球半径R =12AD 2+CD 2+BD 2=124+4+12=5，∴三棱锥A -BCD 的外接球体积V =43πR 3=2053π.故答案为：2053π.例7.在正三棱锥S -ABC 中,M ,N 分别是棱SC ,BC 的中点,且AM ⊥MN , 若侧棱SA =23,则正三棱锥S -ABC 外接球的表面积是_________.【答案】36π【详解】∵AM ⊥MN ,SB ⎳MN ,∴AM ⊥SB ,∵AC ⊥SB ,∴SB ⊥平面SAC,∴SB ⊥SA ,SB ⊥SC ,∵SB ⊥SA ,BC ⊥SA ,∴SA ⊥平面SBC ,∴SA ⊥SC ,故三棱锥S -ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直,∴(2R )2=(23)2+(23)2+(23)2=36,即4R 2=36,∴正三棱锥S -ABC 外接球的表面积是36π.例8.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为32的正方形,AA 1=3,E 是线段A 1B 1上一点, 若二面角A -BD -E 的正切值为3,则三棱锥A -A 1D 1E 外接球的表面积为_________.【答案】35π【详解】过点E 作EF ⎳AA 1交AB 于F ,过F 作FG ⊥BD 于G ,连接EG ,则∠EGF 为二面角A -BD -E 的平面角,∵tan ∠EGF =3,∴EF FG=3,∵EF =AA 1=3,∴FG =1,则BF =2=B 1E , ∴A 1E =22,则三棱锥A -A 1D 1E 外接球的直径为8+9+18=35,因此三棱锥A -A 1D 1E 外接球的表面积S =35π.模型二:对棱相等模型使用范围:对棱相等的三棱锥推导过程:通过对棱相等,可以将其补全为长方体,补全的长方体体对角线为外接球直径,设长方体的长宽高为别为a ,b ,cAD =BC AB =CD AC =BD ⇒a 2+b 2=BC 2=λ2b 2+c 2=AC 2=μ2c 2+a 2=AB 2=k 2⇒a 2+b 2+c 2=λ2+μ2+k 22⇒R =λ2+μ2+k 28V A -BCD =abc -16abc ×4=13abc 例1.如图，在△ABC 中，AB =25,BC =210,AC=213，D ，E ，F 分别为三边中点，将△BDE,△ADF ,△CEF 分别沿DE ,EF ,DF 向上折起，使A ，B ，C 重合为点P ，则三棱锥P -DEF 的外接球表面积为( )A.72πB.7143πC.14πD.56π【答案】C【详解】由题意可知，PE =DF =10,PF =DE =13,PD =EF =5，即三棱锥P-DEF 的对棱相等，先将该三棱锥补充成长方体，如图所示：设FH =x ,HD =y ,HP =z ，则x 2+y 2=10,y 2+z 2=5,x 2+z 2=13，所以x 2+y 2+z 2=14，于是三棱锥P -DEF 的外接球直径为14，半径为142，所以该三棱锥外接球的表面积为：4π⋅1422=14π.故选：C .例2.在△ABC 中，AB =AC =2，cos A =34，将△ABC 绕BC 旋转至△BCD 的位置，使得AD =2，如图所示，则三棱锥D -ABC 外接球的体积为_____________．【答案】556π【详解】在△ABC 中，由余弦定理得BC 2=22+22-2×2×2×34=2，所以BC =2．在三棱锥D -ABC 中，AB =AC =DB =DC =2，AD =BC =2．将三棱锥D -ABC 放入长方体，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，棱锥D -ABC 外接球的半径为R ，则a 2+b 2=4,b 2+c 2=4,a 2+c 2=2，所以a 2+b 2+c 2=5，所以R =12a 2+b 2+c 2=52，从而三棱锥D -ABC 外接球的体积V =43πR 3=556π.故答案为：556π例3.已知三棱锥P -ABC 的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且PA =32，PB =PC =5，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【答案】34π【详解】解：根据题意，三棱锥P -ABC 可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为a ，b ，c ，如图所示，则a 2+b 2=PA 2=18，a 2+c 2=PB 2=25，b 2+c 2=PC 2=25，解得a =3，b =3，c =4．所以该三棱锥的外接球的半径为R =a 2+b 2+c 22=32+32+422=342，所以该三棱锥的外接球的表面积为S =4πR 2=4π×342 2=34π．故答案为：34π例4.已知四面体ABCD 的棱长满足AB =AC =BD =CD =2，BC =AD =1，现将四面体ABCD 放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD 可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为________．【答案】274π【详解】根据题意，只需四面体ABCD 在圆锥的内切球内，下面求四面体ABCD 的外接球半径．如图所示，将四面体放入长方体中，设长方体的长宽高分别为a ,b ,c ，则a 2+b 2=4，a 2+c 2=4，b 2+c 2=1，故4R 2=a 2+b 2+c 2=92，可得四面体ABCD 的外接球半径为324．当圆锥的侧面积最小时，该圆锥的内切球即四面体ABCD 的外接球，则此时圆锥的内切球的半径为R =324，底面圆的半径为r =324×3=364，母线长为324×2=322，所以侧面积为S =π×364×362=27π4.故答案为：27π4.例5.在三棱锥P -ABC 中，PA =BC =25，PB =AC =13，AB =PC =5，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积是______．【答案】29π【详解】由题意，PA =BC =25，PB =AC =13，PC =AB =5，将三棱锥P -ABC 放到长方体中，可得长方体的三条面对角线分别为25，13，5，设长方体的长宽高分别为a,b ,c ,即a 2+b 2=25，c 2+b 2=13，a 2+c 2=5，解得：a =4，b =2，c =3．长方体的体对角线即为三棱锥和长方体公共外接球的直径2R ，∴(2R )2=a 2+b 2+c 2⇒4R 2=29⇒S 球=4πR 2=29π﹒故答案为：29π．例6.已知三棱锥A -BCD ,三组对棱两两相等,且AB =CD =1,AD =BC =3,若三棱雉A -BCD的外接球表面积为9π2.则AC =______．【答案】5【详解】将四面体A-BCD放置于长方体中, ∵四面体A-BCD的顶点为长方体八个顶点中的四个,∴长方体的外接球就是四面体A-BCD的外接球,∵AB=CD=1,AD=BC=3,且三组对棱两两相等,∴设AC=BD=x,得长方体的对角线长为1212+(3)2+x2=124+x2,可得外接球的直径2R=124+x2,所以 R=24+x24,∵三棱锥A-BCD的外接球表面积为9π2,∴4πR2=9π2,解得 R=32 4, 即24+x24=324,解之得x=5, 因即AC=BD=5.模型三:汉堡模型适用范围:有一条侧棱垂直于底面的柱体推导过程:如图,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形).第一步:确定球心O的位置,O1是ABC的外心,则OO1⊥平面ABC.第二步:算出小圆O1的半径AO1=r,OO1=12AA1=12h AA1=h也是圆柱的高).第三步:勾股定理:OA2=O1A2+O1O2⇒R2=h22+r2⇒R=r2+h2 2,求出R.公式:R=r2+h 22例1.已知某圆柱的高为42，体积为42π，则该圆柱外接球的表面积为( )A.32πB.36πC.40πD.44π【答案】B【详解】设圆柱底面圆的半径为r，则πr2×42=42π，解得r=1．设该圆柱的两底面中心分别为O1、O2，则该圆柱外接球的球心O为线段O1O2的中点，球O 的半径为R =12+422 2=3，故球O 的表面积S =4πR 2=36π．故选：B .例2.已知三棱柱的各个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，侧棱长与底面边长之比为3：2，顶点都在一个球面上，若三棱柱的侧面积为162，则该球的表面积为( )A.120πB.129πC.129πD.180π【答案】C【详解】由题意，设球的半径为r ，底面三角形边长为2x ，因为侧棱长与底面边长之比为3：2，所以侧棱长为3x ，因为三棱柱的侧面积为162，即满足3⋅3x ⋅2x =18x 2=162，解得x =3，可知侧棱长为9，底面边长为6，如图所示，设N ，M 分别是上､下底面的中心，MN 的中点O 是三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球的球心，则AM =33×6=23，OM =12MN =12AA 1=92，r =OA =OM 2+AM 2=92 2+23 2=1292，所以S =4πr 2=4π×12922=129π.故选：C .例3.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，AB =AC =AA 1=2，∠BAC =120∘，则球O 的表面积是( )A.4πB.163πC.16πD.20π【答案】D【详解】由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ⋅AC ⋅cos ∠BAC =22+22-2×2×2×-12 =12,∴BC =23,设△ABC 外接圆的圆心为O 1,半径为CO 1，由正弦定理得BC sin ∠BAC =2CO 1 ，即2332=2CO 1，解得CO 1=2，设外接球的半径为R =CO ,∵O 1O =12AA 1=1,∴R =CO =CO 1 2+OO 1 2=22+12=5,球O 的表面积为S =4πR 2=20π,故选：D .例4.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1所有顶点都在球O 的表面上，且∠BAC =π6，AA 1=22，AC =3AB =3，则球O 的表面积为________．【答案】20π【详解】解：直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，且∠BAC =π6,AA 1=22，，AC =3AB =3，∴BC =AB 2+AC 2-2AB ⋅AC cos π6=3+9-2×3×3×32=3，设ΔABC 为外接圆的圆心为E ，2r =3sin π6=23，所以r =3，设外接球的球心为O ，设球的半径为R ，所以R =r 2+12AA 1 2=5，故S 球=4π⋅(5)2=20π．故答案为：20π．例5.在四面体ABCD 中，AB =CD =1，BC =2，且AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，异面直线AB ，CD 所成角为π3，则该四面体外接球的表面积为______.【答案】16π3或8π【详解】由题意可以将四面体ABCD 补成一个如图所示的直三棱柱，因为异面直线AB ，CD 所成角为π3，所以∠ABE =π3或2π3，设△ABE 的外接圆半径为r ，当∠ABE =π3时，1sin60∘=2r ,r =33 ，当∠ABE =2π3时，AE =3 ，则3sin120∘=2r ,r =1，设四面体的外接球半径为R ，则R =r 2+BC 2 2=r 2+1 ，所以该四面体外接球的半径R =233或2，则外接球的表面积为.4πR 2=16π3或8π，故答案为：16π3或8π模型四:垂面模型适用范围:有一条棱垂直于底面的椎体推导过程:第一步:将ABC 画在小圆面上,A 为小圆直径的一个端点,作小圆的直径AD ,连接PD ,则PD 必过球心O .第二步:O 1为ABC 的外心,所以OO 1⊥平面ABC ,算出小圆O 1的半径O 1D =r (三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理a sin A =b sin B=c sin C =2r ,OO 1=12PA .第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:(1)(2R )2=PA 2+(2r )2⇔2R =PA 2+(2r )2;(2)R 2=r 2+OO 21⇔R =r 2+OO 21.公式:R 2=r 2+h 24例1.已知三棱锥P -ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，∠BAC =120°，PA =AB =AC =2，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.12πB.16πC.20πD.24π【答案】C【详解】根据题意设底面△ABC 的外心为G ，O 为球心，所以OG ⊥平面ABC ，因为PA ⊥平面ABC ，所以OG ⎳PA ，设D 是PA 中点，因为OP =OA ，所以DO ⊥PA ，因为PA ⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以AG ⊥PA ，因此OD ⎳AG ，因此四边形ODAG 是平行四边形，故OG =AD =12PA =1，由余弦定理，得BC =AB 2+AC 2-2AB ⋅AC ⋅cos120°=4+4-2×2×2×-12=23，由正弦定理，得2AG =2332⇒AG =2，所以该外接球的半径R 满足R 2=OG 2+AG 2=5⇒S =4πR 2=20π，故选：C ．例2.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，CD ⊥平面ABC ，AC =23，△ABC 是正三角形，△ACD 是等腰三角形，则球O 的体积为( )A.2053πB.86πC.2873πD.36π【答案】C【详解】∵CD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴CD ⊥AC ，又△ACD 是等腰三角形，∴CD =AC ．∵△ABC 是正三角形，∴AB =BC =AC =CD =23．设E 为△ABC 外接圆的圆心，则CE =23×32×23=2，OE =12CD =3，∴OC =OE 2+CE 2=7，∴球O 的体积V =43π×7 3=2873π.故选：C .例3.在三棱锥S -ABC 中, 侧棱SA ⊥底面ABC ,AB =5,BC =8,∠ABC =60°,SA =25, 则该三棱锥的外接球的表面积为()A.643π B.2563π C.4363π D.2048327π【答案】B【详解】 由题意知,AB =5,BC =8,∠ABC =60°,则在△ABC 中, 由余弦定理得 AC 2=AB 2+BC 2-2×AB ×BC ×cos ∠ABC ,解得AC =7,设△ABC 的外接圆半径为 r ,则△ABC 的外接圆直径2r =AC sin ∠ABC =772,∴r =73, 又∵侧棱SA ⊥底面ABC ,∴三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离 h =12SA =5,则外接球的半径R =732+(5)2=643,则该三棱锥的外接球的表面积为S =4πR 2=2563π.例4.已知四棱锥P -ABCD 的五个顶点在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，PA =4，AB =AD ，BC=CD ，∠BAD =120°，且四边形ABCD 的面积为934，则球O 的表面积为___________.【答案】25π【详解】如图所示，在四边形中ABCD ，连结BD ，AC ，由AB =AD ,BC =CD ，所以△ABC ≌△ADC ，所以∠ABC =∠ADC ,∠BAC =∠DAC ，因为A ,B ,C ,D 在同一圆上，所以∠ABC =∠ADC =90°，又因为∠BAD =120°，所以∠BCD =60°，则∠BAC =∠DAC =60°，在Rt △ABC 中，可得BC =3AB ，因为底面ABCD 的面积为934，所以2×12AB ⋅3AB =934，解得AB =32，则BC =332，AC =3322+322=3，所以Rt △ABC 外接圆的半径r =32，将四棱锥P -ABCD 补成直四棱柱PEFG -ABCD ，该直棱柱的所有顶点都在球O 的球面上，设底面四边形ABCD 所在圆的圆心为O 1，连接OO 1，则OO 1⊥平面ABCD ，过OM ⊥PA ，垂足为M ,由球的对称性可知，球心O 到底面ABCD 的距离为d =OO 1=AM =12PA =2，所以球O 的半径R 满足R 2=d 2+r 2=254，所以球O 的表面积S 球O =4πR 2=25π.故答案为：25π.例5.在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥平面ABC ,∠BAC =120°,AC =2,AB =1,设D 为BC 中点, 且直线PD 与平面ABC 所成角的余弦值为55, 则该三棱雉外接球的表面积为___________.【答案】 373π【详解】在△ABC 中,∠BAC =120°,AC =2,AB =1,由余弦定理得:BC 2=AC 2+AB 2-2AC ⋅BC ⋅cos ∠BAC ,即BC 2=22+12-2×2×1×cos120°=7,解得:BC =7. 设△ABC 的外接圆半径为r ,由正弦定理得2r =BC sin ∠BAC =7sin120°=273解得:r =73=213;且cos ∠ABC =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =12+(7)2-222×1×7=277,又D 为BC 中点, 在△ABD 中,BD =12BC =72,AB =1,cos ∠ABD =277. 由余弦定理得:AD 2=AB 2+BD 2-2AB ⋅BD cos ∠ABD ,即:AD 2=12+722-2×1×72×277=34,解得AD =32.又因为PA ⊥平面ABC , 所以 ∠PDA 为直线PD 与平面ABC 所成角, 由cos ∠PDA =55,得 sin ∠PDA =255,tan ∠PDA =2所以在Rt △PAD 中, PA =AD ⋅tan ∠PDA =32⋅2=3. 设三棱锥P -ABC 的外接球半径为R , 所以R =PA 22+r 2=322+2132=3712,三棱锥P -ABC 外接球表面积为S =4πR 2=373π.模型五:斗笠模型使用范围:正棱雉或顶点的投影在底面的外心上推导过程:取底面的外心01, 连接顶点与外心,该线为空间几何体的高h ,在h 上取一点作为球心0,根据勾股定理R 2=(h -R )2+r 2⇔R =r 2+h 22h公式:R =r 2+h 22h例1.已知A ,B ,C 为球O 的球面上的三个点,⊙O 1为△ABC 的外接圆.若⊙O 1的面积为4π,AB =BC =AC =OO 1, 则球O 的表面积为()A.64πB.48πC.36πD.32π【答案】A 【详解】设⊙O 1的半径为r ,球的半径为R ,依题意,得πr 2=4π,∴r =2.由正弦定理可得ABsin60°=2r ,∴AB =2r sin60°=2 3.∴OO 1=AB =2 3.根据球的截面性质,得OO 1⊥平面ABC ,∴OO 1⊥O 1A ,R =OA =OO 21+O 1A 2=OO 21+r 2=4,∴球O 的表面积S =4πR 2=64π.故选A .例2.正四棱锥的顶点都在同一球面上, 若该棱锥的高为4 , 底面边长为2 , 则该球的表面积为()A.81π4B.16πC.9πD.27π4【答案】A 【详解】如图所示,设球半径为R ,底面中心为O 且球心为O ,∵正四棱锥P -ABCD 中 AB =2,∴AO =2,∵PO =4,∴在Rt △AOO 中, AO 2=AO ′2+OO ′2,∴R 2=(2)2+(4-R )2,解得R =94,∴该球的表面积为4πR 2=4π×942=81π4.例3.已知一个圆锥的母线长为26，侧面展开图是圆心角为23π3的扇形，则该圆锥的外接球的体积为( )A.36πB.48πC.36D.242【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为r ，由侧面展开图是圆心角为23π3的扇形得：2πr =23π3×26，解得：r =22.作出圆锥的轴截面如图所示：设圆锥的高为h ，则h =26 2-22 2=4.设该圆锥的外接球的球心为O ，半径为R ,则有R =h -R2+r 2，即R =4-R2+22 2，解得：R =3，所以该圆锥的外接球的体积为4πR 33=4π333=36π.故选：A .例4.在三棱锥P -ABC 中，侧棱PA =PB =PC =10，∠BAC =π4，BC =22，则此三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】50π3【详解】因为PA =PB =PC =10，所以点P 在底面ABC 的射影为△ABC 的外心O 1，所以球心O 在直线PO 1上，设三棱锥外接球的半径为R ，因为2AO 1=22sin π4，所以AO 1=2，PO 1=6，由AO 2=OO 21+AO 21可得，R 2=6-R 2+4，解得R =56，故此三棱锥外接球的表面积为4πR 2=4π×256=503π．故答案为：50π3．例5.已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是为________.【答案】24π【详解】如图正四面体ABCD 棱长为4，AH ⊥平面BCD 于H ，则H 是△BCD 中心，BH =33×4=433，AH ⊥平面BCD ，BH ⊂平面BCD ，则AH ⊥BH ，AH =42-4332=463，设外接球球心为O ，则O 在AH ，则OA =OB =R 为外接半径，由BH 2+OH 2=BO 2得4332+463-R2=R 2，解得R =6，∴S =4πR 2=24π．故答案为：24π.例6.在三棱雉P -ABC 中,PA =PB =PC =26,AC =AB =4,且AC ⊥AB ,则该三棱锥外接球的表面积为________.【答案】36π【详解】设顶点P 在底面中的射影为O 1,由于PA =PB =PC ,所以O 1A =O 1B =O 1C ,即点O 1 是底面△ABC 的外心,又AC ⊥AB ,所以O 1为BC 的中点,因为PA =PB =PC =26,AC =AB =4,所以BC =42,AO 1=22,PO 1=4,设外接球的球心为O ,半径为R ,则O 必在PO 1上, O 1O =4-R ,在Rt △O 1OA 中, (4-R )2+(22)2=R 2, 解得R =3,所以S 2=4πR 2=36π.例7..一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60°, 若该圆雉的侧面积为33π,则该圆雉外接球的表面积为________.【答案】27π2【详解】设∠ASB =∠BSC =∠CSA =60°,则SA =SB =SC =AB =AC =BC .设AB =x ,则底面圆的直径为2r =x sin60°=2x 3,该圆锥的侧面积为12π⋅2x3⋅x =33π,解得x =3,高OS =32-(3)2= 6.∴r =33= 3.设圆锥外接球的半径为R ,所以(6-R )2+r 2=R 2,解得R =364, 则外接球的表面积为4πR 2=27π2.类型六:切瓜模型使用范围:有两个平面互相垂直的棱雉推导过程:分别在两个互相垂直的平面上取外心O 1、O 2过两个外心做两个垂面的垂线, 两条垂线的交点即为球心0,取B C 的中点为E , 连接OO 1、OO 2、O 2E 、O 1E 为矩形由勾股可得|OC |2=|O 2C |2+|OO 2|2=|O 2C |2+|O 1C |2-|CE |2∴R 2=r 21+r 22-l 24公式:R 2=r 21+r 22-l 24例1.已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为边长为4的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且△PAB为等边三角形，则该四棱锥P -ABCD 外接球的表面积为( )A.112π3B.64π3C.64πD.16π【答案】A【详解】如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，取侧面△PAB 和底面正方形ABCD 的外接圆的圆心分别为O 1,O 2，分别过O 1，O 2作两个平面的垂线交于点O ，则由外接球的性质知，点O 即为该球的球心，取线段AB 的中点E ，连O 1E ，O 2E ，O 2D ，OD ，则四边形O 1EO 2O 为矩形，在等边△PAB 中，可得PE =23，则O 1E =233，即OO 2=233，在正方形ABCD 中，因为AB =4，可得O 2D =22，在直角△OO 2D 中，可得OD 2=OO 22+O 2D 2，即R 2=OO 22+O 2D 2=283，所以四棱锥P -ABCD 外接球的表面积为S =4πR 2=112π3.故选：A .例2.已知三棱锥A -BCD 中, △ABD 与△BCD 是边长为2的等边三角形且二面角A -BD -C 为直二面角, 则三棱雉A -BCD 的外接球的表面积为()A.10π3B.5πC.6πD.20π3【答案】D 【详解】取BD 的中点M ，连接AM ,CM ,∠AMC =90°,AF :FM =2:1,CE :EM =2:1，OF ⊥AM ，OE ⊥MC ,OE ∩OF =O 连接OC ，点 O 是三棱锥A -BCD 的外接球的球心，因为棱长都是2 ，所以OE =FM =33,EC =233，所以在△OEC 中，R =OC =OE 2+EC 2=153，那么外接球的表面积是S =4πR 2=203π ，故选D .例3.已知四棱锥P -ABCD 的体积是363，底面ABCD 是正方形，△PAB 是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P -ABCD 的外接球的体积为________.【答案】2821π【详解】设正方形ABCD 的边长为2x ，在等边三角形PAB 中，过P 点作PE ⊥AB 于E ，由于平面PAB ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ．由于△PAB 是等边三角形，则PE =3x ，∴V P -ABCD =13⋅S ABCD ⋅PE =13×2x 2×3x =363，解得x =3．设四棱锥外接球的半径为R ，O 1为正方形ABCD 中心，O 2为等边三角形PAB 中心，O 为四棱锥P -ABCD 外接球球心，则易知OO 2EO 1为矩形，则OO 2=EO 1=12AD =x =3，PO 2=23PE =23⋅33=23，R =OP =OO 22+PO 22=9+12=21，∴外接球体积V =43π×(21)3=2821π．故答案为：2821π．例4.已知四面体ABCD 中，△ABD 和△BDC 是等边三角形，二面角A -BD -C 为直二面角.若AB =43，则四面体ABCD 外接球的表面积为__________________.【答案】80π【详解】如图所示：设O 1为△BCD 的中心，O 为四面体ABCD 的外接球的球心，则OO 1⊥平面BDC ．设M 为线段BD 的中点，外接球的半径为R ，连接AM ,CM ,OA ，过O 作OG ⊥AM 于点G ，易知G 为△ABD 的中心，则OO 1=OG =MO 1=MG ，因为MA =32×43=6，故MG =OG =13×6=2,GA =4，在Rt △AGO 中，GA 2+GO 2=OA 2，故22+42=R 2，则R =25．所以外接球的表面积为S =4πR 2=80π，故答案为：80π.例5.已知在三棱锥A -BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ,△BCD 和△ABD 均是边长为23的正三角形，则该三棱锥的外接球体积为___________.【答案】2053π【详解】依题意，平面ABD ⊥平面BCD ,△BCD 和△ABD 均是边长为23的正三角形，设G 是BD 的中点，则AG ⊥BD ,CG ⊥BD ，由于平面ABD ⊥平面BCD 且交线为BD ，所以AG ⊥平面BCD ，CG ⊥平面ABD .设E ,F 分别是等边三角形ABD 和等边三角形BCD 的中心，则AE =CF =2GE =2GF =23CG =23×3=2,设O 是三棱锥A -BCD 外接球的球心，则OE ⊥平面ABD ，OF ⊥平面BCD .所以外接球的半径R =OF 2+CF 2=12+22=5，所以外接球的体积为4π3×5 3=2053π.故选：2053π模型七:折叠模型使用范围:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠.推导过程:两个全等的三角形或者等腰拼在一起,或者菱形折叠,设折叠的二面角∠A EC =α,CE =A E =h .如图,作左图的二面角剖面图如右图:H 1和H 2分别为△BCD ,△A BD 外心,CH 1=r =BD2sin∠BCD,EH1=h-r,OH1=(h-r)tan α2故R2=OC2=OH21+CH21=r2+(h-r)2tan2α2.公式:R2=r2+(h-r)2tan2α2例1.已知菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=3,对角线AC与BD的交点为O,把菱形ABCD沿对角线BD折起, 使得∠AOC=90°,则折得的几何体的外接球的表面积为()A.15πB.15π2C.7π2D.7π【答案】A【解析】菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=3,三角形ABD的外接圆的半径为r=32sin60°=3,高h=332,对角线AC与BD的交点为O,使得α=∠AOC=90°,则折得的几何体的外接球的半径为:R=(3)2+332-32tan245°=152,外接球的表面积为S=4π152 2=15π, 故选 A.例2.在三棱雉P-ABC中,PA=PB=AC=BC=2,AB=23,PC=1,则三棱雉P-ABC的外接球的表面积为()A.4π3B.4πC.12πD.52π3【答案】D【解析】取AB中点D,因为PA=PB=AC=BC=2,所以PD=CD=1,又 PD⊥AB,CD⊥AB,则面PDC⊥面ABC,设△ABC的外心为O1,外接圆半径为r,三棱锥P-ABC的外接球的球心为O,则OO1⊥面ABC,∠ACB=120°,由r=AB2sin120°=2,h=1,设∠PDC=α=60°(二面角平面角),外接球的半径为 R,R=r2+(h-r)2tan2α2=(2)2+(1-2)2tan230°=133,所以三棱雉P-ABC的外接球的表面积为4πR2=52π3,故选 D.例3.在边长为23的菱形ABCD中,∠BAD=60°,沿对角线AC折成二面角B-AC-D为120°的四面体ABCD,则此四面体的外接球表面积为________.【答案】84π【解析】如图所示, 典型的全等等腰三角形共底边:ED=h=3,O2D=r=23,∠BED=α=120°,可根据几何性质知道 ∠O 2EO =60°,OO 2=EO 2tan60°=3,R =OO 22+DO 22=(3)2+(23)2=21,或者可以通过公式R =r 2+(h -r )2tan 2α2=(23)2+(3-23)2tan 260°=21,S =4πR 2=84π.模型八:已知球心或球半径模型例1.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB,SA =AC ,SB =BC ,三棱锥S -ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________.【答案】36π【解析】如图, 连接AO ,OB ,∵SC 为球O 的直径,∴点O 为SC 的中点, ∵SA =AC ,SB =BC ,∴AO ⊥SC ,BO ⊥SC ,∵平面SCA ⊥平面SCB , 平面SCA ∩平面SCB =SC ,∴AO ⊥平面SCB , 设球O 的半径为R ,则OA =OB =R ,SC =2R .∴V S ⋅ABC =V A -SBC =13×S △SBC ×AO =13×12×SC ×OB ×AO , 即9=13×12×2R ×R ×R , 解得R =3,∴球O 的表面积为S =4πR 2=4π×32=36π.例2.已知三棱锥A -BCD 的所有顶点都在球O 的球面上,AB 为球O 的直径,若该三棱雉的体积为3,BC =3,BD =3,∠CBD =90°, 则球O 的体积为________.【答案】32π3【解析】设A 到平面BCD 的距离为h∵三棱锥的体积为3,BC =3,BD =3,∠CBD =90°∴13×12×3×3×h =3,∴h =2,∴球心O 到平面BCD 的距离为1.设CD 的中点为E ,连接OE ,则由球的截面性质可得OE ⊥平面CBD ,∵△BCD 外接圆的直径CD =23,∴球O 的半径OD =2,∴球O 的体积为32π3.例3.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形, SC 为球O的直径, 且SC =2,则此棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.22【答案】A【解析】由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 底面都是△ABC ,O 是SC 的中点, 因此三棱锥S -ABC 的高是三棱锥O -ABC 高的2倍,所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍.在三棱锥O -ABC 中,其棱长都是1,S △ABC =34×AB 2=34, 高OD =12-332=63,∴V S -ABC =2V O -ABC =2×13×34×63=26. 故选 A .例4.三棱锥S -ABC 的底面各棱长均为3 , 其外接球半径为2 , 则三棱锥S -ABC 的体积最大时,点S 到平面ABC 的距离为()A.2+3B.2-3C.3D.2【答案】C【解析】如图, 设三棱锥S -ABC 底面三角形ABC 的外心为G , 三棱锥外接球的球心为O , 要使三棱锥 S -ABC 的体积最大, 则O 在SG 上,由底面三角形的边长为3,可得AG =32sin60°=3.连接OA ,在 Rt △OGA 中,由勾股定理求得OG =OA 2-GA 2=22-(3)2=1.∴点S 到平面ABC 的距离为 OS +OG =2+1=3. 故选 C .模型九:最值模型最值问题的解法有两种方法:一种是几何法,即在运动变化过䅣中得到最值,从而转化为定值问题求解.另一种是代数方法,即建立目标函数,从而求目标函数的最值.例1.在边长为6的菱形ABCD 中，∠A =π3，现将△ABD 沿BD 折起，当三棱锥A -BCD 的体积最大时，三棱锥A -BCD 的外接球的表面积为( )A.60πB.30πC.70πD.50π【答案】A 【分析】当三棱锥A -BCD 的体积最大值时，平面ABD ⊥平面BCD ，即可求出外接圆的半径，从而求出面积.【详解】当三棱锥A -BCD 的体积最大值时，平面ABD ⊥平面BCD ，如图，取BD 的中点为H ，连接AH ,CH ，则AH ⊥BD .设O 1,O 2分别为△ABD ，△BCD 外接圆的圆心，O 为三棱锥A -BCD 的外接球的球心，则O 1在AH 上，O 2在CH 上，且AO 1=2O 1H =23AH =23,且O 2H ⊥BD ,OO 1⊥平面ABD ，OO 2⊥平面BCD .∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD =BD ，AH ⊂平面ABDAH ⊥平面ABD ，AH ⎳O 2O ，同理CH ⎳O 1O ∴四边形O 1OO 2H 为平行四边形∵AH ⊥平面BCD ，O 2H ⊂平面BCD ∴AH ⊥O 2H ，即四边形O 1OO 2H 为矩形.∴OO 2=O 1H =3CO 2=23×32×6=23∴外接球半径R =OO 22+CO 22=3+12=15∴外接球的表面积为4πR 2=60π故选：A .例2.在四棱锥S -ABCD 中，侧面SAD ⊥底面ABCD ，且SA =SD ，∠ASD =90°，底面ABCD 是边长为2的正方形，设P 为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥P -SAD 的最大体积为( )A.1+2B.2+223C.2+23D.1+23【答案】D 【详解】连接AC ,BD 交于点O ，取AD 中点为M ，连接SM ,OS ，作图如下：因为AS =DS ,∠ASD =90°，又M 为AD 的中点，故M 为Rt △SAD 的外心，又平面SAD ⊥平面ABCD ，且面SAD ∩面ABCD =AD ，又OM ⊥AD ,OM ⊂面ABCD ，故可得OM ⊥面SAD ，故OA =OS =OD ；又四边形ABCD 为正方形，且O 为对角线交点，故可得OA =OB =OC =OD ，综上所述，OA =OB =OC =OD =OS ，故O 为四棱锥S -ABCD 的外接球的球心.则其外接球半径R =OD =12BD =2.又P 为该四棱锥外接球表面上的动点，若使得三棱锥P -SAD 的体积最大，则此时点P 到平面SAD 的距离h =OM +R =1+2，故其体积的最大值V =13S △SAD ×h =13×12×AD ×SM ×1+2 =13×12×2×1×1+2 =1+23.故选：D .例3.已知P ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，平面PAB ⊥平面ABCD ，ABCD 是边长为2的正方形，∠APB =60°，当四棱锥P -ABCD 的体积最大时，该球的半径为______．【答案】213【分析】先求出四棱锥P -ABCD 的体积最大时，△PAB 为等边三角形，再找出外接球的球心，通过勾股定理即可求得半径.【详解】如图，过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD =AB ，∴PQ ⊥平面ABCD ，V P -ABCD =13⋅PQ ⋅S ABCD ，故四棱锥P -ABCD 的体积最大，即PQ 最大，∵AB =2，PQ 最大，即△PAB 面积最大，由∠APB =60°,S △PAB =12⋅PA ⋅PB ⋅sin ∠APB =34⋅PA ⋅PB ，得cos ∠APB =AP 2+BP 2-42AP ⋅BP=12，AP 2+BP 2=AP ⋅BP +4≥2AP ⋅BP ，得AP ⋅BP ≤4，当且仅当AP =BP =2时取等号，此时△PAB 面积最大，△PAB 为等边三角形.取△PAB 的外心为O 1，正方形ABCD 的外心为O 2，过O 1,O 2分别作所在平面的垂线，交点为O ，O 即为四棱锥P -ABCD 外接球的球心，四边形OO 2QO 1为矩形，OO 1=O 2Q =1 ，PO 1=23PQ =233，设外接球半径为R ，则R =12+2332=213.故答案为：213.例4.A ，B ，C ，D 四点均在同一球面上，∠BAC =120∘，△BCD 是边长为2的等边三角形，则△ABC 面积的最大值为__________，四面体ABCD 体积最大时球的表面积为___________．【答案】 33 20π3【分析】①由于S △ABC =12AB ⋅AC sin ∠BAC =34AB ⋅AC ，求△ABC 面积的最大值即是求AB ⋅AC 的最大值，利用余弦定理结合重要不等式即可求解②当面ABC⊥面BCD时四面体的体积最大，确定出球心后计算出球的半径即可求解【详解】①因为∠BAC=120∘所以S△ABC=12AB⋅AC sin∠BAC=34AB⋅AC又BC2=AB2+AC2-2AB⋅AC⋅cos120∘即4=AB2+AC2+AB⋅AC≥2AB⋅AC+AB⋅AC=3AB⋅AC所以AB⋅AC≤4 3所以S△ABC=34AB⋅AC≤34×43=33即△ABC面积的最大值为3 3②过A作AH⊥BC，垂足为H, S△ABC=12AH⋅BC=AH则△ABC面积的最大时，AH最大，AH的最大值为3 3，此时△ABC为等腰三角形，H为BC中点S△BCD=12×2×2×32=3，V A-BCD=13S△BCD⋅h=33h则当AH⊥平面BCD时, h最大，此时面ABC⊥面BCD如图,设O为四面体ABCD 外接球的球心, O1，O2分别为△ABC，△BCD的外接圆的圆心. OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面BCD,在△ABC中BCsin∠BAC=433=2O2A⇒O2A=33DO1=23DH=23×32×2=233OO1=O2H=O2A-AH=33∴四面体ABCD外接球的半径R=OO21+O1D2=53外接球的表面积为4πR2=20π3模型十:内切球模型以三棱雉P-ABC为例, 求其内切球OE的半径推导过程:等体积法,三棱雉P-ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱雉的体积之和.第一步:先求出四个表面的面积和整个雉体体积;第二步:设内切球的半径为r ,球心为O ,建立等式:V P -ABC =V O -ABC +V O -PAB +V O -PAC +V O -PBC ⇒V P -ABC =13S △ABC ⋅r +13S △PAB ⋅r +13S △PAC ⋅r +13S △PBC ⋅r =13S△ABC+S △PAB +S △PAC +S △PBC ⋅r 第三步:解出r =3V P -ABC S O -ABC +S O -PAB +S O -PAC +S O -PBC =3VS 表.公式:r =3VS 表例1.已知点O 到直三棱柱ABC -A 1B 1C 1各面的距离都相等，球O 是直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的内切球，若球O 的表面积为16π，ABC 的周长为4，则三棱锥A 1-ABC 的体积为( )A.43B.163C.833D.1633【答案】B 【详解】解：设直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为h ，AB =c ，BC =a ，AC =b ，内切球O 的半径为r ，则h =2r ，由题意可知球O 的表面积为16π=4πr 2，解得r =2，∴h =4，又△ABC 的周长为4，即a +b +c =4，∴连接OA ，OB ，OC ，OA 1,OB 1,OC 1可将直三棱柱ABC -A 1B 1C 1分成5个棱锥，即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥，∴由体积相等可得直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为S △ABC h =13ahr +13bhr +13chr +2×13S △ABC r ，即4S △ABC =13(a +b +c )hr +43S △ABC ，∴S △ABC =4，∴三棱锥A 1-ABC 的体积为13S △ABC h =13×4×4=163．故选：B ．例2.在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =CD =1，BC ⊥CD ，则鳖臑ABCD 内切球的表面积为( )。
四面体外接球半径的常规求法
教学参谋解法探究2018年9月四面体外接球半径的常规求法⑩湖北省武汉市第四十三中学卢伟近几年来，随着三视图的引人，使得立体几何客观 题的考查形式趋于多样化，这其中表现突出的就是四面 体外接球球心在哪里的问题.下面结合具体例题的分 析，归纳，并得出结论，以期能够对这一类问题有一个较 为广泛的认识.（以下例题均只求取四面体外接球的半 径"）一、定义法球心到球面上各点的距离相等，即为半径.下面通过对两大类型的分析，从而确定相关特征的 四面体外接球球心的位置.第一类型：“垂直+条件”型（有一条侧棱与底面垂直的四面体）例i在四面体中，丄平面&'(，"&'(为 边长是3的正三角形，且&4)6，求".解析：首先找到的外心G，作OG丄面&'(，且使得〇*)丄$4,则满足条件的02即为该四面体外接球的球心，再取$4的中点，，连接0，，如图1所示，经计算知")2#3.小结:这里不妨设A')-，4S).，V3 4例2在四面体中，S4丄平酿'（，&'丄B(，S()2,求".解析：如图2,易证'（丄邠，由直角三角形斜边的中线等于斜边 '图2的一半知SC的中点0即为球心，故 w")i.(事实上，这里与例i的解题思想是一致的y 例3在四面体中，S4丄平面4'(，120"，4')4()4S)2,求".$S去.在双曲线^#02)1中，过右焦点（左焦点对称可得) a1〇的两条垂直相交弦4'与C1，有如下结论：结论4:当(.222-a2)(.2-a222)>0时，|其中2=^ —&=la2-.2l■2a.22-a222)<0时，=la2-.2l2a.2结论5 :当(.222-a2)(. 2-a222)>0时，当(.222-a2)(. 2-a222)<0 时，114'卜1(11丨>-$^.la2- .2l结论6:若4'与（1的中点分别记为,，7,则直线,7结论7:丄+丄=丄.l4'l l(1l2p结论 8:l4'l+l(1l'8p.结论9:若4'与C1的中点分别记为,，7,则直线,7恒过定点|%，0&.五、结语限于篇幅，上述对双曲线与抛物线的证明过程都没 有给出来，感兴趣的读者可以验证一下.至此，我们感叹 于圆锥曲线内部的和谐与统一，同时也激起我们对未知 领域的向往.我们相信如果能够把这样的一种追求与探 索的情感融入到平时的教学中去，感染学生，使之成为 他们学习与成长中的一道风景，帮助学生领悟数学的魅 力所在.l4'l+ l(1l 当（222-a2l4'l l(1l恒过定点(%2,0).在抛物线02=29中，过焦点的两条垂直相交弦4'与 (1,有如下结论：参考文献：1.钟长彬，杨苍洲，圆锥曲线两垂直焦点弦的一组 结论[J].中学数学研究，2014(6).|!94十•？•!{：，■?高中2018年9月解法探究解析：根据例1的作图，结合正弦定理知，2!= —isin 30o !!=2,其中!为外接圆的半径，则可知&=#T .小结:这3个例题都是属于“垂直+条件”型的四面体 外接球球心的问题.根据例1的作图方式我们知道，关键 是先找到底面A #$C 的外心，这里是分别以特殊三角形 (等边三角形，直角三角形h 与一般三角形(利用正弦定 理)为背景，寻找突破口，则可以得到这类问题的统一计算公式这里底面三角形的外接圆半径，*为垂线段#+的长）第二类型：“等腰+条件”型（定义一类特殊的四面体---等腰四面体：三条侧棱相等的四面体）例4已知在四面体+-#$%"， ++#)+$)+%)2，$ $#%)30。