数学物理方法仿真

仿真实验
第一部分：计算机仿真在复变函数中的应用
仿真实验1： 绘出对数函数Ln z 的图形.
【Matlab 源程序】
z=cplxgrid(20); w=log(z); for k=0:3 w=w+i*2*pi;
surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w)); hold on title('Lnz')
end
view(-75,30)
仿真实验2：若 (1,2,,)k z k n =⋅⋅⋅对应为10n
z -=的根，其中2n ≥且取整数.试用计算机
仿真编程验证下列数学恒等式 1
1()
1
0,
()
n
n
k k m m m k z z ==≠=-∑
∏
成立.
【Matlab 源程序】
n=round(1000*random('beta',1,1))+1 % n=input('please enter n=') su=1; sum=0; for s=1:n
N(s)=exp(i*2*s*pi/n); end
for k=1:n for s=1:n if s~=k
su=1/(N(k)-N(s))*su; end end
sum=sum+su; su=1; end sum
%仿真验证结果为：n =735 sum =2.2335e-016 -5.1707e-016i
仿真实验3： 对于复变函数sin ()z f z z
=
，用Mtlab 仿真计算极限0lim ()z f z →，1lim ()
z i f z →+.
【Matlab 源程序】
clear syms z
f=sin(z)/z; limit(f,z,0)
%仿真结果为ans=1 limit(f,z,1+i) %仿真结果为
ans=1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1)+1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(1)
仿真实验5： 研究电偶极子(Diploe)所产生的电势和电场强度
【2】
.设在(,)a b 处有电荷q +,
在(,)a b --处有电荷q -.则在电荷所在平面上任何一点的电势为
011()
2πq V r r ε+
-
=
-,
其中
9
1,,910,
4πr r ε+-=
=
=⨯6
210
, 1.5, 1.5q a b -=⨯==-
【Matlab 源程序】
根据解析函数理论中求复势的方法,可由等势线求出电力线方程.
下面给出计算机仿真方法求解：仿真(MATLAB)程序和仿真结果
clear ;
clf;q=2e-6;k=9e9;a=1.5;b=-1.5;x=-6:0.6:6;y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y);
rp=sqrt((X-a).^2+(Y-b).^2); rm=sqrt((X+a).^2+(Y+b).^2);
V=q*k*(1./rp-1./rm); % 计算电势 [Ex,Ey]=gradient(-V); %计算电场强度
AE=sqrt(Ex.^2+Ey.^2);Ex=Ex./AE;Ey=Ey./AE; %场强归一化
cv=linspace(min(min(V)),max(max(V)),49); %用黑
实线绘等势线
contour (X,Y,V,cv,'k-') %axis('square')
title('\fontname{宋体}\fontsize{22}电偶极子的场和等势线'),hold on quiver(X,Y,Ex,Ey,0.7) plot(a,b,'wo',a,b,'w+') plot(-a,-b,'wo',-a,-b,'w-')
xlabel('x'); ylabel('y'),hold off
说明：图21.5中黑实线代表等势线，箭头构成电力线．根据题中电荷的位置，不难看出图中右下方为正电荷，左上方为负电荷． 仿真实验6： 求积分 π6
i i
x1=ch3zdz; x2(1)d z
z e z
-=
-⎰⎰
.
【Matlab 源程序】
syms z
x1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0) x2=int((z-1)*exp(-z),z,0,i) %仿真结果为：
x1 = -1/3*i x2 = -i/exp(i)
仿真实验7：求函数11
2
++z z 在奇点处的留数． 【Matlab 源程序】
[R,P,K]= residue ([1,0,1],[1,1])
%仿真结果为： R= 2 P = -1 K = 1 -1
图 21.5电偶极子的场和等势线
仿真实验8：求函数
22
2
(,)(2)x y xy
z f x y x x e---
==-在原点(0，0)，以及（1，a）点处的
Taylor展式．
【Matlab源程序】
syms x y; f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
F=maple('mtaylor',f,'[x,y]',8) %在(0,0)点处的泰勒级数展开latex(collect(F,x))
syms a;
F=maple('mtaylor',f,'[x=1,y=a]',3); %在(1,a)点处的泰勒级数展开F=maple('mtaylor',f,'[x=a]',3); %对单变量展开, 且x=a
仿真实验8：求
1
()
f t
t
=
的Fourier变换．
【Matlab源程序】
syms t v
fourier(1/t)
%仿真结果为: ans = i*pi*(1-2*heaviside(w))
仿真实验9：求
3w
(w)w heaviside(w)
F e-
=的Fourier逆变换．
【Matlab源程序】
syms t u w
ifourier(w*exp(-3*w)*sym('Heaviside(w)'))
%仿真结果为: ans =1/2/(-3+i*x)^2/pi
仿真实验10：求
1
()
1
F s
s
=
-的Laplace逆变换．
【Matlab源程序】
syms s t w
F=ilaplace(1/(s-1))
%仿真结果为: F=exp(t)。