重庆市梁平区2021届高三上学期第一次调研考试数学试题

高2021届第一次调研考试

数 学 试 题

本试卷分第I 卷和第II 卷两部分。满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的） 1．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A ．M N ? B ．{1,1}M =- C ．M ??

D ．1M ∈

2．复数

1

13i -的虚部是（ ） A ．310

- B ．

310 C ．110 D ． 110

- 3．已知命题p ：?x ∈R ，cos x ＞1，则p ?是（ ） A ．?x ∈R ，cos x ＜1 B ．?x ∈R ，cos x ＜1 C ．?x ∈R ，cos x ≤1 D ．?x ∈R ，cos x ≤1

4．函数()f x =3log 3x x +-的零点所在的区间是（ ）

A ．(0，1)

B ．(1，2)

C ．(2，3)

D ．(3，+∞)

5．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )（t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)

()=

1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病

例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则（*t －53）的值约为（ln19≈3）（ ） A ．10 B ．13 C ．63 D ．66 6. 某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处，他沿南偏西60°方向走3km 到达C 处，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值为（ ） A ．3或32 B ．3或23 C ．2或32

D ．22

7．如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，∠BOP =x ．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）

A. B. C. D.

8．已知函数2()2020ln(1)20201x x f x x x -=+++-+，则关于x 的不等式(21)(2)2f x f x -+<的解集为（ ） A ．1(,)4

-∞

B ．1(,)2

-∞

C ．1(,)4

+∞

D ．1(,)2

+∞

二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9. 下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ） A ．()f x x =与2()g x x =

B ．()|1|f t t =-与()|1|g x x =-

C ．()f x x =与2()log 2x

g x =

D ．21

()1

x f x x -=+与()1g x x =-

10．已知向量()()()2,1,1,1,2,,a b c m n ==-=--其中,m n 均为正数，且()

//a b c -，下列说法正确

的是（ ） A ．a ·b =1

B ．a 与b 的夹角为钝角

C ．向量a 在b 方向上的投影为

55

D ．

24m n +=

11. 已知符号函数1,0

sgn()0,01,0x x x x >??

==??-

下列说法正确的是（ ）

A ．函数sgn()y x =是偶函数

B ．对任意的1,sgn(ln )1x x >=

C ．0x <时，函数sgn()x y e x ?-＝的值域为(0,1)

D ．对任意的,sgn()x R x x x ∈?＝

12．已知函数()2sin()6

f x x π

ω=-

的图象的一条对称轴为x π=，其中ω为常数，且(0,1)ω∈，则以

下结论正确的是（ ）

A ．函数()f x 的最小正周期为3π

B ．3

(

)34

f π= C ．将函数()f x 的图象向左平移6

π

所得图象关于原点对称

D ．函数()f x 在区间(0,100)π上有67个零点

第II 卷（非选择题，共90分）

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置） 13. 已知向量12(6,),(3,2)e e λ==-，若12e e ⊥，则λ的值为_____________. 14．复数z 满足2z z i +=+，则z =______________.

15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值

约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =?. 若2

4m n +=，

则212cos 27m n

-?＝__________．（用数字作答）

16．对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()''f x 是函数()y f x =的导数

()'y f x =的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．有

同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答问题：若已知函数()3

231

324f x x x x =-

+-，则()f x 的对称中心为____________；计算12320202021202120212021f f f f ??????

??++++

? ? ? ???????

??

=______________．

四、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

已知全集为R . 函数()log (1)f x x π=-的定义域为集合A ，集合{}

2

20B x x x =--≥.

（1）求A

B ；（2）若{}1

C x m x m =-<≤，()R C B ?，求实数m 的取值范围.

18.（本小题满分12分）

从①4

B π

=

，②32sin a B =这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答. 已知ABC

?中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且222sin sin sin sin sin A B C B C =++. （1）求角A ；

（2）已知6b =，且_________，求sin C 的值及ABC ?的面积.（注：如果选择多个条件分别解

答，按第一个解答计分）

19.（本小题满分12分）已知函数()(

)

2cos 3sin cos 1f x x

x x =+-．

（Ⅰ）求()f x 在区间[]0,π上的单调递增区间； （Ⅱ）若()0,απ∈，2

23

f α??=

?

??，求sin 3πα??+ ???的值． 20.（本小题满分12分）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水

果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千

克）满足如下关系：()

253,02()50,251x x W x x x x

?+≤≤?

=?<≤?

+?，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如

培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）． （Ⅰ）求()f x 的函数关系式；

（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?

21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,cos )A x ，(1sin ,cos )B x x +，且

0,2x π??

∈????

，A ，B ，C 三点满足2133OC OA OB =+.

（1）求证：A ，B ，C 三点共线； （2）若函数2

1()2||3f x OA OC m AB m ??=?++

?+ ???的最小值为143

，求实数m 的值. 22.（本小题满分12分）已知函数()x x f x e e -=+，其中e 是自然对数的底数．

（1）若关于x 的不等式)(x mf ≤1x e m -+-在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；

（2）已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(03

00x x a x f +-<成立．试比较1a e -与1e a -的大小，

并证明你的结论．

高2021届第一次调研考试

数学试题参考答案

1—5. ABDCB 6—8. BDA 9. BC 10. AD 11. BCD 12. ABD

13. 9 14. 3

4

i +

15. 1

2

-

16. 1,12??

???

2020

17. 解：（1）由10x ->得，函数()f x 的定义域{}

1A x x =>，

又220x x --≥， 得{

2B x x =≥或}1x ≤- ，

∴ {}

2A B x x ?=≥.………………………………………………………………………………5分 （2）∵{}

12C x x ?-<<，

①当C =?时，满足要求， 此时1m m -≥， 得1

2

m ≤

；………………………………………7分 ②当C ≠?时，要{}12C x x ?-<<，则1112

m m

m m -

-≥-??

，解得122m <<；

由①② 得，2m <，∴ 实数m 的取值范围(),2-∞.……………………………………………10分

18. 解：（1）因为222sin sin sin sin sin A B C B C =++，

由正弦定理得222a b c bc =++，

即2221

22

b c a bc +-=-，

得1cos 2

A =-，

又0A π<<， 所以2

3

A π=

；…………………………………………………………………………………………6分 （2）选择①时：4

B π

=，2

3A π=，

故62

sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B -=+=+=

； 根据正弦定理

sin sin a b A B

=，故3a =， 故1933

sin 2S ab C -=

=

.…………………………………………………………………………12分 选择②时：32sin a B =，根据正弦定理

sin sin a b

A B

=， 故6

3

32sin B =

， 解得2sin B =

， 62

sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B -=+=+=

， 根据正弦定理

sin sin a b A B

=，故3a =， 故1933

sin 24

S ab C -=

=

.…………………………………………………………………………12分 19. 解：（Ⅰ）()(

)

22cos 3sin cos 123sin cos 2cos 1f x x

x x x x x =+-=+-

3sin 2cos 22sin 26π?

?=+=+ ??

?x x x ．

令2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-

+≤+

≤+，k ∈Z ，得3

6

k x k π

π

ππ-

+≤≤

+，k ∈Z ．

令0k =，得3

6

x π

π

-

≤≤

；令1k =，得

2736

x ππ

≤≤

. 因此，函数()y f x =在区间[]0,π上的单调递增区间为06,π??????，2π,π3??

????

；……………………6分

（Ⅱ）由223f α??=

?

??，得1sin 63πα?

?+= ???． ()0,απ∈，7,666π

ππα??

∴+∈ ???

，

又π11sin 632α??+

=< ??

?，,62ππαπ??∴+∈ ???，222cos 1sin 663ππαα????∴+=--+=- ? ????

?． 因此，sin sin sin cos cos sin 3666666πππππππαααα???

?

??????+

=++=+++ ? ? ? ????

?????????

13221322

32326

?=?+-?= ??．……………………………………………………………12分 20. 解：（Ⅰ）由已知()()()1520101530f x W x x x W x x =--=-

()

2

155330,02,501530,251x x x x x x x ??+-≤≤?=??-<≤?+?

27530225,02,

75030,2 5.1x x x x x x x ?-+≤≤?=?-<≤?

+?……………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得

()()2

2175222,02,7530225,02,5=75030,2 5.25780301,2 5.11x x x x x f x x x x x x x x ???

-+≤≤?-+≤≤?

?????=??-<≤????-++<≤+????+???

当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==； 当25x <≤时，()()257803011f x x x ??=-++??+?? ()25

78030214801x x

≤-??+=+ 当且仅当

25

11x x

=++时，即4x =时等号成立． 因为465480<，所以当4x =时，()max 480f x =．

答：当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．……………………………12分 21. 解：证明：（1）∵在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，

(1,cos )A x ，(1sin ,cos )B x x +，且0,2x π??

∈????

，

A ，

B ，

C 三点满足21

33OC OA OB =+. ∴2111

()3333

AC OC OA OA OB OA OB OA AB =-=+-=-=，

∴AC AB ∥.

又AC ，AB 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线.……………………………………………………5分 （2）∵(1,cos )OA x =，(1sin ,cos )OB x x =+，0,2x π??

∈????

， ∴2121

(1,cos )(1sin ,cos )3333

OC OA OB x x x =

+=++ 11sin ,cos 3x x ??

=+ ???

， ∴2

1

1sin cos 3

OA OC x x ?=++，2||sin sin AB x x ==， ∴函数21()2||3f x OA OC m AB m ?

?=?++

?+ ???

22111sin cos 2sin 33x x m x m ?

?=+++++ ??

?，

即222()12sin cos 3f x m x x m ?

?=++

++ ???

222sin 23sin 2=x m x m ?

?-++++ ??

?

2

21219sin 2339x m m m ???

?=--++++ ??????

?.

∵0,

2x π??

∈????

，∴sin [0,1]x ∈. ①当1213m+≤

，即1

6

m ≤时，当sin 1x =时，

22min 2514()1222333

f x m m m m =-++

++=++=， 解得3m =-或1m =，又1

6

m ≤时，∴3m =-.

②当1132

m +>，即1

6m >时，当sin 0x =时，

2min 14()23f x m =+=，解得26

m =

又16m >

，∴26m =， ∴综上所述，m 的值为3m =-或26

m =

………………………………………………………12分 22. 解：（1）由题意，(e e )e 1x

x

x

m m --++-≤，即(e e 1)e 1x

x

x

m --+--≤

∵(0)x ∈+∞，

，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1

x x x m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立 令e (1)x

t t =>，则2

11

t m t t --+≤

对任意(1)t ∈+∞，恒成立 ∵2211111(1)(1)11311

1

t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，

当且仅当2t =时等号成立

∴1

3

m -≤………………………………………………………………………………………………5分

（2）'()e e x x

f x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，

上单调增 令3

()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--

∵01a x >>，

，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减 ∵存在0[1)x ∈+∞，

，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e

f a

=+<，

即()

11

e 2e

a >

+

∵e-1

e 11

1ln ln ln e (e 1)ln 1e

a a a a a a ---=-=--+

设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()

e 1e 111'()1e 2e

a m a a a a ---=

-=>+， 当

()

11e e 1

2e

a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；

当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减 而(1)(e)0m m ==且1112e e ??

<

+ ???

∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当

()

11e e

2e

a +<<时，()0m a >，e 1

1

e a a -->；

当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．…………………………………………………………………12分