纳什均衡两难选择
纳什均衡
纳什均衡简介纳什均衡，又称为非合作博弈均衡，是博弈论的一个重要术语，以约翰·纳什命名。
在一个博弈过程中，无论对方的策略选择如何，当事人一方都会选择某个确定的策略，则该策略被称作支配性策略。
如果两个博弈的当事人的策略组合分别构成各自的支配性策略，那么这个组合就被定义为纳什均衡。
一个策略组合被称为纳什均衡，当每个博弈者的均衡策略都是为了达到自己期望收益的最大值，与此同时，其他所有博弈者也遵循这样的策略。
纳什均衡的得来关于纳什均衡的普遍意义和存在性定理的证明等奠定非合作博弈理论发展基础的重要成果，是约翰·纳什在普林斯顿大学攻读博士学位时完成的。
实际上，博弈论的研究起始于1944年冯·诺依曼（Von Neumann）和奥斯卡·摩根斯坦（Oscar Morgenstern）合著的《博弈论和经济行为》。
然而却是纳什首先用严密的数学语言和简明的文字准确地定义了纳什均衡这个概念，并在包含“混合策略（mixed strategies）”的情况下，证明了纳什均衡在n人有限博弈中的普遍存在性，从而开创了与诺依曼和摩根斯坦框架路线均完全不同的“非合作博弈（Non-cooperative Game）”理论，进而对“合作博弈（Cooperative Game）”和“非合作博弈”做了明确的区分和定义。
阿尔伯特·塔克（Alberttucker）教授评价其论文，“这是对博弈理论的高度原创性和重要的贡献。
它发展了本身很有意义的n人有限非合作博弈的概念和性质。
并且它很可能开拓出许多在两人零和问题以外的，至今尚未涉及的问题。
在概念和方法两方面，该论文都是作者的独立创造。
”纳什均衡例子博弈论中一个著名的例子就是囚徒困境。
囚徒困境是一个非零和博弈，说的是两个嫌疑犯甲和乙私人民宅联手作案，被警方逮住但未获证据。
警方于是将两个嫌疑犯分开审讯。
警官分别告诉两个囚犯，如果你招供，而对方不招供，则你将被判刑3个月，对方将被判刑10年；若两人都不招供则因未获证据但私人民宅将各拘留1年；如果两人均招供，每人将被判刑5年。
纳什均衡点
纳什均衡点纳什均衡点纳什均衡点（港译：纳殊均衡点），又称为非合作博弈均衡点，是博弈论的一个重要概念，以约翰·纳什命名。
如果某情况下无一参与者可以独自行动而增加收益，则此策略组合被称为纳什均衡点[1]。
[编辑本段]例子经典的例子就是囚徒困境，囚徒困境是一个非零和博弈。
大意是：一个案子的两个嫌疑犯被分开审讯，警官分别告诉两个囚犯，如果你招供，而对方不招供，则你将被判刑一年，而对方将被判刑十年；如果两人均招供，将均被判刑五年。
于是，两人同时陷入招供还是不招供的两难处境。
如果两人均不招供，将最有利，只被判刑三年。
但两人无法沟通，于是从各自的利益角度出发，都依据各自的理性而选择了招供，这种情况就称为纳氏均衡点。
这时，个体的理性利益选择是与整体的理性利益选择不一致的。
囚犯甲的博弈矩阵囚犯甲招供不招供囚犯乙招供判刑五年甲判刑十年；乙判刑一年不招供甲判刑一年；乙判刑十年甲判刑三年基于经济学中Rational agent的前提假设，两个囚犯符合自己利益的选择是坦白招供，原本对双方都有利的策略不招供从而均被判刑三年就不会出现。
事实上，这样两人都选择坦白的策略以及因此被判五年的结局被是“纳什均衡”（也叫非合作均衡），换言之，在此情况下，无一参与者可以“独自行动”（即单方面改变决定）而增加收获。
[编辑本段]学术争议和批评第一，纳什（Nash）的关于非合作（non-cooperative）博弈论的平衡不动点解（equilibrium/fixpoint）学术证明是非构造性的（non-constructive），就是说纳什用角谷静夫不动点定理（Kakutani fixed point theorem）证明了平衡不动点解是存在的，但却不能指出以什么构造算法如何去达到这个平衡不动点解。
这种非构造性的发现对现实生活里的博弈的作用是有限的，即使知道平衡不动点解存在，在很多情况下达不到并不能解决问题。
[来源请求]在数学意义上，纳什并没有超越角谷静夫不动点定理。
纳什均衡
§2.3 混合策略和混合纳什均衡
定义8.2.2 在对策 G =S1,S2,Sn;h1,h2,hn 中，局中
人的策略集为Si Si1,,Sik ，则他以概率分布
pi pi1, pik 随机在其k 个可选策略中选择的
精品课程《“运策筹学略》”称为一个混合策略，其中
第二节 纳什均衡
为方便起见，设羊数量是可分的。不管其他
农户数量如何，第一人总希望自己收益最大。
由此得出：
0 P1
q1
每个农户都得出与此相同的结论 ：
q1
56
1 2
q2
1 2
q3
q2
56
1 2
q1
1 2
q3
q3
56
1 2
q1
1 2
q2
精品课程《运筹学》
第二节 纳什均衡
三条曲线的交点(q1*, q2*, q3* )就是纳什均衡。联
精品课程《运筹学》
第二节 纳什均衡
参与人2
参
左中右来自与上 人下 1（1，0） （1，2） （0，1） （0，3） （0，1） （2，0）
图8.2.2
参
参与人2
与
左中
人上
1
（1，0） （1，2）
下 （0， 3） （0，1） 图8.2.3
精品课程《运筹学》
第二节 纳什均衡
参与人2
左
中
1
上 （1，0） （1，2）
是各对策方策略的多元函数个局中人的对策常写成精品课程运筹学第二节纳什均衡定义821在对策如果有由各个对策方的各选取一个策略组成的某个策略组合中任一对策方略为都是对其余策略方策略的组合的最佳策略即对任意都成立则称精品课程运筹学第二节纳什均衡例821囚徒的困境警察抓住了两个罪犯但是警察局缺乏足够的证据指证他们所犯的罪行
纳什均衡概念名词解释
纳什均衡概念名词解释纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，它描述了博弈双方在特定条件下做出的最优策略选择，这个选择不会被单方面的改变，否则对于另一方来说，选择其他策略反而更劣。
1. 概念解释纳什均衡的概念可以从两个方面进行解释。
从个人角度看，纳什均衡是指当每一个人都实施最优策略时，其它人不能从自己的策略中获得进一步的盈利收益；从社会角度看，纳什均衡则是指，当所有人都做出了最优策略时，整个社会得到了最大的总收益。
2. 纳什均衡的前提条件在博弈论中，纳什均衡并不是所有博弈都存在的。
对于一个博弈，存在纳什均衡需要满足以下条件：（1）所有博弈者都采取了最优策略，即无法通过改变策略来提高自己的收益；（2）每个博弈者的策略是对其他博弈者实施的策略的最佳反应；（3）每个博弈者都清楚地了解其他博弈者的策略。
3. 纳什均衡的类型在实际的博弈中，纳什均衡可以分为三种类型:（1）纯策略均衡：指每位参与者都只选定一个策略，并根据它的期望收益来进行决策，不存在概率因素。
（2）混合策略均衡：指每位参与者按一定的概率选定多个策略，并根据它的期望收益来进行决策，存在概率因素。
（3）多重纳什均衡：指博弈中存在多个均衡策略组合，每个均衡策略组合都符合博弈的前提条件。
4. 纳什均衡的意义和应用纳什均衡是博弈论的一个核心概念，其意义和应用非常广泛。
首先，纳什均衡可以用来预测和解释现实生活中的决策行为，如市场竞争、政府政策制定等。
其次，纳什均衡也可以用来指导协商和谈判的过程。
最后，纳什均衡还可以用来研究其他领域的决策行为，如军事战略、生态环境等。
综上所述，纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，它描述了博弈双方在特定条件下做出的最优策略选择，是一种使得所有参与者都满意的稳定状态。
纳什均衡的应用领域非常广泛，其理论和方法也在不断地发展和完善。
第二讲纳什均衡
猎人博弈得益矩阵
乙
猎鹿 打兔
10
4 0
甲
猎鹿
10 0
4 4
打兔
4
博弈论故事之五－－高薪养廉
• “高薪养廉”是公务员制度方面的一种理论，我们分 高薪养廉”是公务员制度方面的一种理论， 析一下“高薪”为什么能养廉？ 析一下“高薪”为什么能养廉？ • 假设甲乙为一家单位的主任和书记关系密切的国家公 务员， 代表现在政府给他们的高薪 如果两人受贿， 代表现在政府给他们的高薪。 务员，7代表现在政府给他们的高薪。如果两人受贿， 因为串谋而一时不被人发现，他们可以达到9的位置 的位置； 因为串谋而一时不被人发现，他们可以达到 的位置； 而一旦“东窗事发” 他就要被撤职查办， 而一旦“东窗事发”，他就要被撤职查办， 不受贿一 方得8 方得 • 画出得益矩阵
美苏争霸的囚徒困境
• 军备竞赛的博弈：从军事上看，二三十年前美国和前苏联是世界 军备竞赛的博弈：从军事上看， 上的两个超级大国，他们相互对垒。 上的两个超级大国，他们相互对垒。假定每一方都有两种策略选 一个是扩军，发展核武器，实施“星球大战”计划等； 择：一个是扩军，发展核武器，实施“星球大战”计划等；另一 个是彻底裁军，直至不设军备。 个是彻底裁军，直至不设军备。 • 如果双方都扩军，则各花费2000亿美元用于军费。彻底裁军，则 如果双方都扩军，则各花费 亿美元用于军费。 亿美元用于军费 彻底裁军， 军费为0。 军费为 。 • 如果美军不设防，但前苏联扩军，前苏联就可以任意欺负和损害 如果美军不设防，但前苏联扩军， 美国，这样，美国会受到很大损失，直至丧失主权。我们记得益 美国，这样，美国会受到很大损失，直至丧失主权。 ？，假定为 亿美元。 为－∞；而苏联又会是多少呢 ？为＋∞？，假定为 ； ？，假定为10000亿美元。 亿美元 反之也成立。 反之也成立。
纳什均衡3
• 如果潜在进入者选择不进入，在位者选择斗争，那么潜在进入者的收 益为 0，在位者的收益为 20。
• 如果潜在进入者选择不进入，在位者选择默许，那么潜在进入者的收 益为 0，在位者的收益为 15
知己知彼 百战不殆 27
• 采用“划横线法”寻找“市场争夺战”博弈的纳什均衡
在位者 斗争 进入 （-10，-10） 默许 （ 5， 5 ）
3,0
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1 纳什均衡与占优策略均衡的关系？ 2 举出纳什均衡的问题，建立模型进行分析。
知己知彼 百战不殆
34
Thank you!
LOO
知己知彼，百战不殆
LOO
知己知彼，百战不殆
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主要内容
1. 什么是纳什均衡 2. 如何寻找纳什均衡 3. 纳什均衡怎么应用 4. 小结与思考
LOO
1、什么是纳什均衡
乙 B1 A1 甲 A2 A3 （500，150） （400，200） （400，400） （450，150） (150, 450) （350，350） （450，450） B2 （150，500） B3 (200, 400)
知己知彼，百战不殆
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• 假设在市场中有两个竞争对手。一个是已经在市场中的“在位者”， 另一个是企图进入市场的“潜在进入者”。
• 潜在进入者有两个可以选择的策略：进入、不进入。在位者也有两个 可以选择的策略：斗争、默许。
• 如果潜在进入者选择进入，在位者选择斗争，那么激烈的市场竞争会 使得双方均亏损，双方收益均为 -10。 • 如果潜在进入者选择进入，在位者选择默许，那么双方在市场中均可 获得收益 5。
R2
R3
4，0
3，5
0，4
3，5
多重纳什均衡的选择问题
多重纳什均衡的选择问题在博弈论和信息经济学中，我们常常面临一个问题：在存在多种纳什均衡的情况下，如何选择最优的均衡点。
这种选择问题涉及到市场竞争、政府决策、引入新技术等多个领域，在选择最优的策略时需要考虑众多的因素和权衡。
本文将从纳什均衡的定义出发，介绍多重纳什均衡的产生原因及其影响因素，并探讨选择最优均衡点的方法。
1. 纳什均衡的定义纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，指的是在博弈中，每个参与者选择最优策略的状态。
具体地说，如果对于每个参与者的策略选择，其他参与者的策略都是最优的，那么这种状态就是纳什均衡。
例如，在一个两人博弈中，A和B的策略分别为合作和背叛，如果A选择合作，B 也选择合作，那么这种状态就是一个纳什均衡。
因为在这种情况下，A不会改变他的策略，因为他没有更好的选择了，B也不会改变，因为他的策略也是最优的。
2. 多重纳什均衡的产生原因在现实生活中，很多博弈存在多种纳什均衡的情况。
这种现象主要是因为以下两个原因所致。
2.1 非对称性在博弈中，参与者的利益和策略选择可能存在非对称性。
例如，在一个拍卖中，卖家和买家的目的可能是不同的。
卖家想要卖出商品，而买家则想以最低的价格买到这个商品。
因此，在这种情况下，可能存在多种纳什均衡。
2.2 多站点竞争在多站点竞争中，参与者的收益和策略选择可能会受到其它站点的影响。
例如，在一个城市中，如果只有一家咖啡店，那么这家咖啡店就可以定价较高，因为消费者没有其他选择。
但是，如果有多家咖啡店，则它们之间的定价策略和市场份额就会相互影响，可能存在多种纳什均衡。
3. 选择最优均衡点的方法在存在多重纳什均衡的情况下，如何选择最优的均衡点是一个复杂的问题。
以下是一些常用的方法：3.1 政策干预政府可以通过政策干预来引导市场选择最优的均衡点。
例如，在城市中建造公共场所，例如咖啡厅、购物中心等，以增加市场竞争和选择产品的范围。
3.2 引入新技术引入新技术也可以改变市场竞争的格局，在这个过程中可能会产生新的纳什均衡状态。
第二节 纳什均衡
通俗的讲，就是给定你的最优选择，我会选择能 够使我最优的选择，或者说，我选择在给定你的选择 的情况下我的最优选择，你选择了给定我选择情况下 你的最优选择。这种均衡最后到底均衡在哪一点，由 具体情况决定。在存在帕累托改善的情况下，可能会 达到帕累托最优。
在本例中，B企业选择了生产高度白酒，A企业选 择生产低度白酒是一种均衡；B企业选择了生产低度白 酒，A企业选择生产高度白酒也是一种均衡。由于在B 企业选择生产高度白酒，A企业选择生产低度白酒的时 候，A、B两企业的收益都比B企业选择生产低度白酒， A企业选择生产高度白酒时的收益要高，存在着帕累托 改善，因此最后可能会达到帕累托最优，即B企业选择 生产高度白酒，A企业选择生产低度白酒。
二、无纳什均衡的例子 实际上，纳什均衡也是一种特殊情况，并不是所 有的博弈都会产生纳什均衡。例如：在足球比赛中， 罚点球的时候，守门员和罚球者也构成一个博弈，双 方的收益矩阵如下图所示：
守门员
左中右
左 -1，1 1，-1 1，-1
点
球
中 1，-1 -1，1 1，-1
者
右 1，-1 1，-1 -1，1
由于在b企业选择生产高度白酒a企业选择生产低度白酒的时候ab两企业的收益都比b企业选择生产低度白酒a企业选择生产高度白酒时的收益要高存在着帕累托改善因此最后可能会达到帕累托最优即b企业选择生产高度白酒a企业选择生产低度白酒
第二节 纳什均衡
一、举例 假定A、B两个企业都生产白酒，白酒分为高度和低 度两种。报酬矩阵如图所示：
同样，当罚球者判断守门员将向右扑球时，罚 球者将向左或中发球；当罚球者判断守门员将向右 扑球时，罚球者将向右或中发球；当罚球者判断守 门员将向中扑球时，罚球者将向左或右发球。此时 果守门员也选择 了右，罚球者将得 -1，守门员将得 +1；如果守门员 选择了左或者中，罚球者将得 +1，守门员将得 -1。
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纳什均衡，Nash equilibrium ,又称为非合作博弈均衡，是博弈论的一个重要术语，以约翰·纳什命名。
约翰·纳什1948年作为年轻数学博士生进入普林斯顿大学。
其研究成果见于题为《非合作博弈》（1950）的博士论文。
该博士论文导致了《n人博弈中的均衡点》（1950）和题为《非合作博弈》（1951）两篇论文的发表。
纳什在上述论文中，介绍了合作博弈与非合作博弈的区别。
他对非合作博弈的最重要贡献是阐明了包含任意人数局中人和任意偏好的一种通用解概念，也就是不限于两人零和博弈。
该解概念后来被称为纳什均衡。
纳什的主要学术贡献体现在1950年和1951年的两篇论文，1950年他才把自己的研究成果写成题为“非合作博弈”的文章刊登在美国全国科学院
每月公报上，立即引起轰动。
说起来这全靠师兄戴维·盖尔之功，就在遭到冯·诺依曼贬低，嘲笑几天之后，他遇到盖尔，像说梦话似的告诉他自己已经将冯·诺依曼的“最小最大原理找到了普遍化的方法和均衡点。
纳什这个初出茅庐的小子，根本不知道竞争的险恶，从没想到学术欺骗的后果。
结果还是戴维·盖尔充当了他的“经纪人”，起草致科学院的短信，系主任列夫谢茨则利用方便的人脉关系亲自将文稿递交给科学院。
纳什写的文章不多，他辩解说：少了才是精品。
中国国内提一个教授，要求在“核心的刊物”上发表多少篇文章。
按照这个标准可能纳什还不一定够资格。
1996年诺贝尔经济学奖得主莫尔里斯当牛津大学艾奇沃思经济学讲座教授时也没有发表
过什么文章，特殊的人才，必须有特殊的选拔办法。
Nash平衡是指博弈中这样的局面，对于每个参与者来说，只要其他人不改变策略，他就无法改善自己的状况。
Nash在证明了在每个参与者都只有有限种策略选择、并允许混合策略的前提下，Nash平衡一定存在。
以两家公司的价格大战为例，Nash平衡意味着两败俱伤的可能：在对方不改变价格的条件下，既不能提价，否则会进一步丧失市场；也不能降价，因为会出现赔本甩卖。
于是两家公司可以改变原先的利益格局，通过谈判寻求新的利益评估分摊方案，也就是Nash平衡。
类似的推理当然也可以用到选举，群体之间的利益冲突，潜在战争爆发前的僵局，议会中的法案争执等。
编辑本段定义
假设有n个局中人参与博弈，给定其他人策略的条件下，每个局中人选择自己的
纳什均衡
最优策略（个人最优策略可能依赖于也可能不依赖于他人的战略），从而使自己利益最大化。
所有局中人策略构成一个策略组合（Strategy Profile）。
纳什均衡指的是这样一种战略组合，这种策略组合由所有参与人最优策略组成。
即在给定别人策略的情况下，没有人有足够理由打破这种均衡。
纳什均衡，从实质上说，是一种非合作博弈状态。
纳什均衡达成时，并不意味着博弈双方都处于不动的状态，在顺序博弈中这个均衡是在博弈者连续的动作与反应中达成的。
纳什均衡也不意味着博弈双方达到了一个整体的最优状态，以下的囚徒困境就是一个例子。
编辑本段标准定义
纳什均衡的定义：在博弈G=﹛S1,…,Sn：u1,…，un﹜中，如果由各个博弈方的各一个策略组成的某个策论组合（s1*,…，sn*）中，任一博弈方i 的策论si*，都是对其余博弈方策略的组合（s1*,…s*i-1,s*i+1,…，sn*）的最佳对策，也即ui（s1*,…s*i-1,si*,s*i+1,…，sn*）≥ui
（s1*,…s*i-1,sij*,s*i+1,…，sn*）对任意sij∈Si都成立，则称（s1*,…，sn*）为G的一个纳什均衡。
编辑本段纳什均衡的分类
纳什均衡可以分成两类：”纯战略纳什均衡“和”混合战略纳什均衡“。
要说明纯战略纳什均衡和混合战略纳什均衡，要先说明纯战略和混合战略。
所谓纯战略是提供给玩家要如何进行赛局的一个完整的定义。
特别地是，纯战略决定在任何一种情况下要做的移动。
战略集合是由玩家能够施行的纯战略所组成的集合。
而混合战略是对每个纯战略分配一个机率而形成的战略。
混合战略允许玩家随机选择一个纯战略。
混合战略博弈均衡中要用概率计算，因为每一种策略都是随机的，达到某一概率时，可以实现支付最优。
因为机率是连续的，所以即使战略集合是有限的，也会有无限多个混合战略。
当然，严格来说，每个纯战略都是一个“退化”的混合战略，某一特定纯战略的机率为1，其他的则为0。
故“纯战略纳什均衡”，即参与之中的所有玩家都玩纯战略；而相应的“混合战略纳什均衡”，之中至少有一位玩家玩混合战略。
并不是每个赛局都会有纯战略纳什均衡，例如“钱币问题"就只有混合战略纳什均衡，而没有纯战略纳什均衡。
不过，还是有许多赛局有纯战略纳什均衡（如协调赛局，囚徒困境和猎鹿赛局）。
甚至，有些赛局能同时有纯战略和混合战略均衡。
编辑本段纳什均衡经典案例：囚徒困境
（1950年，数学家塔克任斯坦福大学客座教授，在给一些心理学家作讲演时，讲到两个囚犯的故事。
）
假设有两个小偷A和B联合犯事、私入民宅被警察抓住。
警方将两人分别置于不同的两个房间内进行审讯，对每一个犯罪嫌疑人，警方给出的政策是：如果一个犯罪嫌疑人坦白了罪行，交出了赃物，于是证
纳什均衡
据确凿，两人都被判有罪。
如果另一个犯罪嫌疑人也作了坦白，则两人各被判刑8年；如果另一个犯罪嫌人没有坦白而是抵赖，则以妨碍公务罪（因已有证据表明其有罪）再加刑2年，而坦白者有功被减刑8年，立即释放。
如果两人都抵赖，则警方因证据不足不能判两人的偷窃罪，但可以私入民宅的罪名将两人各判入狱1年。
囚徒困境博弈
1．改变了经济学的体系和结构。
非合作博弈论的概念、内容、模型和分析工具等，均已渗透到微观经济学、宏观经济学、劳动经济学、国际经济学、环境经济学等经济学科的绝大部分学科领域，改变了这些学科领域的内容和结构，成为这些学科领域的基本研究范式和理论分析工具，从而改变了原有经济学理论体系中各分支学科的内涵。
2．扩展了经济学研究经济问题的范围。
原有经济学缺乏将不确定性因素、变动环境因素以及经济个体之间的交互作用模式化的有效办法，因而不能进行微观层次经济问题的解剖分析。
纳什均衡及相关模型分析方法，包括扩展型博弈法、逆推归纳法、子博弈完美纳什均衡等概念方法，为经济学家们提供了深入的分析工具。
3．加强了经济学研究的深度。
纳什均衡理论不回避经济个体之间直接的交互作用，不满足于对经济个体之间复杂经济关系的简单化处理，分析问题时不只停留在宏观层面上而是深入分析表象背后深层次的原因和规律，强调从微观个体行为规律的角度发现问题的根源，因而可以更深刻准确地理解和解释经济问题。
4．形成了基于经典博弈的研究范式体系。
即可以将各种问题或经济关系，按照经典博弈的类型或特征进行分类，并根据相应的经典博弈的分析方法和模型进行研究，将一个领域所取得的经验方便地移植到另一个领域。
5．扩大和加强了经济学与其他社会科学、自然科学的联系。
纳什均衡之所以伟大，就因为它普通，而且普通到几乎无处不在。
纳什均衡理论既适用于人类的行为规律，也适合于人类以外的其他生物的生存、运动和发展的规律。
纳什均衡和博弈论的桥梁作用，使经济学与其他社会科学、自然科学的联系更加紧密，形成了经济学与其他学科相互促进的良性循环。
6．改变了经济学的语言和表达方法。
在进化博弈论方面相当有造诣的坎多利（Kandori，1997）对保罗·萨缪尔森（Paul Samuelson）的名言“你甚至可以使一只鹦鹉变成一个训练有素的经济学家，因为它必须学习的只有两个词，那就是‘供给’和‘需求’”，曾做过一个幽默的引申，他说，“现在这只鹦鹉需要再学两个词，那就是‘纳什均衡’”。