弦振动方程的一种推导方法
弦的横振动问题
§8.1弦的横振动问题一、引言二、方程的导出三、定解条件1.定解条件的必要性2.初始条件3.边界条件4.定解问题四、例题一、引言(展示)数学物理方程主要指从物理问题中导出的偏微分方程。
解决任何物理问题通常分三步：第一，把物理问题化为数学问题，即利用相应的物理规律导出方程并确定定解条件(初始条件和边界条件)；第二，求解数学问题，即求满足方程及定解条件的解；第三，给得出的结果以物理解释。
本章以弦振动问题为例，说明处理任何物理问题的过程与方法。
导出物理问题的偏微分方程的步骤是：首先把物理对象作适当简化，并确定表征该物理过程的物理量u，再从所研究的体系中划出任意的一小部分，根据相应的物理规律，分析邻近部分与这小部分的相互作用以及这种相互作用在短时间内如何影响物理量u，然后把这种相互作用与影响用数学式子表达出来，经过整理就得到该物理问题的偏微分方程——数学物理方程。
返回页首二、方程的导出(展示1234)在弦的横振动中，如果弦比较细，就可以抽象为一维问题来处理，又设弦是完全柔软的，即任意点处的张力总是沿着弦在该点的切线方向，这样分析力的作用就比较方便。
这根完全柔软的细弦，平衡时沿着一条直线绷紧，取这条直线为x轴，并以坐标x标志弦上各点。
设弦在同一平面内作微小横振动，表征这一振动过程的物理量是弦上x点在t时刻沿垂直于x方向的位移u(x，t)。
在弦上任取一小段x1x2(图8。
1)，设在t时刻成为弧长。
由于弦作微小振动，在精确到一阶无穷小时，可以认为在振动过程中，弦长没有发生变化，即(8.1-1)根据H o o k e定律，张力与伸长成正比，由于弦长不随时间变化，弦上各点的张力T亦不随时间变化。
设弦的线密度为，在垂直于x方向上作用于单位弦长上的外力为，则段弦的横向运动方程为(8.1-2)式中和分别表示在M1点M2点的弦的张力，和分别为在这两点的切线与x轴的夹角。
根据弦作微小振动的假定，有(8.1-3)(8.1-4)因此，有(8.1-5)将上式代入(8.1-2)式,可得由于x1、x2的任意性，被积函数为零，得出一般的弦的横振动方程(8.1-6)讨论：1）如果弦作完全横振动，则在纵向合力应为零，即(8.1-7)即张力与x无关。
弦振动方程cauchy问题广义解的结构
弦振动方程cauchy问题广义解的结构
弦振动方程，又称波动方程，是利用物理学中最基本原理——动
量定理（即动能定理）解决实际问题的通用数学工具。
它通常用来研
究一般固体的动态运动问题，常被用于弦的振动及其他振动的研究中。
处理弦振动方程的cauchy问题，其广义解的结构可表示为：解的形式:
$$u(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)$$
其中，$f(x-ct)$与$g(x+ct)$可看作特殊定解，均是$x$和
$ct$的周期函数，其波形由所选常数决定。
比如对$x$方向上的弦有
$f(x-ct) = A\cos2\pi(x-ct)$；而$g(x+ct) = B\sin2\pi(x+ct)$，
其中$A$与$B$可自行选取，其波形即由该选取的常数决定。
弦振动方程的cauchy问题的广义解的结构可认为是$u(x,t) =
f(x-ct) + g(x+ct)$的形式。
特别的，若把$f(x-ct)$与$g(x+ct)$都
简化为特殊的周期函数，如正弦函数或余弦函数，其波形将完全受常
数决定，其解即可表示为某种特殊定解函数。
总之，弦振动方程的cauchy问题的广义解的结构可记为
$$u(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)$$
其特殊情况下，特别定解的波形可完全由常数决定，可由正弦函数或
余弦函数构成的形式来表示。
fourier变换求解弦振动方程定解问题
一、引言在物理学和工程学中，弦振动方程是一个重要且常见的定解问题，它描述了弹性绳或弦体在一定条件下的振动现象。
而Fourier变换则是一种有效的数学工具，能够帮助我们求解这类定解问题。
本文将对Fourier变换在求解弦振动方程定解问题中的应用进行深入探讨。
二、弦振动方程的描述弦振动方程是描述弦体在振动过程中的运动规律的数学模型。
假设一根质量可忽略不计的均匀弹性绳，长度为L，固定在两端，并且在t=0时刻有初始位移和初速度，那么弦振动方程可以描述为：∂^2y/∂t^2 = c^2 * (∂^2y/∂x^2)其中，y(x,t)是弦的位移函数，c是振动速度。
三、Fourier变换在弦振动方程中的应用1. Fourier级数展开为了求解弦振动方程的定解问题，我们首先可以利用Fourier级数展开的方法，将位移函数y(x,t)进行分解。
假设y(x,t)可写为一个无穷级数的形式：y(x,t) = Σ(A_n * sin(nπx/L) * cos(ω_nt + φ_n))其中，A_n、φ_n是待定系数，ω_n是频率参数。
将y(x,t)代入弦振动方程，经过计算和比较系数，可以得到A_n和φ_n的表达式。
这样，我们就成功地利用Fourier级数展开解决了弦振动方程的定解问题。
2. Fourier变换除了Fourier级数展开，Fourier变换也是另一种有效的方法，能够帮助我们求解弦振动方程。
利用Fourier变换的性质和定理，我们可以将原始的弦振动方程转化为一个更加简单的形式，例如常微分方程或偏微分方程。
进而，我们可以更方便地对方程进行求解。
通过逆Fourier变换，我们最终可以得到弦振动问题的解析解，为实际问题的分析和应用提供了重要的理论支持。
四、个人观点和理解在我看来，Fourier变换在求解弦振动方程定解问题中具有非常重要的作用。
它能够将原始的复杂问题转化为更简单的形式，从而减少了求解难度。
Fourier变换也能将原始问题的解析解表达为一种更加优美和清晰的数学形式，有利于我们深入理解弦振动问题的本质。
d_Alembert公式的推导
第 21 卷第 3 期 2007 年 5 月甘肃联合大学学报 (自然科学版)J o u r n al of G a n su L i an he U n iver s it y ( N at u ral S cience s )Vo l . 21 No . 3 May 2007文章编号 : 16722691 X (2007) 0320032204d ′Ale m be r t 公式的推导陈秀武(甘肃联合大学 理工学院 ,甘肃 兰州 730000)摘 要 :纠正了文献 [ 1 ]推导 d ′Alem ber t 公式的不足 ,采用两种方法推导出 d ′Alem ber t 公式 ,并把 d ′Alem ber t 公式推广到三维空间 .关键词 : d ′Alember t 公式 ;通解法 ;积分变换法 ;三维空间 中图分类号 :O411 . 1文献标识码 : A由于 △= a 22 - 型方程.1 a 11 a 22 = a 2> 0 , 故 (1) 为双曲 文献 [ 1 ]在运用通解法推导 d ′A le m ber t 公式 时 ,先作了尝试性变量代换 ,然后将无界弦振动的2 5u 根据特征方程的标准形式泛定方程化为标准形式 = 0 . 笔者认为对自5ξ5η2d x d x 2 a 12 + a 22 = 0a11- 变量变换的修改缺乏依据 . 因为有多种变量代换 都能把方程化为标准形式 ,随意修改难以让人理 解 . 下面给出与一般文献不同的 证明 方 法 , 对 d ′A le m ber t 公式进行比较规范的证明 . d ′A le m be r t公式是一维空间无界弦振动方程的解 ,三维无界 空间振动方程的解还未见文献涉及 ,本文力图用 比较 简 便 的 方 法 作 尝 试 性 推 导 , 从 而 把 d ′A le 2mber t 公式推广到三维空间 .d td t得2 d x a 2- = 0 , d t dx = ±a. d t故其特征线族∫d x = ∫a d t ,通解法无界弦振动的定解问题u tt - a 2u x x = 0 ( - ∞ < x 1 d x = - ∫a d t , x - at = C 1 ,x + at = C 2 .根据所求的特征线 , 故可作变换ξ = x - a t , η = x + at . 双曲型方程的标准形式为即< ∞) ,( 1) ( 2)( 3)= φ( x ) , u | t = 0 u t | t = 0 = ψ( x ) .自变量为 t 和 x 的二阶线形偏微分方程的一般形 式为[ 1 ]( 6)a 11 u tt + 2 a 12 u tx + a 22 u x x +b 1 u t + b 2 u x + cu + f 式 ( 1) 与式 ( 4) 比较系数可得a 11 = 1 ,a 12 = 0 , a 22 = - a 2 ,b 1 = 0 , b 2 = 0 ,c = 0 ,f = 0 .= 0 .( 4)1( 7)u ξη = - [ B 1 uξ + B 2 u η + Cu + F ] .2 A 12 将式 ( 5) 代入下列公式求出标准方程的系数[ 1 ]+ a 22ξx ηx = - 2 a 2 A 12 = a 11ξηt t + a 12 (ξηt x +ξx ηt ) B 1 = a ξ 11 tt + 2 a ξ 12 tx + a ξ 22x x + b ξ + b ξ 1 t 2 x = 0 , ( 5)a 11ηtt + 2 a 12ηtx + a 22ηx x + b 1ηt + b 2ηx = 0 , B 2 = C = c = 0 ,F = f = 0 .( 8)收稿日期 :2006211230 .基金项目 :甘肃联合大学 2004 年科研基金项目 .作者简介 :陈秀武 (19662) ,男 ,甘肃文县人 ,甘肃联合大学副教授 ,从事理论物理及数学物理方法的教学与研究 .式 ( 8) 代入式 ( 7) 得- 4 a 2 φ( x - at ) - Ψ( x + a t ) - C+22 5 u = 0 ,5ξ5η φ( x + at ) + Ψ( x + at ) + C=2即1 [φ( x - 52 uat ) + φ( x + at ) ] + 5ξ5η= 0 .( 9)2 x + at 1 2 a ∫x - at在式 ( 9) 两边对其中一个自变量η求积分Ψ (ξ) d ξ. ( 17)5 u 5ξ =f (ξ) . 2Fou ri e r 积分变换法对定解问 题 式 ( 1 ) 、式 ( 2 ) 、式 ( 3 ) 关 于 x 作再对自变量ξ求积分u = ∫f (ξ) d ξ+ f 2 (η)故 ( 1) 的通解为= f 1 (ξ) + f 2 (η) . Fo u rier 变换[ 2 ]d 2U ( k , t ) 2 2+ k a U ( k , t ) = 0 , 2d tf 1 ( x - at ) + f 2 ( x + at ) .( 10)u = ( 18)U ( k , 0) = Φ( k ) ,将初始条件式 ( 2) 、式 ( 3) 代入式 ( 10) 得f 1 ( x ) + f 2 ( x ) = φ( x ) ,U ( k , 0) = Ψ( k ) .U ( k , t ) Φ( k ) Ψ( k ) = F[ u ( x , t ) ] , = F[φ( x ) ] , = F[Ψ( x ) ] .( 19) ( 20)( 21)( x ) .( 11)式 ( 18) 的第 ( 1) 式的通解为U ( k , t ) = C 1 co s k at + C 2 si n k at .将式 ( 18) 的第 ( 2) 、( 3) 式初始条件代入得 ( 22)( 12)5 f 5 f 5ξ= Φ( k ) ,C 1 =5ξ 5 t .( 13)5 t = 1 Ψ ( k ) .C 2 式 ( 12) 和式 ( 13) 比较得5 f ka5 f 式 ( 18) 的解为U ( k , t ) = Φ( k ) co s k at + 1Ψ ( k ) si n k at .5 t 5 x( 14)= 5ξ .5ξ ka5 t 5 x( 23)对式 ( 23) 的两边求关于 k 的 Fo u rier 的逆变换式 ( 14) 代入式 ( 11) 的第 ( 2) 式得df 2 ( x ) d f 1 ( x ) = ψ( x ) . - F - 1[ U ( k , t ) ] = u ( x , t ) ,( 24) d x d x a∞ 1 F - 1 [Φ( k ) co s k a t ] = 2π∫- ∞[Φ( k ) co s k at ]e - ik xd k积分得x ψ( x ) - f 1 ( x ) =∫0f 2 ( x ) d x + C.= 1 [φ( x + at ) + φ( x - at ) ] ,a( 25) 2令1 Ψ ( k ) si n k at - 1 F - 1 Ψ( k )F = xψ( x )kaΨ( x ) =∫d x ,ax + at1= 2 a∫x - atψ(ξ) d ξ.( 26)则f 2 ( x ) f 1 ( x ) = Ψ( x ) + C.( 15)- 故式 ( 15) 与式 ( 11) 的第 ( 1) 式联立方程组求解得= 1[φ( x + at ) + φ( x -u ( x , t ) at ) ] +2= φ( x )- Ψ( x ) - C ,f 1 ( x ) 2+ Ψ( x ) x + at 1 2 a ∫x - atψ(ξ) d ξ. ( 27)( 16)=φ( x )+ C . f 2 ( x ) 23 三维空间的 d A l e m be rt 公式三维无界空间振动的定解问题[ 3 ]将式 ( 16) 代入通解式 ( 10) 得u ( x , t) = f 1 ( x - at ) + f 2 ( x + at ) =si n k at k a34甘肃联合大学学报 (自然科学版) 第 21 卷- a 2△u = 0 ,( 28) ( 29)( 30)则u tt u | t = 0 = φ( r ,θ,φ) , = ( r + at)φ( r + at ) + Ψ( r + at ) + C 2 ( ) f r + at .2= ψ( r ,θ,φ) . u t | t = 0 ( 46)为了简化推导 , 假设是球对称性振动问题 , 定 解问题的解与角坐标θ,φ无关 , 在球坐标系下 , 定 解问题可以简化为当 r -f 1 ( r - at ≥0 时有= ( r - at )φ( r - at ) + Ψ( x + a t ) +C . at )21 52 5u a2u tt - r =( 47)r 25 r 5 r 当 r - at < 0 时利用 f 1 ( - r) = - f 2 ( r ) 得f 1 ( r - at ) = - f 2 ( at - r ) =52 u 2 a 2 ( 31) u tt - += 0 , 5 r 2 r u | t = 0 = φ( r ) ,( 32)( at - r)φ( at - r ) - Ψ( at - r ) + C . -( 48) = ψ( r ) .u t | t = 0 作函数变换v,u =r5 u 5 v 1 1 = - v + r 25 r , 5 r r 52 ( 49)1 52 vφ( r + at ) + ( r - at )φ( r - at) ( 37)= 5 t 2 .5 t 2 r 式 ( 35) 、式 ( 36) 、式 ( 37) 代入式 ( 31) 得v tt - a 2 v r r = 0 , ( r > 0 , t > 0) .2 r( 38)ξψ(ξ) d ξ, ( r - a t ≥0) ;通过函数变换 , 转变为关于 v 的定解问题 , 定解条件转变为v φ( r + at ) -( at - r )φ( at - r ) 2 rv | r = 0 = 0 , t ≥0 , v | t = 0 = r φ( r ) , v t | t = 0 = r ψ( r) .式 ( 38) 的通解为v = f 1 ( r - at ) + f 2 ( r + at ) .将定解条件 ( 39) 、( 40) 、( 41) 代入 ( 42) f 1 ( - at ) + f 2 ( at ) = 0 ,( 39) ( 40) ( 41)ξψ(ξ) d ξ, ( r - a t < 0) .( 50)参考文献 :( 42)[ 1 ] 梁昆淼 . 数学物理方法 (第 3 版) [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 ,2002 :1702177 .[ 2 ] 王载舆 . 数学物理方程及特殊函数 [ M ] . 北京 :清华大学出版社 ,1991 :2682282 .[ 3 ] 陆振球 . 经典和现代数学物理方程 [ M ] . 上海 :上海科学技术出版社 ,1991 :38243 .f 1 ( r ) + f 2 ( r ) = rφ( r ) , ( 43)( r ) - ( r ) ] = rψ( r ) . a[ f 2 f 1 由式 ( 43) 的第三式解得r1 a∫f 2 ( r) - f 1 ( r) = r ψ( r )d r = ψ( r ) . ( 44) 解得f 1 ( - r ) f 2 ( r ) ,= - rφ( r ) - Ψ( r ) - C , f 1 ( r ) = 2( 45)rφ( r ) + Ψ( r ) + C .f 2 ( r) =25 u 5 rThe Derivat i on of d ′A l embert FormulaC H E N X i u 2w u( S choo l of S cience a n d En gineeri n g , G an su L i a n he U n iver s it y ,L a nzh o u 730000 ,China )Abstract : T hro u gh t w o wa y s of de r ivatio n , t h i s e s sa y i n t e n d s to co r r ect t h e i n eff icie n cy of t h e de riva 2 tio n of t h e fo r mula i n Ref e r e n ce 1 i n my bi b lio g rap h y , a n d e xt e n ds t h e fo r mula r y de r ivatio n to t h ree 2 di me n s io n al sp a ce .K ey w ords :fo r mula ; met h o d of t h o r o u gh u n de r s t a n di n g ; met h o d of i n t e gral alt e r n atio n ; t h ree 2di me n 2 sio n al sp a ce(上接第 17 页)2 2我们可得 , 重数大于 3 矛盾 .故假设不正确 , F 正规. 对 n ≥N有参考文献 :0 .[ 1 ] 杨乐 . 值 分 布 理 论 及 其 新 研 究 [ M ] . 北 京 : 科 学 出 版社 ,1982 .[ 2 ] FA N G Min g 2lia ng , YU A N Wen 2j un. O n t he mo r mali 2t y fo r f a m ilies of mero mo rp hic f unctio n s [ J ] . Ind ian J o u r n al of Mat h ematic s ,2001 (3) :3412351 .[ 3 ] B ER G W EIL ER W , ER E M EN KO A . O n t h e singula r i 2ties of t he inver se to a mero mo rp hic f unct io n of finite o r der [ J ] . Revi st a Mat hematica . Ibero a merica na , 1995(11) :3552373 .[ 4 ] ZAL CMAN L . A heuri s tic p r incip le in co m p lex f unc 2tio n t h eo r y [J ] . The A m erican Mat h ematical Mo n t h ly , 1975 ,82 :8132817 .1 ( g (ξ) )2 ≠0 ,g 4 n (ξ)或1 ( g (ξ) )2 ≡0 g 4 n (ξ)对任何ξ∈C 成立 .于是要么 g (ξ) ≠0 , 要么 g (ξ) ≡0 . 如果 g (ξ) ≠0 根据引理 3 可得g (ξ) ≡co n s t 如果 g (ξ) ≡0 , 则 g (ξ) = a ξ+ b. 这与 g (ξ) 的零点 The Improve ment N orm al TheoremF E NG B i n(Dep a r t m ent of Mat h met ics , Ya n gtze No r m al U n iver s it y , F uling 408003 ,China )Abstract : T hi s t h e s i s st u die s t h e no r mal f a mil y of me ro m o r p h ic f u nctio n s . Wit h t h e t h eo r y of Neva n li n 2 na ’s val u e di s t r i b utio n ,t h e a u t h o r a n al y ze s a n d st u die s t h e no r m al f a mil y p ro b le m s a n d a no r m al t h eo 2 re m i s p r o v e d ,w h ic h ge n e r alize s a n d i mp ro v e s t h e re s ult s of Fa n g Mi n g 2L ia n g. K ey w ords :mero mo rp h ic f u nctio n s ; n o r mal f a mil y ; v al u e di s t ri b utio n ; H u r w itz t h eo r e m。
差分法解弦振动方程
差分法解弦振动方程引言弦振动是物理学中一个重要的研究领域，广泛应用于乐器制作、声学研究、结构工程等方面。
弦振动可以通过数学模型来描述，其中最常见的是弦振动方程。
差分法是一种数值解法，可以用于求解弦振动方程。
本文将介绍差分法的基本原理和应用，以及如何使用差分法来解决弦振动方程。
首先将介绍弦振动的基本概念和数学模型，然后详细讲解差分法的原理和步骤，并给出一个具体的例子来说明如何使用差分法求解弦振动方程。
弦振动方程在介绍差分法之前，我们先来回顾一下弦振动方程。
假设有一根长度为L的均匀弦，其横向位移u(x, t)可以通过以下偏微分方程描述：∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x²其中，c是波速。
这个方程描述了弦上任意一点处位移随时间变化的规律。
求解这个方程可以得到整个弦上各点的位移随时间的变化情况，从而揭示了弦振动的特性。
差分法原理差分法是一种数值解法，其基本思想是将连续的问题离散化为有限个离散点上的近似问题。
对于弦振动方程，可以将空间和时间都离散化，然后通过逐步迭代计算得到数值解。
具体来说，差分法将空间和时间划分为一系列小区间。
设弦上的位置为x，时间为t，则可以将弦划分为一系列小段，每个小段长度为Δx；同时将时间划分为一系列小步长，每个小步长为Δt。
然后通过近似求导公式来近似表示偏微分方程中的导数项。
差分法的核心思想是使用近似导数来替代真实导数，并通过迭代计算逐渐逼近真实解。
在求解弦振动方程时，我们需要用到以下两个近似公式：1.空间二阶导数近似公式：∂²u/∂x² ≈ (u(x+Δx, t) - 2u(x, t) + u(x-Δx, t)) / Δx²2.时间二阶导数近似公式：∂²u/∂t² ≈ (u(x, t+Δt) - 2u(x, t) + u(x, t-Δt)) / Δt²通过将这两个近似公式代入弦振动方程，我们可以得到一个差分方程，即用差分形式表示的弦振动方程。
第一章_波动方程
u ( 3) 2 x 0 y x 2u 2u 2u ( 4) 2 2 2 sin x xy y x
( 5)
2u x
2
2
3u x y
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则 弦段(x, x+Δx)上的外力为：
x x
x
F ( x ,t) dx
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
t x
t t x x
F ( x , t ) dx dt
数学物理方程
第一章 波动方程
于是有：
2 2 u ( x , t ) u ( x , t ) [ 2 T F ( x , t )] dx dt 0 2 t x t x t t x x
u T x
x a
k u x a
或
u u 0 x xa
数学物理方程
第一章 波动方程
§1.2 定解条件
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边
界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即
个性。 初始条件：够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束 情况的条件。 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。
y
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
数学物理方程
弦振动频率计算公式推导
弦振动频率计算公式推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：弦振动频率是指弦在振动时产生的频率，它是弦的长度、材质、张力等因素共同作用的结果。
在物理学中，弦振动频率的计算是一个重要的问题，它可以帮助我们了解弦的振动特性以及音乐乐器的原理。
为了计算弦的振动频率，我们需要首先推导出弦振动频率的计算公式。
在这里，我们将通过弦的基本原理和波动方程来推导这个公式。
我们假设一根长度为L、质量为m的弦被拉紧，并在两端固定。
弦上的振动可以被描述为横波传播，其波速v可以用张力T和线密度μ来表示：v = √(T/μ)弦的振动频率f可以用波速v和波长λ来表示：f = v/λ我们知道波长λ与弦的长度L有关系：其中n为弦的振动模态数。
当n=1时，弦的整数倍分之一波长的振动称为基频振动，也称为第一次共振；当n=2时，弦的整数倍分之二波长的振动称为第二次共振，如此类推。
将λ带入频率计算公式中，得到：将波速v的公式代入，得到：f = (1/2L)√(T/μ) * n这就是弦振动频率的计算公式。
从这个公式可以看出，弦振动频率与弦的长度L、张力T、线密度μ以及振动模态数n有关。
当我们改变这些参数时，弦的振动频率也会相应改变。
通过这个公式，我们可以更好地理解弦的振动特性，并且可以应用于乐器的设计和制作中。
通过调节张力和长度，可以改变乐器的音调，使得音乐更加美妙动听。
弦振动频率的计算公式是一个重要的物理公式，它可以帮助我们理解弦的振动原理和音乐乐器的工作原理。
希望通过本文的介绍，读者能够更加深入地了解弦振动频率的计算方法，并且能够应用于实际问题中。
【这是我对于弦振动频率计算公式的一些理解，希望能够对您有所帮助。
】第二篇示例：弦振动是物理学中常见的一种现象，例如吉他、小提琴等乐器中的琴弦就是一种典型的弦振动系统。
在弦振动中，弦线上的每一个微小的部分都在进行横向振动，形成一系列波动。
而弦振动的频率则是指每秒钟弦线振动的次数，是描述弦振动特性的重要参数之一。
弦振动方程推导
弦振动方程推导弦振动方程是描述弦线上的振动现象的数学模型。
在物理学中，弦是一个细长而有弹性的物体，可以通过施加力或其他物理作用产生振动。
弦振动方程可以帮助我们理解弦线上的振动行为，并预测弦上不同位置的运动状态。
弦振动方程的推导可以从牛顿第二定律开始。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的力成正比，与物体的质量成反比。
对于弦线上的一小段元素，可以将其看作是一个质点，根据牛顿第二定律可以得到以下关系式：F = ma，其中F表示作用在弦线元素上的力，m表示元素的质量，a表示元素的加速度。
由于弦线是有弹性的，所以弦线元素的加速度与该元素的位移成正比。
这个比例关系可以用一个常数k来表示，即a = -kx，其中x表示弦线元素的位移。
由于弦线是连续的，所以相邻元素之间的力平衡可以得到以下关系式：T2 - T1 = ma，其中T2和T1分别表示上方和下方的张力，m表示元素的质量，a表示元素的加速度。
根据弦线的特性，可以得到以下关系式：T2 - T1 = -kx，结合上述两个关系式，可以得到弦线元素的运动方程：T2 - T1 = -kx，该方程描述了弦线元素的振动行为。
从上面的方程可以看出，弦线元素的振动与其位移成正比，并且与张力的差值成反比。
这意味着当弦线元素偏离平衡位置时，张力的差值会产生一个恢复力，将元素拉回到平衡位置。
弦线元素的振动是由于该恢复力和弦线的质量共同作用的结果。
根据弦线元素的运动方程，可以进一步推导出弦的振动方程。
假设弦线的长度为L，线密度为μ，根据牛顿第二定律和弦线元素的运动方程，可以得到以下关系式：T2 - T1 = -kx，对于弦线上的任意一点，都可以将其看作是一个弦线元素的平衡位置。
所以可以得到以下关系式：T(x+Δx) - T(x) = -kx，其中Δx表示弦线上的任意一小段长度。
由于线密度的定义为μ = m/Δx，可以将上述关系式转化为以下形式：(T(x+Δx) - T(x))/Δx = -kx/Δx，当Δx趋近于0时，可以得到以下关系式：d(T(x))/dx = -kx，该方程即为弦的振动方程。
第八章 弦振动方程初值问题的达朗贝尔解
at x
0
c ( )d 2
固得：
u( x , t ) f 2 ( ( x at )) f 2 ( x at ) 1 1 [ (at x ) ( x at )] x ( )d 2 2a at
at x
综上得：
( x at ) ( x at ) 1 x at at ( )d , x at 2 2a x u( x , t ) x at (at x ) ( x at ) 1 x ( )d , x at 2 2a at
解：
0 ( x) 0 ( x ) 0
x at x at
x1 x x2 x1 x , x2 x
x at
1 1 1 u( x, t ) at ( )d 2a ( )d 2a ( )d 2a x
1 ( x) ( )d 2a
( x) 0
(x)
u0
x
x1
x1 x2 2
x2
u( x , t )
1 ( x) 2
x1
u0
x2
x x x
1 u( x , t ) [ ( x at ) ( x at )] 2
例：初位移为0，在 x1 x x2 范围有恒定速度。 相当于用一定宽度的物件敲击弦。
2 代入方程 utt a uxx
得: u 0
u c( )
u( , ) c( )d f1 ( ) f 2 ( )
代回原变量得: u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
容易验证,只要这两个任意函数具有二阶连续偏导数,则 上式就是所求弦振动方程的的解,且是通解(一般解).
第三章达朗贝尔公式
例2 在上述问题中，初值条件为
x 1, 1 x 0
(x) 1 x, 0 x 1
0，
其它
-2
(x) 0
试说明其解的物理意义。
2 (x)
1
0
2
由达朗贝尔公式有
u(x,t) (x at) (x at)
2
可见右行波与左行波分别为
1 3
f1(3x)
f2 (x)
C
两式联立，求解得
f1 (3x)
3 ex2 4
3C 4
f1 ( x)
3 4
ex2
/9
3 4
C
f2 (x)
3 ex2 4
3C 4
故原问题的解为
u 3 ey3x2 3 C 3 eyx2 3 C
4
44
4
3 ey3x2 3 eyx2
4
4
2 达朗贝尔公式的物理意义
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=6
0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=9
0.03 0.02 0.01
f (x at) 1(x at) g(x at) 1 (x at)
2
2
于是右行波与左行波的波形均为
f (x) g(x) 1(x)
2
随着时间的推移，其波形如图所示：
t 0
-4
-2
t1