第六节多值函数

z， 显然， z 沿 l 绕支点 z 0 两 周后 ， w 值 还原， 因此 ， z 0 是 w z 的
支点 . 例如， 函数 w
(n 1) 2 1 1 阶支点 .
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除了 z 0 外，可以验证 z 亦是 w
z 的
1 一阶支点 . 要说明这一点， 只需令 z ，则有 t
w 平面的上半平面， 0 Arg w π .
而在平面 T2 上也
作类似的切割，但割线上缘对应于 Arg z 2π ，下缘对 应于 Arg z 4π ，同样， z 在该平面上变化时亦不得跨 越割线， 在该平面上的 下半平面 .
z 值对应的函数值位于 w
Argz＝0
0
平面的
2
T1
T2
图 2.5
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这称为多值函数 w z的两个单值分支.
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2. 支点 当
z 沿闭合路径 l
| z0 |e
i arg z0 iπ 2
（ l 包围 z 0 ）绕行一周而回到
z0
，
Arg z 增加了 2π ． (如图 2.3)按 照 (2.3.60),
从而 w
w
的辐角增加 π ，
=
，这就进 入了另一单值分支 w 2 . 由此
可见， （ 2.3.60）的 w1 和 w 2 不能看作两个独 立的单值函数 . 当 然， 如果从
z0 出 发，沿另 一闭合路径 l （ l 不包围 z 0 ） 绕 行 一 周 而 回 到 z0 ， Arg z 没 有 改 变 ， w 仍 然 等 于
z0 ei arg z
支 w2 .
y
y2 x
x
图 2.4
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(2)黎曼面 多值函数w z 的黎曼面 w z ，黎曼采用的办法是 对于多值函数： 使得w 值与 z 形成一一对应的关系. 这里约定，对两个单值分支，宗量的变 化范围分别是 2π 对于单值分支 w1 ： 0 Arg z ； 对于单值分支 w 2 ： 2π Arg z 4 .π
w 的主辐角有两个值 这样，
1 1 1 arg z, 2 arg z π 2 2
（对应于 n 0 和 n 1 ）： 相应地给出两个不同 w 的值
w1 z ei arg z / 2 i arg z / 2 iπ (2.3.60) w z e 2 i arg z / 2 =z e
l
0
/ 2
， 仍然在 单值分支 w1 ， 而没有转入另一单 值分
y
z0
l
0 图 2.3
x
2
因此， z 0 点具有这样的特征：当 z 绕该点一周 回到原处时，对应的函数值不复原 . 一般地说，对于多值函数 w f z ，若 z 绕某点 一周，函数值 w 不复原，而在该点各单值分支函数值 相同，则称该点为多值函数的支点 . 若当 z 绕支点 n 周，函数值 w 复原，便称该点为多值函数的 n 1 阶
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由于在割开的两个平面上，宗量变化时均 不得跨越割线，因而任何闭合线都不包含支点 z 0 于其内，因此函数值也只能在一个单值 分支上变化 . 进一步我们将平面 T1 和平面 T2 作如下结 合，将平面 T1 的割线上缘与平面 T2 的割线下缘 连起来，而将平面 T1 的割线下缘与平面 T2 的割 线上缘连起来，构成一个两叶的面，(如图 2.5 所示) 称为函数 w
z 的黎曼面.
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Argz＝0.5
多值函数 w z 的黎曼面
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黎曼面 由许多层面放置于一起而构成 的一种曲面叫做黎曼面 .利用这种曲 面，可以使多值函数的单值支（单值 分支）和支点概念在几何上有非常直 观的表示和说明.对于某一个多值函 数，如果能作出它的黎曼面，那么， 函数在黎曼面上就成为 单值函数.
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现在用几何图形来表示， 如图 2.5. 在上平面 T1 上， 从 z 0 开始，沿正实轴方向至无限远点将其割开，并 规定，割线上缘对应 Arg z 0 ，下缘 Arg z 2π ，这 样，在该平面上变化时，只要不跨越割线，其辐角便被 限制在 0 Arg z 2 π 范围内，则对应的函数值 w 位于
1 1 w ， 当 t 绕 t 0 一周回到原处时，w t t
值不还原，绕两周后 w 值还原，因此 t
0 ，即
z 为 w z 的一阶支点 .
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3. 黎曼面 (1) 多值实变函数的对应思想 我们知道，以一维空间的形式（如列表方式） 很难表达实变函数的多值性， 如函数 y 2 x . 但在 二维空间就能直观地表示出来，如图 2.4 所示．黎 曼 (Riemann)正是运用这一思想进行拓展，方便地 解决了复变函数的多值对应问题 .