学海乐苑高考数学诊断试卷(七)
浙江省杭州市(新版)2024高考数学部编版真题(评估卷)完整试卷
浙江省杭州市（新版）2024高考数学部编版真题(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则满足条件的整数的个数为（）A．2B．3C．4D．无数第(2)题等差数列的前项和为，则的最大值为（）A．60B．50C．D．30第(3)题已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题正项等比数列满足，，则的前7项和( )A．256B．254C．252D．126第(5)题设，则“且”是“且”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(6)题若复数，则（）A．B．C．1D．3第(7)题在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是A．B．C．D．第(8)题某舞台灯光设备有一种25头LED矩阵灯（如图所示），其中有2头LED灯出现故障，假设每头LED灯出现故障都是等可能的，则这2头故障LED灯相邻（横向相邻或纵向相邻）的概率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列说法正确的有（）A ．，且，则B．设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D．在某项测量中，测量结果服从正态分布，则第(2)题下列不等式成立的是（）A．B．C．D．第(3)题已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足：①；②对任意实数，，都有；③存在大于零的常数a，使得，且当时，．下列说法正确的是（）A．B．当时，C．函数f（x）g（x）在R上的最大值为2D．对任意的，都有三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题二项式的展开式中，所有项系数和为，则的系数为______（用数字作答）.第(2)题已知函数，(a>0，a≠1)，若，则m=___________，___________.第(3)题若一个正三棱锥底面边长为1，高为，求与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知各项均为正数的等比数列的首项.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列的前项和，证明：.第(2)题已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，且，证明：有且仅有两个零点.（e为自然对数的底数）第(3)题如图，在平行四边形中，，，为边上的点，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且三棱柱的体积为.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.第(4)题已知函数，若在区间内有且只有一个实数，使得成立，则称函数在区间内具有唯一零点.（1）判断函数在区间内是否具有唯一零点，说明理由：（2）已知向量，，，证明在区间内具有唯一零点.（3）若函数在区间内具有唯一零点，求实数的取值范围.第(5)题已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F2在坐标轴上，焦距是实轴长的倍且过点（4，﹣）（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；（3）在（2）条件下，若M F2交双曲线另一点N，求△F1MN的面积.。
浙江省湖州市(新版)2024高考数学人教版质量检测(培优卷)完整试卷
浙江省湖州市（新版）2024高考数学人教版质量检测(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知单位向量满足，则夹角的余弦值为（ ）A．B ．C ．D ．第(2)题若不等式对恒成立（e 为自然对数的底数），则实数a 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．第(3)题函数的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3第(4)题设角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，则“”是“”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件第(5)题现有几何体Ω，当它内部被挖去另一个几何体时的三视图如下，则Ω的体积等于（ ）A．B ．C．D ．第(6)题我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”，如：.在不超过12的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为（ ）A．B ．C ．D ．第(7)题某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．第(8)题设复数z 的共轭复数为为虚数单位，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知正四棱台的上底面边长为1，侧棱长为2，高为，则（ ）A ．棱台的侧面积为B ．棱台的体积为C ．棱台的侧棱与底面所成的角D ．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为第(2)题已知的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，面积为，则下列说法正确的是（ ）A．的取值范围是B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为C．若是锐角三角形，则的取值范围是D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10第(3)题2020年7月16日，国家统计局发布2020年上半年中国经济数据．数据显示，上半年，全国居民人均消费支出9718元，较2019年上半年全国人均消费支出10330元，下降约5.9%（不考虑价格因素），图1、图2分别为2019年上半年与2020年上半年居民人均消费支出构成，则下列说法正确的是（）A．2020年上半年较2019年上半年人均生活用品及服务消费支出减少了B．2019年上半年人均衣着消费支出和人均居住消费支出的总和超过了人均食品烟酒消费支出C．2020年上半年较2019年上半年人均居住消费支出减少了D．2020年上半年较2019年上半年人均教育文化娱乐消费支出比重降幅最大三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知非零向量，满足，且，则，的夹角为______．第(2)题在空间直角坐标系中，已知点，，若点在轴上，且，则M的坐标是_____________.第(3)题设是抛物线上两个不同的点,为坐标原点,若直线与的斜率之积为,则下列结论正确的有________.①;②;③直线过抛物线的焦点;④面积的最小值是.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)求函数在上的值域；(2)若方程有两个不相等的解，且，求证：．第(2)题设函数，，已知有三个互不相等的零点，且.（Ⅰ）若.(ⅰ)讨论的单调区间；(ⅱ)对任意的，都有成立，求的取值范围；（Ⅱ）若且，设函数在，处的切线分别为直线，，是直线，的交点，求的取值范围.第(3)题已知点是圆上的动点，，是线段上一点，且，设点的轨迹为.(1)求轨迹的方程；(2)设不过原点的直线与交于两点，且直线的斜率的乘积为，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合）.试问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由.第(4)题已知．（1）证明：；（2）对任意，，求整数的最大值．（参考数据：）第(5)题已知函数(1)若讨论的单调性;(2)当时，若函数与的图象有且仅有一个交点，求的值(其中表示不超过的最大整数，如.参考数据:。
学海大联考2025届数学高三第一学期期末检测模拟试题含解析
学海大联考2025届数学高三第一学期期末检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过直线0x y +=上一点P 作圆()()22152x y ++-=的两条切线1l ，2l ，A ，B 为切点，当直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称时，APB ∠=（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒2．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ） A ．2B ．3C ．-2D ．-33．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．()2112f t t f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>4．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ） A ．917B ．817C ．1735D ．9355．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．356．已知函数有三个不同的零点 （其中），则的值为( )A ．B ．C ．D ．7．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ． C ．D ．8．过点6(26)2P ，的直线l 与曲线213y x =-交于A B ，两点，若25PA AB =，则直线l 的斜率为( ) A ．23-B ．23+C ．23+或23-D ．23-或31-9．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B 等于（ ）A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3)10．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．4311．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）A ．2014年我国入境游客万人次最少B ．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C ．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D ．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届学海大联考高三数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析
2024届学海大联考高三数学第一学期期末质量检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x +=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x+=3．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( ) A ．−8 B ．−6 C ．6D ．84．设i 是虚数单位，若复数103m i++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（ ） A ．3-B ．1-C ．1D ．35．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A ．12种B ．18种C ．24种D ．64种6．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<7．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A ．533B ．3C ．33D 738．下列判断错误的是( )A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，则()20.22P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()1E ξ= D ．am bm >是a b >的充分不必要条件9．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则 A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．R C P ⊆QD ．Q ⊆R C P10．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数.A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①②都正确D ．①②都错误11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．113 B ．4 C ．133D ．512．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．22B ．32C ．212+ D ．312+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省舟山市(新版)2024高考数学人教版能力评测(评估卷)完整试卷
浙江省舟山市（新版）2024高考数学人教版能力评测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．第(2)题已知曲线,把上各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,关于有下述三个结论：（1）函数在上是减函数；（2）当,且时,,则；（3）函数（其中）的最小值为.其中正确结论的个数为（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．0第(3)题某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( )A ．种B ．种C ．种D ．种第(4)题若双曲线C ：其中一条渐近线的斜率为2，且点在C 上，则C 的标准方程为（ ）A．B ．C ．D ．第(5)题若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B．2C ．D ．第(6)题的图像的一条对称轴是（ ）A．B ．C ．D ．第(7)题已知向量，且，则由x 的值构成的集合是A ．B ．C ．D ．第(8)题64个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为a 的球，记其体积为，表面积为，则A ．>且>B ．<且<C ．=且>D ．=且=二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知直线交椭圆于A ，B 两点，，为椭圆的左、右焦点，M ，N 为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线l 的对称点为Q ，则（ ）A．若，则椭圆的离心率为B ．若，则椭圆的离心率为C．D．若直线平行于x轴，则第(2)题“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（）喜欢天宫课堂不喜欢天宫课堂男生8020女生7030参考公式及数据：①，.②当时，.A．从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为B．用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为C．根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联D．对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85第(3)题已知函数的图象关于点中心对称，则（）A ．直线是曲线的对称轴B．在区间单调递减C ．在区间有1个极值点．D．直线是曲线的切线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）_______米．第(2)题抛物线的焦点为F，过C上一点P作C的准线l的垂线，垂足为A，若直线的斜率为，则的面积为______．第(3)题已知函数．A，B为函数的图象上任意两点，O为坐标原点，则的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，（1）求函数在点处的切线方程；（2）当时，求函数在区间上的最小值.第(2)题已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.第(3)题网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择，某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从A区和B区参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.(1)从区和区参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望；(2)从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.(3)现以该抽取的20户家庭中所得数据为该小区整体发生的概率，已知这户家庭网购次数超过20次，求这户家庭是区的概率.第(4)题如图，在三棱柱中，，，，，P为线段的中点，点N为线段上靠近的三等分点.(1)求证：；(2)求平面与平面夹角的余弦值.第(5)题有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下.现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标的值评定石榴的等级，若则为一级；若则为二级；若则为三级.近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：种植园编号A B C D E F种植园编号G H I J K L（1）若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；（2）在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量的分布列及数学期望.。
海南省2023届高三上学期期末学业水平诊断数学试题(含答案解析)
海南省2023届高三上学期期末学业水平诊断数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．3i12i-=-（）A ．1i-+B ．1i--C ．1i+D ．1i-2．已知集合{}5A x x =>，{}21log 0B x x =-<，则（）A ．A B⊆B ．B A⊆C ．A B ⋂=∅D ．A B = R 3．若数列{}n a 的前n 项和21nn S =+，则561a a a +=（）A ．7B ．8C ．15D ．164．天文学中常用“星等”来衡量天空中星体的明亮程度，一个望远镜能看到的最暗的天体星等称为这个望远镜的“极限星等”．在一定条件下，望远镜的极限星等M 与其口径D （即物镜的直径，单位：mm ）近似满足关系式 1.8g 5l D M =+，例如：50mm 口径的望远镜的极限星等约为10.3．则200mm 口径的望远镜的极限星等约为（）A ．12.8B ．13.3C ．13.8D ．14.35．使得函数()2ln axf x b x+=+为奇函数的实数对(),a b 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知样本数据12,,,n x x x 的平均数与中位数之差为2，则样本数据1221,21,,21n x x x --- 的平均数与中位数之差为（）A ．2B ．3C ．4D ．87．已知P ，Q 是抛物线2:4C x y =上位于不同象限的两点，分别过P ，Q 作C 的切线，两条切线相交于点T ，F 为C 的焦点，若2=FP ，5FQ =，则F T =（）ABC．D ．48．如图所示，某制药厂以前生产的维C 药片的形状是由一个圆柱和两个直径为1cm 2的半球组成的几何体，总长度为2cm ．现根据市场需求进行产品升级，要将药片形状改为高为1cm 2的圆柱，且升级前后药片的表面积相同，则升级后的药片体积相比升级前（）A ．减少了3πcm 48B ．增加了3πcm 48C ．减少了3πcm 96D ．增加了3cm 96π二、多选题9．已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且21cos cos 25αα-=，则（）A ．1tan 2α=-B ．4sin 25α=C ．3cos 25α=D ．3tan 24α=-10．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD AA =，AB =，则下列线段与1AC 垂直的有（）A ．1A DB ．1B CC ．1B DD ．1BD 11．已知圆22:220C x y ax ay a +-++-=经过坐标原点，则（）A ．圆C 的半径为5B ．圆C 的一条直径在直线310x y ++=上C ．圆C 与坐标轴的交点构成的三角形面积为4D ．圆C 上到x 轴的距离为1的点有4个12．已知函数()e x f x x =-，()2g x x x =-，令()()()u x f g x =，()()()v x g f x =，则（）A ．()u x 与()g x 的单调区间相同B ．()v x 与()f x 的单调区间相同C ．()u x 与()f x 有相同的最小值D ．()v x 与()g x 有相同的最小值三、填空题13．已知正方形ABCD 的边长为2，边AD ，CD 的中点分別为E ，F ，则()EF EA AB ⋅+=________．14．函数()1πsin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的对称轴中，离y 轴最近的对称轴方程为x =________．15．已知小明每天步行上学的概率为0.6，骑自行车上学的概率为0.4，且步行上学有0.05的概率迟到，骑自行车上学有0.02的概率迟到．若小明今天上学迟到了，则他今天骑自行车上学的概率为________．16．如图，已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，M ，N 为椭圆上两点，满足12//F M F N ，且221::1:2:3F N F M F M =，则椭圆C 的离心率为________．四、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知23A π=，再从下面①②③三个条件中选两个，求sin sin B C +的值．条件:①7a =；②3b =；③ABC 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．18．已知等差数列{}n a 中，13a =，1735a a =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记m b 为{}n a 中满足()*3m n a m ≤∈N 的项的个数，写出1b ，2b 的值，并求数列{}m b 的前m 项和m S ．19．如图，在四棱雉P ABCD -中，点,,,A B C D 都在以AC 为直径的圆上，PC ⊥平面ABCD ，M 为AP 的中点．(1)证明：AB ⊥平面PBC ；(2)若ABD △是正三角形，24AC PC ==，求平面BMD 与平面PBC 夹角的余弦值．20．王先生准备利用家中闲置的10万元进行投资，投资公司向其推荐了A ，B 两种理财产品，其中产品A 一年后固定获利8%，产品B 的一年后盈亏情况的分布列如下（表中0p >）：盈亏情况获利16%不赔不赚亏损4%概率2p14p(1)如果王先生只投资产品B ，求他一年后投资收益的期望值．(2)该投资公司为提高客户积极性，对投资产品B 的客户赠送鼓励金，每年的鼓励金为产品B 的投资额的2%但不超过1200元．王先生应该如何分配两个产品的投资额，才能使一年后投资收益（含鼓励金）的期望值最大，最大为多少？21．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>E 的右焦点为F ，右顶点为A ，虚轴下端点为B ，且BF =(1)求E 的方程；(2)过坐标原点的直线l 与E 交于P ，Q 两点，与直线AB 交于点M ，且点P ，M 都在第一象限，若AQM V 的面积是APM △面积的2倍，求l 的斜率．22．已知函数()e eln xf x x =-．(1)证明()e f x ≥；(2)不等式()22222eln f x ax x x a ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据复数的除法运算化简，即可得出答案.【详解】根据复数的除法运算得()()()()3i 12i 3i 55i 1i 12i 12i 12i 5-+-+===+--+，故选：C 2．A【分析】利用集合的基本关系判断.【详解】解：因为集合{}5A x x =>，集合{}{}21log 02B x x x x =-<=>，所以A B ⊆．故选：A 3．D【分析】利用数列的和与项的关系求得1a ，56a a +后即可得．【详解】6456642248a a S S +=-=-=，113a S ==，所以56116a a a +=．故选：D ．4．B【分析】根据50mm 口径的望远镜的极限星等求出lg 5的估值，即可求出200mm 口径的望远镜的极限星等.【详解】解：由题意1.85lg 5010.3+≈，∴10.3 1.8lg 501lg 5 1.75-=+≈=，∴lg50.7≈．∴()1000.185lg 200185lg 1853lg 3.15..53+=+=+-≈．故选：B.5．B【分析】利用函数的奇偶性的定义判断.【详解】解：因为函数()2lnaxf x b x+=+为奇函数，所以()()f x f x -=-，则22ln ln ax axb x b x-+=--+，所以22ax b xb x ax-+=-+，整理可得22224b x a x -=-，于是21a =，24b =．则(),a b 为()1,2，()1,2-，()1,2-，()1,2--，当1a =，2b =时，()2ln 2xf x x+=+的定义域为{}2x x ≠-，不关于原点对称，当1a =-，2b =-时，2102xx -=-<-，舍．当1a =，2b =-时，()2ln 2xf x x +=-，符合题意．当1a =-，2b =时，()2ln 2xf x x-=+，符合题意．故选：B 6．C【分析】分别设出样本数据12,,,n x x x 的平均数与中位数，推出出1221,21,,21n x x x --- 的平均数和中位数的表达式，即可求出样本数据1221,21,,21n x x x --- 的平均数与中位数之差.【详解】解：由题意在样本数据中，样本数据12,,,n x x x 的平均数与中位数之差为2设12,,,n x x x 的平均数为x ，中位数为m ，则1221,21,,21n x x x --- 的平均数为21x -，中位数为21m -，∴()()21212224x m x m ---=-=⨯=．故选：C.7．B【分析】不妨令P 第二象限，Q 在第一象限，根据抛物线的定义，可求得,P Q 坐标，再利用导数的几何意义求切线斜率，从而得直线方程，联立可得交点T 的坐标，利用距离公式即可求得FT 的值.【详解】解：抛物线2:4C x y =的焦点()0,1F ，抛物线的准线方程为1y =-，如图所示，根据抛物线对称性，不妨令P 第二象限，Q 在第一象限，根据抛物线的定义，可知12,15P Q FP y FQ y =+==+=所以P 的纵坐标为1，Q 的纵坐标为4，则()2,1P -，()4,4Q ．由24x y =得24x y =，得2xy '=，所以抛物线在P ，Q 两点处的切线斜率分别为1-和2，得到两条切线方程并联立124y x y x =--⎧⎨=-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，则()1,2T -，所以FT ．故选：B 8．D【分析】先算出以前药片的表面积和体积，设升级后的药片底面半径为r ，利用升级前后药片的表面积相同可算出()1cm 2r =，即可求出答案【详解】以前的药片表面积为()221134πππcm 422⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，体积为()323411311πππcm 344296⎛⎫⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设升级后的药片底面半径为r ，则2πππ1222r r +⨯=，得2210r r +-=，解得()1cm 2r =，升级后药片的体积为()2311ππcm 228⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，因为π11ππ89696-=，所以升级后体积增加了3πcm 969．AC【分析】利用二倍角公式和平方和关系可得到sin α=cos 5α=-，即可判断每个选项.【详解】()222221cos cos 2cos cos sin sin 5αααααα-=--==，因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin αcos α==，所以sin 1tan cos 2ααα==-，4sin 22sin cos 5ααα==-，23cos212sin 5αα=-=，sin 24tan 2cos 23ααα==-故选：AC 10．ABD【分析】由线面垂直证明线线垂直得到AB 选项正确，由正方形对角线互相垂直得到D 选项正确，由等边三角形证得C 选项错误.【详解】如图所示，因为1AD AA =，所以侧面11ADD A 是正方形，所以11A D AD ⊥，长方体中，AB ⊥平面11ADD A ，1A D ⊂平面11ADD A ，1AB A D ⊥，1,AD AB ⊂平面11ABC D ，1AD AB A ⋂=，故1A D ⊥平面11ABC D ，1AC ⊂平面11ABC D ，11A D AC ⊥，A 选项正确；同理1B C ⊥平面11ABC D ，1AC ⊂平面11ABC D ，11B C AC ⊥，B 选项正确；1AD AB ==，所以四边形11ABC D 为正方形，所以11AC BD ⊥，D 选项正确；易知1AC ，1B D 交于长方体的中心O ，1112B D BD AD AC ====，在11OB C V 中，可得1111D OB OC B C A ===，故1160B OC ∠=︒，所以1B D 不与1AC 垂直，C 选项错误.11．BCD【分析】求出2a =，圆C 的方程化为标准方程，可判断A ；利用直线310x y ++=经过圆心()2,1-判断B ；求出三角形面积判断C ；根据直线与圆的位置关系判断D.【详解】因为圆C 经过坐标原点，所以20a -=，即2a =，圆C 的方程可化为()()22215x y -++=，所以圆C A 错误；直线310x y ++=经过圆心()2,1-，所以圆C 的一条直径在这条直线上，B 正确；在圆C 的方程中令0x =，得0y =或2-，令0y =，得0x =或4，所以圆C 与坐标轴的交点分别为()0,0，()0,2-，()4,0，三点构成的三角形面积为12442⨯⨯=，C 正确；到x 轴的距离为1的点的轨迹为两条直线1y =±，已知这两条直线与圆C 均有2个交点，故圆C 上到x 轴的距离为1的点有4个，D 正确．故选：BCD.12．AC【分析】对于A ，利用复合函数的单调性求解判断；对于B ，利用复合函数的单调性求解判断；对于C ，由()()min 01f x f ==，利用换元法求得()u x 的最小值判断；对于D ，由()min 1124g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭且()()min 01f x f ==，再利用复合函数的最值判断.【详解】对于A ，易知()g x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()()()()()()2e 121xxu x f g x g x x -'''=⋅=--，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，20x x -<，2e 10x x --<，210x ->，所以()0u x '<，即()u x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，而()g x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故A 错误．对于B ，()e 1xf x '=-，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()()min 01f x f ==．而()()()()()()21v x g f x f x f x f x ''''=⋅=-⎡⎤⎣⎦，因为()1f x ≥，所以()210f x ->，所以()v x '与()f x '的正负相同，故()v x 与()f x 的单调区间相同，故B 正确．对于C ，由选项B 知：()()min 01f x f ==，令()22111244t g x x x x ⎛⎫==-=--≥- ⎪⎝⎭，则函数()y f t =在0=t 处取得最小值，所以()u x 与()f x 有相同的最小值，故C 正确．对于D ，易知()min 1124g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为()()min 01f x f ==，而()g x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()()()()min 010v x g f g ===，故D 错误．故选：AC 13．1【分析】建立平面直角坐标系，用向量的坐标运算进行求解即可.【详解】以A 为原点，AB，AD 方向分别为x 轴、y 轴正方向建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,1E ，()1,2F ，∴()1,1EF = ，()0,1EA =-，()2,0AB = ，∴()()()0,12,02,1EA AB =-+=+- ，∴()()12111EF EA AB ⋅+=⨯+⨯-= .故答案为：1.14．56π##150 【分析】令()1πππ2122x k k +=+∈Z 求解.【详解】令()1πππ2122x k k +=+∈Z ，得()5π2π6x k k =+∈Z ，其中离y 轴最近的对称轴为5π6x =．故答案为：5π615．419##419【分析】根据题目信息利用全概率公式可计算出小明上学迟到的概率，再根据条件概率即可算出结果.【详解】用A 表示事件“小明步行上学”，B 表示事件“小明骑自行车上学”，C 表示事件“小明迟到”；由已知得()0.6P A =，()0.4P B =，()0.05P C A =，()0.02P C B =；根据全概率公式可知()()()()()0.60.050.40.020.038P C P A P C A P B P C B =+=⨯+⨯=，利用条件概率可得()()()()()()0.40.0240.03819P B P C B P BC P B C P C P C ⨯====；即小明今天骑自行车上学的概率为419.故答案为：41916．5【分析】如图，延长1MF ，与椭圆交于点L ，连接2F L ，设21,F N F L t ==可得21cos 4LMF =∠，在12MF F △中，用余弦定理可得到22410ct =，继而得到2a =，即可求解【详解】设椭圆的半焦距为()0c c >，如图，延长1MF ，与椭圆交于点L ，连接2F L ，由12//F M F N ，所以根据对称性可知，12F L F N =，设21,0F N F L t t ==>，则22F M t =，13F M t =，从而2125a F M F M t =+=，故24F L t =，在2LMF 中，24F L t ML ==，所以2212cos 4MF M LMF L =∠=，在12MF F △中，22214942324c t t t t =+-⨯⨯⨯，即22410ct =，所以5t=，所以2a =，所以离心率5e =，故答案为：517．答案见解析【分析】选择①②，由正弦定理求得sin B ，由诱导公式、两角和的正弦公式求得sin C 后即得；选①③，由余弦定理求得a ，由三角形面积公式求得bc ，再结合余弦定理求得b c +，然后利用正弦定理可得sin sin B C +；选择②③，由三角形面积公式求得c ，由余弦定理求得a ，再由正弦定理求得sin sin B C +．【详解】选择①②：由正弦定理sin sin a b A B =，得3sin 2sin 7b A B a ===．因为A 为钝角，所以B 为锐角，所以13cos 14B ==．因为A BC π++=，所以()sin sin cos sin c 131sin 14o 2s C A A B A B B =+=+=-⨯所以sin si n B C +=选①③：由余弦定理得222222cos 49a b c bc A b c bc =+-=++=．因为1sin 2ABC S bc A bc =△3bc =，所以()222252b c b c bc +=++=，即7b c +=>．由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得sin sin b A B a =，sin sin c A C a=，所以()sin sin i s n b A c B C a +=+==选择②③：因为sin 1244ABC A S bc c ===△，所以1c =．由余弦定理22222cos 213a b c bc b c bc A =+-=++=，所以a =．由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得sin sin b A B a =，sin sin c A C a=，所以()sin sin s 4i n b C c A B a +=+==18．(1)()21N n a n n *=+∈(2)11b =，24b =，()1*3342m m m S m +-=-∈N 【分析】（1）设出公差，表达出3a 和17a ，根据3a 和17a 的关系求出公差，即可求出{}n a 的通项公式；（2）根据{}n a 的通项公式求出前几项，即可求出1b ，2b 的值，根据n a 和m b 的不等关系，求出m b 的表达式，即可求出数列{}m b 的前m 项和.【详解】（1）由题意，N n *∈在等差数列{}n a 中，13a =，1735a a =设{}n a 的公差为d ，∴17316a d =+，332a d =+，由1735a a =，得()316532d d +=+，解得：2d =，∴()32121n a n n =+-=+∴()21N n a n n *=+∈（2）由题意及（1）得，在等差数列{}n a 中，()21N n a n n *=+∈，13a =，20d =>，∴22215a =⨯+=，32317a =⨯+=，42419a =⨯+=在数列{}m b 中，m b 为{}n a 中满足()*3m n a m ≤∈N 的项的个数，当1m =时，133n a ≤=，此时n a 只有1a 符合题意，故11b =，当2m =时，239n a ≤=，此时n a 有1234,,,a a a a 符合题意，故24b =，∵213m n a n =+≤∴312m n -≤∵31m -为正偶数，∴312m -为正整数，∴312m m b -=．∴()11211333333322231242m m m m m m m S ++--=+++-=⨯-=-- 即()1*3342m m m S m +-=-∈N 19．(1)证明见解析.4.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面BMD 的法向量，利用向量的夹角公式即可求得答案.【详解】（1）因为PC ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ,所以PC AB ⊥,因为点B 在以AC 为直径的圆上，所以AB BC ⊥,又因为,,BC PC C BC PC =⊂ 平面PBC ，所以AB ⊥平面PBC ．（2）由于ABD △是正三角形，AC 为圆的直径，则AC BD ⊥,以C 为坐标原点，,CA CP 所在直线为x 轴、z 轴，以过C 且平行于DB 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为24AC PC ==，故42AB AD BD ===⨯,故()4,0,0A ，()002P ,,，()B，()1,D ，由中点坐标公式可得()2,0,1M．所以()1,BM =，()0,BD =- ，设平面BMD 的法向量为(),,n x y z = ，则00BD n BM n x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1x =，可得()1,0,1n =- ，由（1）知()3,BA = 为平面PBC 的一个法向量，设平面BMD 与平面PBC 的夹角为θ，π[0,]2θ∈，则cos 4n BA n BAθ⋅=⋅ ．20．(1)0.7（万元）．(2)用6万元投资产品B ，4万元投资产品A ，一年后投资收益的期望值最大为0.86（万元）【分析】（1）根据概率和为1求出p ，然后根据数学期望公式求解盈亏情况.(2)根据0.070.08<，0.070.020.08+>，能分析到先投资产品B ，使鼓励金达到1200元，其余资金再投资产品A ．【详解】（1）由已知得1214p p ++=，所以14p =，如果王先生只投资产品B ，他一年后投资收益的期望值为111001600024...740⎛⎫⨯⨯+-⨯= ⎪⎝⎭（万元）．（2）产品B 的平均收益率为.110.16000400724.⨯+-⨯=．因为0.070.08<，0.070.020.08+>，即产品B 的平均收益率比产品A 的收益率小，但加上鼓励金后平均收益率比产品A 的收益率大，故要使投资收益的期望值最大，应优先投资产品B ，使鼓励金达到1200元，其余资金再投资产品A ．因为0.02120060000=（元），所以应该用6万元投资产品B ，4万元投资产品A ．一年后投资收益的期望值最大为40.08600..70128.06⨯+⨯+=（万元）．21．(1)2214x y -=(2)25【分析】（1）由双曲线性质求得,,c a b ，得方程；（2）设:l y kx =，点()11,P x y ，()11,Q x y --，()22,M x y ，由面积关系得出线段长的关系，从而得出坐标关系()21212x x x x +=-，即213x x =．解方程组求得12,x x ，代入上述关系可求得k 并检验即得．【详解】（1）设E 的焦距为2c ，由已知得2254c a =，又由222+=a b c ，可得2a b =．再由BF ===可得2a =，1b =，所以E 的方程为2214x y -=．（2）设:l y kx =，点()11,P x y ，()11,Q x y --，()22,M x y ，由题意可知0k >，120x x <<，由AQM V 的面积是APM △面积的2倍，可得2QM PM =，从而()21212x x x x +=-，即213x x =．易知直线AB 的方程为112y x =-，由方程组112y x y kx⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，可得2212x k =-．由方程组2214x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，消去y，可得1x =由213x x =()312k =-，两边平方，整理得210920k k -+=，解得25k =或12k =．当12k =时，l 与直线AB 平行，不合题意，舍去；当25k =时，210x =，1103x =，符合题意．所以l 的斜率为25．22．(1)证明见解析(2)2ln 2⎡⎤-⎣⎦【分析】(1)对()f x 求导，判断函数的单调性，可求得函数的最小值，则不等式即可以证得.(2)代入()f x ，构造新函数进行二阶求导，由此可以判断导函数的单调性，设导函数的零点，采用隐零点的方法解决本题.【详解】（1）()e e x f x x='-，0x >，易知()f x '在()0,∞+上单调递增，且()10f '=，∴当()0,1x ∈时，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x \在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()(1)e f x f ≥=∴．（2）不等式()22222eln f x ax x x a ≥-++恒成立，即222e 20x ax x a --≥-在0x >时恒成立．令()222e 2x g x ax x a =---，则()2e 22x g x x a '=--，设()()2e 22x x g x x a ϕ'==--，则()2e 2x x ϕ'=-．当0x >时，()2e 20x x ϕ'=->，()'∴g x 在()0,∞+上单调递增，∴当0x >时，()()()02221g x g a a ''>=-=-．①若10a -≥，当0x >时，()0g x '>，()g x 在()0,∞+上单调递增，则()2020g a =-≥，a ≤≤1a ≤≤．②若10a -<，则()00g '<，00x ∴∃>，使得()0002e 220x g x x a =--='，即00e x a x =-．当00x x <<时，()0g x '<，()g x 在()00,x 上单调递减；当0x x >时，()0g x '>，()g x 在()0,x +∞上单调递增，则()()()()()000002200min 2e 2e e e 2e 0x x x x x g x g x x a ==-+=-=-≥，0e 2x ∴≤，00ln 2x ∴<≤．由00e x a x =-，令函数()e x h x x =-，当0ln 2x <≤时，()e 10x h x '=->，()12ln 2h x ∴<≤-，12ln 2a ∴<≤-．综上，实数a 的取值范围是2ln 2⎡⎤-⎣⎦．。
浙江省湖州市(新版)2024高考数学人教版模拟(综合卷)完整试卷
浙江省湖州市（新版）2024高考数学人教版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(2)题设集合，，则（）A．或B．C．或D．第(3)题已知全集，，则（）A．B．C．D．第(4)题不等式成立的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．第(5)题已知曲线:与曲线:,直线是曲线和曲线的公切线,设直线与曲线切点为,则点的横坐标满足（）A．B．C．D．第(6)题已知，则（）A．B．C．D．第(7)题函数的定义域是（）A．B．C．D．第(8)题设是正方体的对角面（含边界）内的点，若点到平面、平面、平面的距离相等，则符合条件的点A．仅有一个B．有有限多个C．有无限多个D．不存在二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫､6只白猫，把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫，猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件表示“第只出笼的猫是黑猫”，，则（）A．B．C．D．第(2)题下列说法正确的是（）A．两个变量x，y的相关系数为r，则r越小，x与y之间的相关性越弱B．数据1，3，4，5，7，8，10第80百分位数是8C．已知变量x，y的线性回归方程，且，则D．已知随机变量，则第(3)题如图所示的几何体，是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面所得，且其所有棱长均为1，则（）A．直线与直线所成角为B．直线与平面所成角为C．该几何体的体积为D．该几何体中，二面角的余弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是_________第(2)题若满足约束条件则的最大值为___________.第(3)题两条直线与的夹角的大小是____四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若，讨论函数的单调性.第(2)题已知函数(1)求不等式的解集；(2)若的最小值为，且，求的最小值．第(3)题如图所示，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，,,侧棱⊥底面且．(1)指出棱与平面的交点的位置（无需证明）；(2)求点到平面的距离．第(4)题如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.(1)求证：；(2)若平面平面PBC，且中，AD边上的高为3，求AD的长.第(5)题数列满足：或.对任意，都存在，使得，其中且两两不相等.(1)若，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；①；②；③(2)记.若，证明：；(3)若，求的最小值.。
2021届浙江省新高考测评第七模拟考试数学试题(解析版)
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出集合 、 ，再根据交集的定义计算即可；
【详解】解：因为 ， ，所以 ，
故选：A．
2．若 ，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数相等的定义进行求解即可.
D：由 ，得 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：关于C选项，幂函数 的指数大于零，经过点 和点 ，在 上单调递增，又 ，所以 是奇函数，故 在 上单调递增．
6．已知 ，则 （）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】令 ，得 ，然后利用二项式定理求 即可．
【详解】令 ，则 ，所以 ，所以 ，
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出 ， 的大致图象如图所示，得出 ， 的图象都关于直线 对称，从而可得 ， ，根据 ，解得 ，即可得出 ，设 ，利用导数即可求解.
【详解】作出 ， 的大致图象如图所示，
可知 ， 的图象都关于直线 对称，可得 ， ．
由 得 ，
则 ，
所以 ．
设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，所以 的取值范围是 ，
由题意知， ，所以 ，
所以 ，即 ， ，
所以 ．将 代入 ，得 ，设 ， ，则 ，
所以 ，
故选：A．
【点睛】关键点点睛：求解本题有两个关键点：一是数形结合得到 ；二是利用图形的对称性得到 的值等于点 ， 的纵坐标之和的二倍．
10．已知函数 ， ，若方程 有4个不同的实数根 ， ， ， （ ），则 的取值范围是（）
2021届全国学海大联考新高考模拟考试(七)数学(文)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟考试（七）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}2|560,{|22}A x x x B x x x Z =+-<=-<<∈且，则A B =（ ）A. (2,1)-B. {5,4,3,2,1,0}-----C. {1,0}-D. (1,0,1)-【答案】C 【解析】 【分析】首先分别化简集合A ，B ，再求交集即可.【详解】因为2{|560}{|61}A x x x x x =+-<=-<<，{|22}{1,0,1}B x x x Z =-<<∈=-且，所以{1,0}A B ⋂=-. 故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了一元二次不等式，属于简单题. 2.已知()121i z i -=+，其中i 是虚数单位，则z =（ ）A.5B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算计算得到z ，根据模长定义可求得结果. 【详解】()121i z i -=+，()()()()11211313121212555i i i i z i i i i +++-+∴====-+--+，5z ∴==. 故选：A .【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是利用复数除法运算计算得到复数，属于基础题. 3.已知3413log 3,4,ln 4a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. c b a <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可确定临界值，从而比较出大小.【详解】134443ln ln10log 1log 3log 41444<==<<==<，c a b ∴<<.故选：D.【点睛】本题考查比较指数和对数的大小关系的问题，关键是熟练应用指数函数和对数函数的单调性确定临界值，属于基础题.4.已知向量()2,3AB →=，()3,AC t →=，且AB →与BC →夹角不大于2π，则t 的取值范围为（ ） A. 7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 79,32⎛⎫⎪⎝⎭ D. 9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据向量坐标运算和向量夹角公式可表示出cos θ，根据夹角的范围知0cos 1θ≤≤，由此构造不等式求得结果.【详解】由题意得：AB →==BC AC AB →→→=-=37AB BC AB AC AB t →→→→→⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭，设AB →与BC→夹角为θ，则cos AB BC AB BCθ→→→→⋅==⋅，02πθ≤≤，0cos 1θ∴≤≤，即01≤≤，()()22370131337t t t -≥⎧⎪∴⎨⎡⎤+-≥-⎪⎣⎦⎩，解得：73t ≥，即t 的取值范围为7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：B .【点睛】本题考查根据向量夹角的范围求解参数范围的问题，关键是熟练应用向量的坐标运算和向量夹角公式；注意两个向量所成角的范围为[]0,π.5.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟四斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿4斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿了多少斗（ ） A.147B.127C.107D.87【答案】B 【解析】 【分析】根据羊、马、牛的主人赔偿的粟数成等比数列和总赔偿数，可构造方程分别求得羊主人和牛主人赔偿的斗数，进而得到结果.【详解】羊、马、牛的主人赔偿的粟数成等比数列，公比为2，设羊主人赔偿x 粟， 则244x x x ++=，解得：47x =；∴羊主人赔偿47粟，牛主人赔偿416477⨯=粟，∴牛主人比羊主人多赔偿16412777-=粟.故选：B.【点睛】本题考查等比数列的实际应用，属于基础题.6.以双曲线2222:1(0,0)x yE a ba b-=>>的一个焦点(),0F c为圆心，2c为半径的圆与E的渐近线相切，则E的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据以F为圆心，以2c2c=，整理化简即可得结果．【详解】由已知双曲线的渐近线为by xa=±，选取其中一条计算，即0bx ay-=，由F点到渐近线0bx ay-=的距离d b==得2cb=，故有22222444c b c c a=⇒=-，解得3ca=即离心率e=故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解，关键是要找到,,a b c之间的等量关系，是基础题.7.某中学高二年级共有学生2400人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生（）A. 1260B. 1230C. 1200D. 1140【答案】D【解析】【分析】由分层抽样方法列方程求解即可．【详解】设女生总人数为：x 人，由分层抽样的方法可得： 抽取女生人数为：804238-=人， 所以80382400x=，解得：1140x = 故选D【点睛】本题主要考查了分层抽样方法中的比例关系，属于基础题．8.已知直线a 、b ，平面α、β，且//,a b a β⊥，则//b α是αβ⊥的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行、线面垂直和面面垂直的性质和判定定理，结合充分必要条件的定义，即可得出结论. 【详解】若//,,a b a αββ⊥⊥，如果b α⊂，则//b α不成立； 若//,,//a b a b βα⊥，过b 做一平面γ，且l γα⋂=， 则//,//,,,b l a l l l βααβ∴∴⊥⊂∴⊥.所以当//,a b a β⊥时，//b α是αβ⊥的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，涉及到空间线、面位置关系，熟记有关判定和性质定理是解题的关键，属于基础题. 9.将函数()sin (0)2x f x ϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像向右平移23π个单位长度后得到函数()g x 的图像，且()g x 的图像关于点(),0π对称，则ϕ=（ ）A.6π B.3πC.23π D.56π 【答案】D【解析】 【分析】由题得()g x =1sin()23x πϕ=-+，根据题意得sin()06πϕ+=，0ϕπ<<，可得选项. 【详解】由题得()g x =121sin[()]sin()2323x x ππϕϕ-+=-+， 因为()g x 的图象关于点(),0π对称，所以1sin()023ππϕ⨯-+=，sin()06πϕ+=，所以,6k k Z πϕπ+=∈，因为0ϕπ<<，所以ϕ=56π. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换和对称性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足24n n S a m =+，且数列{}n na 的前6项和等于321，则m 的值等于（ ） A. 1- B. 2-C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据已知，1n =时，求出1a ，2n ≥由1n n n a S S -=-，得出数列{}n a 的递推关系，进而求出{}n a 的通项公式，结合已知建立m 的方程，求解即可.【详解】依题意，当1n =时，1111224,2m S a a m a ==+∴=-， 当2n ≥，11122,2n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-∴=， 若0,0n m a ==，则数列{}n na 的前6项和等于0，不合题意，10,0,2nn n a m a a -∴≠≠=，所以数列{}n a 是以2m -为首项， 公比为2的等比数列，12222n n n m a m --=-=-⋅， 数列{}n na 的前6项和为 12345623456a a a a a a +++++1(26164096)2m =-+++++3213212m =-=2m ∴=-.故选：B .【点睛】本题考查数列的前n 项和与通项公式的关系，注意对参数m 的的分类讨论，考查计算求解能力，属于中档题.11.已知直线:0()l kx y k k R --=∈与抛物线21:22C y px p ⎛⎫=>⎪⎝⎭相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则AOB 为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】直线l 方程与抛物线方程联立，根据根与系数关系，得到,A B 两点纵坐标关系，结合抛物线方程得出横坐标关系，进而求出0OA OB ⋅<，即可得出结论.【详解】直线:0()l kx y k k R --=∈与抛物线21:22C y px p ⎛⎫=> ⎪⎝⎭相交于A ，B 两点， 所以0k ≠，将直线方程化为11,x my m k=+=， 联立212x my y px=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2220y pmy p --=，22480p m p ∆=+>，设112212(,),(,),2A x y B x y y y p =-，221212121211,120,()222y y x x OA OB x x y y p p p p =⋅=⋅=+=-<>，所以AOB ∠为钝角，故AOB 钝角三角形.故选：C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，并利用向量数量积的正负判断角的类型，要注意抛物线二级结论的总结，如直线过(2,0)p 点与抛物线()220y px p =>交于,A B 两点，则有OA OB ⊥，而直线过定点(1,0)是在(2,0)p 的左侧，则有AOB ∠为钝角，即刻得出结论，提高解题效率，属于中档题. 12.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()2f x x =-，设函数()|2|(26)x g x e x --=-<<，则()f x 和()g x 的图象所有交点横坐标之和等于（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，函数()f x 和()g x 的图象都关于直线2x =对称，据此画出它们的图象即可求出答案． 【详解】解：∵定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-， ∴函数()f x 的图象关于直线2x =和y 轴对称， 而函数()|2|(26)x g x ex --=-<<的图象也关于直线2x =对称，当(]2,2x ∈-时，()2x g x e -=，先画出函数()f x 和()g x 在(]2,2-上的图象，再根据对称性得到()2,6-上的图象如图，由图可知，函数()f x 和()g x 在()2,6-上的图象共有2个交点，且关于直线2x =对称， ∴函数()f x 和()g x 的图象所有交点横坐标之和为224⨯=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与对称性的应用，涉及函数的图象变换，考查数形结合思想，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.随着养生观念的深入，国民对餐饮卫生条件和健康营养要求提高．吃烧烤的人数日益减少，烧烤店也日益减少．某市对2015年到2019年五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计，具体统计数据如下表： 年份2015 2016 2017 2018 2019 年份代号（t ）12 3 4 5 盈利店铺的个数（y ） 260240215200180根据所给数据，得出y 关于t 的回归方程273y bt =+，估计该市2020年盈利烧烤店铺的个数为_______． 【答案】165 【解析】 【分析】根据回归方程必过中心点(,)t y ，求出b ，再代入6t =可求得答案. 【详解】t =1234535++++=,2602402152001802195y ++++==, 由273y bt =+，则219=3273b +，得b =18-，故18273y t =-+， 令6t =，得y =165. 故答案为：165【点睛】本题考查了回归方程相关知识，应用回归方程必过中心点求得回归方程是解决问题的关键.14.若变量x 、y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则函数2z x y =+的最小值等于_______．【答案】32- 【解析】 【分析】首先根据题意画出可行域，再根据目标函数的几何意义即可得到答案. 【详解】不等式组表示的可行域如图所示：根据2z x y =+得到2y x z =-+，z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.20220x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得112x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即1(1,)2B -. 当函数2z x y =+经过1(1,)2B -时，z 取得最小值.min 32z =-.故答案为：32-【点睛】本题主要考查线性规划问题，理解目标函数表示的几何意义为解题的关键，属于简单题. 15.已知函数())f x x a =++，且()1ln 3ln 13f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则a =_________． 【答案】12【解析】 【分析】利用()()2f x f x a -+=，再根据1ln 3ln 3-=，即可得到答案；【详解】()()))2f x f x x a x a a -+=+++=，1ln 3ln 3-=，∴()()()1ln 3ln ln 3ln 3213f f f f a ⎛⎫+=+-== ⎪⎝⎭， ∴12a =， 故答案为：12. 【点睛】本题考查对数运算法则和函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16.如图，在边长等于2正方形ABCD 中，点Q 是BC 中点，点M ，N 分别在线段,AB CD 上移动（M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合），且//BC MN ，沿着MN 将四边形AMND 折起，使得面AMND ⊥面MNBC ，则三棱锥D MNQ -体积的最大值为________；当三棱锥D MNQ -体积最大时，其外接球的表面积为________．【答案】 (1).13(2). 5π 【解析】【分析】 （1）依题意设设AM DN x ,则2MB NC x ,利用椎体体积公式列式,再根据二次函数可得出最大值. （2）依题意建立如图空间直角坐标系,列出各点的坐标,设球心坐标, 根据球心到各点距离等半径求球心坐标,即可得出半径,最后求出三棱锥的外接球面积.【详解】依题意设AM DN x ,则2MB NC x ,因为//MN AD ,所以DN MN ⊥,又面AMND ⊥面MNBC ，面AMND ⋂面MNBC MN =，所以DN ⊥面MNBC ，所以DN 是三棱锥D MNQ -的高，所以三棱锥D MNQ -的体积()()11112223323D MNQ MNQ V DN S x x x x -=⨯⨯=⋅⋅⨯⨯-=⋅⋅-， 当1x =时，D MNQ V -有最大值13， （2）由（1）知道三棱锥D MNQ -体积取得最大值时, 1x =，折起如图所示：依题意可建立如图所示空间直角坐标系：所以()0,0,0N ,()2,0,0M ,()0,0,1D ,()1,1,0Q ， 设三棱锥D MNQ -外接球的球心为(),,O x y z ，R ON OM OD OQ ∴====()()()()2222222222222222222111x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⎧++=-++⎪⎪++=++-⎨⎪++=-+-+⎪⎩， 解1012x y z ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩,所以222151022R ON ， 外接球面积为254454SR . 故答案为：5π.【点睛】本题利用函数求解三棱锥的体积,考查函数最值的求法；还考查三棱锥外接球的体积,解决此类题需要有良好的空间想象力，属于难度题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足1cos 2a c B b =+． （1）求角C 的大小；（2）若7a b +=，ABC 的面积等于33c 边长． 【答案】（1）3π（213【解析】【分析】（1）利用正弦定理可化边为角，利用三角恒等变换即可；（2）由面积公式可求得ab ，联立7a b +=求出,a b ，利用余弦定理即可求出c .【详解】（1）由正弦定理可知， 1sin sin cos sin 2A CB B =⋅+， 1sin()sin cos sin 2B C C B B ∴+=⋅+， 即1sin cos sin 2B C B = sin 0B ≠1cos 2C ∴=， 0C π<<，3C π∴=（2）13sin 3324ABC S ab C ab ===， 12ab ∴=7a b +=2222cos c a b ab C ∴=+-2()3493613a b ab =+-=-=13c ∴=【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.18.已知四棱锥P ABCD -中，面PAB ⊥面ABCD ，底面ABCD 为矩形，且4PA PB ==，2AB =，3BC =，O 为AB 的中点，点E 在AD 上，且13AE AD =．（1）证明：EC PE ⊥；（2）在PB 上是否存在一点F ，使//OF 面PEC ，若存在，试确定点F 的位置．【答案】（1）证明见解析（2）存在F 为PB 的三等分点(靠近点B )，证明见解析【解析】【分析】（1）连接,OE OC ，利用勾股定理可证明EC OE ⊥，由面PAB ⊥面ABCD 可得PO CE ⊥，可得CE ⊥面POE ，即可求证；（2）取F 为PB 的三等分点(靠近点B )，N 为BC 的三等分点(靠近点B )，连接 ,OF NF ，可证明平面//ONF 平面PEC ，即可得证【详解】（1）连接,OE OC ,PO ，如图，在四棱锥P ABCD -中，4PA PB ==，O 为AB 的中点，PO AB ∴⊥，又面PAB ⊥面ABCD ，PO ∴⊥面ABCD ，PO CE ∴⊥在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，11,2,13AE AD DE AO BO ===== 由勾股定理知222OE OA AE =+，解得2OE =，222221310OC BO BC =+=+=,22222228CE DE CD =+=+=,222OE CE OC ∴+=,EC OE ∴⊥又EO PO O =，CE ∴⊥面POE ,又PE ⊂平面POE ，EC PE ∴⊥（2）存在F 为PB 的三等分点(靠近点B ).证明：取BC 的三等分点M (靠近点C ) ,连接AM , 如图易知//AE MC ,AE MC =∴四边形AECM 是平行四边形，//AM EC ∴，取BM 中点N ，连接ON ，//ON AM ∴//ON EC ∴N 为BM 中点，∴ N 为BC 的三等分点(靠近点B )，连接 ,OF NF ，//NF PC ∴,又,ON NF N EC PC C ⋂=⋂=，∴平面//ONF 平面PEC ，又OF ⊂平面ONF∴//OF 面PEC【点睛】本题主要考查了线面垂直，线线垂直的证明，考查了线面平行的探索性问题，考查线面平行的判定，考查逻辑思维能力及空间想象力，属于中档题.19.近年来，我国电子商务行业迎来了蓬勃发展的新机遇，但是电子商务行业由于缺乏监管，服务质量有待提高．某部门为了对本地的电商行业进行有效监管，调查了甲、乙两家电商的某种同类产品连续十天的销售额（单位：万元），得到如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些？（2）如果日销售额超过平均销售额，相应的电商即被评为优，根据统计数据估计两家电商一个月（按30天计算）被评为优的天数各是多少．【答案】（1）甲更稳定（2）甲15天，乙12天【解析】【分析】 （1）由茎叶图数据分别计算均值、方差可得出结论；（2）计算10天中甲、乙被评为优的频率，利用频率估计30天中甲、乙优的天数.【详解】（1）105107113115119126128132134141=12210x +++++++++=甲(万元)， 22222221(105122)(107122)(113122)(115-122)(119122)(126122)10s ⎡=⨯-+-+-++-+-⎣甲 22(128122)(132122)+-+-+22(134122)(141122)131⎤-+-=⎦，10711511711812312513213613914812610x +++++++++==乙(万元) 22222221(107126)(115126)(117126)(118126)(123126)(125126)10s ⎡=⨯-+-+-+-+-+-⎣乙222(136126)(139126)(148126)142.6⎤+-+-+-=⎦因为22s s <甲乙，所以甲电商对这种产品的销售更稳定.（2）由题中茎叶图可知，甲电商该类产品这10天的日销售额数据超过122万元的为126，128，132，134，141，共5天，即评为优的频率为50.510=，由此可估计一个月30天甲被评为优的天数为0.53015⨯=天， 乙电商该类产品这10天的日销售额数据超过126万元的为132，136，139，148，共4天，即评为优的频率为.40410=，由此可估计一个月30天乙被评为优的天数为0.43012⨯=天. 【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，平均值，方差，用频率估计总体，考查了运算能力，数据分析处理能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，过椭圆内点()1,0P -的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，C 为椭圆的左顶点，当直线l 过点()0,Q b 时，PQC △的面积为2b ． （1）求椭圆E 的方程；（2）求证：当直线l 不过C 点时，ACB ∠为定值． 【答案】（1）223144x y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据PQC △的面积为2b 可求出a ，由离心率可求出c ，即可写出椭圆方程； （2）设()1122(,),A x y B x y ，，:1l x my =-，联立方程，由韦达定理可求出1212,y y y y +，利用向量()()11222,2,CA x y CB x y →→=+=+，可证明90ACB ︒∠=.【详解】（1）由题意可知111||(1)222PQC SCP b a b b =⋅=-⋅=， 2a ∴=又c e a ==3c ∴=， 22284433b ac ∴=-=-=， ∴所求椭圆的标准方程为223144x y += （2）设()1122(,),A x y B x y ，，由直线l 不过C 点可设:1l x my =-，联立直线与椭圆方程22341x y x my ⎧+=⎨=-⎩，可得：()223230m y my +--= 12122223,33m y y y y m m -∴+==++， ()()11222,2,CA x y CB x y →→=+=+，()12121224CA CB x x x x y y →→∴⋅=++++ ()()()121212112114my my my my y y =--+-+-++()()2121211m y y m y y =++++()2222312133m m m m -+=++++ 2231=03m m --=++ CA CB ∴⊥即90ACB ︒∠=为定值.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积运算，考查了运算能力，属于难题.21.已知函数()ln f x x x a =-+．（1）求函数()f x 的最大值；（2）若函数()f x 存在两个零点()1212,x x x x <，证明：122ln ln 0x x +<．【答案】（1）最大值是(1)1f a =-+；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）求出导数，由导数确定单调性后可得最大值．（2）由（1）知两个零点()1212,x x x x <，1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，零点间关系是1122ln ln x x a x x a -+=-+，变形为2211ln x x x x -=，引入变量21x t x =，则1t >，1ln 1t x t =-，2ln 1t t x t =-，要证的不等式等价变形为2121x x <，33ln 1(1)t t t <-，即证33ln (1)t t t <-，（1t >），为此引入新函数33()ln (1)g x t t t =--，利用导数研究函数的单调性为减函数，则可证得结论成立，这里需要多次求导变形再求导才可证明．【详解】（1）函数定义域是(0,)+∞，由题意11()1x f x x x-='-=， 当01x <<时，()0f x '>，()f x 递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 递减，所以1x =时，()f x 取得唯一的极大值也是最大值(1)1f a =-+．（2）由（1）(1)10f a =->，即1a >时，()f x 有两个零点12,x x ，（12x x <），则1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞， 由1122ln ln 0x x a x x a -+=-+=，得221211ln ln ln x x x x x x ， 令21x t x =，则1t >，11ln tx x t -=，1ln 1t x t =-， 122ln ln 0x x +<221212ln()001x x x x ⇔<⇔<<，2120x x >显然成立，要证122ln ln 0x x +<，即证2121x x <，只要证33ln 1(1)t t t <-，即证33ln (1)t t t <-，（1t >）， 令33()ln (1)g x t t t =--，(1)0g =，322()ln 3ln 3(1)g t t t t '=+--，(1)0g '=，令()()h t g t '=，则2223ln 6ln 3()6(1)[ln 2ln 22)t t h t t t t t t t t t'=+--=+-+，(1)0h '=， 令22()ln 2ln 22m t t t t t =+-+，22ln 22()42(ln 12)t m t t t t t t t t'=+-+=+-+，(1)0m '=， 令2()ln 12n t t t t =+-+，1()41n t t t'=-+，0t >时，()n t '是减函数，所以1t >时，()(1)20n t n ''<=-<， 所以()n t 是减函数，()(1)0n t n <=，即()0m t '<（1t >），所以()m t 是减函数，()(1)0m t m <=，所以()0h t '<，()h t 在1t >时是减函数， ()(1)0h t h <=，即()0g t '<，所以()g t 在(1,)+∞上是减函数，()(1)0g t g <=，所以33ln (1)0t t t --<，即33ln (1)t t t <-，综上，122ln ln 0x x +<成立．【点睛】本题考查用导数求函数最值，用导数证明有关函数零点的不等式，掌握导数与单调性的关系是解题基础．证明不等式关键在于转化与化归，如转化为研究函数的最值，研究函数的单调性可能需要多次求导才能得出结论．在需要引入新函数时，应对不等式进行变形，使新函数越来越简单． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.已知圆C 的参数方程为33cos 13sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求直线l 被圆C 截得弦的长．【答案】（1）22(3)(1)9x y -++=，10x y +-=（2【解析】【分析】（1）利用消元法将参数方程化成普通方程，利用cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩结合两角差的余弦公式，即可得到答案；（2）利用圆的弦长公式【详解】（1）33cos 13sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），∴22(3)(1)9x y -++=， ∴圆C 的普通方程22(3)(1)9x y -++=；2cos 2(cos sin 422πρθρθθ⎛⎫-=⇒⋅+⋅= ⎪⎝⎭ 又cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式得：10x y +-=. ∴直线l 的直角坐标方程10x y +-=.（2）圆C 的圆心坐标为(3,1)-，设圆心到直线的距离为d ，∴2d ==，∴弦长===【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、圆的弦长公式，考查运算求解能力.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()|21||2|f x x x =-+-．(1)若()4f x <，求实数x 的取值范围；(2)若对于任意实数x ，不等式()|21|f x a >-恒成立，求实数a 的值范围．【答案】(1) 17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2) 15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】(1)分绝对值中的正负去绝对值，将()f x 写成分段函数再求解()4f x <即可.(2)根据(1)中()f x 的解析式求解()f x 的最小值，再根据恒成立问题的方法求解实数a 的值范围即可.【详解】(1)由题，()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩；当12x ≤时，334x -+<，解得1132x -<≤； 当122x <<时，14x +<恒成立，解得122x <<； 当2x ≥时，334x -<，解得723x ≤<.综上有3137x -<<. 故实数x 的取值范围为17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)因为()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当12x ≤时，()1322f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭； 当122x <<时，()332f x <<；当2x ≥时，()()23f x f ≥=. 故()f x 的最小值为32. 故3212a -<，即332122a -<-<，解得1544a -<<. 故实数a 的值范围为15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，同时也考查了求函数的最值求解恒成立的问题，需要分区间去绝对值，写成分段函数再求解.属于中档题.。
浙江省温州市(新版)2024高考数学人教版模拟(综合卷)完整试卷
浙江省温州市（新版）2024高考数学人教版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在天文学中，常用星等，光照度等来描述天体的明暗程度.两颗星的星等与光照度满足星普森公式.已知大犬座天狼星的星等为，天狼星的光照度是织女星光照度的4倍，据此估计织女星的星等为（参考数据）（）A．2B．1.05C．0.05D．第(2)题某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目只好任意猜一个答案．若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为（）A．B．C．D．第(3)题方程的根所在区间是（）A．B．C．D．第(4)题设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(5)题若集合A＝{x|y}，B＝{x|x2﹣x≤0}，则A∩B＝（）A．[0，1）B．[0，1]C．[0，2）D．[0，2]第(6)题已知，则的概率为（ ）A．B．C．D．第(7)题执行下面的程序框图，若输入的，，则输出的结果为（）A．3B．8C．24D．504第(8)题设复数满足（为虚数单位），则（）A．B．C．1D．－1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（）A．B．C．D．第(2)题已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则下列说法正确的是（）A．在单调递减B．C．D．第(3)题正方体的棱长为1，E，F，G分别为BC，的中点，则（）A．直线与直线AF垂直B．直线与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点与点D到平面AEF的距离相等三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若函数在单调，且在存在极值点，则的取值范围为___________第(2)题已知函数在区间上单调递增，则的最小值为__________．第(3)题四色定理又称四色猜想、四色问题，是世界近代三大数学难题之一．地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的．四色定理的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”某同学在横格纸上研究填涂蓝、红、黄、绿4种颜色问题，如图，第1行有1个格子，第2行有2个格子，…，第n行有n个格子，将4种颜色在每行中分别进行涂色，每行相邻的格子颜色不同，记为第k行不同涂色种数，则_____，________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，已知，，.（1）求的长；（2）求的值.第(2)题设函数，.（1）若，讨论的零点个数；（2）证明：.第(3)题已知椭圆，点在椭圆上，过点作斜率为的直线恰好与椭圆有且仅有一个公共点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆的长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于不同的两点，，是否存在常数，使成等差数列？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由.第(4)题如图，在圆台中，截面分别交圆台的上下底面于点，，，四点.点为劣弧的中点.(1)求过点作平面垂直于截面，请说明作法，并说明理由；(2)若圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，母线长为3，，求平面与平面所成夹角的余弦值.第(5)题在中，角，，的对边分别为，，，已知，.(1)求角的大小；(2)若，求的面积.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2007年学海乐苑高考数学诊断试卷（七）一、选择题：1．已知平面上的直线L 的方向向量e →＝(－45,35)，点A(－1,1)和B(0,－1)在L 上的射影分别是A 1和B 1，若A 1B 1→＝λe →，则λ的值为( )A ．115B ．－115C ．2D ．－22．下列命题中，正确的个数是( ) ①若|a →|＋|b →|＝0，则a →＝b →＝o →；②在△ABC 中，若OA →＋OB →＋OC →＝O →，则O 为△ABC 的重心； ③若a →，b →是共线向量，则a →·b →＝|a →|·|b →|，反之也成立；④若a →，b →是非零向量，则a →＋b →＝o →的充要条件是存在非零向量C →，使a →·c →＋b →·c →＝0． A ．1 B ．2C ．3D ．4 3．若命题P ：x ∈A ∩B ，则﹁P ( )A ．x ∈A 且x ∈BB ．x ∈A 或x ∈BC ．x ∈A 且x ∈BD ．x ∈A ∪B4．已知函数f(x)＝log 2|ax －1| (a ≠0)满足关系式f(－2＋x)＝f(―2―x)，则a 的值为( ) A ．1B ．－12C ．14D ．－15．已知A 、B 、C 、D 是同一球面上的四点，且每两点间距都等于2，则球心到平面BCD 的距离是( ) A ．63B ．66C ．612D ．6186．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2003＋a 2004＞0，a 2003＋a 2005＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )A ．4005B ．4006C ．4007D ．40087．已知f(x)＝2x ＋3,(x ∈R)，若|f(x)－1|＜a 的必要条件是|x ＋1|＜b ，(a 、b ＞0)．则a 、b 之间的关系是( )A ．a ≤b2B ．b ＜a 2C ．b ≥a 2D ．a ＞b 28．已知f(x)为R 上的增函数，点A(－1,1),B(1,3)在它的图象上，f －1(x)是它的反函数，则不等式|f －1(log 2xkl)|＜1的解集为( )A ．{x|－1＜x ＜1}B ．{x|2＜x ＜8}C ．{x|1＜x ＜3}D ．无法确定9．函数y ＝－3sinx ＋cosx 在x ∈[－π6,π6]时的值域是( )A ．[0,62] B ．[－3,0]C ．[0, 3]D ．[0,1]10．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是( )A ．15B ．14C ．13D ．1211．已知点(n,a n )(n ∈N ＋)在直线y ＝4x －52x 上，且数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn(a ，b ∈R)，则lim n →∞a n－b na n ＋bn 等于( ) A ．1B ．－1C ．1或－1D ．不存在12．设随机变量ξ服从正态分布N(1,22)，若P(ξ≤c)＝43P(ξ＞c)，则常数c 等于(参考数据：φ(2)＝0.9773) ( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：13．若数列x,a 1,a 2,y 成等差数列，x,b 1,b 2,y 成等比数列，则(a 1＋a 2)2b 1·b 2的取值范围是＿___＿＿＿＿．14．将函数y ＝x 2的图象F 按向量a →＝(3,－2)平移到F ′，则F ′的函数解析式为＿＿＿＿＿＿＿． 15．设命题P ：|4x －3|≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若﹁P 是﹁q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿．16．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“○＋”如下：当a ≥b 时，a ○＋b ＝a ；当a ＜b 时，a ○＋b ＝b 2；则函数f(x)＝(1○＋x)·x ―(2○＋x)，x ∈[―2,2]的最大值等于＿＿＿＿＿＿＿＿(“·”与“－”分别为乘法与减法)．三、解答题：17．解关于x 的不等式：ax 2ax －1＞x (a ∈R)．18．已知等差数列{a n }的前9项和为153．(1)数列{a n }中是否存在确定的项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由；(2)若a 2＝8，b n ＝2an ，求数列{b n }的前n 项积T n ；(3)若从(2)中定义的{a n }中，依次取出第二项、第四项、第八项，……，第2n项，按原顺序组成一新数列{C n }，求{C n }的前n 项和S n ．19．已知A(－2,0)，B(2,0)，点C 、D 满足|AC →|＝2，AD →＝12(AB →＋AC →)．(1)求点D 的轨迹方程；(2)过点A 作直线L 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线L与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程．20．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝3，AB ＝6，E 、F 分别为AB 和A 1D 的中点．(1)求证：AF ∥平面A 1EC ；(2)求A 1C 与底面ABCD 所成角的正切值； (3)求二面角A 1―EC ―D 的正切值．21．某投资公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2，(注：利润与投资量单位：万元)(1)分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？22．在直角坐标平面中，已知点p 1(1,2)，p 2(2,22)，p 3(3,23)，…，p n (n,2n)，其中n ∈N ＋，对平面上任一点A 0，记A 1为A 0关于点P 1的对称点，A 2为A 1关于P 2的对称点，…，A n 为A n －1关于点P n 的对称点．(1)求向量A 0A 2→的坐标；(2)当点A 0在曲线C 上移动时，点A 2的轨迹是函数y ＝f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x ∈(0,3]时，f(x)＝Lgx ，求以曲线C 为图象的函数在(1,4]上的解析式；(3)对任意偶数n ，用n 表示向量A 0A n →的坐标．A 1AB B 1D 1C C 1EM D FO－a 2 a 2ADCBRHO x[参考答案]/1．D 2．B 解：③、④不成立，④中若a →⊥c →，b →⊥c →不一定有a →＋b →＝o →3．B 4．B 5．B 解：A －BCD 为正四面体，球为其外接球，设OH ＝x ． 则⎩⎪⎨⎪⎧AH ＝R ＋x ＝263R 2－x 2＝43⇒x ＝66． 6．B7．C 解：由|x ＋1|＜a2⇒|x ＋1|＜b8．B9．C10．C 解：5条直径． P ＝C 15·C 18 C 310＝13．11．A 解：a n ＝4n －52．由⎩⎨⎧Sn ＝an 2＋bn S n －1＝a(n －1)2＋b(n －1)⇒a n ＝2an －a ＋b ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－12 ． 12．D 解：P(ξ≤c)＝43 [1－P(ξ≤c)] ∴P(ξ≤c)＝4344＝0.9773，∴φ(c －12)＝0.9773，∴c －12＝2 c ＝5． 13．(－∞,0]∪[4,＋∞) 解：(a 1＋a 2)2b 1b 2＝(x ＋y)2xy ＝2＋(x y ＋yx)≥4或≤0．14．y ＝x 2－6x ＋7 解：平移公式：⎩⎨⎧x ＝x ′－3y ＝y ′＋215．[0, 12] 解：q ：a ≤x ≤a ＋1则﹁q ：x ＜a 或x ＞a ＋1．p ：12≤x ≤1，则﹁p ：x ＜12或x ＞1．由﹁q ⇒﹁p ，则﹁q ⊂－﹁p ．x12∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1⇒0≤a ≤12．16．6 解：x ∈[－2,1]时，f(x)＝1·x ―2∈[―4,―1]，x ∈(1,2)时，f(x)＝x 2·x ―2 ∈(―1,6)．x ＝2时，f(x)＝22·2－2＝6． 17．解：ax 2ax －1－x ＞0⇒ xax －1＞0⇒ x(ax －1)＞0a ＝0时，x ＜0a ＜0时，x(x －1a )＜0⇒1a ＜x ＜0a ＞0时，x(x －1a )＞0⇒x ＜0或x ＞1a18．解：(1)存在。
∵S 9＝(a 1＋a 9)·92＝9a 5＝153 ∴a 5＝17(2) ⎩⎨⎧a 1+d=8a 1+4d=17 ⇒⎩⎨⎧d=3a 1=5⇒ a n =3n+2, b n=23n+2 ∴T n = 25.28.211 (2)3n ＋2＝2(3n ＋7)·n2，(3)S n ＝a 2＋a 4＋a 8＋…＋a 2n ＝3(21＋22＋23＋ (2))＋2n ＝3.2n ＋1＋2n －6．19． 解：(1)设C(x o ·y o ),D(x ·y),则AC →=(x o +2,y o ) AD →=(x+2,y) AB →=(4,0) 由|AC →|=2⇒(x o +2)2＋y o 2=4 ①由AD →=12(AB →+AC →)⇒⎩⎨⎧x+2＝x o2+3y=y o 2⇒⎩⎨⎧x o =2x －2y o =2y代入①得 D 点轨迹方程：x 2+y 2=1(2)设椭圆b 2+x 2+a 2y 2=a 2b 2, L ∶y=k(x+2)与x 2+y 2=1相切。
∴k 2=13.由⎩⎨⎧y=k(x+2)b 2x 2+a 2y 2=a 2b2⇒(3b 2+a 2)x 2+4a 2x+4a 2－3a 2b 2=0. ∴|x 1＋x 2|＝4a 23b 2＋a 2=85⇒a 2=2b 2 又c 2=4. 即a 2－b 2=4 ∴b 2=4, a 2=8 椭圆方程为x 28+y 24=120．解：（1）取A 1C 中点O ，连OE ，OF ，在△A 1CD 中，OF 12DC 12AB ． ∴AFOE 为AF ∥OE ．∴AF ∥平面A 1EC ． (2)连AC ，AA 1⊥面ABCD ．∴∠A 1CA 即为所求角．∥ ＝ ∥ ＝又AC ＝AB 2＋BC 2＝15．∴tan ∠A 1CA ＝A 1A AC ＝3 15＝155．(3)作AM ⊥CE ，交CE 的延长线于M ，连A 1M ． 易证A 1M ⊥CE ，∴∠A 1MA 为所求角．易证rt △AME ∽rt △CBE ，∴AM CB ＝AE CE ,CE ＝422．得AM ＝377．在rt △A 1AM 中．tan ∠A 1MA ＝A 1A AM ＝3 377＝7． 20．解：（1）取A 1C 中点O 连OE ，OF 在△A 1CD 中，OF 12DC 12AB. ∴AFOE 为AF ∥OE ．∴AF ∥和A 1EC ． （2）连AC ，AA1⊥面ABCD ．∴∠A1C 即为所求角。