概率第一节 概率和频率的区别
概率和频率
(Classical Probability)
一、 古典概型（等可能概型） “概型”是指某种概率模型。“古典概型” 是一种最简单、最直观的概率模型。如果 做某个随机试验时，只有有限个事件可能 发生，且事件满足下面三条：
1 发生的可能性相等(等可能性)； 2 在任意一次试验中至少有一个发生(完备性)； 3 在任意一次试验中至多有一个发生(互不相容). 具有上述特性的概型称为古典概型。
n n
第1次选取
第2次选取
B
A C D B C D
第3次选取 C 例如：n=4, D B D B C
k =3
P 4 3 2 24
3 4
……
P4 4 3 2 1 24
从n个不同元素取 k个（允许重复）
（1k n)的不同排列总数为：
n n n n
k
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
F ( A) P lim n
稳定性 某一定数
频率稳定性的实例
蒲丰( Buffon )投币
投一枚硬币观察正面向上的次数． n = 4040， nH =2048，F( H ) = 0.5069
皮尔森( Pearson )投币 n = 12000，nH =6019，F( H ) = 0.5016 n = 24000，nH =12012，F( H ) = 0.5005
M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776
Q: 0.0009
U: 0.0280 Y: 0.0202
R: 0.0594
V: 0.0102 Z: 0.0006
S: 0.0634
T: 0.0987
W: 0.0214 X: 0.0016
频率与概率课件
未来研究的方向
展望频率和概率研究的未 来方向。
参考文献
提供相关学术文献和资料的参考。
1 概率的应用
2 概率的局限性
阐述概率在统计学、经济学等领域的实际 应用。
探讨概率模型的局限性及可能的误差。
3 频率的应用
4 频率的局限性
介绍频率在科学实验、调查研究等领域的 应用。
讨论频率在事件发生不规律或难以测量时 的局限性。
总结
频率与概率的关系
总结频率和概率之间的联 系和差异。
应用和局限性
回顾频率和概率在实际生 活中的应用和局限性。
事件发生频率的计算 方法
介绍如何计算事件发生的 频率。
概率
概率的定义
概率是指某事件发生的可能 性。
概率公理介绍概率公理及其应用。概 Nhomakorabea的计算方法
探索如何计算事件的概率。
频率与概率的关系
1
大数定理
解释大数定理及其对频率和概率关系的影响。
2
概率的频率解释
讨论概率的频率解释并与实际案例相结合。
应用和局限性
频率与概率ppt课件
通过本课件，深入了解频率与概率的概念，探索它们之间的联系与差异，并 探讨它们在实际生活中的应用和局限性。
什么是频率与概率
频率是指某事件在一定时间内发生的次数，而概率是指某事件发生的可能性。
频率
频率的定义
频率是指某事件在一定时 间内发生的次数。
基本频率问题
探讨如何统计和比较事件 的频率。
频率与概率知识点总结
频率与概率知识点总结频率与概率是概率论中非常重要的概念，它们在统计学、数据分析、风险管理等领域都有着广泛的应用。
本文将对频率与概率的概念、性质、常见计算方法以及应用进行全面的总结。
一、频率的概念频率是指某一事件在一定时间或次数内发生的次数。
频率通常由次数除以总数得到，可以用来描述某一事件出现的概率大小。
频率的计算通常使用简单的数学方法，适用于各种具体的事件。
频率的性质1. 频率的取值范围为[0, 1]。
因为频率是事件发生的次数与总数的比值，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 频率的和为1。
在多次实验中，各个事件的频率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 频率与事件的发生次数成正比。
频率是事件的发生次数与总数的比值，所以事件发生的次数增加时，其频率也会增加。
频率的计算方法频率的计算通常使用下面的公式：频率 = 事件发生的次数 / 总数频率的应用频率广泛应用于统计学、数据分析、市场调研等领域。
通过对样本进行频率统计，可以得到样本中各个事件发生的概率大小，从而为决策提供参考依据。
二、概率的概念概率是描述某一事件发生可能性的数值，表示事件发生的可能性大小。
概率的分析通常使用概率分布、基本概率、条件概率等方法，适用于各种抽样实验、随机变量等概率事件。
概率的性质1. 概率的取值范围为[0, 1]。
因为概率是事件发生的可能性大小，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 概率的和为1。
在多个互斥事件的情况下，各个事件的概率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 概率与频率有关。
概率也可以用频率表示，即概率等于事件发生的频率。
在多次实验中，事件的频率趋于稳定时，可用频率代替概率。
概率的计算方法概率的计算通常使用下面的公式：概率 = 事件发生的次数 / 总数概率的应用概率广泛应用于统计学、概率论、数据分析、风险管理等领域。
通过对概率的分析，可以评估各种事件发生的可能性大小，为风险管理、模型建立、决策制定等提供参考依据。
概率第一节 概率和频率的区别
高考总复习.文科.数学
典例试解
高考总复习.文科.数学
例1
某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
击中靶心次数m
10
8
m
20
19
50
44
1455
击中靶心的频率 n
（1 （2 思路分析：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为 事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常 数上时，这个常数即为事件A的概率.
高考总复习.文科.数学
体验高考
高考总复习.文科.数学
1. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分 别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点 数分别为x、y，则log2xy=1的概率为（ 1 5 A B 6 36 1 1 C D
1 2
2
答案：C 2.（2009年江苏卷）现有5根竹竿，它们的长度（单位： m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机 抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为 ______________.
思路分析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的 频率为9/10=0.9，所以中靶的概率约为0.9．
解析：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的 概率为0.9；中10环的概率约为0.2．
高考总复习.文科.数学
变式探究 5.一个口袋内有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3 个黑球，从中摸出2 （1 （2）摸出2 （3）摸出2 答案：（1）6 （2）3 （3）1/2
高考总复习.文科.数学
概率与统计
高考总复习.文科.数学
考纲要求
了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，
了解概率的意义，了解频率与概率的区别.
频率与概率
击中靶心次数（m）
10
9
20
19 0.95
50
44
100 200
91 178
500
451
击中靶心频率（ m） 0.9 n
0.88 0.91
0.88 0.90
（1）计算表中击中靶心的各个频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？ 0.9 问：该射击手击中靶心的概率为90%，那他再射 击10次，一定会命中9次吗？ 不一定,射击10次，相当于10次试验，试验具有随 机性，命中9次是随机事件。
n = 50
f
0.4 0.6 0.2
nH
nH
2
f
n = 500 f nH
0.502 0.498
1 2 3 4 5 6 7
2 3 1 5 1 2 4
0.44 251 22 1 25 0.50 249 在 处波动较大 21 0.42
在 处波动较小 24 0.48 2 0.2
256 0.512 随1.0 n的增大 , 频率 f 呈现出稳定性 247 0.494 25 0.50 1
随机事件在一次试验中是否发生虽然不 能事先确定，但是在大量重复试验的情况 下，它的发生是否会呈现出一定的规律性 呢？
大家一起来掷 硬币
每人抛掷硬币10次， 计算出正面向上的频 率。
实验 有人将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各
做7 遍, 观察正面出现的次数及频率.
试验 序号
n=5
巩固练习
1、随机事件在n次试验中发生了m次，则（ C ） (A) 0＜m＜n (B) 0＜n＜m (C) 0≤m≤n (D) 0≤n≤m
2．下列结论正确的是 （ B）
频率与概率
20
f n ( S ) = 1;
30 若A1, 2, AK 是两两不相容事件,则 A fn ( A1 ∪ A2 ∪∪ AK ) = fn ( A1 ) + fn ( A2 ) + + fn ( AK )
频率的稳定性
在充分多次试验中,事件的频率总在一个定值附近 在充分多次试验中,事件的频率总在一个定值附近 定值 摆动,而且试验次数越多,摆动幅度越小. 摆动,而且试验次数越多,摆动幅度越小 这个性 质叫做频率的稳定性. 质叫做频率的稳定性
1,概率的公理化定义 ,
设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一个事 是随机试验, 是它的样本空间,对于 的每一个事 是随机试验 是它的样本空间 称为事件A的概率 的概率, 件A,赋予一个实数,记为 ,赋予一个实数,记为P(A) ,称为事件 的概率, 满足下述三条公理: 如果集合函数 P( . ) 满足下述三条公理 1)非负性: 1)非负性: P(A) ≥0 2)规范性: P(S)=1 )规范性: (1) (2)
P8-9 例1,例2 例
频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小, 频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小 尽管每进行n次试验 所得到的频率可以各不相同, 次试验, 尽管每进行 次试验,所得到的频率可以各不相同 但只要 n相当大,频率与概率是会非常接近的. 相当大,频率与概率是会非常接近的 相当大 因此,概率是可以通过频率来"测量" 因此,概率是可以通过频率来"测量"的, 频率是概率的一个近似. 频率是概率的一个近似 这种稳定性为用统计方法求概率的值开拓了道路. 这种稳定性为用统计方法求概率的值开拓了道路
二,概率的公理化定义及其性质 概率的公理化定义及其性质 公理
概率论与数理统计课件：1-2 概率论的基本概念 频率和概率
古典概型问题中，样本空间的构造必须 保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。
练习1.4.1 抛一枚均匀硬币三次，计算P { 恰好出现一次正面 }。 提示：这里有两种构造样本空间的形式， ① 以随机试验的全部结果构造 S1 = { HHH，HHT，HTH，HTT，THH， THT，TTH，TTT } 因此 P (A ) = 3/8 ； ② 以正面出现的次数构造 S2 = { 0，1，2，3 } 因此 P (A ) = 1/4 。
概率P (B – A) 的值。பைடு நூலகம்
解。分析：由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。
(1) A、B互不相容即 AB = ，得到 P (B – A ) = 0.5；
(2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2；
频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性， 称为是统计规律(大量试验下体现出来的规律)。
4
概率的频率定义
自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值 去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率 的极限来作为概率的定义。
然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去 做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也 无法去定义它们的频率。
16
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A表示事件至少有一个男孩,以H表示某个孩子 是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
P( A) N ( A) 7 N(S) 8
i 1
频率和概率的区别与联系
频率和概率的区别与联系小学里同学们就已经了解了有关事件发生的等可能性、游戏规则的公平性，并能进行简单事件发生的可能性的计算；到初中以后，开始系统学习概率，初步了解频率与概率的关系，所以概率知识对同学们来说并不陌生。
但一部分同学认为随机事件都是等可能事件，并且只学会了用列举法求随机事件的概率，机械地运用公式，即使有时能用随机事件发生的频率估算概率，但是对于频率和概率之间的关系却不能形成正确认识。
在自然界和人类社会中，严格意义上的确定性现象是非常有限的，相反，不确定现象（又称随机现象）却大量存在，而概率正是这种随机现象的数学描述。
概率，又称机会率、机率或可能性，是数学概率论的基本概念，是一个在0到1之间的实数，是对随机事件发生可能性的度量。
表示一个事件可能性大小的数，就叫做该事件的概率。
人们常说某人有百分之多少的把握通过这次考试、某件事发生可能性是多少，这都是概率的实例。
但如果一件事情发生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次发生该事件，而是说此事件发生的频率接近于1/n这个数值。
频率，是指在相同的条件下进行了n次试验，在这n次试验中事件A发生的次数n（A）称为事件A发生的频数，比值n（A）/n称为事件A的频率，并记为fn（A），用文字表示定义为：每个对象出现的次数与总次数的比值就是频率。
其实频率实验中事件发生的具体比率。
概率是个抽象的数学概念。
简单的说，概率是一般，频率是特殊。
要想更好地掌握这两个实用知识，必须知道它们之间的关系。
首先，频率和概率是相互联系的。
某个试验如果只能进行一次，在这样的条件下得出的结果根本无随机性可言。
事实上，频率稳定于概率这个结论，是针对在相同的条件下，大量的重复试验而言的。
如果在试验的次数不多的前提下，用频率来估计概率是不太合适的. 例如，抛掷一枚质地均匀的硬币，如果我们只抛了20次，结果发现正面朝上有5次，就认为正面朝上的概率大约为0.25，这样的结论我们肯定不会接受的，误差太大了。
频率与概率的关系与计算
频率与概率的关系与计算频率与概率是概率论中的重要概念，它们之间存在着密切的联系和计算方法。
频率指的是某个事件在重复试验中发生的次数与试验总数的比值，而概率则是描述事件发生可能性的数值。
本文将探讨频率与概率之间的关系以及它们的计算方法。
一、频率和概率的基本概念频率是指在一系列独立观察或试验中，某个事件发生的次数与总次数之比。
在统计学中，频率可以用来估计概率。
当试验次数足够大时，频率趋近于概率。
例如，我们抛掷一个均匀的硬币，记录正面朝上的次数，并将该次数除以总次数，得到的比值就是频率。
概率是指某个事件在所有可能事件中发生的可能性大小。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
概率可以从分析、实验或数学模型中得出。
例如，掷骰子时，每个点数的概率都是1/6。
二、频率与概率的关系频率和概率之间存在着紧密的关系。
频率是通过实验得到的结果，反映了实际事件发生的频繁程度。
概率则是通过理论推导得到的，反映了事件发生的可能性大小。
当试验次数很大时，频率会逐渐接近概率。
这一点可以由大数定律进行解释。
三、频率和概率的计算方法频率的计算方法相对简单。
在进行一系列独立重复试验时，我们只需要记录事件发生的次数，然后将该次数除以试验的总次数即可得到频率。
例如，我们进行100次抛硬币实验，记录到正面朝上的次数为60次，那么该事件的频率为60/100=0.6。
概率的计算方法则需要根据具体情况来确定。
对于样本空间中的有限个事件，我们可以通过统计频数来计算概率。
例如，抛掷一个均匀六面骰子，每个点数出现的可能性相等，所以每个点数的概率都是1/6。
对于连续型随机事件，则需要使用积分等数学方法来计算概率。
例如，在统计身高时，我们无法用一个个具体的数值来表示概率，而是用一个区间范围来描述。
我们可以通过概率密度函数来计算某个身高在特定区间内的概率。
四、频率与概率的应用频率和概率的概念和计算方法在现实生活和科学研究中有着广泛的应用。
《频率与概率》课件
参考资料
书籍和教材
- 《概率论与数理统计》——郑晓龙 - 《统计学基础》——康建文
课程网站链接
- 大数据分析与应用——机器学习 - 概率与统计——斯坦福大学公开课
其他相关学习资源
- Coursera《Probabilistic Graphical Models》 - Khan Academy Statistics and probability
概率分布
1
随机变量的定义和特征
随机变量通常用来描述随机事件中的数值特征。例如，投掷一枚硬币多次，计算正面 向上的有两种可能结果的试验，例如抛硬币或投篮命中。
3
正态分布
正态分布适用于连续变量的随机事件，例如身高或体重分布。
4
泊松分布
泊松分布适用于估计在一段时间内某事件发生的次数，例如地震发生的次数。
案例分析
本章讲述实际的案例，包括投资组合、医疗保 健和市场营销的例子。
结论
1 频率是概率的估计量
当试验次数足够大时，频率可以用来估计概率。但是，频率只是概率的近似值，并不等 于概率。
2 概率和统计学密切相关
概率和统计学的基本概念广泛应用于科学、工程和行业中的决策和预测。
3 课程总结
本门课程希望能帮助你掌握概率和频率的基本概念，并了解它们在实际生活中的应用。 希望您能在今后的生活和工作中灵活运用它们。
频率
定义和计算
频率是某一事件在多次试验中出现的次数除以总的试验次数。频率越高，意味着事件发生的 可能性越大。
作为概率的估计量
当试验次数足够大时，频率可以作为概率的估计量。但是，频率只是概率的一种估计，而不 是实际的概率值。
样本均值和频率的关系
样本均值是多次试验中所有结果的平均值。当试验次数趋近于无穷时，样本均值将趋近于概 率。
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（3）、频率是概率的近似值，随着试 验次数的增加，频率会越来越接近概率。高考总复习.文科.数学
解析：（1 0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91. （2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次， 击中靶心的概率约是0.89.
答案：0.2
解析：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的 概率为0.9；中10环的概率约为0.2．
变式探究
高考总复习.文科.数学
5.一个口袋内有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3 个黑球，从中摸出2 （1 （2）摸出2 （3）摸出2
答案：（1）6 （2）3
（3）1/2
高考总复习.文科.数学
体验高考
高考总复习.文科.数学
概率与统计
高考总复习.文科.数学
考纲要求
了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性， 了解概率的意义，了解频率与概率的区别.
热身
1．下列事件属于不可能事件的为（ A.连续投掷骰子两次，掷得的点数和为4 B.连续投掷骰子两次，掷得的点数和为8 C.连续投掷骰子两次，掷得的点数和为12 D.连续投掷骰子两次，掷得的点数和为16
高考总复习.文科.数学
某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次 中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计 算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率 约为多大？中10环的概率约为多大？
思路分析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的 频率为9/10=0.9，所以中靶的概率约为0.9．
高考总复习.文科.数学
1. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分
别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点
数分A 别为16x、y，则logB2xy=135的6 概率为（
C1
D1
12
2
答案：C
2.（2009年江苏卷）现有5根竹竿，它们的长度（单位： m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机 抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为 ______________.
（1 （2
思路分析：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为 事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常 数上时，这个常数即为事件A的概率.
1、频率与概率的意义
高考总复习.文科.数学
频率的定义
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比 例fn(A)=nA/n为事件A出现的频率。
高考总复习.文科.数学
答案：D 2．下列事件属于必然事件的为（
A. B. C. D.
答案：D
高考总复习.文科.数学
典例试解
高考总复习.文科.数学
例1
某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8
击中靶心的频率
m n
19 44 92 178 455
概率的定义
对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加， 事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数 记做P（A），称为事件A的概率，简称为A的概率。
取值范围是
[0，1]
高考总复习.文科.数学
频率与概率的区别与联系
（1）、频率本身是随机的，在试验前 不能确定。做同样次数的重复试验得到 事件的频率会不同。