【备战2020】(北京版)高考数学分项汇编 专题11 排列组合、二项式定理(原卷版)
【备战2016】（北京版）高考数学分项汇编 专题11 排列组合、二项式定理（原
卷版）
1. 【2005高考北京理第7题】北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 （ ）
A ．48
412
12
14
C C C
B ．48
4121214A A C
C ．3
3
484121214A C C C D ．3
3484121214A C C C
【答案】
A
考点：排列组合。
2. 【2006高考北京理第3题】在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
（A ）36个
（B ）24个
（C ）18个
（D ）6个
【答案】B
3.
【2007高考北京理第5题】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） Ａ．1440种
Ｂ．960种
Ｃ．720种
Ｄ．480种
4. 【2009高考北京理第6题】若5
(1,a a b +=+为有理数），则a b +=
（ ）
A ．45
B ．55
C ．70
D ．80 【答案】C
考点：二项式定理及其展开式.
5. 【2009高考北京理第7题】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）
A ．324
B ．328
C ．360
D ．648 【答案】B
考点：排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识.
6. 【2010高考北京理第4题】8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( ) A ．8
2
89A A B ．8
2
89A C C ．8
2
87A A D ．8
2
87A C 【答案】A
考点：排列组合.
7. 【2012高考北京理第6题】从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )
A. 24
B. 18
C. 12
D. 6 【答案】B
考点：排列组合.
8. 【2005高考北京理第11题】6
)1(x
x -的展开式中的常数项是 . （用数字作答） 【答案】15
考点：二项式定理。
9. 【2006高考北京理第10题】在72
)x
的展开式中，2
x 的系数为 （用数字作答）. 【答案】14__________
－
＝－14
10. 【2008高考北京理第11题】若231n
x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭展开式的各项系数之和为32，则n = ，其展开
式中的常数项为 ．（用数字作答）
【答案】 5 10
考点：二项式
11. 【2011高考北京理第12题】用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有______个(用数字作答) 【答案】14
12. 【2013高考北京理第12题】将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________． 【答案】96
考点：排列组合.
13. 【2014高考北京理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻， 且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有 种. 【答案】36
考点：排列组合，容易题.
14. 【2015高考北京，理9】在()5
2x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）
【答案】40
【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.。
【精品解析】北京市2020年高考数学最新联考试题分类大汇编(11)排列组合、二项式定理
精品解析：北京市2020年高考数学最新联考试题分类大汇编（11）
排列组合、二项式定理试题解析
一、选择题：
（6）（2020年4月北京市海淀区高三一模理科）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是
（A ）12 （B ）24
（C ）36 （D ）48
【答案】D
8．(北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文)已知集合230123{|222}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1}k a ∈(0,1,2,3)k =，且 30a ≠.则A 中所有元素之和是（ C ）
（A ）120 （B ）112 （C ）92 （D ）84
【答案】C
二、填空题：
（用数字作答）
【答案】256,672
【解析】显然card()10M =表示集合M 中有10个元素，card()2A =表示集合A 中有2个元素，而A X M ⊆⊆，故集合X 中可以只含A 中的2个元素，也可以除了A 中的2个元
素外，在剩下的8个元素中任取1个，2个，3个，。
8个，共有01788888256
C C C C ++⋅⋅⋅++=种情况，即符合要求所求的集合M 有256个；满足条件Y M ⊆的集合Y 的个数为102，其中
的集合Y的个数为82，不满足条件不满足条件A Y。
2020年北京高考数学专项复习 排列组合与二项式
2017年11月02日金博高数20的高中数学组卷一．选择题（共16小题）1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A．1440种B．960种C．720种D．480种2．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母（字母可重复）后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）A．（C261）2A104个B．A262A104个C．（C261）2104个D．A262104个3．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）A．C1214C412C48B．C1412A124A84C．D．C1412A124C84A334．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）A．6 B．12 C．15 D．305．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）A．C124C84C44种 B．3C124C84C44种C．C124C84A33种 D．种6．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（）A．480 B．240 C．120 D．967．从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（）A．120个B．480个C．720个D．840个8．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A．36个B．24个C．18个D．6个9．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（）A．C41C44种B．C41A44种C．C44种D．A44种10．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（）A．24种B．18种C．12种D．6种11．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（）A．24 B．18 C．12 D．612．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324 B．328 C．360 D．64813．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8 B．24 C．48 D．12014．在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（）A．C61C942B．C61C992C．C1003﹣C943D．P1003﹣P94315．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）A．A88A92B．A88C92C．A88A72D．A88C7216．若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（）A．45 B．55 C．70 D．80二．填空题（共10小题）17．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．18．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种．19．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个．（用数字作答）20．的展开式中常数项为；各项系数之和为．（用数字作答）21．在的展开式中，x2的系数为（用数字作答）．22．若展开式的各项系数之和为32，则n=，其展开式中的常数项为．（用数字作答）23．展开式中的常数项是．24．在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为．（用数字作答）25．在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）26．在的展开式中，x3的系数是．（用数字作答）2017年11月02日金博高数20的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A．1440种B．960种C．720种D．480种【分析】因为2位老人不排在两端，所以从5名志愿者中选2名排在两端，因为2位老人相邻，所以把2位老人看成一个整体，与其他元素进行排列，注意整体之间的排列．【解答】解：可分3步．第一步，排两端，∵从5名志愿者中选2名有A52=20种排法，第二步，∵2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有A44=24种排法第三步，2名老人之间的排列，有A22=2种排法最后，三步方法数相乘，共有20×24×2=960种排法故选B【点评】本题主要考查了有限制的排列问题的解决，掌握这些常用方法．2．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母（字母可重复）后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）A．（C261）2A104个B．A262A104个C．（C261）2104个D．A262104个【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，先选两个字母，第一个有26种选法，由于字母可以重复，第二个也有26种选法，字母后面的4个数字，可以从10个数字中选4个排列，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：本题是一个分步计数原理，先选两个字母，第一个有26种选法，由于字母可以重复，第二个也有26种选法，字母后面的4个数字，可以从10个数字中选4个排列，共有A104种结果，根据分步计数原理知共有26×26×A104，故选A．【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．3．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）A．C1214C412C48B．C1412A124A84C．D．C1412A124C84A33【分析】先从14人中选12人，有C1412种选法，早班从12人中选取4人，中班从剩余的8人中选4人，剩余的4人是晚班；开幕式当天不同的排班种数为C1412C124C84，即可得答案．【解答】解：先从14人中选12人，有C1412种选法，早班从12人中选取4人，有C124种选法，中班从剩余的8人中选4人，有C84种选法，剩余的4人是晚班．∴开幕式当天不同的排班种数为C1412C124C84．故选A．【点评】本题考查组合的基本知识，解题时要认真审题，仔细解答．4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）A．6 B．12 C．15 D．30【分析】增加两个新节目，将这两个新节目插入原节目单中，原节目单不变，两个新节目不相邻，可以应用插空法来解，原来的5个节目形成6个空，新增的两个节目插到6个空中，得到结果．【解答】解：∵增加两个新节目，将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，∴可以应用插空法来解，原来的5个节目形成6个空，新增的两个节目插到6个空中，共有A62=30故选D．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，是一个不相邻问题，这种问题一般采用插空法，本题原来的元素顺序不变不用排列，有的题目需要先排原来的，再在形成的空中排列新元素，再根据分步计数原理得到结果．5．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）A．C124C84C44种 B．3C124C84C44种C．C124C84A33种 D．种【分析】首先把12个人平均分成3组，这是一个平均分组，从12个中选4个，从8个中选4个，最后余下4个，这些数相乘再除以3个元素的全排列，再把这三个小组作为三个元素分到三个路口，这样就有一个全排列，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：首先把12个人平均分成3组，共有个小组，再把这三个小组作为三个元素分到三个路口，这样就有一个全排列，共有A33种结果，根据分步计数原理知共有A33=C124C84C44故选A．【点评】本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．6．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（）A．480 B．240 C．120 D．96【分析】由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘得到结果．【解答】解：由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素共有C52，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有A44，∴分法种数为C52•A44=240．故选B．【点评】排列组合问题在几何中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件，先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件．7．从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（）A．120个B．480个C．720个D．840个【分析】由题意知本题所给的单词除去要求的两个之外还有6个，因为要取5个字母，所以好要从6个字母中选三个，把要求的两个字母看成一个元素，这样有四个元素进行排列．【解答】解：要选取5个字母时首先从其它6个字母中选3个有C63种结果，再与“qu“组成的一个元素进行全排列共有C63A44=480，故选B．【点评】排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查．8．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A．36个B．24个C．18个D．6个【分析】各位数字之和为奇数的有两类：一是两个偶数一个奇数：有C31A33种结果，所取得三个都是奇数：有A33种结果，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，各位数字之和为奇数的有两类：①两个偶数一个奇数：有C31A33=18个；②三个都是奇数：有A33=6个．∴根据分类计数原理知共有18+6=24个．故选B．【点评】本题考查分类计数问题，是一个数字之和是奇数还是偶数的问题，数字问题是排列组合与计数原理的主角，经常出现，并且常出常新．9．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（）A．C41C44种B．C41A44种C．C44种D．A44种【分析】依题意，优先分析甲甲工程队，除1号子项目外有4种方法，其他4个工程队分别对应4个子项目，由排列公式可得其情况数目，根据乘法原理，分析可得答案．【解答】解：根据题意，甲工程队不能承建1号子项目，则有4种方法，其他4个工程队分别对应4个子项目，有A44种情况，根据乘法原理，分析可得有C41A44种情况；故选B．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素．10．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（）A．24种B．18种C．12种D．6种【分析】根据题意，由于黄瓜必选，故需要再选2种蔬菜，其方法数是C32种，进而由排列的意义，进行全排列，计算可得答案．【解答】解：∵黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A33，∴种法共有C32•A33=18种，故选B．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，要注意排列、组合的不同意义，进而分析求解．11．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（）A．24 B．18 C．12 D．6【分析】分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．【解答】解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有=6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有=6种；2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有=6种；故共有3=18种故选B．【点评】本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．12．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324 B．328 C．360 D．648【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．【解答】解：由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选B【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．13．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8 B．24 C．48 D．120【分析】本题需要分步计数，首先选择2和4排在末位时，共有A21种结果，再从余下的其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43种结果，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数．【解答】解：由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有A21=2种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43=4×3×2=24种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24=48（个）．故选C．【点评】本题考查分步计数原理，是一个数字问题，这种问题是最典型的排列组合问题，经常出现限制条件，并且限制条件变化多样，是一个易错题．14．在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（）A．C61C942B．C61C992C．C1003﹣C943D．P1003﹣P943【分析】在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的对立事件是没有次品，没有次品的事件有C943，得到至少有1件次品的不同取法用所有减去不合题意的．【解答】解：在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，共有C1003种结果，至少有1件次品的对立事件是没有次品，没有次品的事件有C943，∴至少有1件次品的不同取法有C1003﹣C943，故选C．【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题时可以从正面来考虑，至少有一件次品包括有一件次品，有两件次品，有三件次品，分别写出结果再相加．15．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）A．A88A92B．A88C92C．A88A72D．A88C72【分析】本题要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有A88种排法，再将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：用插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有A88种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，∴一共有A88A92种排法．故选A．【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数原理，是一个典型的排列组合问题，对于不相邻的问题，一般采用插空法来解．16．若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（）A．45 B．55 C．70 D．80【分析】利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b，求出a+b【解答】解析：由二项式定理得：（1+）5=1+C51+C52（）2+C53（）3+C54（）4+C55•（）5=1+5+20+20+20+4=41+29，∴a=41，b=29，a+b=70．故选C【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数．二．填空题（共10小题）17．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．18．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足B、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种．故答案为：36．【点评】本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C．19．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有14个．（用数字作答）【分析】本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时，当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，共有C41=4种结果，当数字中有2个2，2个3时，共有C42=6种结果，当数字中有3个2，1个3时，共有有C41=4种结果，根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果，故答案为：14【点评】本题考查分类计数原理，是一个数字问题，这种问题一般容易出错，注意分类时要做到不重不漏，本题是一个基础题，也是一个易错题，易错点在数字中重复出现的数字不好处理．20．的展开式中常数项为10；各项系数之和为32．（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为0求出展开式的常数项；令二项式中的x等于1求出各项系数和．【解答】解：，由10﹣5r=0得r=2，故展开式中常数项为C52=10；取x=1即得各项系数之和为（1+1）5=32．故答案为10，32．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查求展开式的系数和问题常用的方法是赋值法．21．在的展开式中，x2的系数为﹣14（用数字作答）．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，求出r，代入通项求出展开式中x2的系数．【解答】解：展开式的通项令得r=1故x2的系数为（﹣2）×C71=﹣14故答案为﹣14【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．22．若展开式的各项系数之和为32，则n=5，其展开式中的常数项为10．（用数字作答）【分析】显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项，C52=10．【解答】解：∵展开式的各项系数之和为32∴2n=32解得n=5=C5r x10﹣5r展开式的通项为T r+1当r=2时，常数项为C52=10．故答案为5，10．【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，课本中的典型题目，套用公式解题时，易出现计算错误，二项式的考题难度相对较小，注意三基训练．23．展开式中的常数项是210．【分析】写出通项公式，令x的系数为0，求出k的值，即可写出常数项．【解答】解：令，得k=6，所以展开式中的常数项是T7=C106（﹣1）6=210故答案为：210【点评】本题考查二项式定理的通项的应用，属基本题型、基本方法的考查．24．在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为60．（用数字作答）【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．【解答】解：（1﹣2x）6的展开式中，通项公式T r=（﹣2x）r=（﹣2）r x r，+1令r=2，则x2的系数==60．故答案为：60．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25．在（2+x）5的展开式中，x3的系数为40（用数字作答）【分析】写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数值．=25﹣r x r，【解答】解：（2+x）5的展开式的通项公式为：T r+1所求x3的系数为：=40．故答案为：40．【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．26．在的展开式中，x3的系数是84．（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得到x3的系数．【解答】解：，令7﹣2r=3，解得r=2，故所求的系数为（﹣2）2C72=84故答案为84【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题．。
专题 排列组合二项式定理-2020年高考数学(理)二轮专项复习
专题 排列组合二项式定理排列、组合与二项式定理是高中数学中内容相对独立的一个部分，排列、组合的知识为概率与统计中的计数问题提供了一定的方法．这部分内容的试题有一定的综合性与灵活性，要注意与其他数学知识的联系，注意与实际生活的联系．通过对典型例题的分析，总结思维规律，提高解题能力．§10－1 排列组合【知识要点】1．分类计数原理与分步计数原理．2．排列与组合．3．组合数的性质：(1)；(2)．【复习要求】理解和掌握分类计数与分步计数两个原理．在应用分类计数原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性，在应用分步计数原理时，要注意“步”与“步”之间的相关性和连⋅=-=-=m n mn mn m nA A m n m n C m n n A )!(!!,)!(!mn n m n C C -=11-++=m n m n m n C C C续性．熟练掌握排列数公式和组合数公式，注意题目的结构特征和联系；掌握组合数的两个性质，并应用于化简、计算和论证．正确区别排列与组合的异同，体会解计数问题的基本方法，正确处理附加的限制条件．【例题分析】例1 有3封信，4个信筒．(1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法?(2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种寄信方法?【分析】(1)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务．根据分步计数原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法．(2)典型的排列问题，共有＝24种寄信方法．例2 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A ，B 两种作物，每种作物种植1垄，为有利于作物生长，要求A ，B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有______种．解：设这10垄田地分别为第1垄，第2垄，…，第10垄，要求A ，B 两垄作物的间隔不少于6垄，所以第一步选垄的方式共有(1，8)，(1，9)，(1，10)，(2，9)，(2，10)，(3，10)这6种选法，第二步种植两种作物共有＝2种种植法，所以共有6×2＝12种选垄种植方法．34A 22A【评述】排列组合是解决计数问题的一种重要方法．但要注意，计数问题的基本原理是分步计数原理和分类计数原理，是最普遍使用的，不要把计数问题等同于排列组合问题．对某些计数问题，当运用公式很难进行时，适时采取原始的分类枚举方法往往是最好的．如例2．在具体的计数问题的解决过程中，需要决策的是，这个计数问题需要“分步”还是“分类”完成，再考虑这个计数问题是排列问题、组合问题还是一般的计数问题．如例1的两个问题．例3 某电子表以6个数字显示时间，例如09:20:18表示9点20分18秒．则在0点到10点之间，此电子表出现6个各不相同数字来表示时间的有______次．【分析】分步来确定电子表中的六个数字如下：第一步：确定第一个数字，只能为0，只有1种方法；第二步：确定第三位数字，只能为0至5中的一个数(又不能与首位相同)，所以只有5种方法；第三步：确定第五位数字，也只能为0至5中的一个数(又不能与首位，第三位相同)，所以只有4种方法；第四步：确定剩下三位数字，0至9共10个数字已用了3个，剩下的7个数字排列在2，4，6位共有种排法．由分步计数原理得：1×5×4×＝4200种．【评述】做一件事情分多步完成时，我们一般先做限制条件较大的一步，如本题中，首37A 37A位受限条件最大，其次为三、五位，所以我们先排首位，再排三、五位，最后排其他位．例4 7个同学站成一排，分别求出符合下列要求的不同排法的种数．(1)甲站在中间；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲在乙的左边(但不一定相邻)；(4)甲、乙、丙相邻；(5)甲、乙、丙两两不相邻；解：(1)甲站在中间，其余6名同学任意排列，故不同排法有＝720．(2)第一步：先把甲、乙捆绑，视为一个元素，连同其余5个人全排列，共有种排法；第二步：给甲、乙松绑，有种排法，此题共有＝1440种不同排法．(3)在7名同学站成一排的种排法中，“甲左乙右”与“甲右乙左”的站法是一一对应的，各占一半，因此甲站在乙的左边(不要求相邻)的不同排法共有÷2＝2520种．(4)先把甲、乙、丙视为一个元素，连同其余4名同学共5个元素的全部排列数有种，再结合甲、乙、丙3个人之间的不同排列有种，此题的解为：＝720． (5)先让除甲、乙、丙外的4个人站好，共有种站法，让甲、乙、丙3人插空，由于4个人形成5个空位，所以甲、乙、丙共有种站法，此题答案．【评述】当要求某几个元素排在一起时，我们常将这几个元素捆绑在一起作为一个元素与其他元素进行排列如例4(2)，(4)．66A 66A 22A 66A 22A 77A 77A 55A 33A 55A 33A 44A 35A 14403544 A A当要求某几个元素不相邻时，我们常常先排其他元素，然后再将这几个元素排在已排好的其他元素的空中如例4(5)．例5 4个不同的球，4个不同的大盒子，把球全部放入盒内，恰有一个盒不放球，共几种放法?【分析】先将4个球分成3组，共有种分组方法；再将3组球放在4个盒子里，是排列问题，有24种方法，所以，共有种不同的放球方法．【评述】类似这种装球问题采取先分组后装球的方法比较好．例6某班组有10名工人，其中4名是女工．从这10个人中选3名代表，其中至少有一名女工的选法有多少种?解法1：至少有一名女工的情形有三类：1名女工和2名男工；2名女工和1名男工；3名女工，把这3类选法加在一起，共有种不同的选法．解法2：与“至少有一名女工”选法相对立的是“没有女工”的选法，从所有的选法中除去“没有女工”的选法，剩下的即为所求，共有．【评述】当涉及“至少”或“至多”的问题时，从大的方向看我们常常是对其分类讨论，运用分类计数原理解决问题，当然，也可以考虑问题的对立面再用减法进行计算．例7 如图，用六种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有多少种?624=C =34A 1443424=A C 1003416242614=++C C C C C 10036310=-CC【分析】如果按从左至右的顺序去涂色，当涂到第4个格子时会发现，第三个格子的颜色与第一个格子的颜色是否相同决定着第4个格子有几种涂色方法，即如果第三个格子的颜色与第一个格子的颜色是否相同是不确定的，则第四个格子的涂色情况不定．于是，我们要按照1、3两个格子颜色相同和不相同两种情况分类来处理这个计数问题．解：1、3两个格子颜色相同时，按分步计数原理，有6×5×1×5＝150种方法；1、3两个格子颜色不相同时，按分步计数原理，有6×5×4×4＝480种方法．所以，共有不同的涂色方法630种．例8 四面体的顶点和各棱中点共10个点，取4个不共面的点，不同取法有多少种?【分析】没有限制地从10个点中选出4个点，共有种不同选法，除去4点共面的选法即可．4点共面的选法有3类．(1)4个点在四面体A －BCD 的某一个面上，共有种共面的情况．(2)过四面体的一条棱上的3个点及对棱的中点，如图中点A ，E ，B ，G 平面，共计有6种共面的情况．410C 464C(3)过四面体的四条棱的中点，而且与一组对棱平行的平面，如图E ，F ，G ，H 平面，此类选法共有3种．综上，符合要求的选法共有种．例9 在给出的下图中，用水平或垂直的线段连结相邻的字母，按这些线段行走时，正好拼出“竞赛”即“CONTEST ”的路线共有多少条?【分析】“CONTEST ”的路线的条数与“TSETNOC ”路线的条数相同，如下右图，从左下角的T 走到边上的C 共有6步，每一步都有2种选择，由分步计数原理，所以下图中，“TSETNOC ”路线共有26＝64条．所以本题的答案为64×2－1＝127．【评述】例9的这种计数的方法常称之为对应法计数，它的理论基础为：如果两个集合之间可以建立一对一的对应关系，那么这两个集合的元素的个数相同．借助这个原理，如果一个集合元素的个数不好计算时，我们将其转化为求另一个集合元素的个数不失为一种较好的方法．例10 (1)计算的值； (2)计算的值；141)364(46410=++⨯-CC 59694858A A A A -+nn nnC C 321383+-+(3)证明：．(1)解：． (2)解：注意到中的隐含条件：n ≥m ，m ∈N ，n ∈N *，有解得，所以n ＝10． 所以，．(3)证明：．【评述】对于含排列组合式的恒等式证明及计算问题常用的方法有两种，一种是运用排列组合数的计算公式转化为代数恒等式的证明及代数式求值问题，另一种是运用组合数的一些性质进行计算及证明．常用的组合数的性质有：(1)； (2)；(3)；(4)．练习10－1mn m n m n A mA A 11+-=+275!93!85!9!94!8!84!4!9!3!9!4!8!3!859694858=⨯⨯=-⨯+⨯=-+=-+A A A A mn C ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥->-≥,321,038,03,383n n n n n n 221219≤≤n 46613123030312830=+=+C C C C )!1(!)!1(!)1()!1(!)!(!1+-++-+-=+-+-=+⋅⋅-m n n m m n n m n m n n m m n n mA A m nm n m n A m n n m n n m n n m m n n m n 1]!)1[()!1()!1()!1()!1(!)!1(!)1(+=-++=+-+=+-++-+-=⋅⋅m n n m n C C -=11-++=m n m n m n C C C nn n n n n C C C C 2210=++++ΛΛΛ++=++3120n n n n C C C C一、选择题1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )(A)10种 (B)20种 (C)25种 (D)32种2．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )(A)42 (B)30 (C)20 (D)123．四面体的一个顶点为A ，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有( )(A)30种 (B)33种 (C)36种 (D)39种4．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有( )(A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种5．下列等式中正确的是( )(1)；(2)； (3)； (4)． (A)(1)(2)(B)(1)(2)(3)(C)(1)(3)(D)(2)(3)(4)11--=k n k n nC kC 111111+++=+k n k n C n C k kn k nC k k n C 11+-=+kn k n C n k C 1111++=++6．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不．能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是( )(A)234种(B)346种(C)350种(D)363种二、填空题7．从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有______条．(结果用数值表示)8．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有______．9．马路上有12盏灯，为了节约用电，可以熄灭其中3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有______种．10．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有______种．(以数字作答)11．从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)，每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是______．(用数字作答)12．8个相同的球放进编号为1、2、3的盒子里，则放法种数为______．(以数值作答)§10－2 二项式定理【知识要点】1．二项式定理：．2．通项公式：，3．，，，…，，…，称为二项式系数，4．二项展开式的系数的性质：；．【复习要求】会求二项展开式中适合某种特殊条件的项；了解利用二项式定理进行近似计算，证明与组合数有关的等式或整数(整式)的整除性的方法．【例题分析】例1 在二项式的展开式中，含x 4的项的系数是______． 解：， 令10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4项的系数是．例2 (1)若(1＋x )n 的展开式中，x 3的系数是x 系数的7倍，求n 的值；(2)在(2＋lg x )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x 的值．解：(1)由已知，即，整理得n 2－3n －40＝0， 解得n ＝8或n ＝－5(舍)．所以n ＝8．n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)(r r n r n r b a C T -+=10n C 1n C 2n C r n C n n C n n n n n n C C C C 2210=++++ΛΛΛ++=++3120n n n n C C C C 52)1(xx -r r r r r r r x C xx C T 31055251)1()1()(--+-=-=10)1(225=-C 137n n C C =n n n n 76)2)(1(=--(2)(2＋lg x )8的展开式中共有9项，二项式系数最大的项为第5项．由已知，，整理得(lg x )4＝1，所以lg x ＝±1，解得x ＝10或 例3 求的展开式中x 的系数为有理数的项的个数．解：， 若系数为有理数，则都必须是整数，即r 应为6的倍数． 又0≤r ≤100，所以r 的不同值有17个．所以x 的系数为有理数的项共有17项．例4 已知的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，求展开式中系数最小的项．解： 由已知，所以n ＝7．所以第4项系数最小， 【评述】通项公式是二项式定理中常用的一个公式，要熟练掌握，同时注意系数、上标、下标之间的关系；注意系数、二项式系数的区别，如例2；注意运用通项公式求第3项时，r ＝2．如例4．1120)(lg 244485=⋅=⋅x C T ⋅=101x 1003)23(+x r rr rr r rr x C x C T ---+==1003210010*********·2·3·)2()3(3,2100r r -n n x )1(-,)1(,)1(1055556422223-----=-==-=n n n n n n n n x C xx C T x C x x C T 25n n C C =.35)1(37337374x x C xx C T -=-=-=-r r n r n r b a C T -+=1例5 已知(a 2＋1)n 的展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式中的系数最大项等于54，求a 的值，解：的展开式的第r ＋1项令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，r ＝4，所以常数项 又(a 2＋1)n 的展开式中的各项系数之和等于2n ，由题意得2n ＝16，所以n ＝4． 由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n 的展开式中的系数最大的项即为二项式系数最大的项，是中间项T 3，所以，解得． 例6 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7．求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 7｜．解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1． ①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37． ②(1)易知a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7－a 0＝－2；52)1516(xx +52)1516(xx +.)516()1()516(2520555251rr r r r rr x C x x C T ---+==.16516455=⨯=C T 54424=a C 3±=a(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝＝－1094； (3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6=＝1093； (4)方法1：因为(1－2x )7的展开式中a 1，a 3，a 5，a 7是负数，a 0，a 2，a 4，a 6是正数， 所以｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 7｜＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝2187．方法2：因为｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 7｜表示(1＋2x )7的展开式中各项系数的和，令x ＝1，可得｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 7｜＝37＝2187．【评述】通过给二项式定理中的字母赋值(根据式子的特点，常令字母为1或－1)的方式可以解决二项展开式系数整体求值的问题．例7 若多项式x 2＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝______．【分析】方法1：由于a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10＝x 2＋x 10[－1＋(x ＋1)2]＋[－1＋(x ＋1)10]＝，则．方法2：由于等式左边x 10的系数为1，所以a 10＝1，2317--2317+-10101091910)1()1()1(+++-+x C x C Λ10)1(9109-=-=C a又，等式左边x 9的系数为0，所以，所以a 9＝－10．例8 除以100的余数为______．解： 前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，，所以9192除以100的余数为81．例9求(0.998)5精确到0.001的近似值．解：． 【评述】利用二项式定理求余数、求近似值是二项式定理的应用之一．例10 设a ＞1，n ∈N *且n ≥2，求证． 证明：设，则(x ＋1)n ＝a ．欲证原不等式，即证nx ＜(x ＋1)n －1，其中x ＞0．，即有(x ＋1)n ＞nx ＋1，得证．例11 的展开式中常数项为______．(用数字作答) 解：求的常数项，即求展开式中的常数项及含x －2的项． 对于，． 令8－2r ＝0，即有r ＝4，．0109109=+a C a 9291190909090)190(9191922909291192920929292+++++=+=⋅⋅⋅⋅C C C C Λ81820082811909192+==+⋅C =-=55)002.01((0.998)990.0)002.0()002.0(2251505÷+-+-+ΛC C C na a n 11-<-x a n =-1)2(111)1(11110≥+=+>++++=+---n nx x C x C x C x C x n n n n n n n n n Λ82)1)(21(x x x -+82)1)(21(x x x -+8)1(xx -8)1(x x -r r r r r r r x C xx C T 288881)1()1(--+-=-=70)1(4845=-=C T令8－2r ＝－2，即有r ＝5，．所以常数项为70＋2×(－56)＝－42．练习10－2一、选择题1．若的展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 (A)－84 (B)84 (C)－36 (D)362．已知的展开式中x 3的系数为，常数a 的值为( ) (A)1(B)2 (C)4 (D)8 3．在(1＋x )5(1－x )4的展开式中，x 3的系数是( )(A)4 (B)－4 (C)8 (D)－84．若与同时有最大值，则m 的值是( ) (A)5 (B)4或5 (C)5或6 (D)6或7二、填空题5．(x 2＋)6的展开式中常数项是______．(用数字作答) 6．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋…＋1，(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝______．7．(n ＋1)n ＋1除以n 2(n ＞1)的余数为______．22585656)1(---=-=x x C T nx x )1(2-9)2(x x a -49nC 21m n C x18．观察下列等式：，，，，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于___________．三、解答题9．在(3x ＋1)n 的展开式中，如果各项系数的和比各项二项式系数的和大992，求n 的值．10．若f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋3x )n 展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为( )11．当n ∈N *时，求证：2235515-=+C C 3799591922+=++C C C 511131391351311322-=+++C C C C 7151717131791751711722+=++++C C C C C =++++∈+++++1414914514114*,n n n n n C C C C n ΛN .3)11(2<+≤n n习题10一、选择题1．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有( )(A)35种 (B)25种 (C)20种 (D)16种2．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )(A)18 (B)24 (C)30 (D)363．从单词“equation ”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu ”(其中“qu ”相连且顺序不变)的不同排列共有( )(A)120种 (B)480种 (C)720种 (D)840种4．若＝，则(a 0＋a 2)2－(a 1＋a 3)2的值为( )(A)－1(B)1 (C)0 (D)2 5．若的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( ) (A)10(B)6 (C)5 (D)3 6．若，则的值为( ) (A)2(B)0 (C)－1 (D)－23)32(+x 332210x a x a x a a +++n x x )23(32-)()21(20092009102009R ∈+++=-x x a x a a x Λ200920092122a a a a +++Λ二、填空题7．在(3－x )7的展开式中，x 5的系数是______．(用数字作答)8．从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少有一名女生，则不同的选法有______种．9．有6个座位连成一排，现有3人就座，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有______种．10．(x －y )10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于______．11．数列a 1，a 2，…，a 7，其中恰好有5个2和2个4，调换a 1至a 7各数的位置，一共可以组成不同的数列(含原数列)______个．12．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种．三、解答题13．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝509－n ，求n ．14．已知n 是等差数列4，7，10，13，…中的一项．求证的展开式中不含常数项．n xx )1(专题10 排列组合二项式定理参考答案练习10－1一、选择题1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．B二、填空题7．30； 8．240； 9．56； 10．240； 11．8424； 12．45．练习10－2一、选择题1．B 2．C 3．B 4．C二、填空题5．15； 6．11； 7．n ＋1； 8．24n －1＋(－1)n 22n －1．三、解答题9．解：令x ＝1，得各项系数和为4n ，又各项二项式系数和为2n ，所以4n －2n ＝992.22n －2n －992＝0，解得n ＝5．10．解：f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋3x )n 展开式中含x 的项，由2m ＋3n ＝13，m ，n 为正整数，得m ＝2，n ＝3或m ＝5，n ＝1，当m ＝2，n ＝3时，求得x 2的系数为31；当m ＝5，n ＝1时求得x 2的系数为40，故x 2的系数为31或40．x n m x C x C n m )32(3211+=+11．证明：， 因为， 所以 所以习题10一、选择题1．B 2．C 3．B 4．A 5．C 6．C二、填空题7．－189； 8．100； 9．72； 10．－240； 11．21； 12．36．三、解答题13．解：令x ＝1，得2＋22＋23＋…＋2n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ．令x ＝0，则a 0＝n ． 又由已知可得a n ＝1．∴，化简得2n ＝256，∴n ＝8． 14．解：用反证法，假设第r ＋1项为常数，即为常数项．又等差数列4，7，10，13，…的第k 项为a k ＝4＋(k －1)×3＝3k ＋1(k ∈N *)．2111111)11(1221=+≥++++=+⋅⋅⋅⋅nC n C n C n C n n n n n n n nΛ121!1)11()21)(11(!1)!(!!1-≤≤----==-=⋅k k k knk n k n n k n k n k n n C ΛΛn n n n n n n n n n n C n C n C n C n C n 1·121111)11(22221+++≤++++=+⋅⋅⋅⋅ΛΛ.32132121212112<-=++++≤--n n Λ.3)11(2<+≤nn1)509(12)12(2+-+=--n n n 2321r n r nr rn r nr xC xxC T ---+==⋅令n ＝3k ＋1，T r ＋1为常数项，则 即，∵k ∈N *，这与，且r ∈N 矛盾，所以它没有常数项．.02313,023=-+=-r k r n 322+=k r。
2020年高考北京版高考数学 10.2 二项式定理
5
的展开式中 x8 的系数是 .(用数字作答)
2 ������
5
答案 2
10.(2015 广东,9,5 分)在( ������-1)4 的展开式中,x 的系数为 .
答案 6
( ) 11.(2015 安徽,11,5 分)
������3
+
1 ������
7
的展开式中 x5 的系数是 .(用数字填写答案)
A.10 B.20 C.30 D.60
答案 C 2.(2-x)n 的展开式中所有二项式系数的和为 64,则 x3 的系数为( )
A.-160 B.-20 C.20 D.160
答案 A
( )2 ������
3.若 ������ + ������2 展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( )
答案 A
( ) 2.(2015 湖南,6,5 分)已知
������ -
������ ������
5
3
的展开式中含������2的项的系数为 30,则 a=( )
A. 3 B.- 3 C.6 D.-6
答案 D
( )������ 7
1
3.(2014 湖北,2,5 分)若二项式 2������ + ������ 的展开式中������3的系数是 84,则实数 a=( )
1
答案 2 11.(2014 课标Ⅰ,13,5 分)(x-y)(x+y)8 的展开式中 x2y7 的系数为 .(用数字填写答案) 答案 -20
C 组 教师专用题组
1.(2016 四川,2,5 分)设 i 为虚数单位,则(x+i)6 的展开式中含 x4 的项为( )
【备战2020】(北师大版)高考数学分项汇编 专题11 排列组合、二项式定理(原卷版)
【备战2016】（北京版）高考数学分项汇编 专题11 排列组合、二项式定理（原卷版）1. 【2005高考北京理第7题】北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ）A ．B ．C ．D ．484121214C C C 484121214AA C 33484121214A C C C 33484121214A C C C 【答案】A考点：排列组合。
2. 【2006高考北京理第3题】在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为1,2,3,4,5奇数的共有（）（A ）36个（B ）24个（C ）18个（D ）6个【答案】B3.【2007高考北京理第5题】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种4. 【2009高考北京理第6题】若为有理数），则 5(1,a a b =+a b +=（ ）A ．45B ．55C ．70D ．80【答案】C考点：二项式定理及其展开式.5. 【2009高考北京理第7题】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）A ．324B ．328C ．360D ．648【答案】B考点：排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识.6. 【2010高考北京理第4题】8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )A ． B ． C ． D ．8289A A 8289A C 8287A A 8287A C 【答案】A 考点：排列组合.7. 【2012高考北京理第6题】从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 6【答案】B考点：排列组合.8. 【2005高考北京理第11题】的展开式中的常数项是 . （用数字作答）61(xx -【答案】15考点：二项式定理。
【精品解析】北京市高考数学最新联考试题分类大汇编(11)排列组合、二项式定理
精品解析：北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编（11）
排列组合、二项式定理试题解析
一、选择题：
（6）（2012年4月北京市海淀区高三一模理科）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是
（A ）12 （B ）24
（C ）36 （D ）48
【答案】D
8．(北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文)已知集合230123{|222}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1}k a ∈(0,1,2,3)k =，且 30a ≠.则A 中所有元素之和是（C ）
（A ）120 （B ）112 （C ）92 （D ）84
【答案】C
二、填空题：
（用数字作答）
【答案】256,672
【解析】显然card()10M =表示集合M 中有10个元素，card()2A =表示集合A 中有2个元素，而A X M ⊆⊆，故集合X 中可以只含A 中的2个元素，也可以除了A 中的2个元素外，在剩下的8个元素中任取1个，2个，3个，。
8个，共有0178
8888256
C C C C ++⋅⋅⋅++=种情况，即符合要求所求的集合M 有256个；满足条件Y M ⊆的集合Y 的个数为102，其中
的集合Y的个数为82，不满足条件不满足条件A Y。
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：11.2 排列与组合
四),(周四,周五)4种情况,剩下三个人进行全排列,有A33=6种排法,因
此共有4×6=24种排法,故选B.
(2)方法一:用分类讨论的方法解决.如图中的6个位置,
①当领导丙在位置1时,不同的排法有A55=120种; ②当领导丙在位置2时,不同的排法有C31A44=72种; ③当领导丙在位置3时,不同的排法有A22A33+A23A33=48种; ④当领导丙在位置4时,不同的排法有A22A33+A23A33=48种; ⑤当领导丙在位置5时,不同的排法有C31A44=72种; ⑥当领导丙在位置6时,不同的排法有A55=120种.
由分类加法计数原理可得不同的排法共有 480 种.故选 C.
考点1
考点2
考点3
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方法二:先确定其他 3 个人的排法有A36=120 种,剩余 3 个位置,排甲、 乙及领导丙,有 2A22=4 种不同的排法,所以不同的排法共有 120×4=480 种.
考点1
考点2
考点3
-18-
组合问题 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种不合 格商品.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种不合格商品必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一种不合格商品不能在内,不同的取法有多少种? (3)恰有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种? (4)至少有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种? (5)至多有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?
随堂巩固
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知识梳理 考点自诊
3.(2018安徽马鞍山二模)从3名男生、2名女生中选3人参加某活
动,则男生甲和女生乙不同时参加该活动,且既有男生又有女生参
加活动的概率为( D )
A.130
2020高考数学最后冲刺 排列、组合、二项式定理
最后冲刺【高考预测】1.正确运用两个基本原理2.排列组合3.二项式定理4.在等可能性事件的概率中考查排列、组合5.利用二项式定理解决三项以上的展开式问题6.利用二项式定理证明不等式易错点1 正确运用两个基本原理1．（2020精选模拟）已知集合A=B={1，2，3，4，5，6，7}，映射f:A→B满足f(1)<f(2)<f(3)<f(4),则这样的映射f的个数为（）A．C47A33 B．C47 C．77 D．C7473【错误解答】∵f(1)<f(2)<f(3) <f(4)，且f(1)<f(2)<f(3)<f(4)的值为{1，2，3，4，5，6，7}中的某4个，∴这样的映射有C47个，∴选B【错解分析】C47中的任何一种方法都没有完成组成映射这件事情，因为只找到1、2、3、4的象，而5、6、7的象还没有确定。
误是没有选出水平最高的两人，错误地认为这种淘汰赛最后的两人就是水平最高的两人，实际上第二名有可能在第一轮或第二轮就被第一名淘汰了。
【正确解答】先将8人分成4对进行比赛，胜者进入第二轮，需要4场比赛，将进入第二轮的四人分成2对进行比赛，胜者进入第三桦，需要2场比赛，进入第三轮的2人进行比赛，胜者为第一名，需一场比赛；将第一轮、第二轮、第三轮被第一名淘汰的选手共3人决出第一名，需2场比赛。
∴至少需要4+2+1+2=9场比赛。
3．（2020精选模拟）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有_________种（用数字作答）。
【错误解答】因为每一步都有两种可能，所以共有25=32种方法，又由于这32种方法中质点落在（3，0）与不在（3，0）的可能相同，∴质点不同的运动方法共有16种，填16。
【错解分析】质点落在（3，0）与不在（3，0）的可能相同是错误的，错误的原因是分析问题的能力较差，没有转化的思想，也没有分类讨论的思想。
2020年北京各区高三一模考试数学分类汇编---排列组合二项式定理
2020年北京各区高三一模考试数学分类汇编----排列组合二项式定理1.（2020海淀一模）在61(2)x x-的展开式中，常数项为（ ）C A. 120-B. 120C. 160-D. 160【答案】C【分析】写出二项式展开式的通项公式求出常数项. 【详解】61(2)x x-展开式的通项2616(1)2k k k k k T C x -+=- ，令260,3k k -== 常数项333316(1)2=160T C +=--，故选：C ．【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型及解法:(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第1k +项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第1k +项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．2.（2020西城一模）在61()x x +的展开式中，常数项为________.(用数字作答)【答案】20 【详解】61()x x +的展开式的通项为：6621661r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，取3r =得到常数项3620C =. 故答案为：20.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.3.（2020北京市模拟）在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．5-B ．5C ．10-D ．10 【答案】A 【解析】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()5525511kk k k k k C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令523k -=，得1k =． 因此，3x 的系数为()1515C ⋅-=-，故选A ． 4.（2020石景山一模）将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（ ）种．A. 72B. 36C. 64D. 81【答案】B【分析】先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果.【详解】解：Q 将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，∴先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有234336C A =．【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，是一个基础题，本题又是一个易错题，排列容易重复，注意做到不重不漏．5（2020延庆一模）.5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是( ) A. 160B. 80C. 50D. 10【答案】B【分析】由二项式定理公式1C r n r r r n T a b -+=即可得到结果. 【详解】依题5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为:2551031551(2)()2r r r r r r r T C x C x x ---+==， 当1034r -=时，2r =，此时523552280r r C C -==，所以5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是80. 故选：B【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题.6.（2020密云一模）52()x x -的展开式中含3x 的系数为__________．（用数字填写答案）【答案】10【解析】 由题意得，二项式展开式的通项为5521552()(2)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-， 令1r =，则113325(2)10T C x x =-=-，所以3x 得系数为10-．7.7(1)x +的展开式中3x 的系数是___________.【答案】35；【分析】根据二项式定理的通项公式1C r n r r r n T a b -+=，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：7(1)x +的通项公式为717r r r T C x -+=，令734-=⇒=r r ，所以3x 的系数是4735C =，故答案为：35【点睛】本题考查二项式中指定项的系数，掌握公式，细心计算，属基础题.7.（2020东城一模）一排6个座位坐了2个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）A. 12B. 36C. 72D. 720【答案】C【分析】根据题意，用捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数乘法原理计算可得答案.【详解】根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有333336A A =种情况，再对2个三口之家整体进行全排列，有222A =种情况，则有36272⨯=种不同的坐法. 故选：C.【点睛】本题考查排列的简单应用，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道容易题.8.（2020房山一模）．在二项式（1﹣2x ）5的展开式中，x 3的系数为（ ）A ．40B ．﹣40C ．80D ．﹣80解：在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中的x 3系数．（1﹣2x ）5展开式的通项公式为 C 5r •（﹣2x ）r ，故令r ＝3， 可得其中的x 3系数为C 53•（﹣2）3＝﹣80， 故选：D ．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9.（2020通州一模）在6(2)1x x-的展开式中，常数项是 A A. -160 B . -20 C . 20 D . 16010.（2020门头沟一模）在二项式26(2)x +的展开式中，8x 的系数为 。
高考数学专题11排列组合、二项式定理-高考数学高频考点与最新模拟(解析版).docx
高频考点一两个计数原理的应用例1、给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种(结果用数值表示)．法二：所求事件的对立事件为“黑色正方形互不相邻”，由〈1〉知共有21种，而给6个相连正方形着黑色、白色的方案共有26种，故所求事件的种数为：26－21＝43.答案：21 43 高频考点二 排列组合例2、由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 ( )A ．72B ．96C ．108D ．144高频考点三 二项式定理例3、(x ＋a x)(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ( )A ．－40B ．－20C ．20D ．401．两个基本原理 (1)分类加法计数原理； (2)分类乘法计数原理； 2．排列 (1)定义；(2)排列数公式：A mn ＝n ！n －m ！(n ，m ∈N ，m ≤n )；3．组合(1)定义；(2)组合数公式；(3)组合数的性质：C m n ＝C n －m n (m ，n ∈N ，且m ≤n )；C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n (m ，n ∈N ，且m ≤n )．4．二项式定理(a ＋b )n 展开式共有n ＋1项，其中r ＋1项T r ＋1＝C r n a n －r b r.5．二项式系数的性质二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C nn 这n ＋1个组合数． 二项式系数具有如下几个性质： (1)对称性、等距性、单调性、最值性； (2)C r r ＋C r r ＋1＋C r r ＋2＋…＋C r n ＝C r ＋1n ＋1； C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n； C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1；C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n ·2n －1等．（2013·新课标I 理）9、设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( )A 、5B 、6C 、7D 、8【答案】B ；【解析】2mm a C =，21m m b C +=，因为221137m m m m C C +=，解得m=6.【学科网考点定位】本题考查二项式定理的应用以及组合数的计算，考查学生的基本运算能力. （2013·新课标Ⅱ理）（5）已知（1+a x ）(1+x)5的展开式中x 2的系数为5，则a =（A ）-4 （B ）-3 （C ）-2 （D ）-1（2013·浙江理）14、将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）【答案】480【解析】此题中的B A ,和C 都是特殊元素，要对特殊的位置和特殊元素首先考虑，在分类讨论时要注（2013·浙江理）11、设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ，则=A ________。