6.2 平均数(2)
: 萨姆；你欺骗我！我已经找其他工人核对过 了，没有一个人的工资超过每周100元。平 均工资怎么可能是一周300元呢？
资合适吗？
w1+w2+· · · +wn 为这组数据的加权平均数.
新知热用
某同学期中考试数学成绩为78分,期末 考试数学成绩为82分,如果计算学期总评分 时,只考虑这两次成绩，且期中与期末分数 之比是4:6,求该同学的数学总评分.
新知热用
某校规定学生的体育成绩由三部分组成, 早锻炼及体育课外活动表现占成绩的20%,体 育理论测试占30%,体育技能测试占50%,小颖 的上述三项成绩依次是92分,80分,84分,则 小颖这学期的体育成绩是多少?
我从同学身上学到了…… 本节课在对你今后的生活中对待一些 事情进行分析时，会有什么帮助？
季鹏有一个 小工厂，生产超 级小玩意儿。 管理人员由季鹏、他的爷爷、 六个亲戚组成。工作人员由5个 领工和10个工人组成。工厂经营 得很顺利，现在需要一个新工人。 现在季鹏正在接见田丰，谈工作 问题。 季鹏：我们这里报酬不错。平均薪金 是每周300元。你在学徒期间每周得 75元，不过很快就可以加工资。
田丰工作了几天之后，要求见厂长。
田丰；你欺骗我！我已经找其他工人核对 : 过了，没有一个人的工资超过每周100元。 平均工资怎么可能是一周300元呢？ 季鹏：啊，亲爱的田丰，不要激动。平 均工资是300元。我要向你证明这一点。 季鹏：这是我每周付出的酬金。我得 2400元，我爷爷得1000元，我的六个亲 戚每人得250元，五个领工每人得200元， 10个工人每人100元。你算算看,对不对? 田丰：对，对，对！你是对的，平均 工资是每周300元。可你还是蒙骗了我。
解:(1)A的平均成绩为(72+50+88)/3=70分. B的平均成绩为(85+74+45)/3=68分. C的平均成绩为(67+70+67)/3=68分. 因为70>68,所以应聘者A将被录用. (2)根据题意,A的成绩为: (72×4+50×3+88×1)/(4+3+1)=65.75分. B的成绩为: (85×4+74×3+45×1)/(4+3+1)=75.875分. C的成绩为: (67×4+70×3+67×1)/(4+3+1)=68.125分. 因此应聘者B将被录用.
考核项目 上课、作业及问问题情况 平时学习成果 期末考试成绩
考核成绩 小颖 小明 92 85 90 89 91 100
(1)如按三项成绩的平均成绩来考核,那么 谁的成绩高? (2)假如将上课,作业及问问题情况,平时 学习成果和期末考试成绩按4:3:3来 确定期末成绩,那么此时谁的成绩高?
八一建军节那天,驻军某部邀请光明中学 甲,乙两班各30名同学进行打靶比赛,每人打1 发子弹.打中的环数从0到10不等.60人全打完 后,最后两班的成绩如下表:
季鹏拍拍田丰的肩膀说 :“这我也不同意, M ：萨姆工作了几天之后，要求见厂长。 你自己算的结果也表明我没骗你呀! “是呀,问题到底出在哪呢?”田丰百思不 吉斯莫：啊，萨姆，不要激动。平均工 得其解 .过了几天,田丰还是辞职不干了.
资是300元。我要向你证明这一点。 吉斯莫：这是我每周付出的酬金。我得2400 M: ? 元，我弟弟得 1000元，我的六个亲戚每人得 思考 :同学们你们知道田丰上当的原因吗 分析田丰上当的原因 . 250元，五个领工每人得200元，10个工人每 你觉得用平均数代表季鹏公司 的员工工 人100元。你算算看,对不对?
班 级
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 0 4 3 4 5 1 3 4 1 3 1 2 6 1 3 4 3 4 0 3
甲班 பைடு நூலகம்班
问哪个班级的平均成绩较好?
知识源于悟☞
算 术 平 均 数
你懂了吗？ 权
加 权 平 均 数
平 均 数 的 意 义
我最大的收获是…… 我对自己和同伴的表现感到……
一家公司对A、B、C三名应聘者进行了 创新、综合知识和语言三项素质测试,他们 的成绩如下表所示：
测试项目 创新 综合知识 语言
A 72 50 88
测试成绩 B 85 74 45
C 67 70 67
2.根据实际需要，广告公司给出了选人标准 1.如果根据三项测试的平均成绩确定录用: 将创新 人选,综合知识和语言三项测试得分按照 该选谁? 4:3:1的比例确定各人的测试成绩.该选谁?
(1)和(2)的结果不一样说明了什么?
6.1 加权平均数(2)
加权平均数
在实际问题中，一组数据里的各个 数据的“重要程度”未必相同.因而,在计 算这组数据时,往往给每个数据一个“权”. 一般地,设x1,x2, · · · ,xn为n个数据, w1,w2,· · · ,wn依次为这 n 个数据的权数, x1w1+x2w2+· · · +xnwn 则称
高考数学 6.2 算术平均数与几何平均数随堂检测(含解析)
6.2 算术平均数与几何平均数 随堂检测（含答案解析）1．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A ．(－∞，14]B ．(0，14) C ．(－14，0) D ．(－∞，14) 解析：选 A.由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤(a ＋b 2)2＝14，故选A. 2．已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若A B →＝λAE →(λ>0)，A C →＝μAF →(μ>0)，则1λ＋4μ的最小值是( ) A ．9B.72 C ．5 D.92解析：选D.由题意得，A B →＋A C →＝2AD →＝λAE →＋μAF →⇒A D →＝λ2AE →＋μ2A F →，又D 、E 、F 在同一条直线上，可得λ2＋μ2＝1.所以1λ＋4μ＝(λ2＋μ2)(1λ＋4μ)＝52＋2λμ＋μ2λ≥52＋2＝92，当且仅当2λ＝μ时取等号． 3．(2013·福建厦门模拟)已知a 、b 、c 都是正实数，且满足log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，则使4a ＋b ≥c 恒成立的c 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，2 B ．[0,22) C ．[2,23) D ．(0,25]解析：选D.因为a 、b 都是正数，log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，所以log 3(9a ＋b )＝log 3(ab )，故9a ＋b ＝ab, 即9b ＋1a＝1， 所以4a ＋b ＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫9b ＋1a ＝13＋36a b ＋b a≥13＋236a b ·b a ＝25， 当且仅当36a b ＝b a ，即b ＝6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝52，b ＝15时等号成立． 而c >0，所以要使4a ＋b ≥c 恒成立，则0<c ≤25.4．(2013·柳州检测)若a ，b ，c >0，且a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4，则2a ＋b ＋c 的最小值为________．解析：∵a ，b ，c >0，a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4，∴a (a ＋b )＋(a ＋b )c ＝4，∴(a ＋b )(a ＋c )＝4.又∵(a ＋b )(a ＋c )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋a ＋c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b ＋c 22， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b ＋c 22≥4，∴(2a ＋b ＋c )2≥16，∴2a ＋b ＋c ≥4.答案：4。
利用算术平均数与几何平均数求最值
是
。
例3:若0<x< 的最大值
1 2
求y=x(1-2x)
EX2 （1）已知m 、n都是正数，且 2m+n=3，求mn的最大值
（2） 若正数x，y满足6x+5y=18， 求xy的最大值．
xy 6x 5y 1 (6x 5y )2 81 27
30 30 2
30 10
； 流量卡代理
正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
例2、若x>0，求
y x 1 x
的最小值
变1：若 x<0 呢？
构造条 件
变2：若x>3 ,求
yx 1 x3
的最小值
EX1:
已知正数a,b满足a2b=1,则a+b的最小值
；
够抵御的风险毕竟有限，世上无法预计的灾难却是无限的。战胜灾难靠的更多的是临门一脚，先前的惴惴不安帮不上忙。 当风暴的尾巴终于远去，我们守住零乱的家园。气还没有喘匀，新的提醒又智慧地响起来，我们又开始对未来充满恐惧的期待。 人生总是有灾难。其实大多 数人早已练就了对灾难的从容，我们只是还没有学会灾难间隙的快活。我们太多注重了自己警觉苦难，我们太忽视提醒幸福。请从此注意幸福！幸福也需要提醒吗？ 提醒注意跌倒……提醒注意路滑……提醒受骗上当……提醒荣辱不惊……先哲们提醒了我们一万零一次，却不提醒我 们幸福。 也许他们认为幸福不提醒也跑不了的。也许他们以为好的东西你自会珍惜，犯不上谆谆告诫。也许他们太崇尚血与火，觉得幸福无足挂齿。他们总是站在危崖上，指点我们逃离未来的苦难。但避去苦难之后的时间是什么？ 那就是幸福啊！ 享受幸福是需要学习的， 当幸福即将来临的时刻需
6.2中位数与众数(2)
6.2中位数与众数（2）课前准备1、如何合理地选用平均数、中位数和众数？2、某同学一次考试成绩78分，高于班级的均分72分，因此他告诉家长，自己属于班级中等偏上水平，你认为对吗？3、某商店三、四月份出售同一品牌各种规格的空调销售数如下表，根据表中数据回答：1匹 1.2匹 1.5匹2匹三月12台20台8台4台四月16台30台14台8台（1）商店平均每月销售空调______台；（2）商店出售的各种规格的空调中，众数是_______；（3）在研究六月份进货时，商店经理决定______匹的空调要多进，_____匹的空调要少进。
探索新知问题1 ：草地上有6个人在玩游戏，他们的平均年龄是15岁，请你想象一下是怎样年龄的6个人在玩游戏?问题2 ：甲乙两班举行跳绳比赛，比赛学生的成绩经统计后得下表：比较两班学生成绩的平均数、优秀率（大于150为优秀）的高低。
交流讨论：某公司职工的月工资及人数如下：你认为该公司总经理、工会主席、普通职工将分别关心职工月工资数据的平均数、中位数和众数中的那一个？说说你的理由，并相互交流。
总结：在实际生活中针对同一份材料，同一组数据，当人们怀着不同的目的，选择不同的数据代表，从不同的角度进行分析时，看到的结果可能是截然不同的，作为信息的接受者，分析数据应从多角度对统计数据人出较全面的分析，从而避免机械的，片面的解释。
[议一议]平均数、中位数与众数都有哪些自己的特点？[想一想]高一级学校录取新生主要是依据考生的总分，这与平均数、中位数、众数中的哪一个关系较大？当堂反馈1、的教室里，三位同学正在为谁的数学成绩最好而争论，他们的五次数学成绩分别是小玲：62、94、95、98、98、小明：62、62、98、99、100 小丽：40、62、85、99、99，他们都认为自己的成绩比另两位同学的好，请你结合各组数据的三个代表，谈谈你的观点2、校在一次考试中,甲乙两班学生的数学成绩统计如下:分数50 60 70 80 90 100人数甲 1 6 12 11 15 5 乙 3 5 15 3 13 11请根据表格提供的信息回答下列问题:(1) 甲班众数为______分,乙班众数为______分,从众数看成绩较好的是______班.(2) 甲班的中位数是_______分,乙班的中位数是______分.(3) 若成绩在85分以上为优秀,则成绩较好的是______班.1、某商场进了一批苹果，每箱苹果质量约5千克，进仓库前，从中随机抽出10箱检查，称得10箱苹果的质量如下（单位：千克）4.8，5.0，5.1，4.8，4.9，4.8，5.1，4.9，4.7，4.7请指出这10箱苹果质量的平均数、中位数和众数2、甲、乙两家公司同时招聘业务员，工作性质相同，甲公司称员工平均工资为1500元，乙公司称员工平均工资为1300元，如果你想应聘，你会选择哪家公司？3据调查，某班30位同学所穿鞋子的尺码如下表所示：码号/码33 34 35 36 37人数7 6 15 1 1在这组数据的平均数\中位数和众数中,哪个指标是鞋厂最感兴趣的?4某市部分学生参加了2005年全国初中数学竞赛决赛,并取得优异成绩,已知竞赛成绩都是整数,试题满分为140分,参赛学生的成绩分布情况如下:根据以上信息解答下列问题:(1)全市共有多少人参加本次数学竞赛决赛?最低分和最高分在什么范围内?(2)经竞赛组委会评定,竞赛成绩在60分以上(含60分)的考生均可获得不同等级的奖励,求此次参加本次竞赛决赛考生的获奖比例;(3)决赛成绩的中位数落在哪个分数段内?(4)上表还提供了其他信息,例如:“没获奖的人数为105人”等等,请你再写出两条此表提供的信息｡ww w.x kb1. com5、平均数,中位数和众数都是数据的代表,它们从不同侧面反映了数据的平均水平.有一次:小王、小李和小张三位同学举行射击比赛,每人打10发子弹,命中环数如下:小王:9 7 6 9 9 10 8 8 7 10小李:7 10 9 8 9 10 6 8 9 10小张:10 8 9 10 7 8 9 9 10 10某种统计结果表明,三人的“平均水平”都是9环.根据这一结果,请判断三人运用了平均数、中位数和众数中的哪一种“平均水平”?(每人写出一个“平均水平”即可)6、为增强学生的法律意识,开展了对全市学生的普法教育活动.为检验活动效果,组织全市八年级学生参加法律知识测试,并对测试成绩做了详细统计,将测试成绩(成绩都是整数,试卷满分30分)绘制了如下“频数分布直方图”.请回答:(1)参加全市法律知识测试的学生有______名同学.(2)中位数落在______分数段内.(3)若用各分数段的中间值(如5.5~10.5的中间值为8)来代替本段均分,请你估算本次测试成绩全市均分约是多少?人数(千人)4.03.12.81.30.70.10.5 5.5 10.5 15.5 20.5 25.5 30.5 分数(分)。
人教版高中数学必修第二册6.2算术平均数与几何平均数教案
第三教时教材：算术平均数与几何平均数目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。
过程：一、定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈,2．强调取“=”的条件b a =二、定理：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
三、推广：定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++=))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++= ∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++指出：这里+∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33abc cb a ≥++四、关于“平均数”的概念1．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：n a a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数2．点题：算术平均数与几何平均数3．基本不等式： n a a a n+++ 21≥n n a a a 21n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
6.2 平均值不等式 Microsoft Word 文档
6.2算术平均数 几何平均数一、明确复习目标1.掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理;2.会用平均值定理求最大或最小值;3.能运用均值定理来揭示数量间或实际问题中的不等关系.二．建构知识网络1．基本不等式（1）ab b a R b a 2,,22≥+∈则 （2）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+(3) 33,,,3a b c R b c abc +∈++≥3则a ,(拓展内容) 2 均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 三个正数的均值不等是：33abc cb a ≥++n 个正数的均值不等式：nn na a a na a a 2121≥+++2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+——两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,这是一个非常重要的不等式,许多题目可以从中找到解题途径．3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则xy 时,x y +和有最小值 （2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则x=y 时,22S xy 积有最大值（）运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
此外还要掌握如下常用不等式2,0,0a R a a ∈≥≥;222()22a b a b ++≥，222a b c ab bc ac ++≥++若a>b>0,m>0,则 b b ma a m+<+；若a,b 同号且a>b 则11a b<,等。
三、双基题目练练手1. （2006浙江）“a>b>0”是”ab<222a b +”的 ( )（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件2．(2005福建)设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ）A ．22-B ．335- C ．－3 D ．27-3.（2006重庆）若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-2a b c ++的最小值为 ( )（A ）1（B ）1 （C ）2 （D ）24.(2006陕西8) 已知不等式(x+y)(1x + ay ≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为 ( )A 2B 4C 6D 85. 若a 是正实数，2a 2+3b 2=10，则2b 2a +的最大值等于________。
6.2 算术平均数与几何平均数
一、基础知识
+ 1、算术平均数：如果 a , b ∈ R ，那么 、算术平均数：
术平均数。 术平均数。
a , b ∈ R + ，那么 2、几何平均数：如果 、几何平均数：
a+b 2
叫做这两个正数的算 叫做这两个正数的几
何平均数。 何平均数。
ab
3、定理：如果 a , b ∈ R + 那么 a 2 + b 2 ≥ 2 ab （当且仅当 、定理： 当且仅当a=b时取 ， 时取 “=”号） 号 4、推论： 4、推论：如果 a , b ∈ R + ，那么 a + b ≥ ab （当且仅当a=b时取 当且仅当a=b时取 2 “=”号） 号 5、基本不等式：若 a , b ∈ R + ，则 、基本不等式： 当且仅当a=b时取“=”号 时取“ 号 当且仅当 时取
2
ห้องสมุดไป่ตู้+ a
的最小值.
结论：满足一正、二定、三相等和定积最大， 结论：满足一正、二定、三相等和定积最大， 积定和最小
三、总结 1、根据不等式的特征能灵活选用基本不等式 、 2、多次用基本不等式必须保持取“=”的一致性 、多次用基本不等式必须保持取“ 的一致性 3、用基本不等式时务必注意一正、二定、三相等 、用基本不等式时务必注意一正、二定、 这三个条件。 这三个条件。 作业： 作业：
a 2 + b2 a + b 2 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b
二、例题选讲
（一）、利用基本不等式证明不等式
设实数x、 满足 例1 设实数 、y满足
1 求证: 求证: log a ( a + a ) < log a 2 + 8
6.2传“平均分”与“包含分”
“平均分”与“包含分”
今天数学课上，张老师给我们讲了一个小故事。
有一对双胞胎，姐妹俩长得一模一样。
很多小朋友分不清她俩谁是“平均分”，谁是“包含分”，常常把她俩搞错，惹得她俩生气，互相争吵不休。
后来她俩商量了一个好办法：各人介绍自己的特征，好让小朋友们分得清楚。
“平均分”说：“我表示把总数按照要分的份数平均分，得到每一份是多少。
例如：把12个苹果放在4个盘子里，平均每个盘子里放几个？分的方法是：把12个苹果，一个一个地放在4个盘子里，直到放完，每个盘中分3个。
”
“包含分”说：“我表示把总数按照每一份规定的数量分，看可以分几份。
例如：把12个苹果，每个盘子放2个，可以放几盘？分的方法是：拿2个装一盘，再拿2个又装一盘，一直到拿完为止。
”“包含分”还说：“我俩虽然有区别，但都是等分。
”
今天听了老师讲的这个有趣故事，我真高兴，现在我对这两种“等分”的含义更清楚了。
[2008届（1）班 ]
（配合二上册“认识除法”）。
算术平均数与几何平均数
作业与补充练习
1．
作业4、5、6、7 补充练习 1．已知a、b是实数，且a+b=4, 求2a+2b的最小值 1 2．求函数y=x+ 2 x 的 值域 b 2 3．已知a、b是正数 ，且a + 2 =1，求a 1 b 的最大 值 1 4．y=3x+ x 3 ( x 3 ) 的最小值 5．y=2x 1 x ,(0<x<1), 求y的最大值
（1）长为8，宽为2 （2）长为7，宽为3 （3）长为6，宽为4 于是她就猜想出结果： 矩形面积最大值为24 (1)
(2)
(3)
即x+y=10， 因面积P=xy, 由基本不等式 得 x+y≥2 xy , xy x y 即P=xy≤ ( 2 ) =25（定值）
2
在周长给定后，长x和宽y的和x+y不 变(定值)，但长和宽还可以在一定范 围内变化，这样面积也在变，面积 xy 的取值构成一个集合，但集合中 每个元素的数值不超过25，且在 x=y=5时，即是正方形时面积等于25， 所以面积的最大值为25
xy ( x y 2 )
2
S
2
4
P
例2、判断正误 1 （1）函数y=x+ 的最小值为2 x （ 2 ）已知 1 ≤x≤3, 2≤y≤4, 则当 x=y=3 时， xy 有 最大值9 x 3 1 x 2 （3）函数y=x 2 的最小值为2 x 2
例1、ห้องสมุดไป่ตู้
2 2 2 2
利用均值不等式求最值应注意三点： ⅰ）条件（或目标）式中各项必须都是正数; ⅱ)目标式中含变数的各项的和或积必须是定值 （常数）； ⅲ）等号成立的条件必须存在.
例题1的变式
第04课时§6.2算术平均数与几何平均数(1)
学习目标：
①理解不等式“两个实数的平方和不小于它们之积的2倍”的证明及其几何解释；②理解两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；
③通过本节课学习，培养对数学知识的理解能力、应用能力及论证能力.
重点难点：①重点是算术平均数与几何平均数定理.
A.
3.若a,b∈R，a≠b,在①a2+3ab>2b2;②a5+b5>a3b2+a2b3;③a2+b2≥2(a-b-1);
④ 四个不等式中成立的有[ ]
A.4个B.3个C.2个D.1个
4.设P= ,Q=a2-a+1，则有：[ ]
A.P≥Q B.P>Q C.P≤Q D.P<Q
5.已知a,b都是正数，a≥b, x= ,y= ，则有：[ ]
例2.求证：
例3.已知a,b都是正数，求证：
例4.已知a,b,c,d都是正数，求证：
例5.已知a,b,c为实数，求证：ac+ab+bc≤a2+b2+c2.
随堂训练：
1.设0<m<1,0<n<1,则下列各式中最大的一个是[ ]
A.2mn B.m+n C.2 D.m2+n2
2.已知a、b为正数，下列不等式不成立的是[ ]
②难点是算术平均数与几何平均数定理a2+b2≥2ab；
②对于正数a、b，称 叫做a、b的算术平均数，称 叫做几何平均数；
③正数a、b的算术平均数和几何平均数之间的关系是： ≥ .
（当且仅当a=b时，取等号）
例题精讲：
例1.已知：x,y都是正数，求证：
(1) (2) (x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3
高中数学 6.2算术平均数与几何平均数(第一课时) 大纲人教版必修
6.2 算术平均数与几何平均数●课时安排2 课时●从容说课本小节内容包括两个正数的算术平均数与几何平均数的定理及其证明，此定理在解决数学问题和实际问题中的应用等.本小节教学时间约需2课时.1.在公式a 2+b 2≥2ab 以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：（1）a 2+b 2≥2ab 和ab b a ≥+2成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数.例如(-1)2+(-4)2≥2×(-1)×(-4)成立，而)4()1(2)4()1(-⨯-≥-+-不成立. （2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚.教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：当a=b 时取等号，其含义就是a=b ⇒ab b a ≥+2； 仅当a=b 时取等号，其含义就是ab b a ≥+2⇒a=b. 综合起来，其含义就是：a=b 是ab b a ≥+2的充要条件. 2.两个正数的算术平均数与几何平均数定理可以进一步引申出定理“n 个（n 是大于1的整数）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”（见课本P 24“小结与复习”前的“阅读材料”）.ab b a ≥+2的几何意义是“半径不小于半弦”（见课本P 9图6-2中的几何意义及其说明）.当用公式a 2+b 2≥2ab ，ab b a ≥+2证明不等式时，应该使学生认识到，它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的.因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明.3.利用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系，我们可以求某些非二次函数的最大值、最小值.例如课本第3页上的引例，题中的函数x+x1600不是二次函数，要求它在定义域（0，+∞）内的最小值，仅用学生过去学过的二次函数的知识是无法解决的，现在从x 与x1600的积为常数（即它们的几何平均数为常数）这一点出发，问题很容易解决了.在利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值、最小值时，应该使学生注意以下两点：（1）函数式中，各项（必要时，还要考虑常数项）必须都是正数.例如对于函数式x+x 1，当x<0时，不能错误地认为关系式x+x 1≥2成立，并由此得出x+x 1的最小值是2.事实上，当x<0时，x+x 1的最大值是-2，这是因为x<0⇒-x>0，-x1>0⇒-(x+x 1)=(-x)+(-x1)≥2， ⇒x+x 1≤-2.可以看出，最大值是-2，它在x=-1时取得.（2）函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值.以上两点都是学生容易疏忽的地方，必须予以注意.4.课本在P 10例2之后解决了本章引例中的问题.在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生注意：（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）正确写出答案.5.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（若a ，b 是正数，则ab b a ≥+2，当且仅当a=b 时取等号），这个定理可简称为均值定理.它具体表现在：（1）均值定理的功能在于“和与积”的互化.若所证不等式可变形成一边为和，另一边为积的形式，则可以考虑使用均值定理.构造运用均值定理解题的常用技巧是拆添项或配凑因式.（2）“和定积最大，积定和最小”，即和为定理，则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和的最小值.应用此结论须注意如下三点：①各项或各因式均正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值.必要时须作适当的变形，以满足上述前提.总之，用均值定理求函数的最大值或最小值是高中数学的一个重点，也是近几年高考的一个热点，三个必要条件——即一正（各项的值为正）二定（各项的和或积为定值）三相等（取等号的条件）更是相关考题瞄准的焦点.在具体的题目中，“正数”条件往往从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此，“定值”条件决定着均值不等式应用的可行性，这是解决问题成败的关键.均值定理是不等式的一个重要的变形依据，是每年高考中不可缺少的解题工具，常应用于证明不等式、判断不等式是否成立、求函数的值域或最值、求字母的取值范围、求解实际问题等，它所能解决的题型遍布高考试卷的选择、填空及解答题.●课题§6.2.1 算术平均数与几何平均数（一）●教学目标(一)教学知识点1.重要不等式：若a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b 时取“＝”号).2.算术平均数，几何平均数及它们的关系.(二)能力训练要求1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.3.强化训练探究性学习.(三)德育渗透目标通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.渗透数学思想方法，激励学生去取得成功.●教学重点1.重要不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a ＝b时取“＝”号).2.如果a、b是正数，则2ba+为a、b的算术平均数，ab是a、b的几何平均数，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”.即定理：如果a、b是正数，那么2ba+≥ab (当且仅当a＝b时取“＝”号).3.上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当”…时取“＝”号的含义是：当a＝b时取等号，即a＝b⇒2ba+＝ab；仅当a＝b时取等号，即2ba+＝ab⇒a＝b.综合起来，就是a＝b是2ba+＝ab的充要条件.●教学难点1.a2＋b2≥2ab和2ba+≥ab成立的条件不相同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.2.这两个公式还可以变形用来解决有关问题.ab≤222ba+，ab≤（2ba+）2●教学方法1.启发式教学法2.激励——探索——讨论——发现.●教具准备幻灯片两张第一张：记作§6.2.1 A1.差值比较法：第二张：记作§6.2.1 B●教学过程Ⅰ.课题导入不等式在生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点.我们有必要重新回顾“差值”比较法，不等式的基本性质，以便在今后学习中得到巩固和灵活运用.(一)打出幻灯片§6.2.1 A，请同学们回答：［师］“差值”比较法解决问题的一般步骤是什么?主要解决哪些问题?通过师生积极对话，简要作一下概括，打出幻灯片§6.2.1 A，使学生明确：“差值”比较法的三个重要方面.即①依据是：a＞b⇔a －b＞0；a＝b⇔a－b＝0；a＜b⇔a－b＜0；②一般步骤是：作差→变形→判断差值符号→得出结论；③主要用途：两个实数大小的比较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式.(二)不等式性质的巩固及应用(投影片§6.2.1 B)课堂上，充分发挥师生的双边活动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳，打出投影片§6.2.1 B，使学生掌握下列不等式的基本性质：(1)反对称性a＞b⇔b＜a；(2)传递性a＞b，b＞c⇒a ＞c；（3）可加性a＞b⇒a＋c＞b＋c；(4)可积性a＞b，c＞0⇒ac ＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；(5)加法法则a＞b，c＞d⇒a＋c＞b ＋d；(6)乘法法则a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；（７）乘方法则a ＞b＞0⇒a n＞b n（n∈N）；(8)开方法则a＞b＞0⇒nn ba>（n∈N).为更好地巩固不等式的性质，在教师引导下让学生做如下练习：已知a、b为正实数，m、n∈N*且m＞n，求证：a m＋b m≥a m－n b n＋a n b m－n.［师］本题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质.在运用不等式的性质时，多观察，多思考，考虑问题一定要全面细致.请同学们自己完成本题证明过程.［生］（a m＋b m）－（a m－n b n＋a n b m－n）＝（a m－a m－n b n）＋（b m－a n b m－n）＝a m－n（a n－b n）＋b m－n（b n－a n）＝（a m－n－b m－n）（a n－b n）∵m＞n＞1，a＞0，b＞0∴当a＞b＞0时，则a m－n＞b m－n，a n＞b n∴（a m－n－b m－n）（a n－b n）＞0当a＝b＞0时，则（a m－n－b m－n）（a n－b n）＝0当b＞a＞0时，则b m－n＞a m－n，b n＞a n∴（a m－n－b m－n）（a n－b n）＞0综上所述，当a、b为正实数，m、n∈N*且m＞n时，(a m-n-b m-n)(a n-b n)≥0即a m＋b m≥a m－n b n＋a n b m－n.下面，我们利用不等式的性质，研究推导下列重要的不等式.Ⅱ.讲授新课重要不等式：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号).［师］请同学们利用我们已学过不等式性质的基础上，来证明这个重要不等式.［生］a 2＋b 2－2ab ＝a 2－2ab ＋b 2＝（a －b ）2∵a ，b ∈R∴当a ＝b 时，a －b ＝0 即a 2＋b 2＝2ab当a ≠b 时，a －b ≠0∴（a －b ）2＞0 即a 2＋b 2＞2ab综上所述：若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号).［师生共析］很明显，在此不等式中：a ＝b ⇔a 2＋b 2＝2ab . 即当a ＝b 时取等号，其含义是a ＝b ⇒a 2＋b 2＝2ab ；仅当a ＝b 时取等号，其含义是a 2＋b 2＝2ab ⇒a ＝b .定理 如果a ，b 是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当a ＝b 时取“＝”号).［师］本定理既可运用不等式性质完成证明，又可运用上述重要不等式：“若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”号)”为依据完成证明.(把同学们分成两组，分别从两种思路中完成证题过程).［生甲］∵a ，b 为正数 ∴a ＞0，b ＞0∴a ＝（a ）2，b ＝（b ）2∴2)(2222b a ab b a ab b a -=-+=-+ 当a ＝b 即a ＝b 时，2)(2b a -＝0，有ab b a =+2. 当a ≠b 即a ≠b 时，2)(2b a -＞0，有ab b a >+2综上所述，当a 、b 为正数时，有ab b a ≥+2 (当且仅当a ＝b 时取“＝”号).［生乙］∵a ，b 是正数 ∴（a ）2＋（b ）2≥2a ·b∴a ＋b ≥2ab显然，当且仅当a ＝b 时，ab b a =+2 即ab b a ≥+2. 评述：1.如果把2b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2b a +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.下面，我们给出定理：“如果a 、b 是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当a ＝b 时取“＝”号）”的一种几何解释(如图所示)以a ＋b 长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC ＝a ，ＣB ＝b .过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连接AD 、DB ，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB即CD ＝ab . 这个圆的半径为2ba +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.［例题］已知：（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ），求证：2≥--+--yx b a b a y x . ［师］本题结论中，注意yx ba b a y x ----与互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明yx ba b a y x ----与为正数开始证题.(在教师引导，学生积极参与下完成证题过程) ［生］∵（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ） ∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx ∴ax －ay ＋by －bx ＞0∴（ax －bx ）－（ay －by ）＞0 ∴（a －b ）（x －y ）＞0 即a －b 与x －y 同号 ∴yx ba b a y x ----与均为正数∴yx ba b a y x y x b a b a y x --⋅--≥--+--2＝2(当且仅当yx ba b a y x --=--时取“＝”号)∴y x ba b a y x --+--≥2.［师生共析］我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就可以了.而运用定理：“ab ba ≥+2”时，必须使a 、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断yx ba b a y x ----与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.Ⅲ.课堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证“ （a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥8abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.答案：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2ab ＞0b ＋c ≥2bc ＞0 c ＋a ≥2ac ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝8abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc . 2.已知x 、y 都是正数，求证： (1)yx x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥8x 3y 3. 分析：在运用定理：ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.答案：∵x ，y 都是正数∴yx ＞0，xy ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 (1)xy y x x y yx ⋅≥+2＝2即xy y x +≥2.(2)x ＋y ≥2xy ＞0x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233y x ＞0∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3） ≥2xy ·222y x ·233y x ＝8x 3y 3即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥8x 3y 3.3.求证：（2b a +）2≤222b a +.分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证明本题的关键.答案：∵a 2＋b 2≥2ab∴2（a 2＋b 2）≥a 2＋b 2＋2ab ＝（a ＋b ）2∴2（a 2＋b 2）≥（a ＋b ）2不等式两边同除以4，得222b a +≥（2b a +）2即（2b a +）2≤222b a +.(探究性学习——点击高考)本部分的设计坚持从“算术平均数与几何平均数”这一聚焦性的问题出发，通过对给定题目题设条件的不断变化，创设新的问题情境，引导学生自主思考、自主探究、自主创新，充分发挥学生的主体性，充分激发学生探究问题的动机和兴趣，在探究过程中系统地掌握知识、开发智力、培养能力和挖掘潜能.以便适应将来高考中以数学思想方法考查考生的数学素养、聪明程度、素质和潜能.（注：为节省时间，本部分可借助多媒体课件完成）题目：某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有一面14 m的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126 m2的厂房（不管墙高），工程造价是：（1）修1 m旧墙费用是造1 m新墙费用的25%；（2）拆去1 m旧墙用所得材料来建1 m新墙的费用是建1 m 新墙费用的50%；问如何利用旧墙才能使建墙费用最低？[师]看上面的问题，同学们如何解决？（学生探索——讨论——分析——归纳）[生]从题设条件中抽象出数量关系，建立解题的目标函数（即建立数学模型），然后用二元均值不等式求得最小值.[师]同学们分析得很好！哪位同学能勇敢地在黑板上写出解答过程呢？（问题激励，语言激励，生解答，师欣赏）[生甲]设保留旧墙x(m)，即拆去旧墙14-x(m)修新墙.若设建1ax；拆旧墙1 m新墙费用为a元，则修旧墙的费用为y1=25%·ax=4建新墙的费用为y 2=(14-x)·50%a=21a(14-x)；建新墙的费用为：y 3=(x252+2x-14)a. 于是，所需要的总费用为 y=y 1+y 2+y 3 =[(47x+x252)-7]a ≥[2xx 25247⋅-7]a=35a ， 当且仅当47x=x252，即x=12时上式中“=”成立.故保留12 m 旧墙时总费用为最低.[师]很好！我们学习公式的目的是应用它能解决问题.本题中我们巧用了“a+b ≥2ab (a>0，b>0)”达到解题目的.请同学们想一想：“a+b ≥2ab (a>0，b>0)”还有些什么变形形式呢？[生乙]针对二元均值不等式，还有如下变形值得我们学习： a+b ≥2ab (a>0，b>0)；ab ≤2ba +(a>0，b>0)； ab ≤(2b a +)2(a>0，b>0)；a 2+b 2≥2ab(a,b ∈R )；ab ≤222b a +(a,b ∈R ).（以上公式变形对比记忆，区别异同）.abb a +≥2(a>0，b>0). [师]棒极了！上述不等式及其变形，在解答最值型实际应用题中有着十分广泛的应用.同学们能编几道运用上述不等式及其变形求解实际应用题的例子吗？[生（齐）]能，我们自己编！[师]好！我相信同学们一定会做得很出色！[问题再次激励同学们去积极探索、发现、讨论、归纳，师巡视、欣赏，在启发、激励下帮助个别学生解决问题.经同学们积极探索、讨论后，把具有代表性的问题（学生的创新思维进一步得到升华）摘录下来供大家在交流中得到解决][生丙]我编的题目如下：某种商品分两次提价，有三种提价方案.方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%（其中p>0,q>0）；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价2qp+%，第二次提价2qp+%，试比较三种提价方案中，哪一种提价多，哪一种提价少，并请A小组同学说明理由.（经全班同学积极探究，A小组同学信心百倍，做出解答）.[生（A小组）]设某种商品提价前的价格为a，则两次提价后的价格分别为：方案甲：a(1+p%)(1+q%)；方案乙：a(1+q%)(1+p%)；方案丙：a(1+2qp+%)2.当p=q时，三种方案提价一样多；当p≠q时，由二元均值不等式，得(1+p%)(1+q%)<(1+2qp+%)2.所以，方案丙提价多，甲、乙提价一样多，都比丙小.[生（B小组）]我们组编的题目是：某单位投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，第m长造价为40元，两侧墙砌砖，每m长造价为45元，顶部每m2造价为20元，试求：（1）仓库底面积S的最大允许值是多少？（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？我们B组同学邀请E同学回答.[生E]设铁栅长为x m，一堵砖墙长为y m，则有S=xy.由题意可知：40x+2×45y+20xy=3200，∴3200=40x+90y+20xy.应用二元均值不等式，得3200≥2y40 +20xy=120xy+20xyx90=120S+20S，∴S+6S≤160.即(S+16)(S-10)≤0，∵S+16>0，∴S-10≤0，从而S≤100.因而S的最大允许值是100 m2，取得此最大值的条件是40x=90y，而xy=100，由此解得x=15，即铁栅的长应是15 m.[师]同学们回答得非常好！从你们举的例子来看，注重了数学的现实性与时代性（积极培养同学们学数学、用数学的思想意识），关注社会，从平时生活做起，加强实践能力培养，建立数学模型，进而解决实际生活问题（这种数学思想方法的探究，正是近年来高考中的热点话题）.（同学们创设的其他问题，可作为课后作业再次激励学生去探索）Ⅳ.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（2ba+），几何平均数（ab）及它们的关系（2ba+≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤222ba+，ab≤（2ba+）2.Ⅴ.课后作业(一)课本P11习题6.2 2、3.(二)1.预习内容：课本P10～11例1，例2.2.预习提纲：通过预习例1、例2，使学生明确基本不等式：a2＋b2≥2ab；2ba+≥ab（a＞0，b＞0）的应用主要体现在两个方面：其一，是用于证明不等式.其二，是用于求一些函数的最值：设x、y都是正数，(1)若xy＝P是一个定值，当且仅当“x＝y”时，x＋y有最小值2P；（2）若x＋y＝S是一个定值，当且仅当“x＝y”时，xy1S2.有最大值4●板书设计。