第1章1-08样条插值

x1 x2
xn1 xn b
a x0
分析：因 S( x)在[ x j , x j 1 ] 上是3次多项式，即为 S( x) S j ( x) a j bj x c j x 2 d j x 3 , x [ x j , x j 1 ],( j 0,1,, n 1) 4n个待定系数: {a j }, {b j }, {c j }, {d j }, 已有条件： S( x j ) f ( x j ),( j 0,1,, n) 内部条件： (内节点)
（一阶导数表示） 1.8.2 三次样条插值函数的表达式 一、推导公式： 回忆： 分段3次Hermite插值 I h ( x ) ， 当 x [ x j , x j 1 ] 时 Ih ( x) I j ( x) y j c j ,1 ( x x j ) c j ,2 ( x x j )2 c j ,3 ( x x j )3 c j ,1 m j 已知
( 8 .9 )
S( x0 ) f0 m0 , S( xn ) f n mn , (1)增加第1种边界条件： n 1 m 则方程组(8. 8)为关于 j j 1 所满足的方程组：
再由 m0 f 0 m n f n
2 1 m 1 g1 1 f 0 2 m g 2 2 2 2 ( 8 .9 ) 2 m g j j j j g n 2 n 2 2 n 2 m n 2 g f n 1个方程 m 2 n 1 n 1 n n 1 n 1
二 、 样条函数的定义 定义 （3次样条函数） (1) 设有对[a,b]的分划 : a x0 x1 xn b, 如果函数 S ( x ) 满足下述条件： (a) S( x) C 2 a, b ，即具有连续的一阶，二阶导数。 b S ( x ) 在每一个小区间 x j , x j 1 j 0,1, n 1 上是次数 3 多项式。 则称 S ( x )为关于分划 的一个3次样条函数。 (8.1) （2）设给定 y f ( x) 函数表 ( xi , f ( xi )),(i 0,1,, n) 若（1）中3次样条函数 S ( x ) 还满足插值条件： S( xi ) f ( xi ),(i 0,1,, n) 称 S ( x ) 为 f ( x ) 关于分划 的3次样条插值函数。 提出问题： 3次样条插值函数 S ( x ) 是否存在？是否唯一？ 如何计算？误差估计？
三次样条插值函数的表达式
基本思路： 以分段三次Hermite插值为基础，由(1)函数表 ( xi , yi ), k) ( i 0,1,, n); (2)S(j k ) ( x j ) S(j 1 ( x j ), k 0,1,2 ；(3)三种边界条件中 的某一种推导3次样条插值函数。
c j ,1 m j
c j ,2 (
c j ,3
3( y j 1 y j ) hj
2m j m j 1 )
y j 1 y j 1 (m j 1 m j 2 ) 2 hj hj
1 hj
不固定,是待定参数， 共 ( n+ 1 ) 个
( 8 .4 )
n 1 个条件
hj h j h j 1 m j 1 2 m j h j 1 h j h j 1 m j 1 3[ h j 1 y j 1 y j hj h j h j 1 hj y j y j 1 h j 1 h j h j 1 ]
( j 1,2, , n 1)
j j 1




令
j
hj hj hj 1
, j 1 j j
hj 1 hj hj 1
,
( j 1,2, , n 1)
g j 3[ j
y j 1 y j hj
y j y j 1 hj 1
], hj x j 1 x j , ( j 1,2,, n 1)
hj x j 1 x j , x [ x j , x j 1 ], j 0,1,, n 1 2 a, b , 则要求满足： S ( x ) C 若要 j 1,2,, n 1 S j 1 ( x j ) S j ( x j ),

3
( 8 .3 )
三种边界条件
j m j 1 2m j j m j 1 g j , ( j 1,2,, n 1)
( 8 .8 )
j m j 1 2m j j m j 1 g j , ( j 1,2,, n 1) n 方程组(8. 8)为关于 m j j 0 所满足的方程组：

由条件 S j ( x j ) S j 1 ( x j ), ( j 1,2,, n 1) 及（8.5)、(8.6)得
c j ,2 c j 1,2 3c j 1,3hj 1 ， ( j 1,2, n 1)
( 8 .7 )
把(8.4)代入(8.7)得到 {m j }所满足线性方程组 y j 1 y j y j y j 1 1 1 1 1 m j 1 2( )m j m j 1 3( ) 2 2 h j 1 h j 1 h j hj hj h j 1 h j h j 1 ( j 1,2, , n 1) 两边同除以 ，得 h j 1 h j
共有 4n 2个条件, 要唯一确定 S ( x ) ，还必须附加２个条件(边界条件)
常见边界条件有三种：
( a ) 第1种边界条件：S( x0 ), S( xn ) 已知,即 S( x0 ) f0, S( xn ) fn.
( b ) 第2种边界条件： S( x0 ), S( xn )已知,即 S( x0 ) f0, S( xn ) f n . 若S( x0 ) S( xn ) 0 ，称为自然边界条件。
得
说明： （a）(8.8)式是关于n+1个未知量m0 , m1 ,, mn的 n 1 个 方程组成的方程组.mj( j=0,1,…,n)在力学上叫做细梁xj( j=0,1,…,n) 处的转角，数学上叫做变化率。方程(8. 8)反映了mj与mj-1,mj+1的 关系,因此(8.8)叫做三转角方程。 （b）（8.8）式有n-1个方程,要确定n+1个未知量 m0 , m1 ,, mn 还少两个方程,由边界条件补足.
( c )第3种边界条件（周期边界条件）： y f ( x) 为周期函数，
要求 S ( x ) 亦是周期函数，周期为 b a ，即取 S ( k ) ( x0 ) S ( k ) ( xn ),(k 0,1,2). 此时称 S ( x ) 为周期样条函数。
注：一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数。
j 0,1,, n 1
n 1 个条件
S j 1 ( x j ) S j ( x j ) 3(n 1) 个条件 S j 1 ( x j ) S j ( x j ) S j 1 ( x j ) S j( x j ) j 1,, n 1
c j , 3 (m j 1 m j 2
y j 1 y j hj
1 2m j m j 1 ) hj
1 ) 2 hj
令 S( x) S j ( x) y j c j ,1 ( x x j ) c j ,2 ( x x j )2 c j ,3 ( x x j )
推导方法：
1、先确定插值函数 S ( x ) 在节点处的一阶导数，记为 S( x j ) m j , j 0,1,, n, 该方法即为3次样条插值函数的一阶导数表示。 2、先确定插值函数 S ( x ) 在节点处的二阶导数，记为 S( x j ) M j , j 0,1,, n, 该方法即为3次样条插值函数的二阶导数表示。
加某一边界条件（2个）

n 1 个条件
S( x) S j ( x) y j c j ,1 ( x x j ) c j ,2 ( x x j )2 c j ,3 ( x x j )3
( 8 .3 )
对(8. 3)式求导: S j ( x ) 2c j , 2 6c j , 3 ( x x j ), x [ x j , x j 1 ] Sj1 ( x) 2c j 1,2 6c j 1,3 ( x x j 1 ), x [ x j 1 , x j ] S j ( x j ) 2c j , 2 (8.5) j 1,2,, n 1 S ( 8 .6 ) j 1 ( x j ) 2c j 1, 2 6c j 1, 3 h j 1
1 2
( 8 .8 )
1
2

0
2 j
2 j n 1 2
S( x0 ) f0 m0 , S( xn ) f n mn , (1)增加第1种边界条件： n 1 m 则方程组(8. 8)为关于 j j 1 所满足的方程组可写为：
hj x j 1 x j , x [ x j , x j 1 ], j 0,1,, n 1 问题：设给定 y f ( x) 函数表 ( xi , f ( xi )),(i 0,1,, n) (8.1) 求3次样条插值函数 S ( x ) 。

c j ,2 (
3( y j 1 y j ) hj
§1.8 三次样条插值
1.8.1 引言
一、背景 L-插值（牛顿插值） Hermite插值 分段插值

高次插值出现龙格现象
但分段线性插值在节点处不一定光滑
分段Hermite插值 但导数值不容易提取（找到） 三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段 Hermite插值解决问题） 举例： 1 汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）； 2 木样条的来源。