高一【数学(人教A版)】幂函数-课后练习
高中数学新课标人教A版必修1：2.1.1.2 指数幂及运算 课后练习(教师版) Word版含答案]
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(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．化简[3(－5)2]34的结果为( ) A ．5B. 5 C ．－ 5 D ．－5解析： [3(－5)2]34＝(352)34＝523×34＝512＝ 5. 答案： B2．下列结论中，正确的个数是( )①若a ∈R ，则(a 2－2a ＋1)0＝1；②若a >b >0，则(a ＋b )n (a －b )n (a 2－b 2)n＝1成立； ③⎝⎛⎭⎫b a －n ＝⎝⎛⎭⎫a b n (ab >0)；④a －1＋b －1a －1－b －1＝ab (a －1＋b －1)ab (a －1－b －1)＝b ＋a b －a(a ≠b ，ab ≠0)． A ．1 B ．2C ．3D ．4解析： ①中，当a ＝1时，a 2－2a ＋1＝0，(a 2－2a ＋1)0无意义，故错；②③正确运用了幂的运算性质，正确；④先变形又利用了幂的运算性质，正确．故选C.答案： C 3．设a 12－a －12＝m ，则a 2＋1a＝( ) A ．m 2－2 B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2 解析： 将a 12－a －12＝m 平方得(a 12－a －12)2＝m 2， 即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a ＝m 2＋2⇒a 2＋1a＝m 2＋2. 答案： C4．化简：(1＋2－132)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)的结果是( ) A.12 (1－2－132)－1 B ．(1－2132)－1 C ．1－2－132 D.12(1－2－132) 解析： (1＋2－132)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12) ＝11－2－132×(1－2－132)(1＋2－132)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12) ＝11－2－132×(1－2－116)(1＋2－116)·(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)＝1－2－11－2－132＝12(1－2－132)－1. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．计算(0.064)－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12＝________. 解析： 原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝104－1＋116＋18＋110＝14380. 答案： 14380 6．化简：a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a －13b 13(a >0，b >0)＝________. 解析： 原式＝(a 3b 2a 13b 23)12a ·b 2·a －13·b 13＝a 103×12b 83×12a 23b 2＋13＝a 53b 43a 23b 73＝a 53－23b 43－73＝a b . 答案： a b三、解答题(每小题10分，共20分)7．化简(a 23b 12)·(－3a 12·b 13)÷(13a 16b 56)． 解析： 原式＝－3·a 76·b 56÷⎝⎛⎭⎫13·a 16b 56 ＝－9·a 1·b 0＝－9a .8．计算下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5； (2)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23－3π0＋3748. 解析： (1)原式＝1＋14·23－110＝1615； (2)原式＝53＋100＋916－3＋3748＝100＋14448－3＝100. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x (e ＝2.718…)．(1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)若f (x )·f (y )＝4，g (x )·g (y )＝8，求g (x ＋y )g (x －y )的值． 解析： (1)[f (x )]2－[g (x )]2＝[f (x )＋g (x )][f (x )－g (x )]＝[(e x －e －x )＋(e x ＋e －x )][(e x －e －x )－(e x －e －x )]＝2e x ·(－2e －x )＝－4.(2)∵f (x )·f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y )＝e x ＋y －e x －y －e y －x ＋e －(x ＋y )，g (x )·g (y )＝(e x ＋e －x )(e y ＋e －y )＝e x ＋y ＋e x －y ＋e y －x ＋e －(x ＋y )，g (x ＋y )＝e x ＋y ＋e －(x ＋y )，g (x －y )＝e x －y ＋e －(x －y )＝e x －y ＋e y －x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (x ＋y )－g (x －y )＝f (x )·f (y )＝4，g (x ＋y )＋g (x －y )＝g (x )·g (y )＝8. 解得⎩⎪⎨⎪⎧g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2， ∴g (x ＋y )g (x －y )＝62＝3.。
3.3幂函数-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课后练习
3.3幂函数课后练习一、单选题1．已知0.60.3a =，0.50.3b =，0.50.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >> 2．已知函数()()2211m m f x m m x +-=--是幂函数，且在(0,)+∞上为增函数，若,,a b R ∈且0,0,a b ab +><则()()f a f b +的值（ ）A ．恒等于0B ．恒小于0C ．恒大于0D ．无法判断 3．已知函数()253()1m f x m m x--=--是幂函数且是(0,)+∞上的增函数，则m 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－1或2 D ．0 4．设{}1,1,2,3a ∈-，则使函数a y x =的值域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3 B ．1-，1 C ．1-，3 D ．1-，1，3 5．函数()()2231m m f x m m x +-=--是幂函数，对任意()12,0,,x x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若,a b ∈R ，且()()f a f b +的值为负值，则下列结论可能成立的是A ．0,0a b ab +><B ．0,0a b ab +>>C ．0,0a b ab +<<D ．以上都可能6．已知幂函数f(x)满足f 13⎛⎫⎪⎝⎭=9,则f(x)的图象所分布的象限是 ( ) A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第一象限7．已知()2x xe ef x --=，则下列正确的是（ （A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数 8．如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知，相应曲线对应的值依次为 A ． B ． C ． D ．二、填空题9．幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，则a m +=____． 10．若函数()3ax f x -=在区间(]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围是______． 11．函数276y x x =+-的定义域是_____.12．已知2510x x x -+=><，，ααα，则x x --=αα________．三、解答题13.已知幂函数 y =f(x) 的图象经过点 (2,√2) .（1）求 f(x) 解析式（2）根据单调性定义，证明 f(x) 在区间 [0,+∞) 上单调递增.14.已知幂函数 f(x)=(−3m 2−2m +2)x 1+3m 在 (0,+∞) 上为增函数．（1）求 f(x) 解析式；（2）若函数 g(x)=f(x)−(2a +1)x +a 2−1 在区间 (a,2a −1) 上单调递减，求实数 a 的取值范围．15.已知幂函数 f(x)=(m 2−m −1)x m2−2m−1 （1）求 f(x) 的解析式；（2）①若 f(x) 图像不经过坐标原点，直接写出函数 f(x) 的单调区间. ②若 f(x) 图像经过坐标原点，解不等式 f(2−x)>f(x) .16.比较下列各题中两个幂的值的大小：（1）43434232..，； （2）(√2)−32 ， (√3)−32 ； （3）()5656..-350310，。
高中数学 2.3.1幂函数的图像、性质与应用练习 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题
【金版学案】2015-2016高中数学 幂函数的图像、性质与应用练习 新人教A 版必修1基础梳理1．形如y ＝x α(α∈R)的函数叫做________，其中α为常数，只研究α为有理数的情形．例如：函数y ＝x 2，y ＝x 4的幂函数，而函数y ＝2x 2不是幂函数．2．幂函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 3的图象，如下图所示．3．幂函数的性质．(1)过定点：y ＝x α恒过定点______．当α＞0时，所有幂函数都过定点____________．(2)单调性：当α＞0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调____；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调____．(3)奇偶性：当α为整数且为奇数时，y ＝x α为______；当α为整数且为偶数时，y ＝x α为______；当x 为分数时可将y ＝x α化为根式再判断． 基础梳理1．幂函数 3.(1)(1，1) (0，0)和(1，1) (2)递增 递减 (3)奇函数 偶函数,思考应用1．我们知道，形如y ＝x α(其中幂指数α是常数)的函数叫幂函数，而形如y ＝a x(其中a 是大于0且不为1的常数)的函数叫指数函数，那么指数函数与幂函数的区别在哪里？解析：这两个函数都具有幂指数m n 的形式，但幂函数y ＝x α中，自变量在底数的位置，而指数函数y ＝a x中，自变量在幂指数的位置，这两个函数的自变量所在的位置不同．2．从幂函数的形式：y ＝x α来看，它的表达式中只含有一个常数字母，确定一个待定系数通常只要一个条件．若已知幂函数y ＝x α过某个定点，你能确定这个幂函数吗？解析：一般来说，由幂函数y ＝x α所经过的定点，可以确定这个幂函数．但若只告诉幂函数过原点，那我们只能判断幂指数α>0；若只告诉幂函数过点(1，1)，那告诉的这个点没有任何作用，因为所有的幂函数都过点(1，1)；若只告诉幂函数过点(－1，1), 那我们只能判断这个幂指数的图象关于y 轴对称，这个幂指数是偶函数．除这三个点之外，由幂函数所经过的定点，可以确定这个幂函数的表达式．3．如何根据幂函数的图象确定幂指数的大小？解析：作直线x ＝t (t >1)，它与各幂函数图象相交，交点在第一象限，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．自测自评1．下列函数中，定义域是R 的是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x 12C ．y ＝x 2D ．y ＝x －12．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．正比例函数3．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，2)，则f (4)＝____ 自测自评1．解析：函数y ＝x －2，y ＝x －1的定义域为{x |x ∈R，x ≠0}，函数y ＝x 12的定义域为{x |x ≥0}，函数y ＝x 2的定义域为R.故选C.答案：C2．解析：本题考查幂的运算性质f (x )f (y )＝a x a y ＝a x ＋y＝f (x ＋y ). 答案：C3．解析：设f (x )＝x n ，则2＝2n，解得n ＝12.∴f (x )＝x 12，f (4)＝2.答案：2►基础达标1．下列所给出的函数中，属于幂函数的是( )A ．y ＝－x 3B ．y ＝x －3C ．y ＝2x 3D ．y ＝x 3－1 1．解析：由幂函数定义知选B. 答案：B2．已知函数：①y ＝x x ，②y ＝－x 2，③y ＝x 0，④y ＝2x ，⑤y ＝x 2＋1，⑥y ＝x ，其中幂函数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．解析：由幂函数定义知③⑥是幂函数．故选A. 答案：A3．函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )3．解析：∵y ＝x －2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调递减函数，∴当x ＝12时，y 有最大值4.答案：C A.14 B ．－14C ．4D ．－44．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：①2.334____2.434； ②0.3165____0.3565；③(2)－32____(3)－32； ④1.1－12____0.9－12.4．①＜ ②＜ ③＞ ④＜5．下图是幂函数y ＝x m 和y ＝x n在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1，0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞15．解析：利用幂函数图象的性质及图象的关系知n ＜－1，0＜m ＜1.故选B. 答案：B6．(2013·某某卷)函数f (x )＝x －12的大致图象是( )6．解析：∵y ＝x －12定义域为(0，＋∞)，故选A.答案：A7．求下列幂函数的定义域：(1)y ＝x 3；(2)y ＝x 13；(3)y ＝x 12；(4)y ＝x －2；(5)y ＝x －12.7．分析：含分数指数幂的要化归为根式的形式．解析：(1)y ＝x 3，定义域是R.(2)y ＝x 13＝3x ，定义域是R.(3)y ＝x 12＝x ，定义域是[0，＋∞)．(4)y ＝x －2＝1x2，定义域是{x |x ∈R，且x ≠0}．(5)y ＝x －12＝1x，定义域是(0，＋∞)．点评：考查函数的定义域要全面，如分母不为零，零次幂的底数不为零，偶次根号下不小于零，等等►巩固提高8．给出两个结论：(1)当α＝0时，幂函数y ＝x α的图象是一条直线；(2)幂函数y ＝x α的图象都经过(0，0)和(1，1)点，则正确的判断是( ) A ．(1)对(2)错 B ．(1)错(2)对 C ．(1)(2)都错 D ．(1)(2)都对 8．C 9.C 4，C 2，C 3，C 19．如图所示的曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α分别取－1，1，12，2四个值，则相应图象依次为：____________.10．设f (x )＝(a －3)x (a ＋1)(a －2)，当a 为何值时，(1)f (x )为常数函数？ (2)f (x )为幂函数？ (3)f (x )为正比例函数？10．(1){3，－1，2} (2){4} (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1－132，1＋1321．注意幂函数与指数函数的区别，幂函数中底数是自变量，指数函数中指数是自变量．2．将幂指式x nm 写成m x n可以看出x 的取值X 围．3．比较幂值的大小常利用相关函数的单调性．。
高中数学人教A版(2019)必修一 第三章 第三节 幂函数的性质及图像
高中数学人教A版（2019）必修一第三章第三节幂函数的性质及图像一、单选题(共11题；共55分)1．（5分）幂函数y=x23的大致图像是（）A．B．C．D．2．（5分）如图是幂函数y=x n的部分图像，已知n取12,2,−2,−12这四个值，则于曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为（）A．2,12,−12,−2B．−2,−12,12,2C．−12,−2,2,12D．2,12,−2,−123．（5分）若幂函数f(x)=(m2+m−5)x m2−2m−3的图像不经过原点，则m的值为（）A．2B．-3C．3D．-3或24．（5分）如图的曲线是幂函数y=x n在第一象限内的图像.已知n分别取±2，±12四个值，与曲线c1、c2、c3、c4相应的n依次为（）A．2，12，−12，−2B．2，12，−2，−12C．−12，−2，2，12D．−2，−12，12，25．（5分）下图给出4个幂函数的图象，则图像与函数的大致对应是（）A．①y=x13，②y=x2，③y=x12，④y=x−1B．①y=x3，②y=x2，③y=x12，④y=x−1C．①y=x2，②y=x3，③y=x12，④y=x−1D．①y=x13，②y=x12，③y=x2，④y=x−16．（5分）函数y=x53的图象大致是()A．B．C．D．7．（5分）在下列四个图形中，y＝x−12的图像大致是()A．B．C．D．8．（5分）幂函数y=f(x)的图象经过点(8,2√2)，则f(x)的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f(x)=x−12的大致图象是()A．B．C．D．10．（5分）函数y=x23的图象是（）A．B．C．D．11．（5分）函数y＝x a，y＝x b，y＝x c的图像如图所示，则实数a、b、c的大小关系为()A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 二、多选题(共2题；共10分)12．（5分）若函数f(x)=(3m2−10m+4)x m是幂函数，则f(x)一定（）A．是偶函数B．是奇函数C．在x∈(−∞，0)上单调递减D．在x∈(−∞，0)上单调递增13．（5分）已知幂函数y=xα的图像如图所示，则a值可能为（）A．13B．12C．15D．3三、填空题(共6题；共35分)14．（5分）已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)x m2−2在(0，+∞)为减函数，则f(2)=. 15．（5分）若幂函数y=(m2−m−1)x m为偶函数，则m= .16．（5分）已知幂函数f(x)=mx n的图像过点(14，116)，则mn=.17．（5分）函数y=(m2−m−1)x m2−2m−1是幂函数，且在x∈(0，+∞)上是减函数，则实数m=.18．（5分）已知幂函数f(x)=(m2+m−1)x m的图像如图所示，那么实数m的值是.19．（10分）已知幂函数y=x n的图像过点(3，19)，则n=，由此，请比较下列两个数的大小：(x2−2x+5)n(−3)n.四、解答题(共1题；共10分)20．（10分）已知幂函数f(x)=xα的图像过点(2,4).（1）（5分）求函数f(x)的解析式；（2）（5分）设函数ℎ(x)=2f(x)−kx−1在[−1,1]是单调函数，求实数k的取值范围.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵23>0，∴幂函数在第一象限内的图象为增函数，排除A，C，D，故答案为：B．【分析】利用幂函数的单调性进行判断，可得答案。
2022秋新教材高中数学第三章函数的概念与性质3-3幂函数课后提能训练新人教A版必修第一册
第三章 3.3A级——基础过关练1．下列函数：①y＝x3；②y＝4x2；③y＝x5＋1；④y＝(x－1)2；⑤y＝x.其中幂函数的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B 【解析】②中系数不是1，③中解析式为多项式，④中底数不是自变量本身，所以只有①⑤是幂函数．故选B．2．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝x m和y＝x n在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A．n<m<0B．m<n<0C．n>m>0D．m>n>0【答案】A 【解析】由图象可知两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.由曲线C1，C2的图象可知n<m.3．(2020年郑州月考)已知幂函数f(x)＝2kx m的图象过点(，4)，则k＋m＝( )A．4 B． C．5 D．【答案】B 【解析】因为幂函数f(x)＝2kx m，所以2k＝1，解得k＝.又因为图象过点(，4)，所以( )m＝4，m＝4，则k＋m＝.故选B．4．函数y＝x－的图象大致是( )A BC D【答案】D 【解析】由幂函数的性质知函数y＝x－在第一象限为减函数，且它的定义域为{x|x＞0}．5．(2021年沈阳期末)已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是( )A．(0，1)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D．(－∞，0)【答案】B 【解析】当x＞1时，恒有f(x)＜x，即当x＞1时，函数f(x)＝xα的图象在y ＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象．由图象可知α＜1时满足题意．故选B．6．(2020年朔州高一期中)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(3)＝________．【答案】 【解析】设幂函数为f(x)＝xα，因为过，所以f＝，所以＝⇒2－＝⇒α＝，所以f(3)＝3＝.7．已知幂函数f(x)＝xα图象经过点P(2，)，则α＝________，函数y＝f(x2)－2f(x)的最小值等于________．【答案】 －1 【解析】幂函数f(x)＝xα图象经过点P(2，)，则2α＝，解得α＝.所以f(x)＝x，所以函数y＝f(x2)－2f(x)＝(x2)－2x＝x－2＝(－1)2－1.当x＝1时，函数y的最小值为－1.8．(2020年武汉高一期中)已知幂函数f(x)＝(2m－1)x－2n2＋n＋3(n∈Z)为偶函数，且满足f(3)＜f(5)，则m＋n＝________．【答案】2 【解析】因为幂函数f(x)＝(2m－1)x－2n2＋n＋3(n∈Z)为偶函数，所以解得m ＝1，且n＝1，3，5，….因为满足f(3)＜f(5)，即 3－2n2＋n＋3＜5－2n2＋n＋3，故－2n2＋n＋3为正偶数，所以n＝1.则m＋n＝1＋1＝2.9．比较下列各组数的大小．(1)3－和3.2－；(2)4.1和3.8－.解：(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数．又3＜3.2，所以3－＞3.2－.(2)4.1＞1＝1，0＜3.8－＜1－＝1，所以4.1＞3.8－.B级——能力提升练10．(2020年武汉高一期中)若幂函数f(x)＝(m2＋m－5)x m2－2m－3的图象不经过原点，则m的值为( )A．2B．－3C．3D．－3或2【答案】A 【解析】由幂函数定义得m2＋m－5＝1，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3时，m2－2m－3＝12，f(x)＝x12，过原点，不符合题意，故m＝－3舍去；当m＝2时，m2－2m－3＝－3，f(x)＝x－3，显然不过原点，符合条件．故选A．11．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间上的最小值是( )A．－1B．－2C．－3D．－4【答案】C 【解析】由已知得2α＝，解得α＝－1，所以g(x)＝＝1－在区间上单调递增，则g(x)min＝g＝－3.故选C．12．(多选)(2021年德州期末)已知实数a，b满足等式a＝b，则下列式子可能成立的是( )A．0<b<a<1B．－1<a<b<0C．1<a<b D．a＝b【答案】ACD 【解析】首先画出y1＝x与y2＝x的图象(如图)，已知a＝b＝m，作直线y＝m.若m＝0或m＝1，则a＝b；若0<m<1，则0<b<a<1；若m>1，则1<a<b.从图象知，可能成立的是ACD．13．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．【答案】(－∞，0) 【解析】因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α＜0.14．(2021年南昌模拟)已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：x1f(x)1则不等式f(|x|)≤3的解集是________．【答案】{x|－9≤x≤9} 【解析】由表中数据知＝，∴α＝，∴f(x)＝x，∴|x|≤3，即|x|≤9，故－9≤x≤9.15．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函数．(1)求f的值；(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．解：(1)由m2－5m＋7＝1，得m＝2或m＝3.当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，所以不满足题意，所以m＝2舍去；当m＝3时，f(x)＝x－4，满足题意，所以f(x)＝x－4，所以f＝＝16.(2)由f(x)＝x－4为偶函数且f(2a＋1)＝f(a)，得|2a＋1|＝|a|，即2a＋1＝a或2a＋1＝－a，解得a＝－1或a＝－.C级——探究创新练16．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a＋1)－＜(3－2a)－时a的取值范围．解：因为函数在(0，＋∞)上递减，所以3m－9＜0，解得m＜3.因为m∈N*，所以m＝1，2.又函数图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1.所以(a＋1)－＜(3－2a)－.又因为y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，所以a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a，解得＜a＜或a＜－1.故a的取值范围是.。
【优化课堂】高一数学人教A版必修1 学案：第二章 2.3 幂函数 Word版含答案[ 高考]
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2．3幂函数[学习目标] 1.通过实例，了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数(易混点).2.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象，了解它们的变化情况(难点).3.能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较(重点)．一、幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 二、幂函数的图象与性质1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 3＋2是幂函数．( )(2)幂函数的图象必过(0，0)和(1，1)这两点．( )(3)指数函数y ＝a x 的定义域为R ，与底数a 无关，幂函数y ＝x α的定义域为R ，与指数也无关．( )【答案】 (1)× (2)× (3)× 2．下列函数中，不是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x －1 C ．y ＝x D ．y ＝x 2【解析】 由幂函数定义知y ＝2x 不是幂函数，而是指数函数． 【答案】 A3．函数y ＝x 3的图象关于________对称．【解析】 函数y ＝x 3为奇函数，其图象关于原点对称． 【答案】 原点4．若幂函数过(2，2)点，则此函数的解析式为________． 【解析】 设幂函数为f (x )＝x α，则2＝2α，∴α＝12.∴f (x )＝x 12.【答案】 f (x )＝x 12预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中(2)(2014·宿迁高一检测)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)＝________．(3)函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (x )的解析式为________．【解析】 (1)∵y ＝(m 2－4m －4)x m 是幂函数， ∴m 2－4m －4＝1，解得m ＝－1或m ＝5. (2)由题意22＝2α，即2－12＝2α，∴α＝－12， ∴f (4)＝4－12＝12.(3)根据幂函数的定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3，在(0，＋∞)上是增函数，符合题意；当m ＝－1时，f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求． 故f (x )＝x 3.【答案】 (1)－1或5 (2)12(3)f (x )＝x 3判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )图2-3-1A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2，2，12D ．2，12，－2，－12(2)若点A (2，2)在幂函数f (x )的图象，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上， ①求f (x )、g (x )的解析式；②求当x 为何值时：(ⅰ)f (x )＞g (x )；(ⅱ)f (x )＝g (x )；(ⅲ)f (x )＜g (x )． 【思路探究】 (1)根据幂函数的图象特征及性质确定相应的图象；(2)设出函数解析式f (x )＝x a 、g (x )＝x b ，把A ，B 两点的坐标分别代入求得a ，b 即可．画出相应的函数图象，数形结合求得x 的范围．【解析】 (1)由幂函数的图象与性质，n ＜0时不过原点，故C 3，C 4对应的n 值均为负，C 1，C 2对应的n 值均为正；由增(减)快慢知曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为2，12，－12，－2.【答案】 B(2)①设f (x )＝x a ，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以(2)a ＝2，所以a ＝2，即f (x )＝x 2.设g (x )＝x b，因为点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，所以(－2)b ＝14，所以b ＝－2，即g (x )＝x －2.②令f (x )＝g (x )，解得x ＝±1.在同一坐标系下画出函数f (x )和g (x )的图象，如图：由图象可知，f (x )，g (x )的图象均过点(1，1)和(－1，1)． 所以(i)当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＞g (x )； (ⅱ)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (ⅲ)当－1＜x ＜1且x ≠0时，f (x )＜g (x )．1．幂函数的图象有以下特点： (1)恒过点(1，1)，且不过第四象限．(2)当α＞0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是增函数；当α＜0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是减函数．(3)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小． 2．幂函数y ＝x α在第一象限内图象的画法 (1)当α＜0时，其图象可以类似y ＝x －1画出； (2)当0＜α＜1时，其图象可以类似y ＝x 12画出；(3)当α＞1时，其图象可以类似y ＝x 2画出．本例(2)中若定义h (x )＝⎩⎨⎧f （x ），f （x ）≤g （x ），g （x ），f （x ）＞g （x ），求函数h (x )的最大值及单调区间．【解】 由题意h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ＜－1或x ＞1，x 2，－1≤x ＜0或0＜x ≤1，根据图象可知函数h (x )的最大值为1，单调递增区间为(－∞，－1]，(0，1]，单调递减区间为[－1，0)，[1，＋∞)．(1)3－52和3.1－52；(2)－8－78和－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978；(3)4.125，3.8－23和(－1.9)－35.【思路探究】 比较两个幂值的大小，可借助幂函数的单调性或取中间量进行比较．对于(1)，(2)可利用同指数或转化为同指数的幂函数进行比较，而(3)可找中间量进行比较．【解】 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978，从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.(3)4.125>125＝1；0<3.8－23<1－23＝1；(－1.9)－35<0，所以(－1.9)－35<3.8－23<4.125.幂值大小比较常用的方法要比较的两个幂值，若指数相同，底数不同，则考虑应用幂函数的单调性；若底数相同，指数不同，则考虑应用指数函数的单调性；若底数，指数均不相同，则考虑借助中间量“1”“0”“－1”进行比较．比较大小，说明理由． (1)0.9513与0.9613；(2)0.95－35与0.95－23.【解】 (1)∵函数y ＝x 13在(0，＋∞)上是增函数，且0.95＜0.96，∴0.9513＜0.9613.(2)∵函数y ＝0.95x 在R 上是减函数，且－35＞－23，∴0.95－35＜0.95－23.1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数形同而实异，幂函数的自变量在底数位置上，指数函数的自变量在指数位置上．2．已知幂函数的图象和性质求解析式时，常用待定系数法．3．幂函数y＝xα在第一象限的图象特征．(1)当α＞1时，图象过点(0，0)，(1，1)，递增，如y＝x2；(2)当0＜α＜1时，图象过点(0，0)，(1，1)，递增，如y＝x 12；(3)当α＜0时，图象过点(1，1)，递减，且以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1，y＝x－12等．4．比较大小．(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数．分类讨论思想在幂函数中的应用(5分)若(a －1)－13＜(3－2a )－13，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，32C ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32【思路探究】 以a －1，3－2a 是否在幂函数的同一单调区间为标准分类求解．【满分样板】 考查幂函数y ＝x －13，类比y ＝x －1的单调性，可得：若x －13＜y －13，则有x ＜0＜y ，y ＜x ＜0或0＜y ＜x 三种情况． 因此，若(a －1)－13＜(3－2a )－13，则有如下三种可能：⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，3－2a ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，3－2a ＜0，a －1＞3－2a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，3－2a ＞0，a －1＞3－2a ， 解得a ＜1或43＜a ＜32.故实数a 的取值范围为(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，32.【答案】C1．欲利用幂函数y ＝x －13的性质求参数的值，可类比幂函数y ＝x －1的性质，y ＝x －1有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，＋∞)，又当x ＜0时，y ＜0；当x ＞0时，y ＞0.2．本题以a －1，3－2a 是否在幂函数y ＝x －13的同一单调区间为标准分类，可分为两类，而在同一单调区间时，又分两种情况，从而做到不重不漏．——[类题尝试]—————————————————(2014·济南高一检测)已知函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 23－1为幂函数，求其解析式，并讨论函数的单调性和奇偶性．【解】 由题意得m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0. ∴m ＝1或m ＝2.当m ＝2时，y ＝x 13，定义域为R ，y ＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数且是奇函数．当m ＝1时，y ＝x －23，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．由于y ＝x －23＝1x 23＝13x 2，∴函数y ＝x －23为偶函数．又－23<0，∴y ＝x －23在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．。
高中数学 课后作业23 幂函数 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题
课后作业(二十三)复习巩固一、选择题1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )[解析] y ＝x 23 ＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同． [答案] D2．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 34 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15 34，c ＝()212 ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．a <b <cD ．b >c >a[解析] 构造幂函数y ＝x 34，x >0，由该函数在定义域内单调递增，知1>a >b ；又c ＝2 12>1，知a <c .故c >a >b .[答案] B3．函数y ＝x 53的图象大致是图中的( )[解析] ∵函数y ＝x 53 是奇函数，且α＝53>1，∴函数在R 上单调递增．故选B.[答案] B4．若幂函数y ＝(m 2＋3m ＋3)x m 2＋2m －3的图象不过原点，且关于原点对称，则( )A ．m ＝－2B ．m ＝－1C ．m ＝－2或m ＝－1D ．－3≤m ≤－1[解析] 根据幂函数的概念，得m 2＋3m ＋3＝1，解得m ＝－1或m ＝－2.若m ＝－1，则y ＝x －4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m ＝－2，则y ＝x －3，其图象不过原点，且关于原点对称．[答案] A5．下列结论中，正确的是( ) A ．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．当α＝－1时，幂函数y ＝x α在其整个定义域上是减函数[解析] 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不经过原点，故A 错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α(α∈R )>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B 错误；当α>0时，y ＝x α是增函数，故C 正确；当α＝－1时，y ＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误．故选C.[答案] C 二、填空题6．若y ＝ax a 2－12是幂函数，则该函数的值域是________．[解析] 由已知y ＝ax a 2－12 是幂函数，得a ＝1，所以y ＝x12，所以y ≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．[答案] [0，＋∞)7．函数y ＝3x α－2的图象过定点________．[解析] 依据幂函数y ＝x α性质，x ＝1时，y ＝1恒成立，所以函数y ＝3x α－2中，x ＝1时，y ＝1恒成立，即过定点(1,1)．[答案] (1,1)8．已知当x ∈(1，＋∞)时，函数y ＝x α的图象恒在直线y ＝x 的上方，则α的取值X围是________．[解析] 由幂函数的图象特征知α>1. [答案] (1，＋∞) 三、解答题9．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，试求出此函数的解析式，判断奇偶性． [解] 设y ＝x α(α∈R )，∵图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22， ∴2α＝22，α＝－12，∴f (x )＝x －12 .∵函数y ＝x －12 ＝1x，定义域为(0，＋∞)，函数为非奇非偶函数．10．已知幂函数y ＝f (x )＝x－2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：①是区间(0，＋∞)上的增函数； ②对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足①，②的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域． [解] 因为m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }， 所以m ＝－1,0,1.因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件①而不满足条件②； 当m ＝1时，f (x )＝x 0条件①、②都不满足．当m ＝0时，f (x )＝x 3条件①、②都满足，且在区间[0,3]上是增函数． 所以x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域为[0,27]．综合运用11．已知幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 可能等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴3m －5<0(m ∈N )，则m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －5是奇函数，不合题意．当m ＝1时，f (x )＝x －2是偶函数，因此m ＝1，故选B.[答案] B12．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )[解析] 当a <0时，函数y ＝ax －1a 是减函数，且在y 轴上的截距－1a>0，y ＝x a在(0，＋∞)上是减函数，∴A 、D 项均不正确．对于B 、C 项，若a >0则y ＝ax －1a是增函数，B 项错，C 项正确，故选C.[答案] C13.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m和y ＝x n在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n <m <0B ．m <n <0C ．n >m >0D ．m >n >0[解析] 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0.当x ＝2时，2m>2n，所以n <m <0.[答案] A14．已知函数f (x )＝x 1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.[解析] 取值验证．α＝1时，y ＝x 0，不满足；α＝2时，y ＝x－13，在(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；α＝3时，y ＝x －23满足题意．[答案] 315．已知幂函数y ＝x3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数是减函数，求满足(a ＋1)－m 3 <(3－2a )－m3的a 的取值X 围．[解] ∵函数y ＝x3m －9在(0，＋∞)上单调递减，∴3m －9<0，解得m <3. 又m ∈N *，∴m ＝1,2. 又函数图象关于y 轴对称， ∴3m －9为偶数．故m ＝1. ∴有(a ＋1)－13 <(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a . 解得23<a <32或a <－1.故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32∪(－∞，－1)．。
第12讲 幂函数的图象和性质(人教A版2019必修第一册)(解析版)初升高暑假预习讲义
第12讲幂函数的图象和性质【人教A版2019】·模块一幂函数的概念·模块二幂函数的图象与性质·模块三课后作业1．幂函数的概念(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数.只有同时满足这三个条件，才是幂函数.【考点1对幂函数的概念的理解】【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）下列函数为幂函数的是（）A．=22B．=22−1C．=2D．J2【解题思路】根据幂函数的定义即可求解.【解答过程】由幂函数的定义可知：J2是幂函数，=22，=22−1和=2的系数不为1，故不是幂函数，故选：D.【例1.2】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中不是幂函数的是（）A．=B．=3C．=3D．=−1【解题思路】根据幂函数的定义逐个分析选项即可.【解答过程】对于选项A，==12，故它是幂函数．故A项正确；对于选项B，=3是幂函数，故B项正确；对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立；对于选项D，=−1是幂函数，故D项正确.故选：C.【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）现有下列函数：①=3；②=；③=42；④=5+1；⑤=−12；⑥=；⑦=(>1)，其中幂函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】根据幂函数的定义逐个辨析即可【解答过程】幂函数满足=形式，故=3，=满足条件，共2个故选：B.【变式1.2】（2023秋·云南德宏·高一统考期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（）A．=3B．=12C．=22D．=+1【解题思路】利用幂函数及函数的奇偶性的定义，结合各选项进行判断即可.【解答过程】对于A，由幂函数的定义知=3=13是幂函数，由题意可知op的定义域为R,o−p= 3−=−3=−op，所以op是奇函数，符合题意；故A正确；对于B，由幂函数的定义知=12=−2是幂函数，由题意可知op的定义域为−∞,0∪0,+∞,o−p==12=op，所以op是偶函数，不符合题意；故B错误；对于C，由幂函数的定义知=22不是幂函数，不符合题意；故C错误；对于D，由幂函数的定义知=+1不是幂函数，不符合题意；故D错误；故选：A.【考点2求幂函数的函数值、解析式】【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点(2,2)，则f(9)＝（）A．−3B．−13C．3D．13【解题思路】代点的坐标求出α的值，得到函数op的解析式，即得解.【解答过程】由题意f(2)＝2α＝2=212，所以α＝12，所以f(x)＝，所以f(9)＝9＝3.故选：C.【例2.2】（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知幂函数的图象过点4,=（）A．−12B．−2C．12D．2【解题思路】设幂函数=,将4,，即得答案.【解答过程】设幂函数=，由于的图象过点4,故4=12,∴=−12，即=−12，故选：A.【变式2.1】（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数满足o6)o2)=4，则）A．2B．14C．−14D．−2【解题思路】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.【解答过程】依题意，设=，则o6)o2)=62=3=4，所以o13)=(13)=13=14.故选：B.【变式2.2】（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知点3,2在幂函数=−1的图象上，则（）A．=−1B．=212C．=3D．=13【解题思路】根据幂函数的定义求出a，将已知点的坐标代入解析式即可求解.【解答过程】∵函数=−1是幂函数，∴−1=1，即=2,∴点8,2在幂函数=的图象上，∴8=2，即=13，故=13.故选：D.1．常见幂函数的图象与性质幂函数图象定义域R R R 值域R R奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上为增函数，增函数，减函数在R 上为增函数在上为增函数，减函数，增函数定点（1,1）温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a >0时，y ＝x α是增函数；当α<0时，y ＝x α是减函数．2．一般幂函数的图象与性质(1)一般幂函数的图象：①当α=1时，y =x 的图象是一条直线.②当α=0时，y ==1(x ≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：（p 、q 互质）p ，q 都是奇数p是偶数，q是奇数p是奇数，q是偶数(2)一般幂函数的性质：通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1).②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.3．对勾函数的图象与性质参考幂函数的性质，探究函数的性质.(1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近.(2)(3)的值域为(-,-2]∪[2,+).(4)奇偶性：函数为奇函数.(5)单调性：由函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减.【考点1幂函数的定义域、值域】【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）给出5个幂函数：①=−2；②=45；③=14；④=23；⑤=−45，其中定义域为R的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解题思路】根据幂函数的定义域求得正确答案.【解答过程】①=−2=12的定义域为U≠0，不符合.②=45=54的定义域为R，符合.③=14=4的定义域为U≥0，不符合.④=23=32的定义域为R，符合.⑤=−45=的定义域为U≠0，不符合.所以符合的是②④.故选：C.【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数op=的图像过点(8,4)，则op=的值域是（）A．−∞,0B．−∞,0∪0,+∞C．0,+∞D．0,+∞【解题思路】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域.【解答过程】∵幂函数op=的图像过点(8,4)，∴8=4，解得=23，∴op=23=32≥0，∴op的值域是0,+∞.故选：D.【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）函数=−1+12的定义域为（）A．−∞,+∞B．−∞,0∪0,+∞C．0,+∞D．0,+∞【解题思路】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【解答过程】因为=−1+12=1+，则≠0≥0，可得>0，故函数的定义域为0,+∞.故选：D.【变式1.2】（2023秋·北京·高一校考期末）下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（）A．=13B．=−12C．=53D．=23【解题思路】由幂函数性质可得解.【解答过程】A中定义域和值域都是；,定义域和值域都是(0，+∞)；B中=−12=C中定义域和值域都是；D中=23=(13)2定义域为R，值域为[0，+∞)故选：D.【考点2幂函数的图象】【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）A．①=−1，②=12，③=13B．①=−1，②=13，③=12C．①=13，②=12，③=−1D．①=13，②=−1，③=12【解题思路】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.【解答过程】由函数=−1=1是反比例函数，其对应图象为①；函数=12=的定义域为(0,+∞)，应为图②；因为=13的定义域为R且为奇函数，故应为图③.故选：A.【例2.2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）若点4,2在幂函数的图象上，则的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再进行判断即可得出答案．【解答过程】设幂函数op=，将点4,2代入，得4=2，解得=12，所以op=12，定义域为[0,+∞)，且在定义域内单调递增，大致图像为B，故选：B．【变式2.1】（2023·全国·高三对口高考）已知幂函数=（s∈且p与q互质）的图像如图所示，则（）A．p、q均为奇数且<0B．p为奇数，q为偶数且<0C．p为奇数，q为偶数且>0D．p为偶数，q为奇数且<0【解题思路】根据图像的对称性及形状结合幂函数的图像特征可直接解答.【解答过程】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定<0，又因为p与q互质，所以q为奇数，故选：D.【变式2.2】（2023·全国·高一假期作业）如图所示，图中的曲线是幂函数=在第一象限的图象，已知取±2，±12四个值，则相应于1，2，3，4的依次为（）A．−2，−12，12，2B．2，12，−12，−2C．−12，−2，2，12D．2，12，−2，−12【解题思路】根据幂函数的图象在第一象限内的特征即可得答案.【解答过程】解：根据幂函数=的性质，在第一象限内的图象:当>0时，越大，=递增速度越快，故1的=2，2的=12；当<0时，越大，曲线越陡峭，所以曲线3的=−12，曲线4的=−2.故选:B.【考点3由幂函数的图象与性质求参数】【例3.1】（2023·全国·高一假期作业）幂函数=2−3在第一象限内是减函数，则=（）A．2B．2C．−2D．−2【解题思路】先根据幂函数定义求出m的可能值，再结合函数的单调性即可得解.【解答过程】由幂函数的定义可知2−3=1，解得=±2，由幂函数的单调性可知<0，所以=−2．故选:D．【例3.2】（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）已知幂函数op=2−2−2K2的图象经过原点，则=（）A．－1B．1C．3D．2【解题思路】令2−2−2=1求解，再根据函数图象经过原点判断.【解答过程】解：令2−2−2=1，解得=−1或=3.当=−1时，=−3的图象不经过原点.当=3时，=的图象经过原点.故选：C.【变式3.1】（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）已知幂函数=2+2−2⋅2−2在0,+∞上是减函数，则n的值为（）A．−3B．1C．3D．1或−3【解题思路】先由函数是幂函数，得到=−3或=1，再分别讨论，是否符合在0,+∞上是减函数的条件.【解答过程】因为函数是幂函数，则2+2−2=1，所以=−3或=1.当=−3时，=15在0,+∞上是增函数，不合题意.当=1时=−1在0,+∞上是减函数，成立.故选：B.【变式3.2】（2023秋·广西贵港·高一统考期末）若幂函数=−2+2r259的图象关于y轴对称，解析式的幂的指数为整数,在−∞,0上单调递减，则=（）A．19B．19或499C．−13D．−13或73【解题思路】由题意知是偶函数，在−∞,0上单调递减,可得−2+2+259为正偶数，再根据−2+2+259的范围可得答案.【解答过程】由题意知是偶函数，因为在−∞,0上单调递减,所以−2+2+259为正偶数，又−2+2+259=−(−1)2+349≤349，∴−(−1)2+349=2，解得=73或−13．故选：D．【考点4比较幂值的大小】【例4.1】（2023春·浙江·高一校联考期中）记=0.20.1,=0.10.2,=(2)−0.5，则（）A．>>B．>>C．>>D．>>。
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【答案】
1.（1） ．（2） ．
2.因为 ，所以 为奇函数.
任取 ，且 ，则 .
因为 ， ，
所以 ，即幂函数 是增函数.
3.函数 为偶函数；在 上单调递减，在 上单调递增.
4.（1） .（2） .（3） .
课程基本信息
课例编号
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
幂函数
教科书
书名：普通高中教科书 数学必修第一册
出版社：人民教育出版社A版 出版日期：2019年6月
学生信息
姓名
学校
班级学号课后Fra bibliotek习1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1） ， ；（2） ， ．
2．根据单调性和奇偶性的定义证明函数 的单调性和奇偶性．
3．画出函数 的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性．
4．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率 （单位： ）与管道半径 （单位： ）的四次方成正比.
（1）写出气体流量率 关于管道半径 的函数解析式；
（2）若气体在半径为3 的管道中，流量速率为 ，求该气体通过半径为 的管道时，其流量速率 的表达式；