(实验5)标准欧式看涨期权定价的蒙特卡洛模拟实验报告
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法..
,为独立同分布的随机变量序列，若μ<∞=则有pk,1,2,ξ是由同一总体中得到的抽样，那么由,,n此大数定律可知样本均值,为独立同分布的随机变量序列，若∑,2,则有k=η，并计算样本均值,,n,,)]T S ，为期权的到期,,)T S 是关于标的资产价格路径的预期n t T <<=,2,)n，,2,n），则如果用日数据计算波动率，+()(f x x '+,2,),2,,}k，跳跃尺度的最终观测值，()2()(,)N t W S r λτλτσ-exp(λλμ=，(exp(r r λ=-1σσστ=+新产品发明专利池的市场价值V=8050在一次付清许可费用情况下新产品发明专利池的价格P=5450。
●在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情(,NμσSY期权的价格公式：在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下新产品发明专利池的价格P=855。
§6. 最小二乘蒙特卡洛模拟与美式期权定价运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法为美式期权定价的基本原理与蒙特卡洛模拟方法基本相同，并且用最小二乘回归同时还可解决各样本时点上继续持有期权价值的确定和各样本路径的最优停时的确定。
其基本思路是：在期权的有效期内，将其标的资产价格过程离散化，随机模拟出标的资产价格的多条样本路径，从而得到每个时刻资产价格的截面数据。
选取以某时刻资产价格为变量的一组基函数作为解释变量，下一时刻期权价值的贴现值作为被解释变量，进行最小二乘法回归求得该时刻期权的持有价值，并与该时刻期权的内在价值作比较，若后者较大，则应该立即执行期权，否则，就应继续持有期权。
最小二乘蒙特卡洛模拟方法定价的基本实现步骤：首*,,,,)]T t S S *,,,,T t S S 为标的资产价格的路径，*(,,,,)T t f S S S 是在最优执行时刻*t 的期权价值。
上式定义的{0,1,,}N ，随机变量用生成随机数模拟得到标的资产价格,,N S ，重复执行(1)N ⨯+。
期权定价的蒙特卡罗模拟方法精选 课件
90.66702 2.667019
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81.99887
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77.86832
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计算模拟所得的期权价值的平均值后， 再计算现值得期权价格的一个估计
C E[CT ]erT 7.000053 e0.11 6.27 用布莱克—舒尔斯模型计算期权的价格
从 S0开始模拟得 ST Sn
CT max{ST SX ,0} 或 PT max{ S X ST ,0}
(3)计算 E[CT ]或 E[PT ]及期权的价格.
4). 注意事项
A. 模拟次数和计算精度之间的考量。 理论上的要求，在模拟时，时段的长度 应小，模拟次数应尽可能的多，以便使 所得的资产价格估计尽可能涵盖资产价 格的真实分布，这会大大增加模拟的计 算工作量。
2). 基本过程
例：设有这样一个股票，其现行的市场 价格为80元，已知该股票对数收益的均 值为8%，对数收益的波动性为25%， 无风险资产的收益率为11%。现在有以 该股票为标的资产, 执行期限为1年的买 入期权，确定的股票执行价格为88元， 用模拟法确定该期权的价格。
设一年有250个工作日，将其分为250
0
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ห้องสมุดไป่ตู้
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欧式期权价格的Monte-Carlo模拟
欧式期权价格的Monte-Carlo模拟
周心莲
【期刊名称】《《科技创业月刊》》
【年(卷),期】2007(20)8
【摘要】采用Monte-Carlo模拟方法对欧式看涨期权价格进行了数值实验模拟,把对偶变量(AV)方差下降技术运用于模拟试验中,并用标准MC方法模拟出的结果与AV法模拟出的结果进行比较,发现AV方法是有效的,能显著地降低方差。
【总页数】2页(P33-34)
【作者】周心莲
【作者单位】武汉理工大学应用数学系湖北武汉 430070
【正文语种】中文
【中图分类】F830.9
【相关文献】
1.欧式期权定价的Monte-Carlo方法 [J], 张丽虹
2.基于异质理念的欧式股票期权价格模型 [J], 郭文英;谢飞
3.欧式看跌期权价格的计算方法:计算机模拟与比较 [J], 代维
4.G-布朗运动环境下欧式期权价格数值模拟 [J], 陈毛毛; 薛红; 王琪
5.G-布朗运动环境下欧式期权价格数值模拟 [J], 陈毛毛;薛红;王琪
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5蒙特卡洛方法模拟期权定价
材料五：蒙特卡洛方法模拟期权定价1．蒙特卡洛方法模拟欧式期权定价利用风险中性的方法计算期权定价：ˆ()rt Tf e E f -= 其中，f 是期权价格，T f 是到期日T 的现金流，ˆE是风险中性测度 如果标的资产服从几何布朗运动：dS Sdt sdW μσ=+则在风险中性测度下，标的资产运动方程为：20exp[()]2T S S r T σ=-+对于欧式看涨期权，到期日欧式看涨期权现金流如下：2(/2)max{0,(0)}r T S e K σ-+-其中，K 是执行价，r 是无风险利率，σ是标准差， ε是正态分布的随机变量。
对到期日的现金流用无风险利率贴现，就可知道期权价格。
例1 假设股票价格服从几何布朗运动，股票现在价格为50，欧式期权执行价格为52，无风险利率为0.1，股票波动标准差为0.4，期权的到期日为5个月，试用蒙特卡洛模拟方法计算该期权价格。
下面用MA TLAB 编写一个子程序进行计算：function eucall=blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu)%蒙特卡洛方法计算欧式看涨期权的价格%输入参数%s0 股票价格%K 执行价%r 无风险利率%T 期权的到期日%sigma 股票波动标准差%Nu 模拟的次数%输出参数%eucall 欧式看涨期权价格%varprice 模拟期权价格的方差%ci 95%概率保证的期权价格区间randn('seed',0); %定义随机数发生器种子是0,%这样保证每次模拟的结果相同nuT=(r-0.5*sigma^2)*Tsit=sigma*sqrt(T)discpayoff=exp(-r*T)*max(0,s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1))-K)%期权到期时的现金流[eucall,varprice,ci]=normfit(discpayoff)%在命令窗口输入：blsmc(50,52,0.1,12/5,0.4,1000)2． 蒙特卡洛方法模拟障碍期权定价障碍期权，就是确定一个障碍值b S ，在期权的存续期内有可能超过该价格，也可能低于该价格，对于敲出期权而言，如果在期权的存续期内标的资产价格触及障碍值时，期权合同可以提前终止执行；相反，对于敲入价格，如果标的资产价格触及障碍值时，期权合同开始生效。
期权定价的蒙特卡罗模拟方法
43.21086
2.756024 0 0 0 0 0 1.476934 0
29
30 31 32 33 34 35 36 37
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60.15786 114.829 130.8468 105.1063 78.59089 93.19428 78.55582 82.48832
0
0 26.82896 42.84677 17.10626 0 5.194279 0 0
100 80 60 40 20 0 0 10 20 30 价格 40 50 60 70
3). 模拟步骤
用蒙特卡罗模拟方法计算期权价格的过程： (1) 输入资产及期权的有关参数 S 0 , S X , T , , , r, 时 n 段数n和模拟次数m，并计算 t T /； (2) 关于 i 1,2,, m 作下列模拟和计算：
13 14 15 16 17 18 19 20
130.7688 87.83761 62.89268 79.57162 91.73871 66.88669 75.17505 70.62426
42.76877 0 0 0 3.738708 0 0 0
38 39 40 41 42 43 44 45
87.75519 78.61444 86.31097 91.21032 77.66045 93.91685 81.63916 81.54932
S k 1 S k exp( t z t ), k 0,1,, n 1
从 S 0开始模拟得 S T S n CT max{ ST S X ,0} 或 PT max{ S X ST ,0}
增加模拟次数，使得模拟所得的股票在 期权到期日的价格尽可能好地复盖实际 的价格分布。
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权定价是金融市场中的一个重要问题。
近年来，蒙特卡洛模拟方法在期权定价中得到了广泛的应用。
蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的数值计算方法，通过生成大量的随机样本来估计某些数量的数值。
下面将介绍蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的基本原理及应用。
蒙特卡洛模拟方法采用随机数生成器生成大量的随机数，并利用这些随机数进行模拟计算。
在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法可以用来估计期权的价格以及其他相关的风险指标，例如风险价值和概率分布等。
在蒙特卡洛模拟方法中，首先需要确定期权定价模型。
常用的期权定价模型包括布朗运动模型和风险中性估计模型等。
然后，根据期权定价模型，生成一个或多个随机数来模拟期权价格的变动。
通过对多个随机样本进行模拟计算，我们可以获得期权价格的分布情况及其他相关指标的估计值。
在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法的精确度主要取决于两个方面：模拟路径的数量和模拟路径的长度。
路径的数量越多，模拟结果的精确度越高。
路径的长度越长，模拟结果的稳定性越好。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛。
例如，在欧式期权定价中，可以使用蒙特卡洛模拟方法来估计期权的风险价值和概率分布等指标。
在美式期权定价中，由于存在提前行权的可能性，蒙特卡洛模拟方法可以用来模拟期权的提前行权时机并确定最佳行权策略。
此外，在一些复杂的期权定价中，例如亚式期权和障碍期权等，蒙特卡洛模拟方法也可以提供有效的定价方法。
总之，蒙特卡洛模拟方法是期权定价中一种重要的数值计算方法。
它通过生成大量的随机样本来估计期权的价格及相关指标，具有较高的灵活性和精确度。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中广泛应用，为金融市场中的投资者和交易员提供了重要的决策工具。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛，下面将进一步介绍其在不同类型期权定价中的具体应用。
首先是欧式期权定价。
欧式期权是指在未来某个特定时间点（到期日）才能行使的期权。
蒙特卡洛模拟方法可以用来估计欧式期权的价格和概率分布等指标。
蒙特卡洛方法和拟蒙特卡洛方法在期权定价中应用的比较研究
σ2 ) T lg ( S0 / K ) + ( r + 1 / 2 σ T σ T
[5 ]
; ;
σ2 ) T lg ( S0 / K ) + ( r - 1 / 2 。
2 期权定价
期权按照买者的权利划分 , 期权可分为看涨期 权和看跌期权 。凡是赋予期权买者购买标的资产 权利的合约 , 就是看涨期权 ; 而赋予期权买者出售 标的资产权利的合约就是看跌期权 。显然看涨期 权的购买者预期标的资产价格上涨 , 而看跌期权的 购买者预期标的资产价格下跌 。期权按照买者执 行期权的时限划分 , 期权可分为欧式期权和美式期 权 . 欧式期权的买者只能在期权到期日才能执行期 权 。而美式期权允许买者在期权到期前的任何时 间执行期权 。尽管欧式期权更易于定价 , 但实际交 易的期权大多都是美式期权
63180图1欧式看涨期权模拟结果误差比较从表1和图1中所示的实验结果可以清晰的看出传统的伪随机数模拟的方法产生的结果误差远远大于低差异序列模拟的结果虽然增加模拟次数可以提高精确度但同时计算时间也相应的延长从精确度上来看拟随机序列的表现要远远优于伪随机序列的表现用超均匀序列来修正蒙特卡洛模拟改进效果是明显的
1926
科 学 技 术 与 工 程
32 32
9卷
的值有 m = 2 或者 M ersenne 素数 m = 2 - 1。为满
1 基本概念与随机数的生成原理
蒙特卡洛方法 (Monte Carlo method 又称 MC ) , 也称统计模拟方法 , 是 20 世纪 40 年代中期由于科 学技术的发展和电子计算机的发明 , 而被提出的一 种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值 计算方法 。它把问题看成一个黑箱 , 输入伪随机数 流 ,通过分析输出 ,得到感兴趣的估计值 。 随着拟随机序列的出现 , 蒙特卡洛方法也已经 发展到拟蒙特卡洛方法 ( Quasi2 Monte Carlo m ethod 又称 QMC ) 。两者虽然方法相似但理论基础不同 。 拟蒙特卡洛方法对估计效果的改进取决于拟随机 序列在抽样样本空间中分布的均匀性 。序列分布 得越均匀 ,其改进效果越明显 。通常用偏差率来表 示这种均匀性 , 均匀程度越高 , 其偏差率越低 。因 此拟随机序列有时也称为低偏差率序列 , 拟随机序 列的模拟也可称为低偏差率序列的模拟 。 蒙特卡洛方法成功与否 , 很大程度上取决于随 机数序列的选取 。产生随机数序列有多种不同的 方法 。这些方法被称为随机数发生器 。随机数最 重要的特性是它产生的后面的那个数与前面的那 个数毫无关系 。现实生活中不可能产生绝对随机 的随机数 , 计算机也只能生成相对的随机数 , 即伪 随机数 。
期权定价实验报告(M101613110黄清霞)
课程名称：金融工程
实验编号 及实验名称
期权定价模型及数值方法综合实验
系别
应用数学系
姓名
黄清霞
学号
101613110
班别
1016131
实验地点
实验日期
2013-06-01
实验时数
指导教师
张学奇
其他成员
黄冬璇、马燕纯
成绩
一、实验目的及要求 1.实验目的 （1）通过期权定价模型与数值方法综合实验，使学生加深对 BSM 期权模型的理解； （2）熟练掌握运用 Matlab 计算欧式期权价格实际应用方法； （3）熟练掌握运用 Matlab 软件计算美式期权价格的有限差分法、蒙特卡罗模拟法。 （4）培养学生运用软件工具解决期权定价问题的应用和动手能力。 2.实验要求 实验以个人形式进行，要求每位实验人员按照实验指导书，在实验前做好实验原理复习工作，实验
最后一列节点 (N, j) 的期权价值 f N , j 为 f N, j max(Su j d N j X ,0), j 0,1,, N
（2）对于无收益欧式看跌期权，节点 (i, j) 的期权价值 fi, j 为
fi, j ert [ pfi1, j1 (1 p) fi1, j ] ； 0 i N 1， 0 j i
[Call,Put]= blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield) 输入参数
Price Strike Rate Time Volatility Yield 输出参数
%标的资产价格 %执行价格 %无风险利率 %距离到期日的时间，即期权的存续期 %标的资产的标准差 %标的资产红利率
调用方式为
[AssetPrice,OptionValue]=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volat
蒙特卡罗模拟与欧式期权定价
蒙特卡罗模拟与欧式期权定价蒙特卡罗模拟进行期权定价的核心在于生成股票价格的随机过程。
9.2节中，在期权到期的T 时刻，标的股票价格的随机方程为：)ex p()ex p(T T T T S Y S S εσμ+== 其中，随机变量ε服从标准正态分布，即服从N(0,1)，随机变量T Y 服从正态分布，其均值为T T )5.0(2σμμ-=，方差为T T σσ=，μ为股票的收益率，σ为股票的波动率。
期权的收益依赖于T S 在风险中性世界里的期望值，因此对于风险中性定价，股票的收益率（μ）可以用无风险利率r 减去连续红利收益率q 代替，也就是（r-q ）。
于是风险中性定价的T S 随机方程为：])5.0ex p[(2T T q r S S T εσσ+--=其中ε服从标准正态分布。
上式中的股价运动过程与前面二叉树定价中的一样。
蒙特卡罗模拟随机产生一组股价终值T S 的样本值，即模拟试验。
然后为每一个样本值计算期权收益并记录下来。
产生足够多的样本值后，就可以得到期权收益的分布，通常需要计算分布的均值和标准差。
模拟试验的代数平均值常用来估计期权收益分布的期望值，然后用无风险利率对其折现来得到看涨期权的价格。
图1中欧式期权的有效期是六个月，其标的资产是连续红利收益率为3%的股票。
表中有36个期权收益的模拟试验，用它们可以估计出期权收益期望值的折现。
Using Monte Carlo Simulation to Value BS Call Option ：利用蒙特卡罗模拟来为布莱克-舒尔斯看涨期权定价图1 期权信息及5个（从36个模拟数据得到）期权收益模拟结果每个模拟试验产生一个终值股价（T S 的一个样本值）和一个期权收益值。
在B 列中用Excel 的RAND 函数来产生服从均匀分布的随机数，然后在C 列用标准正态分布函数NORMSINV 将其转换成随机样本。
RAND 函数产生[0,1]间服从均匀分布的随机数。
利用蒙特卡罗方法模拟期权价格的实证分析
利用蒙特卡罗方法模拟期权价格的实证分析作者：范雯雯来源：《时代金融》2013年第15期【摘要】通过选择一只股票，计算方差的均值、漂移项，并且利用蒙特卡罗方法，模拟股票期权价格。
其中用到了方差减缩技术中的分层抽样方法，方差是用半方差来模拟的。
本文通过选择适当的期权，对使用方差减缩技术和没有使用方差减缩技术的期权价格进行比较，发现使用方差减缩技术期权的精度更高，并且使用方差差减缩技术后，标准差更小，那么模拟出的期权价格可信度就更高了。
【关键词】欧式期权分层抽样半方差蒙特卡罗模拟方法由于模拟期权价格涉及到了蒙特卡罗模拟方法，半方差、方差减缩技术中的分层抽样方法以及欧式期权等一系列内容，所以，有必要对这些方法理论做一些介绍。
蒙特卡罗模拟方法又称随机模拟方法。
它是以概率统计理论为基础的一种方法。
蒙特卡罗方法的基本思想就是当所求的问题的解是一个事件的概率或者是一些随机变量的数学期望时，或者是与这些概率或者数学期望有关的一些量时，通过某些模拟实验的方法，得到该事件发生的频率，也可能是该随机变量若干具体观察值的算术平均值，通过这些得到问题的解。
蒙特卡罗模拟方法概括下来的步骤就是：（1）建立概率统计模型；（2）收集模型风险变量的数据，确定风险因素的分布函数；（3）根据风险分析的精度要求，确定模拟次数；（4）建立对随机变量的抽样方法，产生随机数；（5）根据随机数在各风险变量的概率分布中随机抽样，带入第一步中的建立的数学模型；（6）从而得到N个样本数；（7）做统计分析，估计均值和标准差。
通过它可以根据历史来预测未来。
蒙特卡罗模拟方法的优点是比较逼真的描述具有随机性质事物特点及物理实验过程；受几何条件的限制相对较小；它对于误差相对比较容易确定；程序的结构相对简单，比较容易实现。
缺点是它收敛的速度可能相对较慢；误差具有概率性；并且进行模拟的前提是各输入变量相互独立。
本文对于期权价格的定价用蒙特卡罗模拟方法模拟了10000次。
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课程：数理金融实验日期：2013 年 5 月21 日班级：数学102 交报告日期：2013 年 5 月23 日姓名：张瑞琪报告退发：（订正、重做）学号：201012010213 教师：刘利明
实验名称：标准欧式看涨期权定价的蒙特卡洛模拟
一、实验预习：
1.标准欧式看涨期权的定价模型。
2.标的资产到期日价格的运动轨迹或分布.
3.蒙特卡洛模拟的过程
二、实验的目的和要求：
通过对标准的欧式期权进行定价模拟，掌握标的资产到期日价格的分布，会熟练运用蒙特卡洛模拟进行期权的定价模拟，并学会分析模拟次数、模拟精度之间的关系，最后和标准的欧式期权的解析解比较给出相对误差。
三、实验过程：（实验步骤、原理和实验数据记录等）
参数：起初（或0时刻）S取学号后3位除以10取整，然后加上学号最后一位（例如：200912010119，S=[119/10]+9=20）；X取S加3；r取0.03；T取0.25；σ取0.5。
注意：实验为标准的欧式看涨期权。
实验原理
1.标准欧式看涨期权的定价模型。
(1)看涨期权价格的上限。
在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价格。
否则的话，套利者就可以通过买入标的资产并卖出期权来获取无风险利润。
c S c代表欧式看涨期权价格，S代表标的资产价格
（2）)看涨期权价格的下限。
2.标的资产到期日价格的运动轨迹或分布.
3.蒙特卡洛模拟的过程
蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation）：计算机仿真
蒙特卡洛模拟也是一种非参数方法，其计算原理与历史模拟法相同，都是通过模
拟资产回报的得到各种可能结果，并由此计算VaR。
陕西科技大学理学院实验报告
与历史模拟不同的是：蒙特卡洛模拟法对资产价格分布的估计不是来自历史的观测值，而是通过产生大量的随机数得到的。
蒙特卡洛模拟法的本质：把所有的可能列出（枚举法）。
基本步骤
1情景产生：通过产生服从某种分布的随机数，构造可能情景（比如东南亚金融危机）。
2资产估值：在每个情景下计算资产的价格。
3估计VaR ：根据资产价格分布，计算某个置信水平下的VaR 。
S=[213/10]+3=24 ,X=S+3=27 ,r=0.03 ,T=0.25 , σ=0.5 四、实验总结：（实验数据处理和实验结果讨论等） 实验数据处理
1.标准的欧式期权定价（风险中性定价）： 当t ∆很小时：T t =∆
d
u d e p t r --=∆ （8.4）
t
e u ∆=σ
（8.5） t
e
d ∆-=σ （8.6）
)
0,*max()0,*max(X s d f X s u f d u -=-=
从而
()1r t u d f e pf p f -∆=+-⎡⎤⎣⎦
带入
25.0=∆t ，S=24，X=27，r=0.03,T=0.25,σ=0.5
得期权价格为：f =1.7150 程序代码：
b=0.5,r=0.03,T=0.25,s=24,x=27; u=exp(b*sqrt(T)); d=exp(-(b*sqrt(T))); p=(exp(r*T)-d)/(u-d); f1=max(u*s-x,0); f2=max(d*s-x,0);
f=exp(-(r*T))*(p*f1+(1-p)*f2)
2.蒙特卡洛模拟的过程(1000次模拟): Price =1.7570 程序代码：
数理金融实验报告
%45.2%1007150.1042
.0=⨯=αfunction [Price, CI] = BlsMC(S0,X,r,T,sigma,NRepl) nuT = (r - 0.5*sigma^2)*T; siT = sigma * sqrt(T);
DiscPayoff = exp(-r*T) * max( 0 , S0*exp(nuT+siT*randn(NRepl,1)) - X); [Price, VarPrice, CI] = normfit(DiscPayoff);： 定价理论计算结果：期权价格： f =1.7150
蒙特卡洛模拟的过程(1000次模拟):期权价格：f=1.7570
两种方法的绝对误差：
042.0=β 两种方法的相对误差：
实验结果
蒙特卡洛方法的实质是模拟标的资产价格的随机变动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。
（1） 优点
a. 成本低，风险小
b. 人们可以很直接的应用蒙特卡洛模拟方法，而无需对期权定价模型有深刻的理解并且为了获得更精确的答案，只需要进行更多的模拟，无需太多工作就可以转换模型
c. 可行度高，且适用范围广：
期权的回报仅仅取决于标的变量的最终价值的情况；
期权的回报依赖于标的变量所遵循的路径，即路径依赖的情形
期权的回报取决于多个标的变量的情况，尤其当随机变量的数量增加时，蒙特卡洛模拟的运算时间近似为线性增长而不像其他方法那样以指数增长，因此该方法对依赖三种以上方向投资的多变量期权模型很有竞争力。
以上这些优点使得蒙特卡洛方法成为一个相当广泛和强大的期权定价技术。
因此，蒙特卡洛模拟可以适用于复杂随机过程和复杂终值过程，在运算过程中蒙特卡洛模拟还能给出估计值的标准误差，这也是该方法的优点之一。
（2） 缺点
a. 只能为欧式期权定价，难以处理提前执行的情形。
尝试使用蒙特卡洛模拟技巧来为美式期权定价，成为近年来这个领域的发展方向之一。
b. 为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算。
尤其在处理三个以下的变量时，蒙特卡洛模拟相对于其他方法来说偏慢。
陕西科技大学理学院实验报告
数理金融实验报告
陕西科技大学理学院实验报告
数理金融实验报告。