平面向量数量积的坐标表示教学设计
平面向量数量积的坐标表示
第六节 平面向量数量积的坐标学习目标：1．掌握两个向量数量积的坐标表示，能通过两个向量的坐标进行两个向量数量积的运算．2．能运用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量的垂直关系．3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．重点、难点：重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的条件．难点：对向量的长度公式，两个向量垂直条件的灵活运用．学习过程：(一) 课前预习检查1.设单位向量j i ,分别与平面直角坐标系中的x 轴、y 轴方向相同，O 为坐标原点，若向量,23j i OA +=则向量OA 的坐标是 ，若向量)2,1(-=a ，则向量a 可用j i ,表示为 .2. 已知,1==j i ,j i ⊥,23j i a +=,j i b -==⋅b a .3. A 点坐标(x 1，y 1)，B 点坐标(x 2，y 2),_____,=AB ______,=BA ．.______=AB4. (1) ______;=⋅b a(2) _____;______;==⋅a a a(3) .______cos ______;=⇔⊥θb a 5. 向量的数量积满足哪些运算律？(二） 提出问题，揭示课题我们学过向量的加法、减法、数乘向量可以用它们相应的坐标来运算,那么怎样用b a 和的坐标来表示b a ⋅呢？ (三） 新课探究1. 平面向量数量积的坐标表示问题1：如图，i 是x 轴方向上的单位向量,j 是y 轴方向上的单位向量,请计算下列式子：(1) ____,=⋅i i (2) ____,=⋅j j(3) ____,=⋅j i (4) .____=⋅j j问题2：如何推导b a ⋅的坐标公式.已知非零向量),(),,(2211y x b y x a == ，设j i 和分别是x 轴和y 轴方向上的单位向量,则有,11j y i x a += j y i x b 22+=)()(2211j y i x j y i x b a +⋅+=⋅∴j j y y i j y x j i y x i i x x ⋅+⋅+⋅+⋅=211221210,1,122=⋅=⋅==i j j i j i2121y y x x b a +=⋅∴两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.2. 向量的模和两点间的距离公式(1) 向量的模.,),,(22222y x a y x a y x a +=+== 或则设（2）两点间的距离公式.)()(),,(),(2212212211y y x x AB y x B y x A -+-=则、设3. 两向量垂直和平行的坐标表示（1）垂直 0=⋅⇔⊥b a b a0)(),(21212,21,1=+⇔⊥==y y x x b a y x b y x a 则设（2）平行 0//)(),(12212,21,1=-⇔==y x y x b a y x b y x a 则设4. 两向量夹角公式的坐标运算.c o s ,180000ba b a b a ⋅=≤≤θθθ则）（的夹角为和设 .c o s ,1800),(),,(222221212121002,211y x y x y y x x b a y x b y x a +⋅++=≤≤==θθθ则）（的夹角为和设.0,022222121≠+≠+y x y x 其中 (四）讲解例题 探究新知例1. 已知)1,1(),32,1(=+-=b a ，求.,,θ的夹角和b a b a b a ⋅⋅解： ,311)32(11+=⨯++⨯-=⋅b a322)32()1(22+=++-=a ， 21122=+=b)31(23242+=+=⋅∴b a,21)31(231c o s =++=θ001800≤≤θ 060=∴θ 例2. 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC ∆的形状，并给出证明. 证明： )3,3()25,12(),1,1()23,12(-=---==--=AC AB031)3(1=⨯+-⨯=⋅∴AC ABAC AB ⊥∴是直角三角形A B C ∆∴变式：.),,1(),3,2(的值求实数中，在k k OB OA OAB Rt ==∆例3. 求以点C(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程.解: 设M(x,y)是圆C 上一点,则CM |=r,即 2r CMCM =⋅因为 (),,b y a x CM--= 所以()()222r b y a x =-+-,即为圆的标准方程.如果圆心在坐标原点上,这时a=0,b=0,那么圆的标准方程就是.222r y x =+由解析几何知给定斜率为k 的直线l ,则向量),1(k m = 与直线l 共线,我们把与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量.例4 已知直线01243:1=-+y x l 和0287:2=-+y x l ,求直线1l 和2l 的夹角.解: 任取直线1l 和2l 的方向向量)43,1(-=m 和)7,1(-=n . 设向量m 与n 的夹角为θ, 因为θcos n m n m =⋅,从而,22)7(1)43(1)7()43(11cos 2222=-+⨯-+-⨯-+⨯=θ 所以θ=45°,即直线1l 和2l 的夹角为45°.（五） 课堂练习1. 已知)1,1(),432,2(=-=b a ，求.,θ的夹角和b a b a ⋅2. 已知),9,6(),2,3(-==b a 求证.b a ⊥3. 若),6,5(),3,4(=-=b a 则.___432=⋅-b a a4. 若),3,(),1,3(-==x b a ，且b a ⊥，则实数.____=x5. 若),7,4(),3,2(-==b a ，则b a 在方向上的投影是 ；6. 若()2,4=a ，则与a 垂直的单位向量的坐标是 ；（六） 小结：平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.（七） 布置作业 课后巩固1. 已知三点()()(),7,6,3,2,5,7-C B A ，求证：ABC ∆直角三角形.2. 已知),5,(),0,3(k b a == ，.1350的值，求的夹角是与且k b a3. 已知直线017618:1=-+y x l 和09105:2=-+y x l ,求直线1l 和2l 的夹角.。
版高中数学第二章平面向量24第2课时平面向量数量积的坐标运算学案苏教版
第2课时平面向量数量积的坐标运算学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示ijxy轴的正半轴同向的单位向量．设，轴、是两个互相垂直且分别与iijjij分别是多少？·思考1 ··，，ijaxybxyabij，(，取思考2 ，，，试将为坐标平面内的一组基底，设)＝(，用)，＝2112ab. 表示，并计算·abab坐标间有何关系？若⊥，，则思考3axybxy).＝＝((，)，，梳理若向量2112ab＝·数量积____________________________向量垂直平面向量的模知识点二ayxa |(1 思考若＝，)，试将向量的模|用坐标表示．1→ABBxyxAy (，如何计算向量，，思考2 若(的模？，))2211梳理向量的模及两点间的距离→AB＝||→AxyBxyAB 为端点的向量(以，()，，)211222yyxx＋－－1122向量的夹角知识点三a·b ba xy b y baa x＝θ的夹角，则)，都是非零向量，θ＝(，是)，cos ＝(，与设，2121|a||b|xxyy＋2112. ＝2222yyxx＋·＋1221类型一平面向量数量积的坐标运算abb a·b＝10. 已知(1,2)与，同向，＝例1a的坐标；求(1)ca b·ca·b c. )，求(及)(1)(2(2)若＝，－2此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一反思与感悟般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况cbbcaa )··≠，即向量运算结合律一般不成立．(下·(·)ababa________. )·1,2)，则(2向量＋＝(1，－1)，＝＝(－1 跟踪训练向量的模、夹角问题类型二BAxOyO．－(16,12)，在平面直角坐标系5,15)中，是原点(如图)．已知点(例2→→ABOA ||，|(1)求|；OAB. 求∠(2)利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：反思与感悟 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．22yax|＋|＝求两向量的模．(2)利用θ的值．θ代入夹角公式求cos ，并根据θ的范围确定(3)baba的取值范λ的夹角α＝(λ，1)，若与为钝角，求2 跟踪训练已知(1＝，－1)，围．向量垂直的坐标形式类型三baabab的值为垂直，则实数λλ1,0)(3,2)((1)例3 已知＝－，＝－，若向量＋与－2 _____． 3→→kABCABABCACk是直角三角形，求(2,3)，，若△＝(1，的值．(2)在△中，)＝利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关反思与感悟于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．→→→OCtOCBCABxOyA，－－1)，在平面直角坐标系若中，已知((1,4)，)⊥(－2,3)，，(2跟踪训练3t________.则实数＝baba的夹角为，－2)，则________1．已知与＝(3，－1)，．＝(1????1331→→??ABCBABC＝，________.2．已知向量＝＝，则∠，????2222mnmnmn)，则λ－2,2)，若(＋＝)⊥(________. 3．已知向量＝(λ＋1,1)，＝(λ＋abab a·b b＝____________. ＝5|＝14．已知平面向量，且，，若，则向量＝(4，－3)，|ab＝(－1,2)＝(4,3)，．5．已知ab的夹角的余弦值；与(1)求abab)，求实数λ(的值．－λ )⊥(2＋(2)若1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．a x，(若可以对比学习、注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，3．二者不能混淆，记忆．＝1 4 yb xy ab xyxy ab xxyy＝－＝0，⊥＋?0.，则，，)＝()∥?221112112224．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误．5答案精析 问题导学 知识点一jjiiij 0. ＝1×1×cos 0＝1·，思考1 ·＝＝1×1×cos 0＝1，·jyxaxiyjbi ＝，＋＋＝，思考2 ∵221122yyjyyjxxxyjxiyjxixyxyabxii . ()·(＋＝＋＋)∴＝··＝(＋)＋＋2121122222121111ybabxxya 0. ?＝·＋思考3 ＝⊥0?2112yxxy ＋梳理2112yabxxy 0⊥＋?＝2211 知识点二yxiyjxa ＋，∈∵，＝R ，思考122222222jiyyjxyxaxiyji ·jxixyi ·j . )＋＋((＝)∴2＝(＋2＋ ＋)＝22i ·jji 1，0＝1，又∵，＝＝222222yaxyxa ＝|＋＋＝∴，∴|，22yax .∴||＋＝→→→yyyOAxyxxABOBx －，，)－(，，思考2 ∵)＝＝(－)－＝(11221221→22yxABxy.－|＋－＝∴|1212题型探究ba λλ)(>0)＝λ，＝(λ，21 例解 (1)设a ·b λ＝10则有，＝λ＋4a ＝(2,4)λ∴＝2，∴．a ·bb ·c 10，＝1×2－2×1＝0，(2)∵＝aab ·c 0)＝0，∴＝(ca ·b ．＝(20，－(10))1)＝10(2，－11 跟踪训练→OA ＝(16,12)例2 解 (1)由，→AB ，＝－12)(－21,3)－＝(－516,15→22OA ＝|20|＝1612＋，得→22AB 152.|－|＝＋3＝ 6→→ABAO ·→→ABOABAO. ＝(2)cos ∠cos ＝， →→ABAO ||||→→→→ABABAOOA 300. ＝－＝－[16×(－其中21,3)··21)＋12×3]＝＝－(16,12)·(－2300OAB .故cos ∠＝＝2220×15OAB ∴∠＝45°.ba ，1)∵，＝(1，－1)，＝(λ 跟踪训练2 解2baab 1. ＝|＝1＋λλ，∴|－|＝2|，·ba 为钝角，又∵的夹角，α ，1<0λ－?? ∴2?，2·1＋λλ≠1－ ，λ<1?? 即?2＋1≠0.λλ＋2??1. λ≠－<1∴λ且 1,1)．∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1 (1)例3 － 7133±211. －(2)或或 2331 －跟踪训练3当堂训练π3 3.－1. 2.30° 434????，－ 4. ??552552 (2)(1)5． 925 720XX —019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。
《平面向量数量积的坐标表示》教案、导学案、课后作业
《6.3.5 平面向量数量积的坐标表示》教案【教材分析】平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章的重点之一.【教学目标与核心素养】课程目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.2．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神.数学学科素养1.数学抽象：数量积的坐标运算；2.逻辑推理：平面向量的夹角公式，模长公式，垂直关系等；3.数学运算：根据向量垂直求参数，根据已知信息求数量积、夹角、模长等；4.数据分析：根据已知信息选取合适方法及公式求数量积；5.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事务之间是可以相互转化的.【教学重点和难点】重点：平面向量数量积的坐标表示；难点：向量数量积的坐标表示的应用.【教学过程】一、情景导入前面，我们学习了: 用坐标表示平面向量的加法和减法, 平面向量的数量积是如何定义, 向量的运算律有哪些.那么可以用坐标表示平面向量的数量积吗？如果可以，怎么表示?要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本34-35页，思考并完成以下问题1、平面向量数量积的坐标表示是什么？2、如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、两向量的数量积与两向量垂直的公式（1）已知两个非零向量a =(x 1,x 2), b =(x 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标表示数量积a ·b 呢？a ·b =x 1x 2+y 1y 2即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 （2）a ⊥b <=> a ·b =0<=>x 1x 2+y 1y 2=0 2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式 （1）若a =(x,y)，则|a |=x 2＋y 2（2）若A(x 1,x 2),B(x 2,y 2)，则两点A 、B 间的距离为 （3）设a , b 都是非零向量，a =(x 1,y 1), b (x 2,y 2), a 与b 的夹角θ， 则四、典例分析、举一反三题型一 平面向量数量积的坐标运算例1 (1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2(2)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ―→＝(1，－2)，AD ―→＝(2,1)，则AD ―→·AC ―→＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】(1) C ．(2) A ．【解析】(1)∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD ―→·AC ―→＝(2,1)·(3，－,)()(212212y y x x AB -+-=222221212121cos y x y x y y x x +⋅++=θ1)＝5.解题技巧（数量积坐标运算的两条途径）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．跟踪训练一1、在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点坐标分别为O (0,0)，B (1,1)，则AB ―→·AC ―→＝________.2．在平行四边形ABCD 中，AC ―→＝(1,2)，BD ―→＝(－3,2)，则AD ―→·AC ―→＝________.【答案】1、1 2、3.【解析】1、如图所示，在正方形OABC 中，A (0,1)，C (1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则AB ―→＝(1,0)，AC ―→＝(1，－1)，从而AB ―→·AC ―→＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.2、设AC ，BD 相交于点O ，则AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝(－1,2)．又AC ―→＝(1,2)，∴AD ―→·AC ―→＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.题型二 向量的模的问题例2 (1)设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于( ) A. 5 B. 6 C.17D.26(2)已知|a |＝213，b ＝(2，－3)，若a ⊥b ，求a ＋b 的坐标及|a ＋b |. 【答案】（1）A （2）a ＋b ＝(8,1)或a ＋b ＝(－4，－7)，|a ＋b |＝65. 【解析】 (1)∵a ∥b ，∴1×y －2×(－2)＝0， 解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝ 5. (2)设a ＝(x ，y )，则由|a |＝213，得x 2＋y 2＝52. ① 由a ⊥b ，解得2x －3y ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6y ＝－4.∴a ＝(6,4)或a ＝(－6，－4)． ∴a ＋b ＝(8,1)或a ＋b ＝(－4，－7)， ∴|a ＋b |＝65.解题技巧： (求向量模的两种基本策略)(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2. 跟踪训练二1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________． 2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 【答案】1、2＋ 3. 2、8 2.【解析】1、2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2 ＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2θ ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 2、∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)， ∴a·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －(a·b )b ＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 题型三 向量的夹角和垂直问题例3 (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120° D．150°(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，求c 的坐标．【答案】(1)C. (2) c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫521，－17. 【解析】 (1)∵a ·b ＝－2－8＝－10， ∴得(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152， ∴c ·a ＝－52.设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.(2)设c 的坐标为(x ，y )，则a ＋c ＝(1＋x,2＋y )． ∵(a ＋c )∥b ，∴(1＋x )×3－2×(2＋y )＝0，即3x －2y ＝1. ① 又a ＋b ＝(3,5)，且(a ＋b )⊥c ，∴3x ＋5y ＝0. ②联立①②，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，3x ＋5y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝521，y ＝－17.故c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫521，－17.解题技巧（解决向量夹角问题的方法和注意事项）(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b |a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.跟踪训练三1、已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．【答案】(1)b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)3π4. 【解析】(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3， ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2·72＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4， 即m ，n 的夹角为3π4.题型四 平面向量的数量积问题例4 已知点A ，B ，C 满足|AB ―→|＝3，|BC ―→|＝4，|CA ―→|＝5，求AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→的值．【答案】-25.【解析】[法一 定义法]如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45， ∴AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→ ＝BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35 ＝－25. [法二 坐标法]如图，建立平面直角坐标系，则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)． ∴AB ―→＝(－3,0)，BC ―→＝(0,4)， CA ―→＝(3，－4)．∴AB ―→·BC ―→＝－3×0＋0×4＝0， BC ―→·CA ―→＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA ―→·AB ―→＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→＝0－16－9＝－25. 解题技巧（求平面向量数量积常用的三个方法） (1)定义法：利用定义式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解； (2)坐标法：利用坐标式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解；(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．跟踪训练四1、如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．【答案】45.【解析】法一：以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，OE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故cos ∠DOE ＝OD ―→·OE―→|OD ―→|·|OE ―→|＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵OD ―→＝OA ―→＋AD ―→＝OA ―→＋12OC ―→， OE ―→＝OC ―→＋CE ―→＝OC ―→＋12OA ―→， ∴|OD ―→|＝52，|OE ―→|＝52， OD ―→·OE ―→＝12OA ―→2＋12OC ―→2＝1， ∴cos ∠DOE ＝OD ―→·OE ―→| OD ―→ ||OE ―→|＝45.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本36页练习，36页习题6.3的剩余题.【教学反思】结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。
平面向量数量积的坐标表示教案
平面向量数量积的坐标表示教案
教学目标：
1. 理解平面向量数量积的定义和性质。
2. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法。
3. 能够通过坐标表示计算平面向量数量积。
教学步骤：
一、引入
1. 提问：你们知道什么是平面向量数量积吗？它有什么作用？
2. 引导学生回忆和复习向量的定义和性质。
二、概念讲解
1. 给出平面向量数量积的定义：设有向量a(x₁, y₁)和向量b(x₂, y₂)，则它们的数量积(a·b) = x₁x₂ + y₁y₂。
2. 解释数量积的几何意义：数量积的结果是一个实数，它等于向量a在向量b上的投影的长度乘以向量b的模长。
三、坐标表示及计算方法
1. 说明如何利用向量的坐标表示来计算数量积，即将向量的坐标代入数量积定义的公式进行计算。
2. 给出一个例子，让学生分组演示如何通过坐标表示计算向量数量积。
引导学生思考其中的计算思想和规律。
四、数量积的性质
1. 介绍数量积的一些重要性质，如交换律、分配律、零向量的数量积等。
2. 提出相关练习题，让学生进行思考和讨论。
五、练习与巩固
1. 提供一些练习题，让学生通过坐标表示计算数量积。
2. 布置课后作业，要求学生完成更多的相关练习题，以巩固所学知识。
教学资源与评价方式：
1. 教师提供教学引导和示范。
2. 学生课堂参与和讨论。
3. 学生课后完成的作业和练习题。
教学延伸：
1. 引导学生思考平面向量数量积与向量夹角的关系，并介绍夹角余弦公式。
2. 提供更多复杂的计算题目，让学生进一步巩固和应用所学知识。
【人教A版】高中数学必修第二册：9.3.2.2-向量数量积的坐标表示同步教案(学生版-教师版)
【人教A 版】高中数学必修第二册 第九章§9.3.2.2 向量数量积的坐标表示目标要求1、理解并掌握平面向量数量积的坐标表示及相关结论．2、理解并掌握向量数量积的坐标运算．3、理解并掌握向量模的问题．4、理解并掌握向量夹角、垂直问题.学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：向量模的问题；难点：向量夹角、垂直问题．教学过程基础知识点2.平面向量数量积的坐标表示的结论 结论a =,),(,y x y 21()(a x x =-+向量(a x =ab a ⊥⇔2.平面向量数量积的坐标表示的结论 条件结论121a bx =+(2)本质:平面向量数量积的坐标表示及其结论实现了向量运算的完全代数化,并将数与形紧密结合起来.(3)应用:①求向量的模;②求向量的夹角;③判断两个向量垂直.【思考】已知向量(,)a x y =,则与a 共线和垂直的单位向量的坐标分别是什么?【课前基础演练】题1.（多选．．）下列命题错误．．的是 ( )A .向量的模等于向量坐标的平方和.B .若向量1122(,),(,)a x y b x y ==,则12210a b x y x y ⊥⇔-=.C .两个非零向量同向时，有a b a b ⋅=.D .若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角.题2.若向量(3,),(1,2)a m b =-=-,且a b ⊥,则实数m 的值为________.题3.已知向量a =(2,2),b =(-8,6),a 与b 的夹角为θ,则cos θ=______.【关键能力·合作学习】类型一 数量积的坐标运算(数学运算) 【题组训练】题4.若(2,3),(,2)a b x x =-=,且34a b ⋅=,则x 等于 ( ) A .3 B .13 C .13- D .-3题5.如图,在等腰直角三角形ABC 中,AB =AC =2,D ,E 是线段BC 上的点,且DE =13BC ,则AD AE ⋅的取值范围是 ( )A.84[,]93B.48[,]33C.88[,]93 D 4[,)3+∞题6.若(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=,则()a b c ⋅⋅=________;()a b c ⋅⋅=________.【解题策略】关于向量数量积的运算(1)进行数量积运算时,要正确使用公式1122(,),(,)a x y b x y ==及向量的坐标运算,并注意与函数、方程等知识的联系.(2)向量数量积的运算有两种思路:一种是基向量法,另一种是坐标法,两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时,一般选择坐标法.【补偿训练】题7.已知向量(2,1),(1,),(2)0a b k a a b ==-⋅-=,则k = ( ) A .-12 B .-6C .6D .12题8.已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+的最 小值是 ( ) A .-2 B .32-C .43- D .-1类型二 向量模的问题(数学运算)【典例】题9.已知向量(3,5),(2,1)a b ==-.(1) 求2a b -的坐标及模;(2)若()c a a b b =-⋅⋅,求c .【解题策略】 向量模的问题(1)字母表示下的运算,利用22a a =将向量模的运算转化为向量的数量积的运算. (2)坐标表示下的运算,若(,)a x y =,则2a x =+【跟踪训练】题10.在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,(2,4),(1,3)AB AC ==,则BD = ________.【补偿训练】题11.已知213,(3,2)a b ==-,若//a b ,求a b +的坐标及a b +. .类型三 向量夹角、垂直问题(数学运算) 角度1 平面向量的夹角问题【典例】题12.已知(1,1),(,1)a b λ=-=,若a 与b 的夹角θ为钝角,求实数λ的取值范围.【变式探究】题13.已知(1,2),(1,)a b λ==,a 与b 的夹角θ为锐角,求实数λ的取值范围.角度2 平面向量的垂直问题【典例】题14.已知向量(1,2),(3,1)a b ==-,向量,3x ka b y a b =+=-. (1)求向量,x y 的坐标; (2)若x y ⊥,求实数k 的值.【解题策略】1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积. (2)求模.利用2a x y =+.(3)求夹角余弦值.由公式cos θ=求夹角余弦值.(4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.2.涉及非零向量,a b 垂直问题时,一般借助12120a b a b x x y y ⊥⇔⋅=+=来解决.【拓展延伸】1.线段垂直的坐标关系设112233(,)(,)(,)A x y B x y C x y 是坐标平面内的三个点,则31213121()()()()0AC AB x x x x y y y y ⊥⇔-⋅-+-⋅-=.2.向量共线的条件 由cos θ=可知,若θ=0°或180°,则cos θ=±1,则有1212x x y y +=,利用此结论也可以判断两向量1122(,),(,)a x y b x y ==是否共线.【拓展训练】题15.已知A (-2,1),B (6,-3),C (0,5),则△ABC 的形状是 ( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .等边三角形题16.已知向量(1,2),(2,3),(4,5)a b c ==-=,若()a b c λ+⊥,则实数λ= ( )A .12-B .12C .-2D .2题17.已知向量(1,1),(3,4)a b ==-. (1)求a b -的值;(2)求向量a 与a b -夹角的余弦值.【补偿训练】题18.已知(1,1),(0,2)a b ==-,当k 为何值时, (1)ka b -与2a b +垂直;(2)ka b -与a b +的夹角为120°.备选类型 用向量解代数问题(数学建模)【典例】题19.求函数()f x =.【解题策略】向量法巧解代数问题向量是代数和几何的完美结合,尤其是解决代数问题时具有独到的优势,解题的关键在于观察问题的结构,挖掘代数结构的向量模型,把原有问题转化为向量问题,再借助向量有关知识解决问题. 【跟踪训练】题20.已知a ,b ,m ,n ∈R ,设22222()()()a b m n am bn ++=+,其中mn ≠0,用向量方法求证:a b m n=.【课堂检测·素养达标】题21.设(1,2),(3,4),(3,2)a b c =-=-=,则(2)a b c +⋅= ( ) A .12B .0C .-3D .-11题22.已知平面向量(1,2),(3,4)AB AC ==，则向量CB 的模是 ( )ABC .D .5题23.已知向量(4,3),(6,)a b m =-=,且a b ⊥,则m =______.题24.已知(4,3),(5,12)a b ==-,则,a b 夹角的余弦值等于________.题25.已知(1,2),(3,1),(4,3)a b c =-=-=. 求2,()(),(),()a b a b a b a c b a b ⋅+⋅-+⋅-.§9.3.2.2 向量数量积的坐标表示目标要求1、理解并掌握平面向量数量积的坐标表示及相关结论．2、理解并掌握向量数量积的坐标运算．3、理解并掌握向量模的问题．4、理解并掌握向量夹角、垂直问题.学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：向量模的问题；难点：向量夹角、垂直问题．教学过程基础知识点2.平面向量数量积的坐标表示的结论 结论2a x = +,),(,y x y 21()a x x =-+2.平面向量数量积的坐标表示的结论121a b x=+(2)本质:平面向量数量积的坐标表示及其结论实现了向量运算的完全代数化,并将数与形紧密结合起来.(3)应用:①求向量的模;②求向量的夹角;③判断两个向量垂直.【思考】已知向量(,)a x y=,则与a共线和垂直的单位向量的坐标分别是什么?提示:与a共线的单位向量是a,则02aaa x=±=±=±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向;易知(,)b y x=-和(,)a x y=垂直,所以与a垂直的单位向量b的坐标是±.【课前基础演练】题1.（多选．．）下列命题错误．．的是 ( )A.向量的模等于向量坐标的平方和.B.若向量1122(,),(,)a x yb x y==,则1221a b x y x y⊥⇔-=.C.两个非零向量同向时，有a b a b⋅=.D.若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角.【答案】选ABD提示:A×.向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根.B×.1212a b x x y y⊥⇔+=.C√.两个非零向量同向时，夹角为0，有cos0a b a b a b⋅==.D×. 当两个向量方向相反时,它们的夹角θ=180°满足cosθ=-1<0.题2.若向量(3,),(1,2)a m b=-=-,且a b⊥,则实数m的值为________.【解析】因为a b ⊥,所以(3,)(1,2)320a b m m ⋅=-⋅-=--=,解得32m =-. 答案: 32-题3.已知向量a =(2,2),b =(-8,6),a 与b 的夹角为θ,则cos θ=______. 【解析】22222cos cos ,22(8)6a b a b a bθ⋅=<>===-+⨯-+. 答案: 210-关键能力·合作学习类型一 数量积的坐标运算(数学运算) 【题组训练】题4.若(2,3),(,2)a b x x =-=,且34a b ⋅=,则x 等于 ( ) A .3 B .13 C .13- D .-3 【解析】选C .因为33(2,3)(,2)(6,9)(,2)618124a b x x x x x x x ⋅=-⋅=-⋅=-=-=, 所以13x =-.题5.如图,在等腰直角三角形ABC 中,AB =AC =2,D ,E 是线段BC 上的点,且DE =13BC ,则AD AE ⋅的取值范围是 ( )A.84[,]93B.48[,]33C.88[,]93 D 4[,)3+∞【解析】选A .如图所示,以BC 所在直线为x 轴,以BC 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角 坐标系,则A (0,1),B (-1,0),C (1,0),设D (x ,0),则21(,0)(1)33E x x +-≤≤，据此有2(,1),(,1)3AD x AE x =-=+-， 则222181()339AD AE x x x ⋅=++=++，据此可知当13x =-时, AD AE ⋅取得最小值89;当1x =-或13时，AD AE ⋅取得最大值43，所以AD AE ⋅的取值范围是84[,]93.题6.若(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=,则()a b c ⋅⋅=________;()a b c ⋅⋅=________. 【解析】因为2(1)3(2)8a b ⋅=⨯-+⨯-=-, 所以()8(2,1)(16,8)a b c ⋅⋅=-⨯=--. 因为(1)2(2)14b c ⋅=-⨯+-⨯=-, 所以()(2,3)(4)(8,12)a b c ⋅⋅=⨯-=--. 答案:(-16,-8) (-8,-12) 【解题策略】关于向量数量积的运算(1)进行数量积运算时,要正确使用公式1122(,),(,)a x y b x y ==及向量的坐标运算,并注意与函数、方程等知识的联系.(2)向量数量积的运算有两种思路:一种是基向量法,另一种是坐标法,两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时,一般选择坐标法. 【补偿训练】题7.已知向量(2,1),(1,),(2)0a b k a a b ==-⋅-=,则k = ( ) A .-12B .-6C .6D .12【解析】选D . 2(4,2)(1,)(5,2)a b k k -=--=-,由(2)0a a b ⋅-=,得(2,1)·(5,2-k )=0,所以10+2-k =0,解得k =12.题8.已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+的最 小值是 ( ) A .-2 B .32-C .43- D .-1 【解析】选B .以BC 所在的直线为x 轴,BC 的垂直平分线AD 为y 轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系,如图,可知A 3B (-1,0),C (1,0).设P (x ,y ),则(,3),(1,),(1,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--，所以(2,2)PB PC x y +=--.所以222333()22(3)22(222PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+---≥， 当点P 的坐标为3(0,2时, ()PA PB PC ⋅+取得最小值为32-. 类型二 向量模的问题(数学运算)【典例】题9.已知向量(3,5),(2,1)a b ==-.(1)求2a b -的坐标及模;(2)若()c a a b b =-⋅⋅,求c . 四步内 容理解题意条件: (3,5),(2,1)a b ==-.(2)若()c a a b b =-⋅⋅, 结论:(1)a -2b 的坐标及模;(2)|c |.思路 探求(1)先运用线性运算求2a b -的坐标,再用公式求模;(2)先运用线性运算求c的坐标,再用公式求模书写 表达(1)222(3,5)2(2,1)(7,3),27358a b a b -=--=-=+=.(2) (3,5)(2,1)3(2)511a b ⋅=⋅-=⨯-+⨯=-,所以()(3,5)(2,1)(1,6)c a a b b =-⋅⋅=+-=,所以21637c =+=.①注意向量书写规范,向量与坐标之间用等号;②注意求模不要忽略根号.题后 反思 在()a b b ⋅⋅中,前面的a b ⋅是数值, ()a b b ⋅⋅相当于数乘运算.【解题策略】 向量模的问题(1)字母表示下的运算,利用22a a =将向量模的运算转化为向量的数量积的运算.(2)坐标表示下的运算,若(,)a x y =,则2a x =+【跟踪训练】题10.在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,(2,4),(1,3)AB AC ==,则BD = ________.【解析】因为在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线, (2,4),(1,3)AB AC ==,所 以(1,3)(2,4)(1,1)AD BC AC AB ==-=-=--, 所以(1,1)(2,4)(3,5)BD AD AB =-=---=--,则(BD =-=.答案【补偿训练】题11.已知213,(3,2)a b ==-,若//a b ,求a b +的坐标及a b +. 【解析】设(,)a x y =,则由213a =,得2252x y +=.由//a b ,可知2x +3y =0,解方程组2252,230,x y x y ⎧+=⎨+=⎩得6,4,x y =-⎧⎨=⎩或6,4,x y =⎧⎨=-⎩所以(6,4)a =-或(6,4)a =-,所以(3,2)a b +=-或(9,6)a b +=-,所以2222(3)213,9(6)a b a b +=-+=+=+-=类型三 向量夹角、垂直问题(数学运算) 角度1 平面向量的夹角问题【典例】题12.已知(1,1),(,1)a b λ=-=,若a 与b 的夹角θ为钝角,求实数λ的取值范围. 【思路导引】,a b 的夹角θ为钝角等价于0a b ⋅<且θ≠180°. 【解析】因为(1,1),(,1)a b λ=-=,所以22,1,1a ba b λλ==+⋅=-.因为,a b 的夹角θ为钝角,所以10,1,λλ-<⎧⎪≠-即21,210,λλλ<⎧⎨++≠⎩所以λ<1且λ≠-1.所以λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1). 【变式探究】题13.已知(1,2),(1,)a b λ==,a 与b 的夹角θ为锐角,求实数λ的取值范围.【解析】由已知得, (1,2)(1,)12a b λλ⋅=⋅=+.因为a 与b 的夹角为锐角,所以cos θ>0且cos θ≠1,所以0a b ⋅>且,a b 不同向.由0a b ⋅>,得12λ>-,由a 与b 同向得λ=2. 所以实数λ的取值范围为1(,2)(2,)2-+∞.角度2 平面向量的垂直问题【典例】题14.已知向量(1,2),(3,1)a b ==-,向量,3x ka b y a b =+=-. (1)求向量,x y 的坐标; (2)若x y ⊥,求实数k 的值.【思路导引】(1)根据向量的坐标运算可得出答案; (2)根据向量垂直的坐标表示列方程,解方程得出答案.【解析】(1)因为(1,2),(3,1)a b ==-,所以(1,2)(3,1)(3,21)x ka b k k k =+=+-=-+，3(1,2)3(3,1)(10,1)y a b =-=--=-.(2)因为x y ⊥,所以0x y ⋅=,即10(3)(21)0k k --+=， 解得318k =. 【解题策略】1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积. (2)求模.利用2a x y =+.(3)求夹角余弦值.由公式cos θ=求夹角余弦值.(4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.2.涉及非零向量,a b 垂直问题时,一般借助12120a b a b x x y y ⊥⇔⋅=+=来解决. 【拓展延伸】1.线段垂直的坐标关系设112233(,)(,)(,)A x y B x y C x y 是坐标平面内的三个点,则31213121()()()()0AC AB x x x x y y y y ⊥⇔-⋅-+-⋅-=.2.向量共线的条件由cos θ=可知,若θ=0°或180°,则cos θ=±1,则有1212x x y y +=,利用此结论也可以判断两向量1122(,),(,)a x y b x y ==是否共线.【拓展训练】题15.已知A (-2,1),B (6,-3),C (0,5),则△ABC 的形状是 ( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .等边三角形【解析】选A .由题设知(0+2)(6+2)+(5-1)(-3-1)=0,所以AB AC ⊥,所以∠BAC =90°,故△ABC 是直角三角形. 【题组训练】题16.已知向量(1,2),(2,3),(4,5)a b c ==-=,若()a b c λ+⊥,则实数λ= ( ) A .12-B .12C .-2D .2 【解析】选C .因为(1,2),(2,3)a b ==-,所以(12,23)a b λλλ+=-+， 又()a b c λ+⊥,所以()0a b c λ+⋅=, 即4(12)5(23)0λλ-++=，解得λ=-2. 题17.已知向量(1,1),(3,4)a b ==-. (1)求a b -的值;(2)求向量a 与a b -夹角的余弦值.【解析】(1)因为(4,3)a b -=-,所以5a b -=;(2)由(1)知()(1,1)(4,3)141(3)1,2,5a a b a a b ⋅-=⋅-=⨯+⨯-==-=,所以()cos ,52a ab a a b a a b⋅-<->===- 【补偿训练】题18.已知(1,1),(0,2)a b ==-,当k 为何值时, (1)ka b -与2a b +垂直;(2)ka b -与a b +的夹角为120°.【解析】因为(1,1),(0,2)a b ==-,(1,1)(0,2)(,2)ka b k k k -=--=+,2(1,1)(0,4)(1,3)a b +=+-=-,(1,1)(0,2)(1,1)a b +=+-=-.(1)因为ka b -与2a b +垂直,所以k -3k -6=0,所以k =-3, 即当k =-3时,ka b -与2a b +垂直.(2)因为2ka b k -=+21(a b +=+=()()(,2)(1,1)22ka b a b k k k k -⋅+=+⋅-=--=-，因为ka b -与a b +的夹角为120°,所以()()cos120ka b a b ka b a b-+=-+，即12-=化简整理,得2220k k +-=,解得1k =-±即当1k =-±,ka b -与a b +的夹角为120°. 备选类型 用向量解代数问题(数学建模)【典例】题19.求函数()f x =.【思路导引】观察此函数解析式的特征,不难发现其形式与两个坐标表示的平面向量的数量积公式类似,建立向量模型求解.【解析】设(12,5),(19,a b x ==-，则1219a b ⋅=，因为(12,5),(19,a b x ==-，所以13,3a b ==, 又因为a b a b ⋅≤,所以13339a b ⋅⨯=≤,当且仅当,a b 共线时,等号成立,即0=，解得1915169x =， 当1915169x =时,a b ⋅的最大值为39,即函数()f x =39.【解题策略】向量法巧解代数问题向量是代数和几何的完美结合,尤其是解决代数问题时具有独到的优势,解题的关键在于观察问题的结构,挖掘代数结构的向量模型,把原有问题转化为向量问题,再借助向量有关知识解决问题.【跟踪训练】题20.已知a ,b ,m ,n ∈R ,设22222()()()a b m n am bn ++=+,其中mn ≠0,用向量方法求证:a b m n=. 【证明】设(,),(,)c a b d m n ==,且它们的夹角为θ(0°≤θ≤180°), 则222222,,c d am bn c a b dm n ⋅=+=+=+,因为22222()()()a b m n am bn ++=+, 所以222()cd c d =⋅,又cos c d c d θ⋅=,所以22cos 1θ==,所以2cos 1θ=,又0°≤θ≤180°,所以θ=0°或180°,即//c d , 所以an -bm =0,又mn ≠0,所以a bm n=. 课堂检测·素养达标题21.设(1,2),(3,4),(3,2)a b c =-=-=,则(2)a b c +⋅= ( ) A .12B .0C .-3D .-11【解析】选C .因为(1,2),(3,4),(3,2)a b c =-=-=,所以2(5,6)a b +=-,所以(2)(5,6)(3,2)15123a b c +⋅=-⋅=-+=-. 题22.已知平面向量(1,2),(3,4)AB AC ==，则向量CB 的模是 ( )ABC .D .5【解析】选C .因为向量(1,2),(3,4)AB AC ==，所以(1,2)(3,4)(2,2)CB AB AC =-=-=--，所以22CB =题23.已知向量(4,3),(6,)a b m =-=,且a b ⊥,则m =______.【解析】因为向量(4,3),(6,),a b m a b =-=⊥,所以0a b ⋅=,即-4×6+3m =0,m =8. 答案:8题24.已知(4,3),(5,12)a b ==-,则,a b 夹角的余弦值等于________.【解析】因为(4,3),(5,12)a b ==-,所以203616a b ⋅=-+=.又5,13a b ==, 设a 与b 的夹角为θ,所以1616cos 51365a b a bθ⋅===⨯. 答案:1665题25.已知(1,2),(3,1),(4,3)a b c =-=-=. 求2,()(),(),()a b a b a b a c b a b ⋅+⋅-+⋅-. 【解析】因为(1,2),(3,1),(4,3)a b c =-=-=, 所以(4,3),(2,1),(3,5)a b a b a c +=--=+=, 所以(1,2)(3,1)325a b ⋅=-⋅-=+=,()()(4,3)(2,1)835a b a b +⋅-=-⋅=-+=-, ()(3,5)(3,1)954a c b +⋅=⋅-=-+=-,222()(2,1)(2,1)215a b -=⋅=+=.。
高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿 3篇
高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿1各位老师好：我是户县二中的李敏，今天讲的课题是《平面向量的坐标的表示》，本节课是高中数学北师大版必修4第二章第4节的内容，下面我将从四个方面对本节课的教学设计来加以说明。
一、学情分析本节课是在学生已学知识的基础上进行展开学习的，也是对以前所学知识的巩固和发展，但对学生的知识准备情况来看，学生对相关基础知识掌握情况是很好，所以在复习时要及时对学生相关知识进行提问，然后开展对本节课的巩固性复习。
而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。
二、高考的考点分析：在历年高考试题中，平面向量占有重要地位，近几年更是有所加强。
这些试题不仅平面向量的相关概念等基本知识，而且常考平面向量的运算；平面向量共线的条件；用坐标表示两个向量的夹角等知识的解题技能。
考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提高广阔的空间，相关题型经常在高考试卷里出现，而且经常以选择、填空、解答题的形式出现。
三、复习目标1.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.2.理解用坐标表示的`平面向量共线的条件.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能用坐标表示两个向量的夹角，理解用坐标表示的平面向量垂直的条件.教学重难点的确定与突破：根据《20xx高考大纲》和对近几年高考试题的分析，我确定本节的教学重点为：平面向量的坐标表示及运算。
难点为：平面向量坐标运算与表示的理解。
我将引导学生通过复习指导，归纳概念与运算规律，模仿例题解决习题等过程来达到突破重难点。
四、说教法根据本节课是复习课，我采用了“自学、指导、练习”的教学方法，即通过对知识点、考点的复习，围绕教学目标和重难点提出一系列精心设计的问题，在教师的指导下，用做题来复习和巩固旧知识点。
五、说学法根据平时作业中的问题来看，学生会本节课遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算等方面。
数量积的坐标表示教案
8
3
例3：已知 a (2,1) , b (1,3) , 若存在向
量 c ，使得 a • c 4 ，b • c 9
试求 c 的坐标
答案： c (3, 2)
例4: 已知 A(1, 2), B(2, 3), C(-2, 5)
求证: ABC是直角三角形
•C (2, 5)
y
证明： AB (2 1，3 2) (1，1)
答案： 2 13
已知非零向量 a (x1, y1),b (x2, y2)
(2)两向量垂直的充要条件 ：a b a • b 0
a b x1x2 y1y2 0 a // b x1y2 y1x2 0
练习：设 a (2, 3),b (4, x) ，若 a 与 b
垂直，求x的值。
i• j j•i 0
a •b x1x2 y1y2
平面向量数量积的坐标运算: a •b x1x2 y1y2
横坐标乘横坐 标+纵坐标乘
纵坐标
即: 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
例1：已知 a (5,7), b (6,4), 求a • b
解：a • b 5 (6) (7) (4) 30 28
二.新课
已知两个非零向量
a
(
x1，y1
)
b (x2 ，y2 ) ，则
a x1i y1 j b x2i y2 j
a •b (x1i y1 j ) • (x2i y2 j )
2
2
x1x2i x1y2i j x2 y1i j y1y2 j
x1x2 y1y2
2
2
i 1 j 1
AC (2 1，5 2) (3，3) 1
1 0
AB AC 1 ( 3) 1 3 0
2.4《平面向量的数量积》教案(新人教必修4)
§2.4平面向量的数量积第7课时一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 教学过程： 一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x ，),(y x a .若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０(1 )时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a1111.10．力做的功：W = |F | |s |cos ，是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 ≤ ≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a b = b c a = c如右图：a b = |a ||b |cos= |b ||OA|，b c = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但ac(5)在实数中，有(a b )c = a (b c )，但是(a b )ca (bc )显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当C为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos2 aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba5|a b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２. 解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с）， ∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能. 四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12 3.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量a 、b 的夹角为3，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = . 6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______. 7.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角. 9.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +tb |最小时的t 值，并求此时b 与a +tb 的夹角. 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、教学后记：第8课时二、平面向量数量积的运算律教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b |cos叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图C定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0时投影为|b|；当= 180时投影为|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 e a = a e =|a |cos ；2 a b a b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b =|a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律 1．交换律：a b = b a证：设a ，b 夹角为，则a b = |a ||b |cos ，b a = |b ||a |cos∴a b = b a2．数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 证：若 > 0，( a ) b = |a ||b |cos ， (a b ) = |a ||b |cos，a ( b ) = |a ||b |cos ， 若 < 0，( a ) b =| a ||b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos， (a b )= |a ||b |cos ，a (b ) =|a || b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos.3．分配律：(a + b ) c = a c + b c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos = |a | cos 1 + |b | cos 2∴| c | |a + b | cos =|c | |a | cos1 + |c | |b | cos2，∴c (a + b ) = c a + c b 即：(a + b ) c= a c + b c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a 5b 垂直，a 4b 与7a2b 垂直，求a 与b 的夹角. 解：由(a + 3b )(7a 5b ) = 0 7a 2 + 16a b 15b 2 = 0 ①(a4b )(7a2b ) = 0 7a 230a b + 8b 2 = 0 ②两式相减：2a b = b 2 代入①或②得：a 2 = b 2设a 、b 的夹角为，则cos=21222 ||||||b b b a b a ∴ = 60例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB ，BC AD ，AC =AD AB ∴|AC|2=AD AB AD AB AD AB 2||222而BD =AD AB ， ∴|BD|2=AD AB AD AB AD AB 2||222∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB = 2222||||||||AD DC BC AB例3 四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２① 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系. 四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3D.不平行也不垂直 4.已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |= . 6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：C数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos； 2aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |5．平面向量数量积的运算律 交换律：a b = b a数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 分配律：(a + b ) c = a c + b c 二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a ，),(22y x b ，试用a 和b 的坐标表示b a .设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11 ，j y i x b 22 所以))((2211j y i x j y i x b a 2211221221j y y j i y x j i y x i x x 又1 i i ，1 j j ，0 i j j i ，所以b a 2121y y x x这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a 2121y y x x 2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a ，则222||y x a 或22||y x a.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a (平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a ，),(22y x b ，则b a 02121 y y x x 三、 两向量夹角的余弦（ 0）co s =||||b a ba 222221212121y x y x y y x x四、 讲解范例：五、 设a = (5， 7)，b = ( 6， 4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o ) 例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C ( 2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足x a = 9与x b = 4的向量x . 解：设x = (t ， s )， 由429349s t s t b x a x32s t ∴x = (2， 3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使 B = 90 ，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x 5， y 2) ∵OB AB ∴x (x 5) + y (y 2) = 0即：x 2 + y 2 5x 2y = 0 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x 5)2 + (y 2)2即：10x + 4y = 29由2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或∴B 点坐标)23,27( 或)27,23(；AB =)27,23( 或)23,27(例6 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.解：当A = 90 时，AB AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23当B = 90 时，AB BC = 0，BC =AC AB = (1 2， k 3) = ( 1， k 3) ∴2×( 1) +3×(k 3) = 0 ∴k =311 当C = 90 时，AC BC = 0，∴ 1 + k (k 3) = 0 ∴k =2133 六、 课堂练习：1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.83 2.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ） A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53( C.)54,53( 或)53,54(D.)54,53( 或)54,53(4.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .5.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 6.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =，b =，则a 与b 的夹角为 . 七、 小结（略） 八、 课后作业（略） 九、 板书设计（略） 十、 课后记：。
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5．6平面向量的数量积及运算律一、内容及其解析1、内容：平面向量数量积的坐标表示、平面内两点间的距离公式、两个平面向量的夹角的坐标公式及用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系。
2、解析：平面向量的数量积是两向量之间的一种运算，前面我们已经做了充分研究，这次课通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式后，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算, 这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。
本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。
由于向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题。
把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。
所以向量的数量积的坐标表示为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法，本节内容也是全章重要内容之一。
二、目标及解析1、目标1）、掌握平面向量数量积的坐标表示2）、了解用平面向量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题3）、掌握向量垂直的条件2、解析：1）、通过建立直角坐标系，用坐标表示出平面向量的数量积；2）、引入数量积的坐标表示后,可以用坐标将距离、角度及垂直关系用坐标表示出来,从而解决有关这些方面的几何问题.3）、两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
(注意: 垂直的坐标表示x1x2+ y1y2 =0 , 共线的坐标表示x1y2－x2y1=0) 三、教学问题诊断本节课是在学生充分理解向量的概念，掌握向量的坐标表示，并已经掌握了向量的数量积的概念和运算律的基础上进行学习的，应该说，从知识的接受上学生并不困难，也能理解各个公式的坐标表示。
本节课的重点是掌握平面向量数量积的坐标表示，并能用坐标形式处理有关长度、角度和垂直的问题，难点是向量垂直的条件的理解与掌握，解决问题的关键是在掌握向量数量积概念的基础上，通过建立直角坐标系，将向量的数量积运算转化为坐标的运算，即数之间的运算。
四、教学支持条件分析本节内容是全章重点内容之一，学生学习时容易混淆，在指导学生认真预习的前提下，教学中从向量的几何意义上突破难点，在通过适当的练习加以巩固。
可把重要性质、运算律、例题做成幻灯片，提高课堂效率。
五、教学设计过程（一）、教学基本流程→平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变. 向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便.上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？设计意图：设置情境，引出课题，设下问题悬念，引发学生认知冲突，引起注意，唤起学生追求探索新知识的欲望.问题1：①设单位向量j i ,分别与平面直角坐标系中的轴、轴方向相同，O 为坐标原点，若向量23+=，则向量的坐标是 ，若向量)2,1(-=，则向量可用,表示为 ；②已知1||||==j i ，j i ⊥，且j i a 23+=，j i b -=，则=⋅b a ；设计意图：由旧知识入手，引导学生复习已学过的知识，以便向新知识进行探索。
（三）新课讲授1、平面向量数量积的坐标表示问题2：已知两个非零向量),(11y x =，),(22y x =，怎样用与的坐标来表示⋅呢？（让学生自主推导）设计意图：先让学生自主推导平面向量数量积的坐标表示形式，让学生能快速将所学的向量的坐标表示知识用到刚学的向量的数量积的问题上，体会知识的形成过程。
设向量,分别为平面直角坐标系的轴、轴上的单位向量，则有y x 11+=，y x 22+=∴ ))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅ x 1x 2i 2＋(x 1y 2＋x 2y 1)i ·j ＋y 1y 1j 2 2121y y x x +=两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
练习：①若)3,2(=，则=⋅ ，=|| ；②若表示向量的起点和终点的坐标分别为)2,1(-和)6,2(，则=|| ； ③若)1,1(=，)3,3(-=，则=⋅ ，与的夹角是 ； 设计意图：学生通过做练习，及时巩固所学新知识，加深理解 2、学生活动问题3：设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，则 ①____i i ⋅= ②____i j ⋅= ③____j i ⋅= ④____j j ⋅=设计意图：巩固向量数量积的概念，并为下面的问题做铺垫 3、建构数学1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=+，让学生用自己的语言表达，教师归纳得：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
问题4：向量的数量积的性质如何用坐标表示？ （1）11(,)a x y =，则怎么表示？（2）若1122(,),(,)A x y B x y 则||AB又如何表示？（1）||a （2）||AB问题5：你能写出向量夹角公式的坐标表示式以及向量平行和垂直的坐标表示式吗？设计意图：仍然在帮助学生回忆有关知识点的过程中，引导他们用坐标的形式表示，通过两向量的两种特殊位置关系，体会向量的坐标表示，感受向量的数量积的作用。
并帮助学生记住这些结论 （1）222221212121||||cos y x y x y y x x b a +⋅++=⋅=θ（2）1221//0a b x y x y ⇔-= （3）12120a b x x y y ⊥⇔+= 4、例题解析例1．已知)3,1(-=，)1,3(-=，求⋅，||，||，与的夹角。
可以接着问：的夹角怎么求？解： 32)1(33)1(-=-⨯+⨯-=⋅ 2)3()1(||22=+-= 2)1()3(||22=-+= 232232cos -=⨯-==θ ∵ πθ≤≤0 ∴ 65πθ=先让学生尝试解答，体会自主应用新知识解决问题的过程，然后给出详细解答. 例2．已知)2,1(A ，)3,2(B ，)5,2(-C ，试判断ABC ∆的形状，并给出证明. 解：ABC ∆是直角三角形. 证明如下：∵ )1,1(=AB ，)3,3(-=AC ∴ 031)3(1=⨯+-⨯=⋅ ∴ ⊥∴ ABC ∆是直角三角形先让学生画出简图，直观感知三角形的形状，然后引导学生分析解答.注重培养学生由观察——猜测——证明的思维方法. 例题引伸：在直角OAB ∆中，)3,2(=，),1(k =，求实数的值； 解：①若︒=∠90AOB ，则OB OA ⊥∴ 032=+k ∴ 32-=k②若︒=∠90OAB ，则⊥ 而 )3,1(),3,2(--=-=--=k ∴ 0)3(32=--k∴ 311=k ③若︒=∠90OBA ，则BA BO ⊥ 而 )3,1(),,1(k OB OA BA k BO -=-=--= ∴ 0)3(1=---k k ∴ 2133±=k 5、课堂小结⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； ⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式； ⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系； 目标检测1.若)6,5(),3,4(=-=b a ，则=⋅-b a a 4||32 ；2.若)3,(),1,3(-==x ，且⊥，则实数=x ；3.若)4,3(),2,5(),4,1(C B A --，则ABC ∆的形状是 ；4.若)7,4(),3,2(-==，则在方向上的投影是 ；5.若)2,4(=a ，则与垂直的单位向量的坐标是 ；设计意图：充分做到以本为本，根据学情，能让学生把握公式特点，能利用公式进行计算。
配餐作业一基础题（A 组题）1.在已知a =(x ，y ），b =(－y ，x )，则a ，b 之间的关系为 （ ）CA.平行B.不平行不垂直C.a ⊥bD.以上均不对 2.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),且a ⊥b ,坐标满足条件（ ） CA.x 1x 2-y 1y 2=0B.x 1y 1-x 2y 2=0C.x 1x 2+y 1y 2=0D.x 1y 2+x 2y 1=03.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b )= . -74.已知a =(－2,3),b =(3,2)，求：a ·b 、（a +b ）·（a －b ）、（a +b ）2、a (a +b )、b (a +b )设计意图：在目标检测的基础上进一步巩固所学公式，达到夯实基础的目的。
二巩固题（B 组题）5.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（ ）C A.23 B.223 C.323 D.4236.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４a ·b 等于（ ）D. A.23 B .57 C.63 D.837.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A A.λ＞310 B.λ≥310 C.λ＜310 D.λ≤310 8.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =,b =,则a 与b 的夹角为 。
45°9.证明：以A (-2,-3),B (19,4),C (-1,-6)为顶点的三角形是直角三角形。
10. 在△ABC 中，＝(1，1)，＝(2，k )，若△ABC 中有一个角为直角，求实数k 的值。
设计意图：使学生熟悉公式的变形，对所学知识有一个完整的印象，使知识系统化、条理化。
三提高题（C 组题）11.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ）DA.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(-- C.)54,53(-或)53,54(- D.)54,53(-或)54,53(- 12.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（ ） C513C.565D.6513.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，则△ABC为（）AA.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形14.已知A(1,2)､B(4,0)､C(8,6)､D(5,8)四点,则对四边形ABCD描述最准确的是BA.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形15.计算：已知｜a｜=3，｜b｜=2，a，b夹角为60°，m为何值时两向量3a+5b 与m a－3b互相垂直？设计意图：本部分是对基础知识的提升，先放手给学生自主探索，教师可做适当提示，培养学生应用解决问题的能力。