七年级数学相交线与平行线教师讲义带答案

第4章 相交线及平行线

一、知识结构图

余角

余角补角

补角

角 两线相交 对顶角

同位角

三线八角 内错角

同旁内角

平行线的判定

平行线

平行线的性质

尺规作图

二、基本知识提炼整理

（一）余角及补角

1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。

2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。

3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只及角的度相交线及平行线

数有关，及角的位置无关。

4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：

（1）0000

∠+∠=∠+∠=则23

1290(180),1390(180),

∠=∠(同角的余角或补角相等)。

（2）0000

∠+∠=∠+∠=且14,

1290(180),3490(180),

∠=∠则23

∠=∠(等角的余角（或补角）相等)。

6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。

（二）对顶角

1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。

2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

3、对顶角的性质：对顶角相等。

4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。

5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。

（三）同位角、内错角、同旁内角

1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。

2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。

3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。

4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。

5、这三种角只及位置有关，及大小无关，通常情况下，它们之间不

存在固定的大小关系。

（四）六类角

1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。

2、余角、补角只有数量上的关系，及其位置无关。

3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，及其数量无关。

4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。

（五）尺规作线段和角

1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。

2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。

3、尺规作图中直尺的功能是：

（1）在两点间连接一条线段；

（2）将线段向两方延长。

4、尺规作图中圆规的功能是：

（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；

（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；

5、熟练掌握以下作图语言：

（1）作射线××；

（2）在射线上截取××=××；

（3）在射线××上依次截取××=××=××；

（4）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×；

（5）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×；

（6）过点×和点×画直线××（或画射线××）；

（7）在∠×××的外部（或内部）画∠×××=∠×××；

6、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。

（1）画线段××=××；

（2）画∠×××=∠×××；

（六）平行线的判定及性质

平行线的判定平行线的性质

1、同位角相等，两直线平行

2、内错角相等，两直线平行

3、同旁内角互补，两直线平行

4、平行于同一条直线的两直线平

行

5、垂直于同一条直线的两直线平

行1、两直线平行，同位角相等

2、两直线平行，内错角相等

3、两直线平行，同旁内角互补

4、经过直线外一点，有且只有一条直线及已知直线平行

【经典例题】

例1.判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。

（1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；

（2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；

（3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；

（4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。

分析：本题考查学生对基本概念的理解是否清晰。（1）、（2）都是对点到直线的距离的描述，由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”可判断（1）、（2）都是错的；由对顶角相等且互补易知，这两个角都是90°，故（3）正确；同一平面内，两条直线的位置关系是相交或平行，必须强调“在同一平面内”。

解答：（1）这种说法是错误的。因为垂线是直线，它的长度不能度量，应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离”。

（2）这种说法是错误的。因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度。

（3）这种说法是正确的。

（4）这种说法是错误的。因为只有在同一平面内，两条直线的位置关系才是相交或平行。如果没有“在同一平面内”这个前提，两条直线还可能是异面直线。

说明：此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质，弄清易混概念。

例 2. 如下图（1）所示，直线DE 、BC 被直线AB 所截，问∠∠∠∠1424与，与，∠∠34与各是什么角？

A

D

1

2 3

E

4

B C

图（1）

分析：已知图形不标准，开始学不容易看，可把此图画成如下图

（2）的样子，这样就容易看了。

A

D

1

2 3

E

4

B C

图（2）

答案：∠∠14与是同位角，∠∠24与是内错角，∠∠34与是同旁内角。

例3 如下图（1），

2

3

6

4 5

1 2 l 1

l 3

图（1）

（1）∠∠12与是两条直线_________________及_________________被第三条直线_________________所截构成的___________________角。

（2）∠∠13与是两条直线_______________及_________________被第三条直线____________________所截构成的________________角。

（3）

∠∠34与是两条直线_______________及___________________被第三条直线_________________________所截构成的_______________角。

（4）∠5及∠6是两条直线_______________及_______________，被第三条直线______________________所截构成的________________角。

分析：从较复杂的图形中分解出有关角的直线，因此可以得到∠∠13与是由直线l l 13，被第三条直线l 2所截构成的同位角，如下图（2），类似可知其他情况。

2

3

1 l 1

l 3

图（2）

答案：（1）∠1及∠2是两条直线l l 23与被第三条直线l 1所截构成的同位角。

（2）∠1及∠3

是两条直线l l 13与被第三条直线l 2所截构成的同位角。

（3）∠∠34与是两条直线l l 13与被第三条直线l 2所截构成的内错角。

（4）∠5及∠6是两条直线l l 12与被第三条直线l 3所截构成的同旁内角。

例4如图，已知∠AMF=∠BNG=75°，∠CMA=55°，求∠MPN 的大小

B F H

答案：50°

解析：因为∠AMF=∠BNG=75°，又因为∠BNG=∠MNP ，所以∠AMF=∠MNP ，所以EF ∥GH ，所以∠MPN=∠CME ，又因为∠AMF=75°，∠CMA=55°，所以∠AMF+∠CMA=130°，即∠CMF=130°，所以∠

CME=180°－130°=50°，所以∠MPN=50°

例5如图，∠1及∠3为余角，∠2及∠3的余角互补，∠4=115°，CP平分∠ACM，求∠PCM

答案：57.5°

解析：因为∠1+∠3=90°，∠2+（90°－∠3）=180°，所以∠2+∠1=180°，所以AB∥DE，所以∠BCN=∠4=115°，所以∠ACM=115°，

又因为CP平分∠ACM，所以∠PCM=1

2∠ACM=

1

2×115°=57.5°，所以

∠PCM=57.5°

例6如图，已知：∠1+∠2=180°，∠3=78°，求∠4的大小

答案：102°

解析：因为∠2=∠CDB，又因为∠1+∠2=180°，所以∠1+∠CDB=180°，所以得到AB∥CD，所以∠3+∠4=180°，又因为∠3=78°，所以∠4=102°

例7如图，已知：∠BAP及∠APD 互补，∠1=∠2，说明：∠E=∠F

解析：因为∠BAP及∠APD 互补，所以AB∥CD，所以∠BAP=∠CPA，又因为∠1=∠2，所以∠BAP－∠1=∠CPA－∠2，即∠EAP=∠FPA，所以EA∥PF，所以∠E=∠F

例8如图，已知AB∥CD，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF 于O点，试问：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系？用式子表示并证明

答案：∠HOP=∠AGF－∠HPO

解析：过O作CD的平行线MN，因为AB∥CD，且CD∥MN，所以AB ∥MN，所以∠AGF=∠MOF=∠HON，因为CD∥MN，∠HPO=∠PON，所以∠HOP=∠HON－∠PON=∠HON－∠HPO，所以∠HOP=∠AGF－∠HPO

例9 如图，已知AB∥CD，说明：∠B＋∠BED＋∠D=360°

A B A B

E F E

C D C D

分析：因为已知AB∥CD，所以在∠BED的内部过点E作AB的平行线，将∠B＋∠BED＋∠D的和转化成对平行线的同旁内角来求。

解：过点E作EF∥AB，则

∠B＋∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵AB∥CD（已知）

EF∥AB（作图）

∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）

∴∠D＋∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∴∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF=360°

∵∠B＋∠BED＋∠D=∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF

∴∠B＋∠BED＋∠D=360°

例10. 小张从家（图中A处）出发，向南偏东40°方向走到学校（图中B处），再从学校出发，向北偏西75°的方向走到小明家（图中C处），试问∠ABC为多少度？说明你的理由。

解：∵AE∥BD（已知）

∴∠BAE=∠DBA（两直线平行，内错角相等）

∵∠BAE=40°（已知）

∴∠ABD=40°（等量代换）

∵∠CBD=∠ABC＋∠ABD（已知）

∴∠ABC=∠CBD－∠ABD（等式性质）

∵∠ABD=40°（已知）

∴∠ABC=75°－40°=35°

例11如图，∠ADC=∠ABC，∠1＋∠2=180°，AD为∠FDB的平分线，说明：BC为∠DBE的平分线。

分析：从图形上看，AE应及CF平行，AD应及BC平行，不妨假设它们都平行，这时欲证BC为∠DBE的平分线，只须证∠3=∠4，而∠3=∠C=∠6 ，∠4=∠5，由AD为∠FDB的平分线知∠5=∠6，这样问题就转化为证AE∥CF，且AD∥BC了，由已知条件∠1＋∠2=180°不难证明AE∥CF，利用它的平行及∠ADC=∠ABC的条件，不难推证AD ∥BC。

证明：∵∠1＋∠2=180°（已知）

∠2＋∠7=180°（补角定义）

∴∠1=∠7（同角的补角相等）

∴AE∥CF （同位角相等，两直线平行）

∴∠ABC＋∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）

又∠ADC=∠ABC（已知），CF∥AB（已证）

∴∠ADC＋∠C=180°（等量代换）

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）

∴∠6=∠C，∠4=∠5（两直线平行，同位角相等，内错角相等）又∠3=∠C（两直线平行，内错角相等）

∴∠3=∠6（等量代换）

又AD为∠BDF的平分线

∴∠5=∠6

∴∠3=∠4（等量代换）

∴BC为∠DBE的平分线

例12 如图，DE，BE 分别为∠BDC，∠DBA的平分线，∠DEB=∠1＋∠2

（1）说明：AB∥CD

（2）说明：∠DEB=90°

分析：（1）欲证平行，就找角相等及互补，但就本题，直接证∠CDB及∠ABD互补比较困难，而∠1＋∠2=∠DEB，若以E为顶点，DE 为一边，在∠DEB内部作∠DEF=∠2，再由DE，EB分别为∠CDB，∠DBA的平分线，就不难证明AB∥CD了，（2）由（1）证得AB∥CD后，由同旁内角互补，易证∠1＋∠2=90°，进而证得∠DEB=90°

证明：（1）以E为顶点，ED为一边用量角器和直尺在∠DEB的内部作∠DEF=∠2

∵DE为∠BDC的平分线（已知）

∴∠2=∠EDC（角平分线定义）

∴∠FED=∠EDC（等量代换）

∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行）

∵∠DEB=∠1＋∠2（已知）

∵∠FEB=∠1（等量代换），∠EBA=∠EBF=∠1（角平分线定义）∴∠FEB=∠EBA（等量代换）

∴FE∥BA（内错角相等，两直线平行）

又EF∥DC

∴BA∥DC（平行的传递性）

（2）∵AB∥DC（已证）

∴∠BDC＋∠DBA=180°（两直线平行，同旁内角互补）

又∠1=1

2∠DBA，∠2=

1

2∠BDC（角平分线定义）

∴∠1＋∠2=90°

又∠1＋∠2=∠DEB

∴∠DEB=90°

中考真题精讲

1．如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1，可得AD平分∠BAC．理由如下：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）

∴∠ADC=∠EGC=90°，（垂直的定义），

∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）

∴∠1=∠2，（两直线平行，内错角相等）

∠E =∠3，（两直线平行，同位角相等）

又∵∠E=∠1（已知），∴∠2 = ∠3 （等量代换）

∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）