电磁场与电磁波 第三章稳恒电流
电磁学03稳恒电流
v
dS
j
dI
vˆ
d S
v P 处正电荷定向移动
方向上的单位矢量
方向 // v
j
大小： j
j
dI
d S
对任意小面元d S ，d I j d S j d S
对任意曲面S：
I jdS
S 3
为形象描写电流分布，引入“电流线”概念：
j
要求：
1
─
电导率
(conductivity)，单位：
1 m8
将以上规律用于大块导体中的一小段：
U
U+dU
dU jd S dl
dl dS j 电流线
dS
I
j 1 dU E dl
j∥E
j E
─欧姆定律微分形式
上式对非均匀导体，非稳恒电流也成立。
由欧姆定律 U IR R: 漏电电阻
由电容定义 U Q / C
11
由电流连续性方程 I dQ dQ Q dt
dt RC
导体球电容 C 4 0a
半径为 b→ b+db的空气层电阻
dR 1
db
漏电电阻是各层电阻串联
4b2
1 db 1
R
dR
4
在空气中作同心球面由高斯定理有dtdq11三者联立得dtdq解微分方程代入初始条件得dtdq漏电电流解法二设任一时刻导体电势为u由欧姆定律ir漏电电阻由电容定义12由电流连续性方程dtdqdtdqdbdrdbdr下余同解法一1314即90的电势降落10a的范围内
6.4, 6.8
自学第7章
2019大学物理课件-稳恒电流.ppt
例：如图载流长直导线的电流为 I ， 试求：通过矩形面积的磁通量。
dx
B
x
I
d1 d2
l
பைடு நூலகம்
o
x
例：在匀强磁场B中，有一半径为 R 的半球面S，S 边线 所在平面的法线方向的单位矢量 en和 B 的夹角为 ，则： 通过半球面 S 的磁通量为： - B R2cos 。 解：将半球面和圆面组成 一个闭合面，则通过此闭 合面的磁通量为零。 即：通过半球面和 通过圆面的磁通量数值 相等而符号相反。 于是通过半球面的磁通量 就可以通过圆面来计算：
en
2
Φm BS cos θ B πR cos
1）求均匀磁场中半 球面的磁通量。
B
S1
O
课 2）在均匀磁场 B 3i 2 j 堂 中，过YOZ平面内 练 面积为S的磁通量。 习
Y
R
S2
S
O
n
B
X
S1 S2 0
S1 ( BR ) 0 2 S1 BR
讨论： 1）无限长载流长直导线的磁场：
z
D
2
θ1 0 θ2 π
I B
B
0 I
2πr
I B
I
o
C
θ1
* y
P
电流与磁感强 度成右螺旋关系
μ0 I B （cosθ1 cosθ2） 4πa
2）半无限长载流长直导线的磁场：
π 1 2 2 π
BP
0 I
4π r
I
I
r
P
3）半无限长载流直导线的磁场：
解：O 点的 B 是由四条载流边分别 产生的，它们大小相等、方向相同， B = B1+ B2+ B3+ B4 = 4B1
2020年高中物理竞赛—电磁学A版-03稳恒电流(一、二、三节)(共56张PPT) 课件
流强度也不同。精确的实验表明，在稳恒条件下，通过一段导体的电流强度与导体两端
的电压成正比，即 I U
这个结论叫做欧姆定律。如果写成等式，则有
I ，U 或
(U3.7I)R
R
式中的比例系数由导体的性质决定,叫做导体的电阻。不同的
导体，电阻的数值一般不同。式(3.7)给出了任意一段导体电
压、电流强度和电阻三者之间的关系。
阻器的电阻丝。
电阻率的倒数叫做电导率，用 表示，
1
电导率的单位是西门子/米。
(3.12)
各种材料的电阻率都随温度变化。根据实验知道，纯金属的电阻率随温度的变化比较规则，当温
度的变化范围不大时，电阻率与温度之间近似地存在着如下的线性关系：
0 1t
（3.13）
式中 表示t ℃时的电阻率, 0表示0℃时的电阻率, 叫做电阻的温度系数,单位是1/度。不同材料的
rr
I j dS j cosdS
(3.4)
由此可见，电流密度
r j
S
S
和电流强度
I的关系，就是一个矢量场和它的通量的关系。从电流
密度的定义可以看出，它的单位是安培/米2。
3.1.2 电流的连续性方程 稳恒条件
电流场的一个重要性质是它的连续方程，它的实质就是电荷守恒定律。
设想在导体内任取一闭合曲面 S，则根据电荷守恒定律，在某段时间里由此面流出的
3.1.1 电流强度 电流密度矢量
点
r j
有不同的数值和方向，这就构成一个矢量场，即电流场。象电场分布可以用电力线来
形象地描绘一样，电流场也可以用电流线来描绘。所谓电流线，就是这样一些曲线，其上
每点的切线方向都和该点的电流密度矢量方向一致。
电磁学 第三章稳恒电场
dr R r1 rt r2 R ln t r1
r2
t
r1
r2
dr 平行于电流方向，dS 垂直于电流方向。
例题二：有一内半径为Rl，外半径为R2的金属圆柱筒， 长度为l，其电阻率为ρ 。若圆柱筒内缘的电势高于 外缘的电势，且它们的电势差为U时，圆柱体中沿径 向的电流为多少?
第三章 稳恒电流
主要内容
从场的观点来讨论导体中电流的
形成。以及电流密度、电动势、全电
路的欧姆定律和欧姆定律的微分形式， 简单电路和复杂电路等。
第一节
电流强度 电 流密度矢量
一、电流
I
- - - -------------- --- -- --- --- --- -- -- - -- - -- - - -- --- ----- ---- --- ---------- - -- -- - -E 1.定义： 电流是由大量电荷作有规则的定向运动所形成的。 2.分类： a.传导电流：
超导材料的发展。
欧姆定律的微分形式
在导体中取一电流管，长为 dl 段， E 垂直截面dS,电场均匀： U1
U I R
U2
I
S
U El;
1 j E
l
微欧 分姆 形定 式律 的
U1 U 2 IR
R l / S ;
I j S ;
j E
7
应用： 电阻温度计就是利用电阻与温度的关系制成。
标准电阻要选用 小的如康铜等合金。
当导线的截面或电阻率不均匀时,电阻定律
l R S
R
dl
S
b
a
铜圆柱半径a，长为l,外面套一个 与它共轴且等长的圆筒，内半径 为b，在柱和筒之间充满电导率为 的均匀导电物质，求柱和筒之间 的电阻。
电磁场与电磁波第三版答案第三章
《电磁场与电磁波》——习题详解第三章 恒定电流的电场和磁场3-1 一个半径为 a 的球内均匀分布着总量为 q 的电荷,若其以角速度 ω 绕一直径匀 速旋转,求球内的电流密度. 解:传导电流:导体中的自由电子或半导体中的自由电荷在电场作用下作定向 运动所形成的电流. 运流电流: 带电粒子在真空或气体中运动时形成的电流. 本题求的是运流电流. 选 取 球 坐 标系 . 设 转 轴和 直 角 坐 标系 的 z 轴 重 合 , 球 内 某 一点 的 坐标为 ( r , θ , φ ),则电流密度为v v J =ρv =q v 3qω r sin θ v eφ ω r sin θ eφ = 2 4π a 3 4π a 3注意到球面坐标的有向面积元为v v v v d S = er r 2 sin θ d θ d φ + eθ r sin θ d r d φ + eφ r d r d θ可以得到总电流为I=∫∫Sv v J dS =∫ ∫0πJr d r d θ =0aqω 2π2π总电流也可以通过电流强度的定义计算. 因为球体转动一周的时间为 T = 所以ω,I=3-2球形电容器内,外极板的半径分别为 a , b ,其间媒质的电导率为 σ ,当外加 电压为 U 0 时,计算功率损耗并求电阻. 解:设内,外极板之间的总电流为 I .由对称性,可以得到极板间的电流密q qω = T 2π度为v J= v E=I24π r I v e 2 r 4πσ rv er ,U0 = E d r =a∫bI 1 1 4πσ a b 25习题三从而I=v 4πσU 0 σU 0 v ,J = er 1 1 1 1 2 r a b a b2单位体积内功率损耗为 U0 J 1 1 p= =σ r 2 σ a b 2总功率损耗为P=∫b ap 4π r d r =24πσ U 02 1 1 a b2∫d r 4πσ U 02 = 2 1 1 a r a bb由P =U 02 ,得 R R= 1 1 1 4πσ a b 3-3土壤的电导率为 σ . 略去地面的影 一个半径为 a 的导体球作为电极深埋地下, 响,求电极的接地电阻. 解: 当不考虑地面影响时, 这个问题就相当于计算位于无限大均匀导电媒质中的导体球的恒定电流问题.设导体球的电流为 I ,则任意点的电流密度为v J=I 4π rI2v v er , E =I 4πσ rI2v er导体球面的电位为(选取无穷远处为电位零点)U =接地电阻为∫∞a4πσ r2dr =4πσ aR=3-4U 1 = I 4πσ a在无界非均匀导电媒质(电导率和介电常数均是坐标的函数)中,若恒定电流存 在,证明媒质中的自由电荷密度为 ρ = E (ε 证明:由方程 J = 0 得vε σ ) . σv26《电磁场与电磁波》——习题详解v v v v J = (σ E ) = E σ + σ E = 0即E = 故有vσ v Eσρ = D = (ε E ) = E ε + ε Ev ε σ v v = E ε ε E = E ε σ σ σ vvvv3-5如图 3-1,平板电容器间由两种媒质完全填充,厚度分别为 d1 和 d 2 ,介电常数 分别为 ε 1 和 ε 2 ,电导率分别为 σ 1 和 σ 2 ,当外加电压 U 0 时,求分界面上的自 由电荷面密度. 解:设电容器极板之间的电流密度为 J ,则J = σ 1 E1 = σ 2 E2E1 =于是Jσ1, E2 =Jσ2U0d1 d2ε1,σ1 ε2,σ2U0 =即Jd1σ1+Jd 2σ2图 3-1J=U0σ1 σ 2分界面上的自由面电荷密度为d1+d2ρ S = D2 n D1n = ε 2 E2 ε 1 E1 = ε ε U0 = 2 1 σ σ d1 d 2 1 2 +3-6 ε2σ2ε1 J σ1 σ1 σ 2内,外导体半径分别为 a , c 的同轴线,其间填充两种漏电媒质,电导率分别27习题三为 σ 1 ( a < r < b )和 σ 2 ( b < r < c ),求单位长度的漏电电阻. 解:设每单位长度从内导体向外导体的电流为 I ,则电流密度为v J=各区域的电场为I2π rv erv E1 = v E2 =内,外导体间的电压为I2πσ 1rv er ( a < r < b ) v er ( b < r < c )I2πσ 2 rU0 =∫c av v E dr =∫I dr + 2πσ 1 r ab∫ 2πσ r = 2πσb 2cI drIln1b I c + ln a 2πσ 2 b因而,单位长度的漏电电阻为R=3-71 1 U b c = ln + ln I 2πσ 1 a 2πσ 2 b一个半径为 10cm 的半球形接地电极,电极平面与地面重合,如图 3-2,若土 壤的电导率为 0.01S/m,求当电极通过的电流为 100A 时,土壤损耗的功率. 解:半球形接地器的电导为G = 2πσ a接地电阻为I σ a图 3-21 1 R= = G 2πσ a土壤损耗的功率为100 2 = ≈ 1.59 ×106 W P=I R= 2πσ a 2π × 0.01× 0.12I23-8一个正 n 边形(边长为 a )线圈中通过的电流为 I ,试证此线圈中心的磁感应强 度为B= 0 nI π tan 2π a n解:先计算有限长度的直导线在线圈中心产生的磁场.使用公式B=0 I (sin α1 sin α 2 ) 4π r28《电磁场与电磁波》——习题详解并注意到α1 = α 2 =2π π = 2n n设正多边形的外接圆半径是 a .由于r π = cos a n所以,中心点的磁感应强度为B=3-9 0 nI π tan 2π a n求载流为 I ,半径为 a 的圆形导线中心的磁感应强度. 解:电流元 I d l 在中心处产生的磁场为vv v v 0 I d l × er dB = 4π r2各电流元在中心处产生的磁场在同一方向,并注意 的磁场为 3-100 I2a∫rdl2=2π ,所以,圆心处 a.一个载流 I1 的长直导线和一个载流 I 2 的圆环(半径为 a )在同一平面内,圆心 与导线的距离是 d .证明两电流之间的相互作用力为 0 I1 I 2 1 d a d22BdF解:选取图 3-3 所示的坐标.直线电流产生的 I1 磁感应强度为I2 d图 3-3v I v 0 I1 v B1 = 0 1 eφ = eφ 2π r 2π (d + a cos θ )v v v F = I 2 d l 2 × B1θ a∫由对称性可以知道,圆电流环受到的总作用力仅仅有水平分量, d l2 × eφ 的 水平分量为 a cos θ d θ ,再考虑到圆环上,下对称,得vvF=使用公式 0 I1 I 2 2π∫π20 0 I1 I 2 a cos θ dθ = π d + a cos θ∫π0d 1 d θ d + a cos θ 29习题三∫π0dθ = d + a cos θπd a22最后得出二回路之间的作用力为 0 I1 I 2 力). 3-11 d 1 (负号表示吸引 2 2 d a 内,外半径分别为 a , b 的无限长空心圆柱中均匀分布着轴向电流 I ,求柱 内,外的磁感应强度. 解:法一:取积分回路为半径为 r ,圆心在轴上的圆,由安培定律 r≤a 时∫lv v v v H dl = 0 H = 0 B = 0a<r≤b 时 v v H dl =∫lI π (r 2 a 2 ) π (b a 2 )2(r 2 a 2 ) I H 2π r = 2 b a2 H = (r 2 a 2 ) I 2π r (b 2 a 2 )v v (r 2 a 2 ) I 0 v er B = 0 H = 2π r (b 2 a 2 )r >b时∫lv v H dl = I v H= I v er2π r v v I v B = 0 H = 0 er 2π r法二:使用圆柱坐标系.电流密度沿轴线方向为30《电磁场与电磁波》——习题详解 r<a 0, I J = , a<r <b 2 2 π (b a ) 0, b<r 由电流的对称性,可以知道磁场只有圆周分量.用安培定律计算不同区域的磁 场.当 r < a 时,磁场为零.当 a < r < b 时,选取安培回路为半径等于 r 且与导电 圆柱的轴线同心的圆.该回路包围的电流为I ′ = Jπ (r 2 a 2 ) =由 B dl = 2π rB =I (r 2 a 2 ) b2 a2∫vv 0 I ′ ,得 0 I (r 2 a 2 ) B= 2π r (b 2 a 2 )当 r > b 时,回路内包围的总电流为 I ,于是 B = 3-120 I . 2π r两个半径都为 a 的圆柱体,轴间距为 d , d < 2a (如图 3-4).除两柱重叠部 分 ( R 区域) 外,柱间有大小相等,方向相反的电流,密度为 J ,求 R 区域 的B.v解:在重叠区域分别加上量值相等(密度为 J ),方向相反的电流分布,可以 将原问题电流分布化为一个圆柱体内均匀分布正向电流,另一个圆柱体内均匀分布 反向电流.由其产生的磁场可以通过叠加原理计算. 由沿正方向的电流(左边圆柱)在重叠y区域产生的磁感应强度为 B1 :∫B1 d l = 2π r1 B1 = 0π r12 JJ r1r2JB1 = 0 r1 J2o1 vdo2x其方向为左边圆周方向 eφ 1 .图 3-4由沿负方向的电流(右边圆柱)在重叠区域产生的磁感应强度为 B2 :B2 = 0 r2 J231习题三其方向为右边圆柱的圆周方向 eφ 2 . 注意:vv v v v v v eφ1 = ez × eρ1 , eφ 2 = ez × eρ 2 v v v Jv v v B = B1 + B2 = 0 ez × (r1eρ 1 r2 eρ 2 ) 2 Jv J v v = 0 ez × (d ex ) = 0 d e y 2 2 v v v v v 3-13 证明矢位 A1 = ex cos y + e y sin x 和 A2 = e y (sin x + x sin y ) 给出相同的磁场 v B ,并证明它们得自相同的电流分布.它们是否均满足矢量泊松方程?为什么? 证明:与给定矢位相应的磁场为v v ex ey v v B1 = × A1 = x y cos y sin x v ex v v B2 = × A2 = x 0v ez v = ez (cos x + sin y ) z 0 v ez v = ez (cos x + sin y ) z 0v ey y sin x + x sin y所以,两者的磁场相同.与其相应的电流分布为v v 1 1 v v J1 = × B1 = (ex cos y + e y sin x)00v 1 v v J2 = (ex cos y + e y sin x)0可以验证,矢位 A1 满足矢量泊松方程,即vv v v v v 2 A1 = 2 (e x cos y + e y sin x) = (e x cos y + e y sin x) = 0 J 1但是,矢位 A2 不满足矢量泊松方程,即v32《电磁场与电磁波》——习题详解v v v v 2 A2 = 2 [e y (sin x + x sin y )] = e y (sin x + x sin y ) ≠ 0 J 2这是由于 A2 的散度不为零.当矢位不满足库仑规范时,矢位与电流的关系为vv v v v × × A2 = 2 A2 + ( A2 ) = 0 J 2可以验证,对于矢位 A2 ,上式成立,即vv v v 2 A2 + ( A2 ) = e y (sin x + x sin y ) + ( x cos y )v v v = e y (sin x + x sin y ) + ex cos y e y x sin y v v = e y sin x + ex cos y v = 0 J 23-14 半径为 a 的长圆柱面上有密度为 J S 的面电流, 电流方向分别为沿圆周方向和 沿轴线方向,分别求两种情况下柱内,外的 B . 解:(1)当面电流沿圆周方向时,由问题的对称性可以知道,磁感应强度仅仅 是半径 r 的函数,而且只有轴向方向的分量,即vvv v B = ez Bz (r )由于电流仅仅分布在圆柱面上,所以,在柱内或柱外, × B = 0 .将 B = ez Bz (r ) 代入 × B = 0 ,得vvvvv v B × B = eφ z = 0 r即磁场是与 r 无关的常量.在离柱面无穷远处的观察 点,由于电流可以看成是一系列流向相反而强度相同的电流 元之和,所以磁场为零.由于 B 与 r 无关,所以在柱外的任 一点处,磁场恒为零 . 为了计算柱内的磁场, 选取安培回路为图 3-5 所示的矩 形回路vh图 3-533习题三∫lv v B d l = hB = h 0 J S因而柱内任一点处, B = e z 0 J S (2) 当面电流沿轴线方向时,由对称性可知,空间的磁场仅仅有圆周分量,且 只是半径的函数.在柱内,选取安培回路为圆心在轴线并且位于圆周方向的圆.可 以得出,柱内任一点的磁场为零.在柱外,选取圆形回路, B d l =lvv∫vv 0 I ,与该回路交链的电流为 2π aJ S , B d l = 2π rB ,所以l∫vvv v a B = eφ 0 J S r 3-15 一对无限长平行导线,相距 2a ,线上载有大小相等,方向相反的电流 I (如 v v 图 3-6),求磁矢位 A ,并求 B .解:将两根导线产生的磁矢位看作是单个导线产生的磁矢位的叠加,对单个 导线,先计算有限长度产生的磁矢位.设导线长度为 l ,导线 1 的磁矢位为(场点选 在 xoy 平面)A1 =0 I 4π∫ I l / 2 + [(l / 2) 2 + r12 ]l / 2 dz = 0 ln 2 2 12 2π r1 l / 2 (r + z ) 1l/2当 l → ∞ 时,有y A1 =0 I l ln r1 2π-ar2 I图 3-6r1 a I x同理,导线 2 产生的磁矢位为A2 = 由两个导线产生的磁矢位为0 I l ln r2 2πv v l v I l A = ez ( A1 + A2 ) = ez 0 ln ln r 2π 1 r2 v 0 I r2 v 0 I ( x + a) 2 + y 2 = ez ln = ez ln 2π r1 4π ( x a) 2 + y 2相应的磁场为34《电磁场与电磁波》——习题详解v v A v A v B = × A = ex z e y z y x v I = ex 0 2π y y ( x + a) 2 + y 2 ( x a) 2 + y 2 x+a xa v I ey 0 2 2 2 2 2π ( x + a) + y ( x a) + y v v v v v v 3-16 由无限长载流直导线的 B 求矢位 A (用 B d S = A d l , 并且 r = r0 处为∫S∫C磁矢位的参考零点),并验证 × A = B . 解:设导线和 z 轴重合.由于电流只有 z 分量,磁矢位也只有 z 分量.用安培 环路定律,可以得到直导线的磁场为vvv I v B = 0 eφ 2π r 选取矩形回路 C ,如图 3-7 所求.在此回路上,注意到磁矢位的参考点.磁矢位的线积分为∫ ∫SCv v A d l = Az hv v BdS =∫∫0 I Ih r d r d z = 0 ln r0 2π r 2πIBh r0 r图 3-7由此得到I r Az (r ) = 0 ln r0 2π可以验证rv v I v A v B = × A = z eφ = 0 eφ 2π r r3-17 证明 xoy 平面上半径为 a , 圆心在原点的圆电流环(电流为 I )在 z 轴上的磁标 位为 m = 1 2 2 1 2 2 (a + z ) 证明:法一:由毕奥萨伐尔定律可求得,z 轴上某一点的磁感应强度为:Iz35习题三v B=Ia 22( a + z )2 2 3/ 2v ezv v B H = =Ia 2 v e 2 2 3/ 2 z 2(a + z )由 H = m = (v m v m v m v e + e + e ) x x y y z z可得 m Ia 2 = z 2( a 2 + z 2 ) 3 / 2 m = ∫ Ia 2 Iz dz = +C 2 2 3/ 2 2 2( a + z ) 2(a + z 2 )1 / 2当 z → ∞ 时, m = 0 ,求得C=所以I 2 z ) ( a + z 2 )1 / 22 m = (1 I 2法二:整个圆形回路在轴线上产生的磁场,由于对称,仅仅有轴向分量.使用 叠加原理,可以计算出轴线上任一点的磁场强度为Ia 2 H= 2( a 2 + z 2 ) 3 2由磁标位与磁场强度的关系式 H = m ,可以得到m =3-18∫∞zHdz =∫∞z Ia 2 I z d z = 1 2 2 12 2 2 32 2 (a + z ) 2(a + z )一个长为 L ,半径为 a 的圆柱状磁介质沿轴向方向均匀磁化(磁化强度为M 0 ),求它的磁矩.若 L = 10cm , a = 2cm , M 0 = 2 A / m ,求出磁矩的值. 解:均匀磁化介质内的磁化电流为零.在圆柱体的顶面与底面,有v v v Jms = M × n = 036《电磁场与电磁波》——习题详解在侧面v v v v v v J m s = M × n = M 0 ez × er = M 0 eφ侧面的总电流为I = JmsL = M 0L磁矩为m = IS = Iπ a 2 = M 0 Lπ a 2代入相关数值后得m = M 0 Lπ a 2 = 2 × 0.1× π × 0.02 2 = 2.512 × 10 4 A m 23-19 球心在原点,半径为 a 的磁化介质球中, M = M 0 磁化电流的体密度和面密度. 解:磁化电流的体密度为vz2 v ez ( M 0 为常数) ,求 a2v v Jm = × M = 0在球面上v v v z2 v v v J m s = M × n = M 0 ez × er = M 0 2 sin θ eφ a注意,在球面上v v z = a cos θ , J m s = M 0 cos 2 θ sin θ eφ3-20 证明磁介质内部的磁化电流是传导电流的( r 1 )倍. 证明:由于 J = × H , J m = × Mvvvv因而 3-21v v v v v v v B = H = 0 ( H + M ) , M = 1 H = ( r 1) H 0 v v J m = ( r 1) J已知内,外半径分别为 a , b 的无限长铁质圆柱壳(磁导率为 )沿轴向有恒 定的传导电流 I ,求磁感应强度和磁化电流.37习题三解: 考虑到问题的对称性, 用安培环路定律可以得出各个区域的磁感应强度. 当 r < a 时, B = 0vv I (r 2 a 2 ) v 当 a < r < b 时, B = eφ 2π r (b 2 a 2 )当 r > b 时, B = 当 a < r < b 时,v0 I v eφ 2π rv v I (r 2 a 2 ) v 1 v M = ( r 1) H = ( r 1) B = ( r 1) eφ 2π r (b 2 a 2 ) v v v 1 (rM ρ ) v ( r 1) I J m = × M = ez = ez r r π (b 2 a 2 )当 r > b 时, J m = 0 在 r = a 处,磁化强度 M = 0 ,所以vvv v v v v J m s = M × n = M × (er ) = 0在 r = b 处,磁化强度 M =v Jms3-22( r 1) I v eφ ,所以 2π b v v v v ( 1) I v = M × n = M × er = r ez 2π b v设 x < 0 的半空间充满磁导率为 的均匀磁介质, x > 0 的空间为真空,线电流 I 沿 z 轴方向,如图 3-8,求磁感应强度和磁场强度. 解:由恒定磁场的边界条件,可以判断出,在磁介质和真空中,磁感应强度相 同,而磁场强度不同.由问题的对称性,选取以 z 轴为轴线,半径为 r 的圆环为安 培回路,有∫注意到lv v H d l = π rH 1 + π rH 2 = Iy0H1 =1B1, H2 =2B2, B1 = B2 = BIx图 3-838《电磁场与电磁波》——习题详解1 = 0 , 2 = 因而得B= 0 I π ( 0 + )r其方向沿圆周方向. 3-23 已知在半径为 a 的无限长圆柱导体内有恒定电流 I 沿轴向方向.设导体的磁 导率为 1 ,其外充满磁导率为 2 的均匀磁介质,求导体内,外的磁场强度, 磁感应强度,磁化电流分布. 解:考虑到问题的对称性,在导体内,外分别选取与导体圆柱同轴的圆环作 为安培回路,并注意电流在导体内是均匀分布的.可以求出磁场强度如下:Ir v eφ 2π a 2 v I v r > a 时, H = eφ 2π r磁感应强度如下:v r ≤ a 时, H =v Ir v r ≤ a 时, B = 1 2 eφ 2π a v 2 I v r > a 时, B = eφ 2π r为了计算磁化电流,要求出磁化强度:v v v v Ir I v , J m = × M = e z 1 1 r ≤ a 时, M = eφ 1 1 2 2π a 2 0 0 π av v v v I r > a 时, M = eφ 2 1 , Jm = × M = 0 0 2π r在 r = a 的界面上计算面电流时,可以理解为在两个磁介质之间有一个很薄的 真空层.这样,其磁化面电流就是两个磁介质的磁化面电流之和,即v v v v v J m s = M 1 × n1 + M 2 × n2这里的 n1 , n2 分别是从磁介质到真空的单位法向.如果取从介质 1 到介质 2 的单位法向是 n ,则有vvvv v v v v J m s = M1 × n M 2 × n39习题三代入界面两侧的磁化强度,并注意到 n = er ,得vvv I v v 2 I J m s = e z 1 1 2π a + ez 1 2π a 0 0 I v = ez 2 1 0 0 2π a3-24 试证长直导线和其共面的正三角形之间的互感为M=0 a (a + b) ln1 + b a π 3 其中 a 是三角形的高,b 是三角形平行于长直导线的边至直导线的距离(且该 边距离直导线最近). 证明:取如图 3-9 所示的坐标.直线电流 I 产生的磁场为B=0 I 2π x由图 3-9 知道,三角形三个顶点的坐标分别为 A(b, a3 ) , B (b, a3) ,C (a + b,0) ,直线 AC 的方程为 z=互感磁通为z A I1 b B图 3-91 (a + b x) 3C b+axΨ = BdS = 2∫∫a +b b0 I 1 (a + b x) d x 2π x 3=0 I a (a + b) ln1 + b a π 3 0 a (a + b) ln1 + b a π 3 直线与矩形回路的互感为M=3-25无限长的直导线附近有一矩形回路(二者不共面,如图 3-10),试证它们之间 的互感为40《电磁场与电磁波》——习题详解M =0 a R ln 2 2 12 2π [2b( R c ) + b 2 + R 2 ]1 2b a R R1图 3-10IIc证明:直线电流 I 产生的磁场为 B =0 I ,作积分,得出磁通量 2π rΨ = BdS =注意:∫∫R1 R 0 Ia Ia R d r = 0 ln 1 R 2π r 2π1 2 1 2 1 2R1 = [c + (b + R c ) ] = [2b( R c ) + b + R ]2 2 2 2 2 2 2 2将其代入,即可得到互感. 3-26 外导体的内半径为 b , 通过的电流为 I . 空气绝缘的同轴线, 内导体半径为 a , 设外导体壳的厚度很薄,因而其储存的能量可以忽略不计.计算同轴线单位 长度的储能,并由此求单位长度的自感. 解:设内导体的电流均匀分布,用安培环路定律可求出磁场.r < a 时, H =Ir 2π a 2 I a < r < b 时, H = 2π rWm =单位长度的磁场能量为∫a01 H 2 2π r d r + 2 0∫b a1 H 2 2π r d r 2 0=0 I 2 0 I 2 b ln + 16π 4π aL=故得单位长度的自感为0 0 b + ln 8π 2π a41习题三其中第一项是内导体的内自感. 3-27 一个长直导线和一个圆环(半径为 a )在同一平面,圆心与导线的距离是 d , 证明它们之间互感为M = 0 (d d 2 a 2 )证明:设直导线位于 z 轴上,由其产生的磁场I r d θB=0 I 0 I = 2π x 2π (d + r cos θ ) 0 I其中各量的含义如图 3-11 所示,磁通量为图 3-11Φ = BdS =∫∫∫0 2π 0a2π 02π (d + r cos θ )2πr dθ d r上式先对 θ 积分,并用公式∫得dθ = d + a cos θd 2 a2Φ = 0 I所以互感为 3-28∫ardr d r2 20= 0 I (d d 2 a 2 )M = 0 (d d 2 a 2 )如图 3-12 所示的长密绕螺线管(单位长度 n 匝),通过的电流为 I ,铁心的磁 导率为 ,面积为 S ,求作用在它上面的力. 解:在忽略边缘影响时,密绕螺线管内部的磁场是一个均匀磁场,其值为H = NI , 管外磁场为零. 设螺线管的长度为 L , 铁心位于螺线管内的部分长度为 x , 总的磁场能量为Wm =1 1 Sx( NI ) 2 + 0 S ( L x)( NI ) 2 2 2Wm xL● ● ● ● ● ● ●用电流不变情形下的虚位移公式,得到铁心受力 x0SF==I1 ( 0 ) SN 2 I 2 2× × × × × × × 图 3-12力的方向沿 x 增加的方向.42。
电磁场与电磁波_第四版_第三章
能量。
静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终 电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服
电荷之间的相互作用力而作功。
如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过 程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能
Da
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
16
例3.3 同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体间
填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 l 和 l ， 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
l E ( ) e 2
1 0 q d 2 q 根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电
1
场能量We ，即
1 We q 2 对于电荷体密度ρ为的体分布电荷，体积元dV中的电荷ρdV具 1 dWe dV 2
有的电场能量为
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
19
1 We dV 2 V 对于面分布电荷，电场能量为 W 1 dS e S S 2 对于多导体组成的带电系统，则有
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3
3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
3.1.2 电位函数
3.1.3 3.1.4 导体系统的电容 静电场的能量
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
4
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 1. 基本方程
D dS q D S 微分形式： 积分形式： E dl 0 E 0 C 本构关系： D E D1n D2 n S 2. 边界条件 en ( D1 D2 ) S 或 E1t E2t 0 e ( E E ) 0 1 2 n
电磁场与电磁波第三章课件1
仿照上述做法，还可以得到其他电容器的 电导
电容 平行板 双根线 同轴线 球 形 孤立球
器的 S
2
电导 d
ln
整个球或圆柱有
故
RU I
1
d
ln
r2 r1
d
dr
er
r
er
的电流
U ln r2
er
r1
I＝ldnr2U
r1
(4) 积分法 按电阻公式，在任一圆弧面上
dR
dr
r
d
R
1
d
r2 r1
dr r
1
d
ln
r2 r1
除上述求漏电阻或漏电导的方法外，其它 还有类比法等。各种方法简繁难易不一， 要注意掌握与应用简便的分析计算方法。
• 电磁场与电磁波 全泽松
微分形式
E 0
J 0
J E
积分形式
E dl 0
J dS 0
S
J E
2 0
采用与静电场相类似的办法，可以得到如下的边界条件
J dS 0
S
E dl 0
J1n J 2n
E 1t E 2t
J
J
J
J
J
J2
J J
• 已知空气中有一根半径为 a 、电导率为 的 直导线，其中通有电流 I ，表面均匀分布着 密度为S 的电荷。试求导线内及导线表面的 电场强度。
其中，线积分的方向是从正极到负极；面积分的曲面是包围正 极或负极的封闭曲面。
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对于电容：
C SE dS LE dl
R LE dl SE dS
其正其中极中，或，R线负称积极作分的电的封阻方闭，向曲其是面倒从。数正显，极然即到，称负有作极：电；R导面C。积 分 的G曲面是SE包 围dS LE dl
第03章 恒定电流与恒定电场
(l )
E dl
V
(S )
J
dS
(l )
E dl
（3-20）
(S )
E dS
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
例3.1 长度为l的同轴电缆，内、外导体半径分 别为a和b，如图3-6所示，电介质的电导率为σ，计 算同轴电缆单位长度电介质的电导。 l
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
包括电荷运动量的大小和方向，需要引入电流密度 矢量的概念。 （一）体电流密度矢量Jv 如图3-1所示，在导体中电荷流动的方向上取 一微分面元ΔS，该面元的法线方向与正电荷流动 的方向平行，电荷流动的方向为n，ΔI为面元上通 过的电流，则定义体电流密度矢量为
V
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
（二）面电流密度矢量Js 在工程中，有时会遇到 电流仅分布在导体薄层中流 动，此时可认为导体薄层的 厚度趋于零，电流是在导体 表面上流动，如图3-2所示。 定义面电流密度矢量为
A
(l )
B
dI
dl
dl n
图3-2 面电流的定义
I dI J S lim n n l 0 l dl
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
而介于导体和电介质之间的材料称之为半导体。 电导率取决于环境温度和材料的纯度等因素。通 常，金属导体的电导率随温度下降而增加，在接 近绝对零度的低温时，某些导体的电导率变为无 穷大，这就是超导体。
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
表3-1 部分常用材料20℃时的电导率 材 料 导体 银 铜
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第三章 稳恒电流一、 选择题1、 下面说法正确的是：（）A 、沿电流线的方向电势必降低；B 、不含源支路中的电流必从高电势到低电势；C 、含源支路中的电流必从高电势到低电势；D 、支路两端电压为零时，支路电流必不为零。
答案：B 2、 下面说法正确的是：（）A 、含源支路中的电流必从低电势到高电势；B 、支路两端电压为零时，支路电流必为零；C 、支路电流为零，支路两端电压必为零时；D 、支路电流为零，该支路吸收电功率必为零时； 答案：D 3、 如图所示，电路中，A 、B两点的电压是（） A 、6VB 、0VC 、2VD 、 8V 答案：B4、 阻值均为120千欧的两个电阻1R 及2R ，串联后与100伏电源相连，当用某个电压表 测量a,b 间电压得40伏，再去量b,c 间电压，得到（） A 、60V B 、40V C 、100V D 、0V答案：B5、 如图，一长为L 均匀的锥台形导体，底面半径分别为a 和b ，电阻率为ρA 、ρL/πab B 、 πρL/a C 、πab/ρL D 、ab/ρL 答案：A6、 铜的温度数为C 03/103.4-⨯，若在0℃时铜的电阻率为8106.1-⨯欧·米，则直径为5毫米，长为160公里铜制电话线在25℃的电阻（）A 、100ΩB 、140ΩC 、144ΩD 、200Ω 答案：C 7、有100Ω、1000Ω、10千欧的三个电阻，它们的额定功率都是0. 25瓦，现将三个电阻串联起来，如图，则加在这三个电阻 上的电压U 最多不能超过多少？（）A 、5伏B 、45伏C 、50伏D 、55.5伏 答案：D8、有100Ω、1000Ω、10千欧的三个电阻，它们的额定功率都是0. 25瓦，现将三个电阻串联起来，如图，如果1000Ω电阻实际消耗的电功率为0.1瓦，其余两个电阻消耗的功率各是多少？（）A 、1瓦、10瓦B 、0.1瓦、1瓦C 、0.01瓦、5瓦D 、0.01瓦、1瓦 答案：D 9、 如图所示的电路中，当K 打开时，a ，b 间等效电阻为（）A 、450ΩB 、500ΩC 、225ΩD 、125Ω 答案：C10、如图所示的电路中，K 闭合，则a,b 间等效电阻为（） A 、208Ω B 、200Ω C 、204Ω D 、207Ω答案：A11、如图所示的电路中，如果0R 是已知的，为使电路的总电阻等于R 0,则R 1的值（B ） A 、2R B 、3R C 、02R D 、03R 答案：B12、把一个表头改成多量程的安培计，可如图所示，将电阻321,,R R R 与表头连成一个闭合回路，从不同的地方引出抽头，选择连接表头的两个抽夹上一为公共端，和另一个抽头配合得到一种量程的安培计，这种电路叫做闭路抽头式，已知表头量程为500微安，内阻为300Ω，则当I 1=1mA ；I 2=10mA ；I 3=100mA 时，321,,R R R 各为多少（）A 、3Ω、27Ω、270ΩB 、5Ω、40Ω、280ΩC 、2Ω、30Ω、300ΩD 、3Ω、27Ω、400Ω13、如图所示表头G 与321,,R R R 组成多量程伏特计，已知表头量程为500μA ，内阻为300Ω，则当U 1=3V ，U 2=100V ，U 3=250V 时，321,,R R R 值为（）A、5.7K Ω、190KΩ、300K Ω B 、5.7K Ω、194K Ω、300K ΩC 、6K Ω、200K Ω、300K ΩD 、5.7K Ω、194K Ω、200K Ω 答案：B14、一个电动势为ε，内阻为r 的电池给电阻为R 的灯泡供电，当R=r 时，灯泡最亮，则其最大功率为（）A 、M P =2ε/4rR B 、M P =2ε/4r C 、M P =4R/2ε D 、M P =4rR/2ε 答案：B 15、如图所示，cb ac ab U U U ,,分别为（） A 、0V 、8V 、-8V B 、0V 、-8V 、8VC 、8V 、0V 、-8VD 、8V 、-8V 、0V 答案：B 16、如图所示的电路中，如果流过8欧电阻的电流是0.5（）A 、10VB 、14VC 、12VD 、8V 答案：C 17、如图所示的电路中，求A U （）A 、3εB 、2εC 、1ε-D 、4242R R R +ε 答案：D18、如图所示的电路中，A R 为100欧，0R 为200欧，R,为50 2 同时打开与同时闭合时，通过A R 电流相等，则B R 为（）A 、200ΩB 、400ΩC 、100ΩD 、600Ω B 19、在如图所示的电路中，电源电动势、电阻、电容数值均已知，O 点接地，若三个电容器 起始时不带电，则三个电容器与A 、B 、O 相接的各极板上的电量为（）A 、-224微库、256微库、-132微库B 、-124微库、256微库、C 、-256微库、-124微库、132微库D 、124微库、-256微库、 答案：B20、如图所示为用电位差计测电池内阻的电路图，实际电位差计在标准电阻AB R 上直接刻度的不是阻值，也不是长度，而是各长度所对应的电位差值，M R 为被测电池的负载电阻，阻值为100欧。
实验开始时，2K 打开，K 拨在1处，调节R 使流过AB R 的电流准确地达到标定值，然后将1K 拨在2处，滑动C ，当检流计指针指示为零时， 读得AC U =1.5025V ，再闭合开关2K ，滑动C ，当检流计指针指示为零时， 读得C A U '=1.4455V ,试根据这些数据计算电池内阻为（）A 、8ΩB 、10ΩC 、2ΩD 、4Ω 答案：D 21、在如图所示的电路中，由12根阻值为R 的均匀电阻丝，搭成一个立方体，求a,b 间的等效电阻为（） A ：61R B 、65R C 、R D 、21R22、附图中已知ε=100V ，ε'=40V ，r=10Ω,r'=30Ω,求r'支路上的电流为（）A 、0.5AB 、1AC 、0.8AD 、2A答案：B23、在如图所示的电路中，已知1ε=12V ，2ε=2V ，1R =1.5Ω，3R =2Ω，2I =1A ，求电阻2R 为（）A 、2ΩB 、6ΩC 、4ΩD 、8Ω 答案：C24、有两个电阻，并联时电阻为2.4Ω，串联时总电阻为10Ω，问这个电阻的阻值为（）A 、8Ω，8ΩB 、4Ω，6ΩC 、6Ω，8ΩD 、6Ω，12Ω 答案：B25、若仅用两个电阻，单独用其中一个或把两个串联，或把两个并联，你就能得到3，4，12，16Ω电阻，则这两个电阻为（）A 、3Ω，12ΩB 、4Ω，16ΩC 、4Ω，12ΩD 、12Ω，16Ω 答案：C 二、填空题1、用导线将八个完全相同的电源顺接为一闭合电路，则每个电源的端压为 V 。
答案：02、如图所示的电路，A 点电压为 V 。
答案：73、如图所示的电路，A ，B 两点的电位差为 V 。
答案：-194、恒定电流条件为 。
答案：⎰⎰=⋅0S d j5、断丝灯泡，将灯丝重新搭上后，一般比原来要 （亮或暗），而寿命要比原来 （长或短）。
答案：亮，短6、一铜线外涂银层，两端加上电压后，在铜线和银层中通过的电流 ，电流密度 。
（相同或不同） 答案：不同，不同7、元件A ，B ，C 的伏安曲线如图所示，当三个元件的电压相同时，哪个元件发热更多 ， 当通过三个元件的电流相同时，哪个元件发热更多 。
答案：A ，C8、把四个110V ，40W 的灯泡连接起来，电路两端的电压为220V ，这四个灯泡能否正常发光？ （能或不能）；若其中一个灯泡的灯丝烧断后，其他三个灯泡发生 的现象。
答案：能， 更容易断路9、在两种均匀导体的界面上，电流线发生“折射”，问两种导体（电导率分别为δ1，δ2）的界面两侧场E 的切线分量是否连续？ ；均强E 的法线分量是否连续？ 。
答案： 连续，不连续10、在两种均匀导体的界面上，电流密度 j 的切线分量是否连续？ ；电流密度答案： 连续，不连续11、电阻均为120千欧的两个1R ，2R 串联后，与100V 电源连接（见图），当用某个电压表测量ab 间电压得40V ，再去量bc 间电压仍得40V ,问该电源的内阻为 ； 答案：60Ωk12、不含源支路中，电流必然从 电位到 电位。
(高或低) 答案：高，低 13、当非静电力做负功时，一定 电功率。
(吸收或输出) 答案：吸收 14、支路电流为零时，该支路吸收的电功率为 。
(零或正) 答案：零 15、支路两端电压为零时，该支路吸收的电功率为 。
(零或正) 答案：零 16、图中ACB 段是电源，则()⎰⋅BC A l d E 经 及()⎰⋅B D A l d E 经代表 ，两者是否相等？ ；BB答案：端电压，相等，电源电动势，AB U17、如图，令非E E j+=σ，从A 经C 到B 做积分得到什么定律 ；如从A 经D 到B 做积分得到什么定律？答案：含源支路欧姆定律，不含源支路欧姆定律18、在下列个函数，电压，电流强度，电流密度，电动势，电阻，电导，电导率，电阻率，电功率中是点函数的是 答案： 电流密度、电导率、电阻率。
19、如图所示的电路中，开关K 答案： 打开时20 答案：ε==U I A,021答案：0,==U RI Aε22、图中经检流计G 的电流为零的充要条件是 三、计算题1、 如图所示的导体中，均匀地流有10A 的电流，已知横截面积S 1=1cm 2,S 2=0.5cm 2的法线与轴线夹角600，求：(1)三个面与轴线交点处a,b,c 三点的电流密度；(2)三个面上单位面积上的通量dI 。
（13分） 解：（1）由⊥=S I j (2分),a 点：)(10101102541米安=⨯==-S I j a (2分) b 点：)(102105.0102542米安⨯=⨯==-S I j b (2分)；C 点：)(10260cos 25203米安⨯===S I S I j C (2分) （2）由S d j dI⋅=（2分），安）(1011100cos 550111=⨯⨯==⋅=dS j S d j dI a a （1分） ()安）分(1022111020cos 550222⨯=⨯⨯⨯==⋅=dS j S d j dI b b（1分） ())(10221110260cos 550333安分=⨯⨯⨯===dS j S d j dI c c （1分）2、一稳恒电流场i ij j ˆ(ˆ=为x 轴的单位矢量）中，有一半径为R 的球面（见图）(1)如何用球坐标表示出球面上任一面元的j 的通量dI ；(2)用积分方法求出被yoz 面分割的两个半球面上的j通量。
(12分)解：（1）ϕθθd d sin R i ˆj )2(S d j dI 2=⋅=分kj i ˆcos ˆsin sin ˆcos (sin θϕθϕθ++⋅）（2分） =ϕθϕθd d jR cos sin 22（2分）ππ22212θ2π2（2分）同理：在0≤x的半球面上I=-2R j π（2分）3、一长为l ，内外半径分别为R 1，R 2的导体管，电阻率为ρ，试求下列三种情况下管子的电阻：(1)若电流沿长度方向流过；(2)电流沿径向流过；(3)如附图，把管子切去一半，电流沿图示方向流过。