9代数结构-运算11-2
合集下载
离散数学 第九章
οai οa1 ο a2
. . . οan
二元运算的运算表
2011-1-31 曲阜师范大学计算机科学学院
一元运算的运算表
12
运算表的实例
上的⊕ 运算的运算表 的运算表， 例3 设 S=P({a,b})，S上的⊕和 ∼运算的运算表，其中全 ， 上的 集为{a,b}。 集为 。 ⊕ ∅ {a} {b} {a,b} ∅ ∅ {a} {a} {a} ∅ {b} {a,b} {b} ∅ {a} {a,b} {a} ∅ x ∅ {a} {b} {a,b} ~x {a,b} {b} } {a} ∅
2011-1-31
曲阜师范大学计算机科学学院
2
第三部分 代数结构
一元:f:S→S 一元 二元:f:S×S→S 二元 × 多元
符合某些律
运算
性质 交换律 单位元 结合律 零元 幂等律 逆元 分配律 吸收律 消去律
代数系统
建立两 个代数 系统的 联系 映射） （映射）
具体代数系统
半群 群 环 域 格 布尔代数
离 散 数 学
代数结构
2011-1-31
曲阜师范大学计算机科学学院
1
第三部分 代数结构
代数结构是以研究数字、文字和更一般元素的运算的 代数结构是以研究数字、文字和更一般元素的运算的 规律和由这些运算适合的公理而定义的各种数学结构的性 规律和由这些运算适合的公理而定义的各种数学结构的性 和由这些 为中心问题. 质为中心问题 它对现代数学如拓扑学、泛函分析等, 它对现代数学如拓扑学、泛函分析等 以及一些其他 科学领域, 如计算机科学、编码理论等, 科学领域 如计算机科学、编码理论等 都有重要影响和广 泛应用. 泛应用
2011-1-31
曲阜师范大学计算机科学学院
代数结构习题答案
第十五章：4.解：(1)封闭。
有消去律，不具有单位元和零元。
(2)封闭。
该运算只具有交换律、结合律和消去律。
单位元是1，没有零元。
(3)加法不封闭，乘法封闭。
乘法具有交换律、结合律和消去律。
乘法单元是1，没有零元。
(4)矩阵加法和乘法都封闭。
矩阵加法满足交换律、结合律和消去律；矩阵乘法满足结合律。
矩阵乘法对加法满足分配律。
仅当n=1时(平凡的情况)，矩阵乘法还满足交换律和消去律。
矩阵加法的单位元为n阶全0矩阵，没有零元；矩阵陈发的单位元为n阶单位矩阵，零元为n阶全0矩阵。
(5)实可逆矩阵的加法不封闭，而乘法封闭。
陈发满足结合律和消去律，单位元为n阶单位矩阵，没有零元。
仅当n=1时(平凡的情况)，矩阵陈发满足交换律。
(6)加法和乘法都封闭。
加法和乘法都满足交换律、结合律与消去律；此外，乘法对加法满足分配律。
加法的单位元是0，没有零元。
乘法的零元是0.仅当n=1时，陈发单位元是1.(7)不封闭。
(8)封闭。
运算满足结合律和幂等律。
仅当n=1时，运算满足交换律和消去律，并且单位元和零元都是a1.(9)封闭。
对于一般集合A，合成运算满足结合律。
单位元为I A,零元为∅。
当|A|=0,R(A)={∅}，合成运算还满足交换律和幂等律；此时单位元和零元都是∅。
当|A|=1时，R(A)={∅，I A}，合成运算也满足交换律和幂等律。
(10)两个运算都封闭。
两个运算都满足交换律、结合律和幂等律。
它们互相可分配，也满足吸收律。
1是求最小公倍数运算的单位元，也是求最大公约数运算的零元。
注：有的问题对所给定的参数没有具体值，如(4)、(5)、(6)和(8)中的n。
只知道n是一个给定的正整数。
在n=1与n>1两种情况下，运算旺旺呈现不同的性质，如是否具有交换律和幂等律，是否具有单位元，是否具有可逆元素等。
通常要对n的不同取值进行讨论。
有的问题对集合中的元素没有规定，如(9)中的A集合，由于A 可以是空集、单元集或者含有2个以上元素的集合。
第5章代数结构
S
M
• (R, )是独异点. • (*, ◦, )是独异点, 而(+, ◦)不是.
小结与作业
代数结构的定义
半群及独异点
作业
习题5.1 2, 3
第5章 代数结构
5.1 代数结构简介
本讲内容
1 2
3
代数结构的定义
两种最简单的代数结构: 半群及独异点
子代数 代数结构的同态与同构
4
• 3.子代数
本讲内容
1 2
3
群的有关概念
子群
群的同态
• 1. 群的有关概念
• 非空集合G, G上的运算“” 满足的运算性 质“游戏规则”: 程序设计语言和自动机? • Def 5-10 设G , 是G上的2元代数运算,若 下列3个条件成立,则称(G, )为群(group). • (1) 满足结合律; • (2) G关于有单位元, 通常记为e; • (3) G中每一个元素在G中都有逆元. 封闭性, 结合性, 幺元性, 逆元性.
• 下面的例子可以进一步帮助理解同态像是 如何对原代数结构进行缩影的.
• 例5-9 验证: 代数结构(Z, .)与(B, *)同态,其中 “.‖Z上的乘法运算, B = {正, 负, 零}, B上的 运算定义见下表:
* 正 负 零
正 负 零
正 负 零 负 正 零 零 零 零
• Hint
正, x 0 : Z B, ( x) 负, x 0. 零, x 0
第5章 代数结 2
3
代数结构的定义
两种最简单的代数结构: 半群及独异点
子代数
4
代数结构的同态与同构
Chapter 5 代数结构
• 代数方法建立的数学模型.
第一讲代数系统
θl，则称θl为A中关于运算*的左零元。
右零元：如果有一个元素θr∈A,对于任意的元素 x∈A都有x*θr= θr，则称θr为A中关于运算*的右零元。
零元：如果A中的一个元素θ，它既是左零元，又是 右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。 θ* x=x*θ=θ
23
6.1代数结构
【例题10】 设“浅”表示不易褪色的浅色衣服，“深”表示易褪 色的深色衣服，集合S={浅，深}，定义S的一个二元 运算“混洗”，记为“ * ”，则*的运算表如下表所示。 求S中关于*运算的幺元和零元。
解答：∪和∩运算是可交换的。 ∀ A,B∈ρ(S),有
A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A
所以∪和∩满足吸收律。又有
A ∩A=A
A ∪A=A
所以∪和∩满足等幂律。
17
6.1代数结构—代数运算性质
性质六 可约律(消去律)
设*是定义在集合上的一个二元运算，元素a∈A, 如果对于任意x,y ∈A,都有
证明思路：先证el =er=e，再证e的唯一性。
证明：设el 和er分别是A中关于运算*的左幺元和右 幺元，则有
el= el *er= er=e
假设另有幺元e’∈A, 则有e’=e’*e=e,结论得证。
22
6.1代数结构
零元 左零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，如
果有一个元素θl∈A,对于任意的元素x∈A都有θl*x=
问☆是否是可交换的？
10
6.1代数结构—代数运算性质
性质二 结合律
设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意 x,y,z∈A ，都有
x*(y*z)=(x*y)*z
则称该二元运算是可结合的。
【例题6】
设A是一个非空集合，*是A上的一个二元运算，对于任意 a,b ∈A ,有a*b=b,证明运算*是可结合的。
右零元：如果有一个元素θr∈A,对于任意的元素 x∈A都有x*θr= θr，则称θr为A中关于运算*的右零元。
零元：如果A中的一个元素θ，它既是左零元，又是 右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。 θ* x=x*θ=θ
23
6.1代数结构
【例题10】 设“浅”表示不易褪色的浅色衣服，“深”表示易褪 色的深色衣服，集合S={浅，深}，定义S的一个二元 运算“混洗”，记为“ * ”，则*的运算表如下表所示。 求S中关于*运算的幺元和零元。
解答：∪和∩运算是可交换的。 ∀ A,B∈ρ(S),有
A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A
所以∪和∩满足吸收律。又有
A ∩A=A
A ∪A=A
所以∪和∩满足等幂律。
17
6.1代数结构—代数运算性质
性质六 可约律(消去律)
设*是定义在集合上的一个二元运算，元素a∈A, 如果对于任意x,y ∈A,都有
证明思路：先证el =er=e，再证e的唯一性。
证明：设el 和er分别是A中关于运算*的左幺元和右 幺元，则有
el= el *er= er=e
假设另有幺元e’∈A, 则有e’=e’*e=e,结论得证。
22
6.1代数结构
零元 左零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，如
果有一个元素θl∈A,对于任意的元素x∈A都有θl*x=
问☆是否是可交换的？
10
6.1代数结构—代数运算性质
性质二 结合律
设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意 x,y,z∈A ，都有
x*(y*z)=(x*y)*z
则称该二元运算是可结合的。
【例题6】
设A是一个非空集合，*是A上的一个二元运算，对于任意 a,b ∈A ,有a*b=b,证明运算*是可结合的。
代数结构
注意:通常用。，*，.，…等符号表示二元运算，称为算符。 如：设f :S×S →S称为S上的二元运算，对于任意的x,y∈S， 如果x与y的运算结果是z，即 f(<x,y>)=z, 可利用算符。简 记为 x。y=z
信息科学与工程学院
4
例9.2
定义实数集R上二元运算。：∀x,y ∈ R, x 。y=x, 计算 5 。6, 4.9 。(-8)。
(1) (2) (3) (4) 是加法的幺元， 是乘法的幺元。 在N、Z、Q、R、C上，0是加法的幺元，1是乘法的幺元。 n阶 矩阵是矩阵加法的幺元， 阶单位矩阵是矩阵乘法的幺元。 n阶0矩阵是矩阵加法的幺元，n阶单位矩阵是矩阵乘法的幺元。 运算的幺元，全集是∩运算的幺元 在集合上， 在集合上， φ是∪、 ⊕运算的幺元，全集是 运算的幺元 。 恒等关系是函数复合运算的单位元。 恒等关系是函数复合运算的单位元
Φ Φ {1} {2} {1,2}
{1} {1} Φ {1,2} {2}
{2} {2} {1,2} Φ {1}
{1，2} {1,2} {2} {1} Φ
上的二元运算。 例9.5 设S={1，2，3，4，5}，定义 上的二元运算。如下： ， ， ， ， ，定义S上的二元运算 如下： x。y=(xy)mod 5 , ∀ x,y ∈ S 。 求运算。的运算表。（参见课本） 。（参见课本 求运算。的运算表。（参见课本）
信息科学与工程学院
3
例9.1
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
考察下列运算是否是指定集合上二元运算? 考察下列运算是否是指定集合上二元运算
自然数集合N上的加、 自然数集合N上的加、减、乘、除。 整数集合Z上的加、 整数集合Z上的加、减、乘、除。 非零实数集R 上的加 非零实数集R*上的加、减、乘、除。 n阶实矩阵上的加、乘。 n阶实矩阵上的加、 阶实矩阵上的加 集合S的幂集上的∪ 集合S的幂集上的∪、∩ 、-、 ⊕ 。 集合S上的所有函数的集S 上的复合运算。 集合S上的所有函数的集SS上的复合运算
离散数学代数结构
第一节 代数结构的定义
2020年11月5日星期四
代数结构的定义 一个代数结构< S, f1, f2, …, fm >通常由两个部分组成：
一个集合S ，叫做代数的载体； 定义在载体上的运算（operator） f1, f2, …, fm
代数结构
2020年11月5日星期四
一个集合，叫做代数的载体 载体，是我们将要处理的数学目标的集合 如整数集合、实数集合、符号集合等 一般不讨论载体是空集合的代数结构
例5.1.2： 代数结构 < N, ×>与< Z, - > 具有相同的构成成分 因为它们都有一个二元运算 代数结构 < {F, T}, ∧, ∨> 与 < P(S), , >具有相同 的构成成分，它们都具有两个二元运算
子代数
2020年11月5日星期四
子代数 设< S, f1, f2, …, fm >是一个代数结构
⊙0 1 000 101
这种表称为运算表或复合表，它由 运算符、行表头元素、列表头元素 和复合元素组成。
运算⊙具有封闭性：运算表中的每个元素都属于S
结合律
2020年11月5日星期四
一、结合律
设有代数结构< S, ⊙ >，若 (x)(y)(z)(x,y,z S (x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z)) 则称运算⊙满足结合律，或⊙是可结合的
代数结构
2020年11月5日星期四
代数结构 有时还在代数结构的表示中加入特异元素k，记做 < S, f1, f2, …, fm , k > 载体中的特异元素，也叫做代数常数 有些运算存在么元和零元，它们在运算中起着特殊的作用
代数结构示例
2020年11月5日星期四
第五章代数结构
ij ijk ik jijk ijk
称二元运算+k为模k加法。
2020/7/21
8
Nk上的二元运算×k定义为：对于Nk中的任意两个元素i和 j，有
ij
ijk
ikj ij除k以 的余i数 jk
称二元运算×k为模k的乘法。 模k加法+k和模k乘法×k是两种重要的二元运算。 在N7=0,1,2,3,4,5,6中，有4+72=6，4+75=2。如果把N7
一角硬币和二角五分硬币，而所对应的商品是桔子水、可口
可乐和冰淇淋。当人们投入上述硬币的任何两枚时，自动售
货机将按表5-1.1所示供应相应的商品。
表格左上角的记号*可以理解为一个二元运算的运算符。
这个例子中的二元运算*就是集合{一角硬币，二角五分硬币}
上的不封闭运算。
表 5-1.1
*
一角硬币 二角五分硬币
2020/7/21
15
二、可交换性
定义5-2.2 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于 任意的x,yA，都有x*y=y*x，则称二元运算*在A上是可 交换的。
【例5.2.2】设Q是有理数集合，Δ是Q上的二元运算，对任 意的a,bR，aΔb=a+b-a·b，问运算Δ是否可交换。 解：因为 aΔb=a+b-a·b=b+a-b·a=bΔa
a
为：aA，f(a)= 1 。容易看出f是A上的一元运算。
a
又如，f：N×N→N，定义为：m,nN，f(m,n)=m＋n，
f是自然数集合N上的二元运算，它就是普通加法运算。普通 减法不是自然数集合N上的二元运算，因为两个自然数相减 可能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法不是自 然数集合N上的二元运算。
称二元运算+k为模k加法。
2020/7/21
8
Nk上的二元运算×k定义为：对于Nk中的任意两个元素i和 j，有
ij
ijk
ikj ij除k以 的余i数 jk
称二元运算×k为模k的乘法。 模k加法+k和模k乘法×k是两种重要的二元运算。 在N7=0,1,2,3,4,5,6中，有4+72=6，4+75=2。如果把N7
一角硬币和二角五分硬币，而所对应的商品是桔子水、可口
可乐和冰淇淋。当人们投入上述硬币的任何两枚时，自动售
货机将按表5-1.1所示供应相应的商品。
表格左上角的记号*可以理解为一个二元运算的运算符。
这个例子中的二元运算*就是集合{一角硬币，二角五分硬币}
上的不封闭运算。
表 5-1.1
*
一角硬币 二角五分硬币
2020/7/21
15
二、可交换性
定义5-2.2 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于 任意的x,yA，都有x*y=y*x，则称二元运算*在A上是可 交换的。
【例5.2.2】设Q是有理数集合，Δ是Q上的二元运算，对任 意的a,bR，aΔb=a+b-a·b，问运算Δ是否可交换。 解：因为 aΔb=a+b-a·b=b+a-b·a=bΔa
a
为：aA，f(a)= 1 。容易看出f是A上的一元运算。
a
又如，f：N×N→N，定义为：m,nN，f(m,n)=m＋n，
f是自然数集合N上的二元运算，它就是普通加法运算。普通 减法不是自然数集合N上的二元运算，因为两个自然数相减 可能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法不是自 然数集合N上的二元运算。
离散数学近世代数代数结构
第1节 代数运算及其性质 第2节 代数结构的同态和同构
重点：
代数结构的判定与构造，代数结构关系：同态、同构 难点：
同态基本定理
第六页，共39页
代数运算、代数结构
S是非空集合，映射 f: SnS称为S上的n元运算。 写法: f(a,b)=c可改写为: a f b=c 例如，在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法
什么是代数结构
由集合以及集合上的运算组成的数学结构 称为代数结构（也称为代数系统）. 代数结构是抽象代数的一个主要内容. 研究的中心问题：
集合上的抽象运算及运算的性质和结构。
第三页，共39页
关于代数结构
研究意义：研究抽象代数结构的基本特征和基本结构，
不仅能深化代数结构的理论研究，也能扩展其应用领 域。
∴★是满足结合律的.
第十二页，共39页
交换律
设有代数系统(S，*)，如果对于a，b S，有a*b =
b*a，则称此代数系统的运算“ * ”满足交换律。
例：在整合集合 I 上定义运算 ：
对任何
其中的 +a ，,b 分I别,a 是通b 常a 数b 的 ( 加a 法 b 和)乘法。 可以满足交换律吗？第十Leabharlann ，共39页代数系统的基本概念
如果两个代数系统有相同个数的运算符，每个相对应的 运算符的元数是相同的，则称这两个代数系统是同类
型的。 定义：两个代数系统(U，)与(U，*) ，如果满足下
列条件： ① U U； ② 若a U，bU，则a*b =a b；则称(U，*)是
(U，)的子系统或子代数 。
第二十三页，共39页
定理：设代数系统(U，)，运算“ ”满足结合律，且 存在幺元 e，那么对任意固定的 xU，若 x 有逆元，则
重点：
代数结构的判定与构造，代数结构关系：同态、同构 难点：
同态基本定理
第六页，共39页
代数运算、代数结构
S是非空集合，映射 f: SnS称为S上的n元运算。 写法: f(a,b)=c可改写为: a f b=c 例如，在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法
什么是代数结构
由集合以及集合上的运算组成的数学结构 称为代数结构（也称为代数系统）. 代数结构是抽象代数的一个主要内容. 研究的中心问题：
集合上的抽象运算及运算的性质和结构。
第三页，共39页
关于代数结构
研究意义：研究抽象代数结构的基本特征和基本结构，
不仅能深化代数结构的理论研究，也能扩展其应用领 域。
∴★是满足结合律的.
第十二页，共39页
交换律
设有代数系统(S，*)，如果对于a，b S，有a*b =
b*a，则称此代数系统的运算“ * ”满足交换律。
例：在整合集合 I 上定义运算 ：
对任何
其中的 +a ，,b 分I别,a 是通b 常a 数b 的 ( 加a 法 b 和)乘法。 可以满足交换律吗？第十Leabharlann ，共39页代数系统的基本概念
如果两个代数系统有相同个数的运算符，每个相对应的 运算符的元数是相同的，则称这两个代数系统是同类
型的。 定义：两个代数系统(U，)与(U，*) ，如果满足下
列条件： ① U U； ② 若a U，bU，则a*b =a b；则称(U，*)是
(U，)的子系统或子代数 。
第二十三页，共39页
定理：设代数系统(U，)，运算“ ”满足结合律，且 存在幺元 e，那么对任意固定的 xU，若 x 有逆元，则
《离散数学》第9—11章 习题详解!
第三部分 代数结构
第九章 代 数 系 统
９．１ 内 容 提 要
1．二元运算与一元运算 二元运算 设 S 为集合，函数 f：S ×S→S 称为 S 上的二元运算．这时也称 S 对 f 是封闭的． 一元运算 设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一元运算．这时也称 S 对 f 是封闭的． 二元与一元运算的算符 ，倡，· ，◇，Δ等 二元与一元运算的表示法 表达式或者运算表 2．二元运算的性质 （１） 涉及一个二元运算的算律
定理 9．3 如果 ｜S ｜＞１，则单位元不等于零元． 定理 9．4 对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有惟一的逆元 x －１ ．
3．代数系统
代数系统 非空集合 S 与 S 上的 k 个一元或二元运算 f１ ，f２ ，…，fk 组成的系统，记作 ＜S，f１ ，
f２ ，…，fk ＞． 同类型的代数系统与同种的代数系统
称 V ＝＜A ×B，· 重要结果：
＜a１ ，b１ ＞· ＜a２ ，b２ ＞＝＜a１ a２ ，b１ 倡b２ ＞ ＞为 V１ 与 V２ 的积代数，记作 V１ ×V２ ．这时也称 V１ 和 V２ 为 V 的因子代数．
任何代数系统 V 都存在子代数，V 是 V 的平凡子代数．
V 的子代数与 V 不仅是同类型的，也是同种的．
９．２ 基 本 要 求
１．会判断给定函数 f 是否为集合 S 上的二元或一元运算． ２．会判断或者证明二元运算的性质．
第九章 代 数 系 统
177
３．会求二元运算的特异元素． ４．掌握子代数的概念． ５．掌握积代数的定义及其性质 ６．能够判断函数是否为同态并分析同态的性质．
９．３ 习 题 课
本章的习题主要有以下题型． 题型一 判断运算是否封闭（ 集合与运算是否构成代数系统） ，并对封闭的运算确定其性质 及特异元素
第九章 代 数 系 统
９．１ 内 容 提 要
1．二元运算与一元运算 二元运算 设 S 为集合，函数 f：S ×S→S 称为 S 上的二元运算．这时也称 S 对 f 是封闭的． 一元运算 设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一元运算．这时也称 S 对 f 是封闭的． 二元与一元运算的算符 ，倡，· ，◇，Δ等 二元与一元运算的表示法 表达式或者运算表 2．二元运算的性质 （１） 涉及一个二元运算的算律
定理 9．3 如果 ｜S ｜＞１，则单位元不等于零元． 定理 9．4 对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有惟一的逆元 x －１ ．
3．代数系统
代数系统 非空集合 S 与 S 上的 k 个一元或二元运算 f１ ，f２ ，…，fk 组成的系统，记作 ＜S，f１ ，
f２ ，…，fk ＞． 同类型的代数系统与同种的代数系统
称 V ＝＜A ×B，· 重要结果：
＜a１ ，b１ ＞· ＜a２ ，b２ ＞＝＜a１ a２ ，b１ 倡b２ ＞ ＞为 V１ 与 V２ 的积代数，记作 V１ ×V２ ．这时也称 V１ 和 V２ 为 V 的因子代数．
任何代数系统 V 都存在子代数，V 是 V 的平凡子代数．
V 的子代数与 V 不仅是同类型的，也是同种的．
９．２ 基 本 要 求
１．会判断给定函数 f 是否为集合 S 上的二元或一元运算． ２．会判断或者证明二元运算的性质．
第九章 代 数 系 统
177
３．会求二元运算的特异元素． ４．掌握子代数的概念． ５．掌握积代数的定义及其性质 ６．能够判断函数是否为同态并分析同态的性质．
９．３ 习 题 课
本章的习题主要有以下题型． 题型一 判断运算是否封闭（ 集合与运算是否构成代数系统） ，并对封闭的运算确定其性质 及特异元素
11or2的逻辑运算
11or2的逻辑运算
11和2是两个数字，逻辑运算通常用于布尔代数中的逻辑命题。
在这种情况下，我们可以考虑11和2的大小关系。
如果我们进行逻
辑运算，比如大于、小于或者等于的比较，我们可以得到以下结果：
1. 大于，11大于2，这个逻辑命题为真。
2. 小于，11小于2，这个逻辑命题为假。
3. 等于，11等于2，这个逻辑命题为假。
另外，我们还可以进行逻辑运算的组合，比如与、或、非等运算：
1. 与运算，11与2都为真，结果为真。
2. 或运算，11或2有一个为真，结果为真。
3. 非运算，对11取非，结果为假；对2取非，结果为假。
总的来说，11和2的逻辑运算结果取决于具体的逻辑命题和运算符号的组合。
在实际应用中，我们需要根据具体的情境来确定逻辑运算的意义和结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2）相同代数性质的代数系统
引入代数系统的主要目的是研究具有相同代数性质的代数系统，将相 同代数系统归类，并分析该类代数系统的性质。
例如 代数系统 V ＝ < S ， * > ， 其中 * 是一个可结合的二元运算 就代表了一类特殊的代数系统——半群．
许多具体的代数系统，如<Z，十，0>，<R，+，0>， <M(R)，*，E> ， <P(B)，∪，Φ>等都是同类型代数系统（半群）
5、有限集合上的运算 （可用一个表格来表示运算的过程和结果） 设 S={a1,a2,a3.a4,a5} , *为其上的二元运算 则该运算可用表来表示：中间是运算结果，运算次序为行标为先列标后 ＊ a1 a2 a3 a4 a5 a1 a2 a3 a4 a5 运算可以推广为n元运算（操作）
二、二元运算的一般性质（运算律） １、交换律 定义9．3 设＊为S上的二元运算． 如果对于任意的x，y∈S都有 x＊y = y＊x 则称运算＊在S上是可交换的，或者说运算＊在S上适合交换律。 2、结合律 定义9．4 设＊为S上的二元运算，如果对于任意的x，y，z∈S都有: (x＊y) ＊z = x＊(y ＊z) 则称运算 ＊在S上是可结合的，或者说运算 ＊在S上适合结合律． 3、等幂律 定义9．5 设 ＊为S上的二元运算，如果对于任意的x∈S都有 x＊x＝x 则称该运算 ＊适合幂等律． 如果S中的某些x满足x＊x=x，则称x为运算＊的幂等元． 如果S上的二元运算＊适合幂等律，则S中的所有元素都是幂等元．
例1：对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出 它的单位元，零元和所有可逆元素的逆元． (1) Z＋（非负整数），∀x，y∈Z＋，x ＊y =lcm(x，y)， 即*为求x和y的最小公倍数． 解：＊可交换、可结合、幺元为1、任何元素是等幂元 无零元、无可逆元 例2：设A＝｛ a , b, c ｝, A上的三个二元运算 * o • 如表所示 * a b c o a b c • a b c
＊：满足交换律、结合律、消去律、幺元为a、无零元、每个元素可逆。 o ：满足交换律、结合律、等幂律、幺元为a、零元b、 a可逆 • ：满足结合律、等幂律、无零元、每个元素不可逆 注：用运算表给出的二元运算中各种特殊元素的特点： 交换律：关于主对角线对称 等幂律：主对角线元素与行列标相同 幺元：所在行列元素分别与列行标相同 零元：行列与行列标相同 可逆元：表中的幺元所对应的行列标元素互为可逆元
a a b c a a b c a b b c a b b b b b c c a b c c b c c 如何从运算表中得到运算的运算律及特殊元素
(1)说明 ＊ o
a a a
b b b
c c c
和•运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律． 和•运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元．
(2)求出关于＊ o
3、可逆元 1）定义: 设ㅇ为S上的二元运算，e∈S为ㅇ运算的单位元 对于x∈S，如果存在yl∈S (或yr∈S) 使得 ylㅇx = e (或xㅇyr = e) 则称yl(或yr)是x的左逆元(或右逆元)． 若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y是x的逆元． 如果x的逆元存在，则称x是可逆的． 2)实例： 3)可逆元的不唯一性 逆元和单位元、零元不同．如果单位元或零元存在，一定是惟 一的．换句话说，整个集合只有一个．而逆元能否存在，还与 元素有关．有的元素有逆元，有的元素没有逆元，不同的元素 对应着不同的逆元． （整数集合中对加法运算来说，每个整数均为可逆元） 4）可逆元的逆元唯一性 定理9．4 设＊为S上可结合的二元运算，e为该运算的单位元， 对于x∈S,如果存在左逆元yl和右逆元yr， 则有 yl = yr = y 且y是x的惟一的逆元．
4、分配律 定义9．6 设 ＊和 o 是S上的两个二元运算， 如果对任意的x，y，z∈S有 x＊(y o z)＝(x＊y) o(x＊z) (左分配律) (y o z) ＊ x = (y＊x) o(z＊x) (右分配律) 则称运算＊对 o 是可分配的，也称＊对 o 适合分配律．
5、吸收律 定义9．7 设 o 和＊是S上两个可交换的二元运算， 如果对于任意的x，y∈S都有 x＊(x o y)＝x x o(x＊y)= x 则称o和＊满足吸收律． 实例： 命题的析取和合取运算（集合的交、并运算） 三、二元运算中的特殊元素 1、单位元（幺元） 1）左、右单位元和幺元定义 定义9．8 设＊为S上的二元运算，如果存在el(或er)∈S使得 对任何x∈S都有: el＊ x = x (或x＊ er = x) 则称el(或er)是S中关于＊运算的一个左单位元(或右单位元)． 若e∈S关于运算＊既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于＊运算 的单位元． 单位元也可以叫做幺元． 幺元的实例：实数加法中的0，实数乘法中的1，实矩阵乘法中的单位矩阵 集合并运算中的空集，集合交运算中的全集， 可逆函数的复合运算中的恒等函数等均为幺元 2）单位元的唯一性 定理9．1 设 o 为S上的二元运算， el，er分别为运算 o的左单位元和右单位元 则有 el ＝ er ＝ e 且e为S上关于o运算的惟一的单位元．
2、零元 1)定义9．9 设 o 为S上的二元运算， 若存在元素θl(或θr)∈S使得对于任意的x∈S有： θl o x = θl (或x o θr ＝θr) 则称θl(或θr)是S上关于 o 运算的左零元(或右零元)． 若θ∈S关于 o 运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关于 o 运算的零元． 2)零元实例 3）性质: 零元的唯一性 定理：设o为S上的二元运算，θl和θr分别为ㅇ运算的左零元和右零元， 则有 ：θl ＝ θr ＝ θ 定理：设 ㅇ为S上的二元运算，e和θ分别为ㅇ运算的单位元和零元． 如果S至少有两个元素，则e ≠θ
3、一元运算 定义9．2 设S为集合 函数f：S → S称为S上的一个一元运算，简称为一元运算．
一元运算实例
4、用算符来表示一元运算．若f：S → S为S上的一元运算， 则f(x)＝y可以用算符 ＊ 记为 ＊(x) ＝y 或 ＊x ＝ y 其中x是参加运算的元素，y为运算的结果． 例如上面的相反数 -x 、集合A的绝对补集～A ，¬ p 都是上述表示形式， 其中的 - 、～ 、 ¬ 都是算符．
定义在载体S上的运算是从Sm到S的一个映射，自然数m的值叫做运算的元数。 3． 载体的特异元素，叫做代数常数 如幺元、零元、等幂元等
代数通常用由载体、运算和特殊元素组成的n重组表示
9、2
代数系统
1、定义9．12 非空集合S和S上k个一元或二元运算fl，f2，…，fk组成的系 统称为一个代数系统，简称代数，记作： < S ，f1，f2，…，fk > ．
注：同类型的代数系统并不是说它们的代数性质相同，仅说明它们的代数成分相 同。 如上面的VI与V2的代数性质是不相同的，而V2与V3的代数性质是相同的。 通常我们不去研究单个具体的代数，而是一个种类一个种类地去研究代数 什么样的两个代数算是同一种类的？ 1：要有相同的构成成分 如果两个代数包含有同样个数的运算和常数且对应运算的元数相同，则称 两个代数有相同的构成成分 两个代数有相同的构成成分，还不一定有本质的联系 2：要有一组相同的称为公理的性质(运算律） 每一公理是用载体元素和代数运算的符号写成的方程（前面关于运算律的表 示方法） 具有相同构成成分和服从相同公理集合的代数称为同种类的 对同一种类的代数，根据它的公理集合推出的一切定理对该种类的一切代数 都成立
例如 <N，+ > ，< Z，+，·> ，< R，+，· > 都是代数系统， 其中+和· 分别表示普通加法和乘法． < M(R)，+， * > 是代数系统， 其中 + 和 * 分别表示n阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法
< Zn ，+ ，* > 是代数系统， 其中Zn ＝ { 0，1， 2 ，… n-1 }， + 和 * 分别表示模n的加法和乘法， 对于∀x，y∈Zn ，x + y = ( x+y) mod n x * y = ( x y ) mod n <P(S)，∪，∩，～ > 也是代数系统， 其中含有两个二元运算∪和∩以及一个一元运算～ 2、代数系统中的特殊元 在某些代数系统中存在着一些特定的元素，它对该系统的一元或二元运算 起着重要的作用。例如二元运算的单位元和零元． 有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统，也可以把这些代数常 数列到系统的表达式中 3、同类型的代数系统 定义9．13 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代 数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它 们是同类型的代数系统． 如：代数系统 V2 ＝ < P(S)，∪，∩，一，ø ，S > V1 ＝ < R ，＋ ，＊，一，0 ，1 > V3 ＝ < 命题公式集合，∧，∨，┓，F ，T > 均为同类型的代数系统
4、消去律 1) 定义9．11 设＊为S上的二元运算， 如果对于任意的x，y，z∈S满足以下条件： (1) 若x * y = x * z 且x ≠ 0，则 y = z ； (2) 若y * x =z * x 且x ≠ 0 ，则 y = z ； 那么称 * 运算满足消去律，其中(1)称作左消去律，(2)称作右消去律． 注: 被消去的x不能是运算的零元0 ． 2) 例：整数集合上的加法和乘法都满足消去律． 幂集P(S)上的并和交运算一般不满足消去律． ∀A，B，C∈P(S)，由A∪B＝A∪ C B与C有什么关系 不一定能得到B＝C． 对称差运算满足消去律．⊕ 运算不存在零元， ∀A，B，C∈P(S)，都有 A ⊕ B＝ A ⊕ C ＝> B＝C B ⊕ A ＝ C ⊕ A => B＝C
代数或叫代数系统。研究代数的科学常称为“近世代数”或“抽象代数”。 它应用抽象的方法，研究我们将要处理的数学对象集合上的关系或运算(也是一种关 系)。事物中的关系就是事物的结构，所以，代数系统又称：代数结构。