高中数学第三章第3课时

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苏教版高中数学必修三-第三章-概率第3章-3.3ppt课件

教师通过情境创设与具体实例，引导学生明确几何概型的应用，来突破难点．整堂课紧紧围绕“以学生为主体”的教学原则，充分发挥学生的主观能动性，让每个学生都积极参与到学习活动中来．
●教学建议本节课是高中数学必修三第三章第三节几何概型的第一课时，是在学习了随机事件的概率及古典概型之后，引入的另一类基本的概率模型．学好几何概型可以有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．
●重点难点 (1)重点： ①了解几何概型的概念、特点；②会用几何
概型概率公式求解随机事件的概率． (2)难点：如何判断一个试验是否为几何概型，弄清在一个几何概型中构成事件 A 的区域和试验的全部结果所构成的区域及度量．高中新课程中注重以学生的发展为本，结合学生认知规律及内容特点，建议教师采用探究式教学方法．通过转盘游戏，使学生经历从直观到抽象，从特殊到一般的认知，引导学生主动概括与归纳出几何概型定义及公式，从而突出重点．
【提示】无限多个．
1．几何概型的定义设 D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域 D 内随机地取一点，区域 D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件 A 的发生可以视为恰好取到区域 D 内的某个指定区域 d 中的点．这时，事件 A 发生的概率与 d 的测度(长度、面积、体积等) 成正比，与 d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．
本节课的教法是：采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过两组试验来激发学生的学习兴趣，调动学生的主观能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来．本节课遵循引导发现、循序渐进的思路，采用问题探究式教学，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中建构几何概型的概念以及归纳出几何概型公式，运用实物、多媒体、投影仪辅助，倡导“自主、合作、探究”的学习方式．

高中数学第三章导数及其应用第3课时导数与函数的综合应用

第3课时导数与函数的综合应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的年关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，年产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300解析由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100 x ，总利润P (x )＝⎩⎨⎧300x －x 22－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400，又P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，总利润P (x )最大．答案 D2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2)解析 x >0时⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′<0，∴φ(x )＝f (x )x 在(0，＋∞)为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0. 又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数．故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．答案 D3．若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]解析令f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝3(舍去)．∵f (－1)＝7，f (－2)＝0，f (2)＝－20， ∴f (x )的最小值为f (2)＝－20，故m ≤－20. 答案 B4．(2017·景德镇联考)已知函数f (x )的定义域为[－1,4]，部分对应值如下表：f (x ))－a 的零点的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析根据导函数图像，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图像如图所示．由于f(0)＝f(3)＝2,1<a<2，所以y＝f(x)－a的零点个数为4.答案 D5．(2014·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)解析 a ＝0时，不符合题意，a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a .若a >0，则由图像知f (x )有负数零点，不符合题意．则a <0，由图像结合f (0)＝1>0知，此时必有 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，即a ×8a 3－3×4a 2＋1>0，化简得a 2>4. 又a <0，所以a <－2. 答案 C 二、填空题6．某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．解析由y ′＝x 2－39x －40＝0，得x ＝－1或x ＝40，由于0<x <40时，y ′<0； x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值．答案 407．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________. 解析设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可知c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2. 答案－2或28．(2017·长沙调研)定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f (x )e x <1的解集为________．解析构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝e x ·f ′(x )－e x ·f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x .由题意得g ′(x )<0恒成立，所以函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减．又g (0)＝f (0)e 0＝1，所以f (x )e x <1，即g (x )<1，所以x >0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．答案 (0，＋∞) 三、解答题9．据环保部门侧定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k (k >0)．现已知相距18 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x (km)． (1)试将y 表示为x 的函数；(2)若a ＝1，且x ＝6时，y 取得最小值，试求b 的值．解 (1)设点C 受A 污染源污染程度为kax 2，点C 受B 污染源污染程度为kb(18－x )2，其中k 为比例系数，且k >0，从而点C 处受污染程度y ＝ka x 2＋kb(18－x )2.(2)因为a ＝1，所以，y ＝k x 2＋kb(18－x )2，y ′＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x 3＋2b (18－x )3，令y ′＝0，得x ＝181＋3b，又此时x ＝6，解得b ＝8，经验证符合题意，所以，污染源B 的污染强度b 的值为8.10．(2017·榆林月考)已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22. (1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x >1时，f (x )<x －1.(1)解 f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x ，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )>0得⎩⎨⎧x >0，x 2＋x ＋1>0.解得0<x <1＋52.故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1. 故当x >1时，f (x )<x －1.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解析函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x ，由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1的Δ＝－20<0，所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立，即f (x )在定义域上单调递增，无极值点．答案 A12．(2017·山东省实验中学诊断)若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( )A ．3f (1)<f (3)B ．3f (1)>f (3)C ．3f (1)＝f (3)D ．f (1)＝f (3) 解析由于f (x )>xf ′(x )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，因此f (x )x 在R 上是单调递减函数， ∴f (3)3<f (1)1，即3f (1)>f (3)．答案 B13．(2017·安徽江南名校联考)已知x ∈(0,2)，若关于x 的不等式xe x <1k ＋2x －x 2恒成立，则实数k 的取值范围为________．解析依题意，知k ＋2x －x 2>0.即k >x 2－2x 对任意x ∈(0,2)恒成立，从而k ≥0，因此由原不等式，得k <e x x ＋x 2－2x 恒成立．令f (x )＝e x x ＋x 2－2x ，则f ′(x )＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1,2)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上单调递减，所以k <f (x )min ＝f (1)＝e －1，故实数k 的取值范围是[0，e －1)．答案 [0，e －1)14．(2015·北京卷)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点． (1)解由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)，得x >0且f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx .由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)． f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的情况如下：x (0，k ) k (k ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )k (1－ln k )2所以f x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)． f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. (2)证明由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2.因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e. 当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．当k>e时，f(x)在区间(0，e)上单调递减，且f(1)＝12>0，f(e)＝e－k2<0，所以f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点.。

人教高中数学必修一A版《函数的基本性质》函数的概念与性质说课教学课件复习(函数奇偶性的概念)

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(2)已知 f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若 f(－3)＝－3，则 f(3)＝________.
[思路点拨] (1) fx是偶函数定原义―点―域对→关称于求a的值图y―轴象―对关→称于求b的值
(2)
令gx＝x7－ax5＋bx3＋cx
―→
判断gx 的奇偶性
(2)由图象知，使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
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(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．
[解]
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(1)如图所示课件课件
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(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．
需多项式的奇次项系数为 0，即 a－4＝0，则 a＝4.
法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如 f(x)＝ax2＋c 的都是偶函数，
因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则 a＝4.]
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1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数 f(x)定义域内的每一个值课件
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[推荐学习]高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第3课时空间向量与空间角距离优

第3课时空间向量与空间角、距离[课时作业] [A 组基础巩固]1．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD 所成角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，2，0)，PC →＝(1，2，－1)，平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，所以cos 〈PC →，n 〉＝PC →·n|PC →|·|n |＝－12，所以〈PC →，n 〉＝120°，所以PC 与平面ABCD 的法向量所在直线所成角为60°，所以PC 与平面ABCD 所成角为30°，故选A. 答案：A2．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( ) A.64 B ．104C.32D.34解析：建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB 1C 1＝60°，∠DC 1D 1＝45°，设B 1C 1＝1，CC 1＝3＝DD 1. ∴C 1D 1＝3，则有B 1(3，0,0，)，C (3，1，3)，C 1(3，1,0)，D (0,1，3)．∴B 1C →＝(0,1，3)，C 1D →＝(－3，0，3)．∴cos 〈B 1C →，C 1D →〉＝B 1C →·C 1D→|B 1C →||C 1D →|＝326＝64.答案：A3．已知直二面角αl β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于( ) A.23 B.33C.63D ．1解析：∵平面α⊥平面β，且AC ⊥l ，BD ⊥l ，故AC ⊥平面β，BD ⊥平面α，依题意建立坐标系如图所示，在Rt △ACD 中，可得CD ＝2，故A (0,0,1)，B (1，2，0)，C (0，0,0)，D (0，2，0)，则CA →＝(0,0,1)，CB →＝(1，2，0)，CD →＝(0，2，0)．设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA →＝0，n ·CB →＝0⇒x ＝－2y ，z ＝0，令y ＝1，可得n ＝(－2，1,0)，故所求距离d ＝|CD →·n ||n |＝23＝63.故选C.答案：C4.如图所示，直三棱柱ABC A 1B 1C 1(侧棱与底面垂直)中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线PQ与AM 所成的角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：以A 为坐标原点，AC ，AB ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝AB ＝AC ＝2，则AM →＝(2,0,1)，Q (1,1,0)，P (0,1,2)，QP →＝(－1,0,2)，所以QP →·AM →＝0，所以QP 与AM 所成角为π2.答案：D5．已知正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33C.23D.13解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，C (0，1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，故DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)，DC →＝(0,1,0)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令z ＝1，则y ＝－2，x ＝2，所以平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC→|n |·|DC →|＝23，故选A. 答案：A6．设A (1,0,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)，D (1，1,1)，则直线AD 与平面ABC 的夹角为________．解析：设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ·0，0，1＝0，x ，y ，z ·－1，1，1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－x ＋y ＋z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，y ＝x .令x ＝1，则n ＝(1,1,0)，∴cos 〈n ，AD →〉＝1×0＋1×1＋0×12·2＝12，∴〈AD →，n 〉＝π3.∴直线AD 与平面ABC 的夹角θ＝π2－π3＝π6.答案：π67．在空间中，已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________. 解析：设平面α的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，记A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0，a )(a ＞0)，则AB →＝(－3,4,0)，AC →＝(－3,0，a )由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，取z ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝3a4，n 1＝(a ，3a4，3)，而n 2＝(0,0,1)是平面xOy 的一个法向量，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝39＋2516a 2×1＝22，又a ＞0，解得a ＝125. 答案：1258．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与ACD 垂直．则B 与D 之间的距离为________．解析：由B ，D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M ，N ，则可求得AM ＝12，BM ＝32，CN ＝12，DN ＝32. MN ＝1.由于BD →＝BM →＋MN →＋ND →，∴|BD →|2＝(BM →＋MN →＋ND →)2＝|BM →|2＋|MN →|2＋|ND →|2＋2(BM →·MN →＋MN →·ND →＋BM →·ND →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫322＋2(0＋0＋0)＝52，∴|BD →|＝102.答案：1029.如图所示，已知在四面体ABCD 中，O 为BD 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2， (1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．解析：(1)证明：因为BO ＝DO ，AB ＝AD ，所以AO ⊥BD . 因为BO ＝DO ，BC ＝CD ，所以CO ⊥BD .在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3，而AC ＝2，所以AO 2＋CO 2＝AC 2，所以∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC .因为BD ∩OC ＝O ，所以AO ⊥平面BCD .(2)以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C (0，3，0)，A (0，0,1)，BA →＝(－1,0,1)， CD →＝(－1，－3，0)，所以cos 〈BA →，CD →〉＝BA →·CD →|BA →||CD →|＝24，所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24.10.如图，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD＝120°，∠ACB ＝90°. (1)求证：BC ⊥平面PAC ； (2)若二面角D PC A 的余弦值为55，求点A 到平面PBC 的距离．解析：(1)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BC ，∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC .(2)设AP ＝h ，取CD 的中点E ，则AE ⊥CD ，∴AE ⊥AB ，又PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AE ，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0，0，h )，C ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0，B (0,2,0)，AP →＝(0,0，h )，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－h PD →＝⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，－h ，求得平面PAC 与平面PDC 的一个法向量分别为n 1＝(h ，－3h,0)，n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫h ，0，32. ∵cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝55，∴h ＝ 3.又可求得平面PBC 的一个法向量n 3＝(3，3，2)，所以，点A 到平面PBC 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·n 3|n 3|＝234＝32.[B 组能力提升]1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为( ) A ．－105 B.105 C ．－155D.155解析：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2，2,0)，B 1(2,2,2)，E (0,2,1)．∴BD →＝(－2，－2,0)，BB 1→＝(0,0,2)，BE →＝(－2,0,1)．设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴n ⊥BD →，n ⊥BB 1→，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，2z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y ，z ＝0.令y ＝1，则n ＝(－1,1,0)．∴cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n ||BE →|＝105，设直线BE 与平面B 1BD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BE →〉|＝105.答案：B2．正方形ABCD 所在平面外有一点P ，PA ⊥平面ABCD .若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析：建系如图，设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，P (0,0,1)，D (1,0,0)，C (1,1,0)．平面PAB 的法向量为n 1＝(1,0,0)．设平面PCD 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PD →＝0，n 2·CD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，y ＝0.令x ＝1，则z ＝1.∴n 2＝(1,0,1)，cos 〈n 1，n 2〉＝12＝22. ∴平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的余弦值为22. ∴此角的大小为45°. 答案：B3．直线l 的方向向量a ＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值为________．解析：设直线l 与平面α所成的角是θ，a ，n 所成的角为β， sin θ＝|cos β|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2，3，，0，17×17＝617. 答案：6174．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知AA 1＝9，BC ＝63，N 为BC 的中点，则直线D 1C 1与平面A 1B 1N 的距离是________．解析：∵C 1D 1∥平面A 1B 1N ，∴所求距离等于D 1到平面A 1 B 1N 的距离，不妨令|AB |＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(63，0,9)，B 1(63，1,9)，N (33，1,0)， A 1B 1→＝(0,1,0)，B 1N →＝(－33，0，－9)．设平面A 1B 1N 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B 1→＝0，n ·B 1N →＝0，即⎩⎨⎧y ＝0，－33x －9z ＝0.取z ＝－3，则n ＝ (3,0，－3)，又D 1A 1→＝(63，0,0)，故D 1到平面A 1B 1N 的距离为 d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝3×6332＋02＋－32＝9.答案：95.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊥平面ABD ，且AE ＝ 2. (1)求证：DE ⊥AC ；(2)求DE 与平面BCE 所成角的正弦值．解析：(1)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz ，则E (0,0，2)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，取BD 的中点F ，并连接CF ，AF ，由题意可得CF ⊥BD 且AF ＝CF ＝2，又∵平面BDA ⊥平面BDC ， ∴CF ⊥平面BDA ，所以C 的坐标为C (1,1，2)，∴DE →＝(0，－2，2)，AC →＝(1,1，2)， ∴DE →·AC →＝(0，－2，2)·(1,1，2)＝0，故DE ⊥AC .(2)设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EB →＝0，n ·CB →＝0，即⎩⎨⎧2x －2z ＝0，x －y －2z ＝0，∴⎩⎨⎧z ＝2x ，y ＝－x .令x ＝1得n ＝(1，－1，2)，又DE →＝(0，－2，2)，设DE 与平面BCE 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DE →〉|＝|n ·DE →||n ||DE →|＝63.6．(2016·高考全国Ⅰ卷)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D AF E 与二面角C BE F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；(2)求二面角E BC A 的余弦值．解析：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC .又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G .由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D AF E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则|DF |＝2，|DG |＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)．由已知得AB ∥EF ，所以AB ∥平面E FDC .又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF . 由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C BE F 的平面角，∠CEF ＝60°. 从而可得C (－2,0，3)．所以EC →＝(1,0，3)，EB →＝(0,4,0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0，同理可取m ＝(0，3，4)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.故二面角E BC A 的余弦值为－21919.。

2018版高中数学必修三课件：第三章 3-2 古典概型精品

解析答案
(2)求3个矩形颜色都不相同的概率；
(2)求3个矩形颜色不都相同的概率；
解析答案
规范解答
古典概型的应用
例4 (12分)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.
D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F).
解析答案
题型二例2 解
利用古典概型公式求概率
从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：
(1)事件A＝{三个数字中不含1和5 }；这个试验的基本事件为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，
(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，
所以事件B包含的基本事件数m＝9.
m 9 所以 P(B)＝ n ＝10.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2
抛掷两枚骰子，求：
(1)点数之和是4的倍数的概率；
解
如图，基本事件与所描点一一对
应，共36种. 记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件 A 包含的基本事件共有 9 个，即 (1,3) ， (2,2) ， (2,6) ， (3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6).
答案
Hale Waihona Puke 2.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和 . 如在掷一枚质地均匀的骰子试验中，随机事件“出现奇数点”可以由基本事件“出现1点”“出现3点”“出现5点”共同组成. 思考答 “抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件吗？不是.“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，

2016年春北师大版高中数学必修5同步课件：第3章不等式 §4 第3课时

合理下料问题、 __________ 产品配方问题、产品安排问题、 __________ __________ 方案设计问题等． __________
第三章
§4
第3课时
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1.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料 3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗 A原料不超过 13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )
元．甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工，每天
甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
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路漫漫其修远兮吾将上下而求索
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第三章不等式
第三章
不等式
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第三章
§4 简单线性规划第3课时简单线性规划的应用
第三章
§4
第3课时
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第三章 §4 第3课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
1.解线性规划应用题的步骤： (1) 转化 —— 设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际

2019高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程第3课时直线的一般式方程课下能力提升含解析新人教A版必修2

课下能力提升(十九)[学业水平达标练]题组1 直线的一般式方程1．直线x －3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°2．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．答案：2x －y ＋1＝03．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为________．4．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．题组2 由含参一般式求参数的值或取值范围5．(2016· 临沂高一检测)已知过点A (－5，m －2)和B (－2m ，3)的直线与直线x ＋3y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．4B ．－4C ．10D ．－106．直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( ) A.65 B ．－6 C ．－65D ．67．直线(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒过的定点坐标是________．8．已知直线l 1的斜率为k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．题组3 一般式形式下的平行与垂直问题的策略9．若直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直，则实数a ＝________.10．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．[能力提升综合练]1．如果ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足条件( ) A ．bc ＝0 B ．a ≠0C ．bc ＝0且a ≠0 D．a ≠0且b ＝c ＝02．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( ) A ．m ＝1 B ．m ＝±1C.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ≠－1D.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ≠－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠13．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2y －x －4＝0B ．2x －y －1＝0C ．x ＋y －5＝0D ．2x ＋y －7＝04．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． 5．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x－3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为________．6．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别求m 的值．(1)在x 轴上的截距为1； (2)斜率为1；(3)经过定点P (－1，－1)．7．一河流同侧有两个村庄A 、B ，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A 、B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和700 m ，且两村相距500 m ，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？答案 [学业水平达标练]题组1 直线的一般式方程1．解析：选A 由直线的一般式方程，得它的斜率为33，从而倾斜角为30°. 2．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝03．解析：由二元一次方程表示直线的条件知A 、B 至少有一个不为零即A 2＋B 2≠0. 答案：A 2＋B 2≠04．解析：点斜式方程： y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x 433＋y－4＝1，斜截式方程：y ＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0.答案：y ＋4＝3(x －0)x 433＋y－4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝0题组2 由含参一般式求参数的值或取值范围5．解析：选A ∵k AB ＝m －2－3－5－－2m ，直线x ＋3y －1＝0的斜率为k ＝－13，∴由题意得m －5－5＋2m ＝－13，解得m ＝4. 6．解析：选B 令y ＝0，则直线在x 轴上的截距是x ＝2m m ＋2，∴2mm ＋2＝3，∴m ＝－6. 7．解析：原方程可化为m (2x －y －1)－(x ＋3y －11)＝0.∵对任意m ∈R ，方程恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴直线恒过定点(2,3)．答案：(2,3)8．解：∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－－20－3a＝－1，解得a ＝1，或a ＝3，∴a ＝1，或a ＝3时，l 1⊥l 2. 题组3 一般式形式下的平行与垂直问题的策略9．解析：因为两直线垂直，所以a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＋2a －3＝0，解得a ＝1，或a ＝－3.答案：1或－310．解：法一：由题意，设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠1)，令x ＝0，得y ＝－m 4；令y ＝0，得x ＝－m3，所以－m 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4＝73，解得m ＝－4.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.法二：由题意，直线l 不过原点，则在两坐标轴上的截距都不为0.可设l 的方程为x a＋yb ＝1(a ≠0，b ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－34，a ＋b ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.[能力提升综合练]1．解析：选D y 轴方程表示为x ＝0，所以a ，b ，c 满足条件为a ≠0且b ＝c ＝0.2．解析：选D 根据两直线平行可得m 1＝1m，所以m ＝±1，又两直线不可重合，所以m＝1时，n ≠－1; m ＝－1时，n ≠1.3．解析：选C 由x －y ＋1＝0得A (－1，0)，又P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，∴P 为线段AB 中垂线上的点，且B (5,0)．PB 的倾斜角与PA 的倾斜角互补，则斜率互为相反数，故PB 的斜率k PB ＝－1，则方程为y ＝－(x －5)，即x ＋y －5＝0.4．解析：当2m 2＋m －3＝0时，m ＝1或m ＝－32；当m 2－m ＝0时，m ＝0或m ＝1.要使方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，∴m ≠1.答案：m ≠15．解析：由2x －3y ＋12＝0知，斜率为23，在y 轴上截距为4.根据题意，直线l 的斜率为13，在y 轴上截距为8，所以直线l 的方程为x －3y ＋24＝0.答案：x －3y ＋24＝06．解：(1)∵直线过点P ′(1,0)，∴m 2－2m －3＝2m －6. 解得m ＝3或m ＝1.又∵m ＝3时，直线l 的方程为y ＝0，不符合题意， ∴m ＝1.(2)由斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝43.(3)直线过定点P (－1，－1)，则－(m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6，解得m ＝53，或m ＝－2.7．解：如图，以河流所在直线为x 轴，y 轴通过点A ，建立直角坐标系，则点A (0,300)，B (x,700)，设B 点在y 轴上的射影为H ，则x ＝|BH |＝AB 2－AH 2＝300，故点B (300,700)，设点A 关于x 轴的对称点A ′(0，－300)，则直线A ′B 的斜率k ＝103，直线A ′B 的方程为y ＝103x －300.令y ＝0得x ＝90，得点P (90,0)，故水电站建在河边P (90,0)处电线用料最省．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.3 第3课时函数的最大(小)值与导数课件新人教A版选修1-1

(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点； (2) 计算函数 f(x) 在极值点和端点的函数值，其中最大的一
个为最大值，最小的一个为最小值．
2 ．正确理解“在闭区间 [a ， b] 上连续的函数 f(x) 必有最值．” (1)给定的区间必须是闭区间， f(x)在开区间上虽然连续但不 1 能保证有最大值或最小值．如 f(x)＝x， x∈(0,1)， f(x)在区间(0,1) 连续，但没有最大值和最小值(如图)．
当 x 变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如表： x g′(x) g( x ) 2 (－∞，3) ＋ 2 3 0 68 27－m 2 (3，4) － 4 0 －16－ m (4，＋∞) ＋
2 68 则函数 g(x)的极大值为 g(3)＝27－m，极小值为 g(4)＝－16 －m.
1 ∴由 y＝f(x)的图象与 y＝3f′(x)＋5x＋m 的图象有三个不同交点， 2 68 g ＝－m>0 得 3 27 ， g4＝－16－m<0 68 解得－16<m<27.
2
当 x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f ′(x) f ( x) －2 －1 (－1,0) ＋ 0 0 1 4 (0，3) － 4 3 0 5 －27 4 (3，2) ＋ 1 2
故 f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2.
[ 方法规律总结 ] (小)值步骤如下：
1. 求可导函数 y ＝ f(x) 在 [a ， b] 上的最大
f ′2＝0， ∴ f2＝c－16， 12a＋b＝0，即 8a＋2b＋c＝c－16. a＝1，解得 b＝－12.
12a＋b＝0，化简得 4a＋b＝－8.
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f ′(x)＝3x2－12，令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2，当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)>0，f(x)在(－∞，－2)上为增函数，

2020高中数学苏教版必修三教学案：第3章 3

20xx最新高中数学苏教版必修三教学案：第3章 3问题1：假设顾客甲获奖，说明什么？提示：说明顾客甲中一等奖或二等奖．问题2：通过上述问题“中一等奖”与“中二等奖”能否同时发生？提示：不能同时发生．问题3：在上述问题中“中奖”与“不中奖”这两个事件必有一个发生吗？提示：必有一个发生．1．互斥事件(1)定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．(2)如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，An彼此互斥．(3)规定：设A，B为互斥事件，若事件A、B至少有一个发生，我们把这个事件记作A＋B.2．互斥事件的概率加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件A，B 分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．2．一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环．事件B：命中环数为10环．事件C：命中环数小于6环．事件D：命中环数为6，7，8，9，10环．解：事件A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥．又因为事件C与事件D至少有一个发生，所以C与D也是对立事件．[例2] (12分)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)事件A、B、C的概率；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[思路点拨] 明确事件的特征，利用互斥事件或对立事件求解．[精解详析] P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.(3分)故事件A，B，C的概率分别为，，.(4分)(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋C.(5分)∵A、B、C两两互斥，∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)(6分)＝＝.故1张奖券的中奖概率为.(7分)(3)法一：设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，(9分)∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－(＋)＝.(11分)故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.(12分)法二：不中特等奖且不中一等奖即为中二等奖或不中奖∴P＝＋＝.(12分)[一点通]针对这个类型的题目，首先要判断所给已知事件是否为互斥事件，再将要求概率的事件写成几个已知概率的互斥事件的和．最后用概率加法公式求得．3．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E互斥，取到理科书的概率为事件B、D、E概率的和．∴P(B＋D＋E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝＋＋＝.答案：3 54．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位(单位：m)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18) 概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：(1)[10，16)(m)；。

高中数学第三章三角恒等变换第1节两角和与差的正弦余弦和正切公式第3课时二倍角的正弦余弦正切公式教案含解

第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P132～P134的内容，回答下列问题．(1)在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？提示：成立．(2)在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？提示：cos 2α＝cos2α－sin2α，sin 2α＝2sin αcos α，tan 2α＝2tan α1－tan2α. 2．归纳总结，核心必记[问题思考](1)S 2α，C 2α，T 2α中角α的取值范围分别是什么？提示：S 2α，C 2α中α∈R ，T 2α中α≠k π＋π2且α≠k π2±π4.(2)能应用tan α表示sin 2α，cos 2α吗？提示：sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[课前反思](1)二倍角的正弦公式：；(2)二倍角的余弦公式：；(3)二倍角的正切公式： .知识点1化简求值讲一讲1．求下列各式的值：(1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)1sin 10°－3cos 10°； (5)cos 20°cos 40°cos 80°.[尝试解答] (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(5)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.类题·通法化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．练一练1．化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ；(2)2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.解：(1)原式＝1＋tan θ－1－tan θ1－tan θ1＋tan θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ. (2)原式＝cos 2α2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4－α＝cos 2α2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－2α＝cos 2αcos 2α＝1.知识点2条件求值讲一讲2．(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos2α＋π4的值； (2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.[尝试解答] (1)∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－725＝－31250. (2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴原式可化为1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.类题·通法解决条件求值问题的方法解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．练一练2．(1)已知cos α＝13，则cos 2α等于( )A.13B.23 C ．－79 D.79(2)设α是第四象限角，已知sin α＝－35，则sin 2α，cos 2α和tan 2α的值分别为( )A ．－2425，725，－247 B.2425，725，247C ．－2425，－725，247 D.2425，－725，－247(3)已知tan α＋1tan α＝52，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，求cos 2α和sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．解析：(1)cos 2α＝2cos 2α－1＝29－1＝－79.(2)因为α是第四象限角，且sin α＝－35，所以cos α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－247.(3)由tan α＋1tan α＝52，得sin αcos α＋cos αsin α＝52，则2sin 2α＝52，即sin 2α＝45.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin 2α·cos π4＋cos 2α·sin π4＝45×22－35×22＝210. 答案：(1)C (2)A知识点3倍角公式的综合应用讲一讲3．已知向量a ＝(sin A ，cos A )，b ＝(3，－1)，a ·b ＝1，且A 为锐角． (1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R )的值域． [尝试解答] (1)由题意得a ·b ＝3sin A －cos A ＝1， 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12. 由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32. 因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1,1]，因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32.当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3，所以所求函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.类题·通法二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的的活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2， 1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.练一练3．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f (α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4，17π4，即4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式，难点是公式的应用． 2．要掌握二倍角公式的三个应用 (1)解决化简求值问题，见讲1； (2)解决条件求值问题，见讲2； (3)倍角公式的综合应用，见讲3. 3．要牢记二倍角公式的几种变形 (1)sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；(2)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ； (3)cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .课下能力提升(二十四)[学业水平达标练]题组1 化简求值 1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215° D．sin 215°＋cos 215° 解析：选B cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. 2．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°＝( ) A.62 B.32 C.54 D ．1＋34解析：选C 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54.3．求值：sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°.解：∵sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°2sin 40°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 题组2 条件求值4．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 解析：选Dsin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 5．已知sin 2α＝23，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.16B.12C.23D.56解析：选D sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋sin 2α2＝56.6．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝55，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( )A ．－43 B.34 C ．7 D ．－17解析：选D 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝55，所以cos α＝－255，所以tan α＝－12，由二倍角公式得tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋11－tan 2α＝－17. 7．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.25B.75C.145 D ．－25解析：选C 因为cos α＝35且α在第一象限，所以sin α＝45.所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145.8．已知π2<α<π，cos α＝－45.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．解：(1)因为cos α＝－45，π2<α<π，所以sin α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)sin 2α＝2sin αcos α＝－2425.cos 2α＝2cos 2α－1＝725，所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725. 题组3 倍角公式的综合应用9．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．解析：f (x )＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f (x )的最小值为1－ 2. 答案：1－ 210．已知0<x <π2，sin 2 x 2＋3sin x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋x 2＝－110，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解：∵sin 2x 2＋3sin x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋x 2＝1－cos x 2－3sin x 2cos x2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝12－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴由已知得12－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－110，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35.∵0<x <π2，结合sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35易知π6<x ＋π6<π2.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝45，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π61－tan 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2×341－916＝247. [能力提升综合练]1.sin 65°cos 25°＋cos 65°sin 25°－tan 222.5°2tan 22.5°＝( )A.12B ．1 C. 3 D ．2 解析：选B 原式＝sin 90°－tan 222.5°2tan 22.5°＝1－tan 222.5°2tan 22.5°＝1tan 45°＝1.2．已知sin 2α＝23，则tan α＋1tan α等于( )A ．1B ．2C ．4D ．3解析：选D tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝112sin 2α＝3.3．已知cos 2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( )A ．－2425B ．－45 C.2425 D.255解析：选A ∵cos 2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝15，∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15，∴cos x ＋sin x ＝15，∴1＋sin2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.4．设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π2－x 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24时，f (x )的值域为( )A ．[1,2]B ．[2， 3 ]C ．[3，2]D ．[2，2]解析：选D f (x )＝a 2sin 2x －1＋cos 2x 2＋1－cos 2x2＝a2sin 2x －cos 2x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，所以a ＝23，所以f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4，f (x )∈[2，2]．故选D. 5．等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 答案：4596．已知cos 2α＝13，π<2α<2π，求1＋sin α－2cos 2α23sin α＋cos α的值．解：原式＝sin α－cos α3sin α＋cos α，又∵cos 2α＝13，∴2cos 2α－1＝13，∴cos 2α＝23，3π2<2α<2π，∴3π4<α<π，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－63，sin α＝33，∴原式＝5＋427.7．设函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12；(2)若f (α)＝53，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求角α. 解：f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ＝53cos 2x ＋53sin 2x －2sin 2x －43sin 2x ＝53－2sin 2x －23(1－cos 2x ) ＝33－2sin 2x ＋23cos 2x ＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ×12－cos 2x ×32＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝33－4sin π2＝33－4.(2)由f (α)＝53，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝－32，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得2α－π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，5π3，∴2α－π3＝4π3，α＝5π6.。

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tan α ＋tan β 1－tan α tan β (3)tan(α＋ β)＝____________________ ， tan α －tan β 1＋tan α tan β tan(α－ β)＝_____________________ ．
π (α，β ，α ＋ β ，α － β 均不等于 kπ ＋， k∈ Z) 2 tan(α＋β)(1－tanαtanβ) ，其变形为：tan α ＋tan β ＝ ________________________ tan(α－β)(1＋tanαtanβ) tan α － tan β ＝ _______________________________ ． 2.二倍角的正弦、余弦和正切公式 2sinαcosα (1)sin 2α ＝ ___________________ ； 2cos2α －1＝ 1－ ______ 2sin2α ； cos2α－sin2α ＝________ (2)cos 2α ＝ ______________ 2tan α kπ π π 2 1－tan α (α≠ (3)tan 2α ＝ _________ ＋且 α≠ kπ ＋， k∈ Z)． 2 4 2
1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考中常考点. 2.公式逆用、变形应用是高考热点. 3.题型以选择题、解答题为主.
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本节目录
教材回顾夯实双基
考点探究讲练互动
名师讲坛精彩呈现
知能演练轻松闯关
教材回顾夯实双基
【答案】
(1)C
(2)B
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【规律小结】
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公
式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
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【解析】 (1)由已知得 cos α cos β － sin α sin β ＝ sin α cos β － cos α sin β ，所以 cos α (cos β ＋ sin β )＝ sin α (cos β ＋ sin β )．因为 β 为锐角，所以 sin β ＋ cos β ≠ 0，所以 sin α ＝ cos α ，即 tan α ＝ 1，故选 C. 2³2 2 5 (2)依题意得，sin α ＝，故 tan α ＝ 2，tan 2α ＝ 5 1－4 4 1－ π 3 4 1 ＝－，所以 tan( ＋ 2α )＝＝－ . 3 4 4 7 1＋ 3
基础梳理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 cosαcosβ－sinαsinβ ， (1)cos(α＋β)＝______________________
cosαcosβ＋sinαsinβ cos(α－β)＝_______________________ ；
sinαcosβ＋cosαsinβ ， (2)sin(α＋β)＝______________________ sin αcos β－cos αsin β ； sin(α－β)＝________________________
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4.化简：sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sin β＝________. 解析：原式＝sin(α＋β－β)＝sin α. 答案：sin α
π α 1 5. 若 cos α ＝，其中 α∈( －， 0) ，则 sin 的值是 2 2 2 ________． 1－cos α 1 2α 解析： sin ＝＝ . 2 2 4 α π α 1 又 ∈ －，0 ，∴sin ＝－ .1.(2011· 高考辽宁卷 )设 sin ＋ θ ＝，则 sin 2θ ＝ ( 4 3 7 A．－ 9 1 C. 9 1 B．－ 9 7 D. 9 )
π 2 1 解析：选 A.sin ＋θ ＝ (sin θ ＋cos θ )＝，将上式 3 4 2 1 1 7 两边平方，得 (1＋sin 2θ )＝，∴ sin 2θ ＝－ . 2 9 9
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cos 2α 2 3.若＝－，则 cos α ＋ sin α ＝ ( 2 π sin α － 4 7 A．－ 2 1 C. 2
解析：选 C.由已知条件 1 则 cos α ＋ sin α ＝ . 2
)
1 B．－ 2 7 D. 2
cos2α － sin2α 2 2 sin α － cos α 2 2 2 ＝－， 2
1 答案：－ 2
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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 三角函数公式的直接应用陕西宝鸡模拟 )设 α， β 均为锐角，且 cos(α 例1 (1)(2013· ＋ β)＝ sin(α－ β)，则 tan α 的值为( ) A． 2 B. 3 3 C． 1 D. 3 π 5 (2)(2013· 济南市调研)已知 α 为锐角， cos α ＝，则 tan( 5 4 ＋ 2α )＝ ( ) 1 A．－ 3 B．－ 7 4 C．－ D．－ 7 3
第3课时
两角和与差的正弦、
余弦和正切公式
2014高考导航
考纲展示 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，进而导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们的内在联系. 备考指南
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π 4 2．已知 x∈(－，0)， cos x＝，则 tan 2x＝( 2 5 7 7 A. B．－ 24 24 24 C. 7 24 D．－ 7
2
)
3 sin x 解析：选 D.依题意得 sin x＝－ 1－ cos x＝－， tan x＝ 5 cos x 3 2³－ 4 3 2tan x 24 ＝－，所以 tan 2x＝＝＝－，故选 D. 4 32 7 1－ tan2x 1－－ 4