对称张量的散度的散度
高等流体力学_第一讲
）算子
保证物理量在不同坐标系表示下量不变，坐标转换应具有
时，经求和运算，张量A
对称张量与反对称张量
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第一讲 流体力学的基本概念
二、描述流体运动的两种方法
1、拉格朗日法（Lagrangian Lagrangian Method
Method ）（1）质点运动方程：
a ，
b ，
c ：拉格朗日变量，为t=0时，流体质点的坐标值。
（2）特点：质点运动学的研究方法，难以形成对流体域整体运动特性的描述。
（3）流体质点的运动速度：
（4）流体质点的运动加速度：
)
3,2,1( ),,,(==i t c b a x x i i )
3,2,1( =∂∂=i t
x v i
i )
3,2,1( 22
=∂∂=∂∂=i t
x t v a i
i i
线变形率与角变形率
转动角速度
四、作用在流体上的力、应力张量及牛顿本构方程
应力张量与变形率张量的关系。
对称的变形速率张量
对称的变形速率张量对称的变形速率张量是描述物体在变形过程中各个方向上的变形速率的张量。
在材料力学领域中，变形速率张量是一个重要的概念，它可以帮助我们理解和分析物体的变形特性。
变形速率张量是一个二阶张量，具有三个主轴和三个主值。
其中的主轴对应着物体的主要变形方向，而主值则表示了物体在该方向上的变形速率大小。
对称的变形速率张量具有一个重要的特性，即其主轴与物体的对称轴一致。
这意味着物体在变形过程中，对称轴上的变形速率是相同的，而其他方向上的变形速率可能不同。
为了更好地理解对称的变形速率张量，我们可以以一个弹性材料的拉伸变形为例。
当一个弹性材料受到拉伸力时，其会发生变形，形成一个拉伸状态。
在这个过程中，材料会沿着拉伸方向发生线性的变形，而在垂直于拉伸方向的方向上则几乎不变形。
这意味着材料的变形速率在拉伸方向上是最大的，而在垂直于拉伸方向的方向上则是最小的。
因此，这个变形过程中的变形速率张量是对称的。
对称的变形速率张量在实际工程中有着广泛的应用。
例如，在材料的弹性和塑性变形分析中，对称的变形速率张量可以帮助我们确定材料的变形特性和应力分布情况。
此外，在流体力学中，对称的变形速率张量也被用来描述流体的剪切变形和应变率分布。
在工程实践中，我们通常使用应变率传感器来测量物体的变形速率。
这些传感器可以将物体的变形速率转化为电信号，从而实现对变形速率的测量。
通过测量不同方向上的变形速率，我们可以得到对称的变形速率张量的主值和主轴。
这些数据可以用于进一步分析和设计工程结构。
对称的变形速率张量是描述物体在变形过程中各个方向上的变形速率的重要工具。
它的应用范围广泛，可以帮助我们理解和分析材料和流体的变形特性，以及设计和优化工程结构。
通过测量和分析变形速率张量，我们可以更好地理解物体的变形行为，并应用于实际工程中。
张量运算的注意点
注意，哑指标相消时，只能数与数相消，不能数与单位 矢量相消，具体确定自由指标个数时，可以通过前面的
数，也可以用后面矢量运算
ijk wk aseie j • es
张量运算中一些注意点
a • (b c) (a b) • c c • (a b) 即混合积点叉可以随便打，只要符合abc轮换，否 则加一负号，注意，当有符号时，不能随便打
运算中，阶数的改变实际起作用是因为哈密顿 算子本身是一个矢量，当做内积时( 散度)，张 量收缩，做叉乘时张量阶数不变，乘积时（梯
度），张量扩张。Βιβλιοθήκη 书中公式，P • P
xk Pi1i2
xi Pi1i2
x的下标i, k，必定一个与 P下标相同，一个不同
• 张量运算中阶数的确定
例：w • u (wc • u) wc ( u),u, w均为矢量 左边：w • 为数，并上u即为一阶张量 右边：(wc • u)中，wc • u作内积为一数，作梯度为一阶张量
张量P的的分解，P pijeiej p jej ei pijej
ei pi
梯度V
Vi' j
1 2 (Vi' j
V j'i )
1 2 (Vi' j
V j'i )
或者V
V j'i
1 2 (V j'i
Vi' j )
1 2 (V j'i
Vi' j )
这两种表达式在反对称部分是不一样的
当A为反对称张量时，有
J为哑指标，相消。留下自
由指标i，运算ei 后加上
A • a ijk wk eie j • ases ijk wk a jei w a
(最新整理)张量基础知识
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二阶张量 三阶张量 四阶张量
Tij* aik a Tjl kl
T* ijk
aila jmaknTlmn
T* ijkl
aima jnakoalpTmnop
Tij akialjTk*l
Tijk
ali
amj
ank
T* lmn
Tijkl
ami
anj
aok
a
pl
T* mnop
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xi' x i' j j
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同理
xi x ij' j'
同二维问题，可得
ij' j'k
ik
（正交性）
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于是得到最终的矢量变换法则如下
P*P A 1PA
a11 a21 a31
P1* P2* P3* P1 P2 P3a12 a22 a32
a13 a23 a33
有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类 点操作时发生改变，这称为赝标量。
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二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、 电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描
述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 2, f 3 ，于是我们将 f 表 为： f (f1, f2, f3)。
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1 同一个方程中各项自由标必须相同
2 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如： ajixi bj
对称的 bregman散度
对称的bregman散度
Bregman散度是一类用于衡量两个概率分布之间的差异的函数。
对称的Bregman散度是一种特殊的Bregman散度，它具有对称性，即对于分布P和Q，Bregman散度的值与P和Q的顺序无关。
假设我们有两个概率分布P和Q，它们的密度函数分别为p(x)和q(x)。
对称的Bregman 散度定义如下：
\[D_B(P,Q)=B(p,q)+B(q,p)\]
其中，B(p,q)是Bregman散度的标准定义：
\[B(p,q)=\sum_{i}p_i\cdot\left(f(q_i)-f(p_i)-f'(p_i)\cdot(q_i-p_i)\right)\]
这里，f是凸函数，f'是f的导数。
对称的Bregman散度的对称性使得它在交换P和Q时保持不变。
这种性质在一些概率模型和信息理论的应用中很有用，例如在生成对抗网络（GANs）中，对称的Bregman散度可以用作损失函数来度量生成分布与真实分布之间的差异。
需要注意的是，具体的Bregman散度形式取决于所选择的凸函数f。
在实际应用中，根据具体的问题和需要选择适当的凸函数。
张量第一章
系中也必为零。
2、设，为r阶张量，方程
为张量方程。在张量方程中的每一项都有相同的张量特性。因此在
所有能够容许变换到的坐标系普遍有效。
若将张量方程两边同乘以变换系数，则
所以方程具有张量性质。
张量分析的重要性在于，由物理关系得到的方程如果是张量方程，
那它就在所有容许变换的坐标系成立了，避免了它在各种不同坐标系中
张量相乘提高了阶数，又称为张量外积。
3、 张量的缩并 对r阶张量进行缩并，就是对张量的某两个指标求和（如使j=k），
所得到的仍是张量，阶数比缩并前的原张量少2，即变为r-2阶张量。 缩并使张量降阶，又称为张量内积。 例如：对三阶张量，使j=k，缩并为 缩并也可由乘法定义。
例：对的j、k进行缩并，则 二阶张量缩并后得到标量，是它的不变量。
变换，则这九个量的集合称二阶张量，每个元素称张量分量。 为单位二阶张量
二阶张量分量可组成一个二阶张量矩阵。 二阶张量的另一个定义： 设,为任意矢量的分量，若九个分量能与它们构成标量
则这九个分量定义一个二阶张量。 高阶张量定义： 在三维空间中，当直角坐标系旋转变换到时，基矢量和坐标按前述
规律变化。如果中确定的个分量与在中确定的之间服从相同的变换规 律，即按式
个张量中的每一个分量，它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积。积张量的阶数等于因子张量阶数之和。
例如：一矢量乘以一个二阶张量，乘积为 = 为一个三阶张量。
张量乘法服从分配律和结合律，但不服从交换律。 高阶张量的乘积也可表示为不变式。张量与的乘积表示为（，可以 是任意阶张量）
五：求导的简化法
数量场Φ的梯度
向量场散度：
向量场的旋度：
§1.2 坐标变换
在球系中的旋度、散度、梯度的物理求法
2 (r sin A r )drdd r 同理沿 方向的发散量为 (A r sin ) | d drd (A r sin ) | drd
u 1 u 1 u 、 、 。所以 u 的 r r r sin
────────── 收稿日期：2001-06-12 作者简介：田广志（1957-） ，男，河北省遵化市人，唐山师范学院物理系副教授。 - 52 -
田广志
王继仓：在球系中的 u 、 A 、 A 物理求法
进行： A r | dr A r | d dr (r A ) | r dr d (r A ) | r d
3 矢量场 A （ r、、 ）的旋度 A
在球系中令 A(r、、) A r r A A 。
第 23 卷第 5 期 Vol. 23 No.5
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Teachers College
2001 年 9 月 Sep. 2001
在球系中的 u 、 A 、 A 的物理求法
田广志 1 王继仓 2
(1.唐山师范学院 物理系，河北 唐山 063000；2.丰南市黄各庄中学，河北 丰南 063300) 摘 要：据梯度、散度、旋度的定义，用物理的方法给出了在球坐标系中的表达式；此方法也可以推广到其
A MP A PQ A QR A RM (A r) | d (A r) | d d (A r sin ) | d d (A r sin ) | d
流体力学 数学基础
高等流体力学第一章第章预备知识●场论与正交曲线坐标•场：具有物理量的空间=f t •物理量()f R t 空间位置，§1.1 向量及张量的基本运算一向量运算符号规定、向量运算符号规定1、爱因斯坦（Einstein ）求和符号定义：数学式子中任一项出现一对符号相同的指标（哑指标）如：i i 112233a =a +a +a e e e e ++()12112233i i j j 12k a b k =k a b +a b +a b +3k +e e i克罗内尔2、克罗内尔（Kronecker ）δ符号定义：任意两个正交单位向量点积用表示ij δ1i=j =δ=⎧e e i =1i j ij 0i j ⎨≠⎩123i j ，，，3、置换符号任意两个正交单位向量叉积可表示为式中称为置换符号，又称利西（Ricci ）符号i j ijk ke e e e ×=ijk e j i ⎧0j k 231i j k 123123ijk e ⎪=⎨，，中有个或个自由指标值相同，，中按顺序任取个排列 1 i j k 132133⎪−⎩，，中按顺序任取个排列e e 123123i j ijk k a b e a a a ==e e 123b b b()()()()()()() a b c d a c b d b c a d ××=−i i i i i三、向量分量的坐标变换i i i i =a a ′′=e e a 和分别为在两个不同的正交坐标系中的分量和坐标轴单位向量，各单位向量间的夹角余弦（即方i i a a ′，i i ′e e ，a 向余弦）为(123)j j j l m n j =，，，，各坐标轴方向余弦e e e ()()123i i i i i i i a a a i =, , ′′′′==e e e e i i 123123l l l m m 1′e ()()123i i i i i i i a a a i=, , ′′′′==e e e e i i 12′′e e 123123 m m m n n n 23′′e e 3′e例如：阶的基本算()()()1121311123112233a a a a l a l a l a ′′′′=++=++e e e e e e i i i 四、二阶张量的基本运算二阶张量是两个向量的并积表示为：()B j 123i i j j i j i j ij i j a c a c b i =, , ===e e e e e e ，ac =！i j j i≠e e e e二阶张量的基本运算规则1、二阶张量的基本运算规则()i j i j i ja b c d ±±e e ab cd =()()()c =c =c =c i i i i a b a b b a b a ()()()i i i i ab cd =a b c d =b c ad =ad c b b b d b d d b ()()()()()()==i i i i i i i i c ab d =c a c a a c ()××ab c =a b c 2、二阶张量分量的坐标变换B=b b =′′′′e e e e ij i j i j i j()()()ij i j i i j j i j i j ij b b b ′′′′′′==e e e e e e e e i i i i ()j 123i =, , ′′，i j i j i i j j ij i j i j b b b ′′′′′′′′==e e e e e e e e i i i i ()j 123i =, , ，例如：()()()j ()()()()()()11211122112312111213b b b b ′′′′′′′′=++e e e e e e e e e e e e i i i i i i ()()()()()()()()()()()()211221221222231223311321321322331323b b b b b b ′′′′′′′′′′′′++++++e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e i i i i i i i i i i i i 1111121213132l m b l m b l m b l =+++12122222323m b l m b l m b ++313132323333l m b l m b l m b +++T =−）二阶单位张量()()22ij ij ji ij ji T T T T ++5）二阶单位张量：ijδϕgradϕϕϕϕ∂∂∂=++i j kl x y z∂∂∂∂x y z∂∂∂在直角坐标系中的梯度●重要性质：2、向量梯度的定义、性质定义个●定义：一个二阶张量向量的散度的定义物理量的散度可用来判别场是否有源1、向量的散度的定义如：Q=d d i v sd =++V xy z ΔΩ∫∫∫⎜⎟∂∂∂⎝⎠y x z ∂∂∂a a a 则有div x y z++∂∂∂a =◆流体力学中x z y div y x z∂∂∂++P p p p =则应力张量散度x y z∂∂∂3、有源场与无源场∂()xx xy xz p u+p v+p w x =∂()yx yy yz p u+p v+p w y∂+∂∂()zx zy zz p u p v p z+++∂三物理量的旋度三、物理量的旋度⎛⎞⎞a a rot y y x x z z y zz x x y ∂∂⎛∂∂∂∂⎛⎞−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠a a a a a =i +j +k xy z ∂∂∂=∂∂∂a a a xyz◆流体力学中速度旋度为：δ解：rot rot rot rot ωω=+×=×V V R R ()()0δi ωω×=R x z x y z y x x z z y ωωωωωω−−+−−−k ()()()y x x y ⎥⎢⎥∂∂∂⎦⎣⎦2222ωωω=i+j+k =ωx y z j ∴ rot 2δ=V ω§1.3 哈密顿（x ∂ix ∂i=div ∂∂∇=i i i a a e a =e a =rot i i x x ∂∂∇×××=∂∂a a e a =e a i i i i x x ∂∂i i2i j x x x x 2∂∂∂∇=∇∇==∂∂∂∂i i a a a a e e i j i i§1.4 广义高斯（Gauss ）定理与斯托克斯（Stokes ）定理一广义高斯定理、广义高斯定理d dA τ∇=∫i i a n a d dA τ∇=∫n Aτ∫A τϕϕ∫ d dA τ∇×=×∫∫a n a 二、斯托克斯定理A τ标量势向量势和场()A ldA dl ∇×=∫∫i n a a i 三、标量势及向量势、调和场可以证明0∇×∇a =a =∇×i =a =b 式中称为向量的标量势，称为向量的向量势ϕ 0∇∇a ϕa b a流体力学中速度势为单位质量力=●流体力学中，速度势，单位质量力的势定义为ϕϕ∇V −∇f = U f U ●如向量处处是无旋的，即，，同时又是无散的即=0∇×a ϕ∇a =是无散的，即则其势必满足此时向量场称为调和场=0∇i a ϕ=0ϕϕ2∇∇=∇i 此时，向量场称为调和场，为调和函数ϕa。
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对称张量的散度的散度
对称张量的散度的散度，也称为二阶对称张量的散度的二阶导数，可以表示为以下公式：
∇ · (∇ · T) = ∂²T_xx/∂x² + ∂²T_yy/∂y² + ∂²T_zz/∂z² + 2(∂²T_xy/∂x∂y + ∂²T_xz/∂x∂z + ∂²T_yz/∂y∂z)
其中，T 是二阶对称张量，∇ ·表示散度运算符，∂²/∂x² 表示 x 方向上的二阶偏导数，∂²/∂y² 表示 y 方向上的二阶偏导数，∂²/∂z² 表示 z 方向上的二阶偏导数，∂²/∂x∂y 表示 x 方向上的 y 方向二阶混合偏导数，∂²/∂x∂z 表示 x 方向上的 z 方向二阶混合偏导数，∂²/∂y∂z 表示 y 方向上的 z 方向二阶混合偏导数。
这个表达式展示了对称张量散度的散度的所有二阶偏导数项之和。
对称张量散度的散度可以用于描述二阶对称张量场的弯曲程度。