最新初三九年级上册数学压轴题综合测试(Word版 含答案)

最新初三九年级上册数学压轴题综合测试（Word版含答案）

一、压轴题

1．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点

A、B(不与P，Q重合)，连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.

(1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O的半径；

(2)如图2，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明.

2．阅读理解：

如图，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．

解决问题：

（1）如图1，⊙A的半径为1，A(0，2) ，分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是．(填序号)

①ABM；②AOP；③ACQ

（2）如图2，⊙A的半径为1，A(0，2)，直线y=kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积

为1

2

，求k的值．

（3）点B在x轴上，以B3为半径画⊙B，若直线3与⊙B的“最美三3

B的横坐标

B

x的取值范围．

3．已知在ABC 中，AB AC =．在边AC 上取一点D ，以D 为顶点、DB 为一条边作

BDF A ∠=∠，点E 在AC 的延长线上，ECF ACB ∠=∠．

（1）如图（1），当点D 在边AC 上时，请说明①FDC ABD ∠=∠；②DB DF =成立

的理由．

（2）如图（2），当点D 在AC 的延长线上时，试判断DB 与DF 是否相等？

4．如图，等边ABC 内接于

O ，P 是AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合），连接

AP 、BP ，过点C 作CM BP 交PA 的延长线于点M ．

（1）求APC ∠和BPC ∠的度数； （2）求证：ACM BCP △≌△；

（3）若1PA =，2PB =，求四边形PBCM 的面积； （4）在（3）的条件下，求AB 的长度．

5．已知：在ABC 中，,90AC BC ACB ?

=∠=，点F 在射线CA 上，延长BC 至点

D ，使CD CF =，点

E 是射线B

F 与射线DA 的交点．

（1）如图1，若点F 在边CA 上； ①求证：BE AD ⊥；

②小敏在探究过程中发现45BEC ?∠=，于是她想：若点F 在CA 的延长线上，是否也存在同样的结论？请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想BEC ∠的度数． （2）选择图1或图2两种情况中的任一种，证明小敏或你的猜想．

6．如图，⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（﹣3，1），点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（1，﹣3），点D 在x 轴上，且点D 在点A 的右侧． （1）求菱形ABCD 的周长；

（2）若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD 沿x 轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t （秒），当⊙M 与AD 相切，且切点为AD 的中点时，连接AC ，求t 的值及∠MAC 的度数；

（3）在（2）的条件下，当点M 与AC 所在的直线的距离为1时，求t 的值．

7． 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P 为边BC 上一个动点（可以包括点C 但不包括点B ），以P 为圆心PB 为半径作⊙P 交AB 于点D 过点D 作⊙P 的切线交边AC 于点E ，

（1）求证：AE=DE ； （2）若PB=2，求AE 的长；

（3）在P 点的运动过程中，请直接写出线段AE 长度的取值范围．

8．如图，在?ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，∠ABC ＝60°．点P 是边BC 上一动点，作△PAB 的

外接圆⊙O 交BD 于E ．

（1）如图1，当PB ＝3时，求PA 的长以及⊙O 的半径； （2）如图2，当∠APB ＝2∠PBE 时，求证：AE 平分∠PAD ；

（3）当AE 与△ABD 的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O 的半径．

9．如图，抛物线2

()20y ax x c a =++＜与x 轴交于点A 和点B (点A 在原点的左侧，点B

在原点的右侧)，与y 轴交于点C ，3OB OC ==． (1)求该抛物线的函数解析式．

(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当32COF

CDF

S

S

=：:时，求点D 的坐标．

(3)如图2，点E 的坐标为(03)2

-，

，点P 是抛物线上的点，连接EB PB PE ，，形成的PBE △中，是否存在点P ，使PBE ∠或PEB ∠等于2OBE ∠？若存在，请直接写出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图1,已知菱形ABCD 的边长为3A 在x 轴负半轴上，点B 在坐标原点．点D 的坐标为33),抛物线y=ax 2+b(a≠0)经过AB 、CD 两边的中点.

(1)求这条抛物线的函数解析式；

(2)将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移(如图2),过点B 作BE ⊥CD 于点E,交抛物线于点F,连接DF.设菱形ABCD 平移的时间为t 秒(0

)1

2

(0y ax x c a =-

+≠交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C ．直线1

22

y x =

-经过点,B C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P 是抛物线上一动点，过P 作x 轴的垂线，交直线BC 于M ．设点P 的横坐标是

t ．

①当PCM ?是直角三角形时，求点P 的坐标；

②当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，求直线解析式y kx b =+（,k b 可用含t 的式子表示）．

12．如图，PA 切⊙O 于点A ，射线PC 交⊙O 于C 、B 两点，半径OD ⊥BC 于E ，连接BD 、DC 和OA ，DA 交BP 于点F ； （1）求证：∠ADC+∠CBD ＝

1

2

∠AOD ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．(1) ☉O 的半径是3

2

；(2)AB ∥ON ，证明见解析. 【解析】 【分析】

(1) 连接AB ，根据题意可AB 为直径，再用勾股定理即可． (2) 连接OA , OB ,

OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠，从而证出

OC AB ⊥,

延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠，再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90?得证. 【详解】 解：(1)连接AB ，

在☉0中，

o APQ BPQ 45∠=∠=， o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=

AB ∴是☉0的直径.

Rt APB ∴?在中，22AB AP BP =+AB=3∴

∴☉0的半径是

32

(2)AB//ON

证明：连接OA , OB , OQ , 在☉0中,

AQ AQ =, BQ BQ =,

Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.

又

APQ BPQ ∠=∠,

AOQ BOQ ∴∠=∠.

在AOB ?中，OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,

OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=

连接OQ ，交AB 于点C 在☉0中，OP OQ =

OPN OQP.∴∠=∠

延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠

o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,

又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，

NOQ 90O ∴∠=

NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .

AB//ON ∴ 【点睛】

本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键． 2．（1）②；（2）±1；（3）23＜B x 373B x ＜23-【解析】 【分析】

（1）本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题．

（2）本题根据k的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解EF，利用勾股定理求解AF，进一步确定∠AOF度数，最后利用勾股定理确定点F的坐标，利用待定系数法求k．

（3）本题根据⊙B在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定

∠NDB的度数，继而按照最美三角形的定义，分别以△BND，△BMN为媒介计算BD长度，最后与OD相减求解点B的横坐标范围．

【详解】

（1）如下图所示：

∵PM是⊙O的切线，

∴∠PMO=90°，

当⊙O的半径OM是定值时，22

PM OP OM

=-，

∵

1

=

2

PMO

S PM OM

??，

∴要使PMO

△面积最小，则PM最小，即OP最小即可，当OP⊥l时，OP最小，符合最美三角形定义．

故在图1三个三角形中，因为AO⊥x轴，故△AOP为⊙A与x轴的最美三角形．

故选：②．

（2）①当k＜0时，按题意要求作图并在此基础作FM⊥x轴，如下所示：

按题意可得：△AEF是直线y=kx与⊙A的最美三角形，故△AEF为直角三角形且AF⊥OF．

则由已知可得：

111

=1

222

AEF

S AE EF EF

??=??=，故EF=1．

在△AEF中，根据勾股定理得：22

AF AE

==

∵A(0,2)，即OA=2，

∴在直角△AFO中，22

=2

OF OA AF AF

-==，∴∠AOF=45°，即∠FOM=45°，

故根据勾股定理可得：MF=MO=1，故F(-1,1)， 将F 点代入y=kx 可得：1k =-． ②当k ＞0时，同理可得k=1． 故综上：1k =±．

（3）记直线33y x =+与x 、y 轴的交点为点D 、C ，则(3,0)D -，(0,3)C ， ①当⊙B 在直线CD 右侧时，如下图所示：

在直角△COD 中，有3OC =，3OD =tan 3OC

ODC OD

∠=

=ODC=60°． ∵△BMN 是直线33y x =+与⊙B 的最美三角形， ∴MN ⊥BM ，BN ⊥CD ，即∠BND=90°， 在直角△BDN 中，sin BN

BDN BD

∠=， 故23

=

sin sin 60?BN BN BD BN BDN =∠．

∵⊙B 3， ∴3BM =．

当直线CD 与⊙B 相切时，3BN BM ==

因为直线CD 与⊙B 相离，故BN 3BD ＞2，所以OB=BD-OD ＞23． 由已知得：113

=3222BMN

S

MN BM MN MN ??=?=3MN ＜1． 在直角△BMN 中，2223BN MN BM MN =+=+1+3=2，此时可利用勾股定理算得BD ＜

33，OB BD OD =- ＜333-33

， 则23＜B x 3

②当⊙B 在直线CD 左侧时，同理可得：73B x

＜23- 故综上：23＜B x 373B x ＜23- 【点睛】

本题考查圆与直线的综合问题，属于创新题目，此类型题目解题关键在于了解题干所给示例，涉及动点问题时必须分类讨论，保证不重不漏，题目若出现最值问题，需要利用转化思想将面积或周长最值转化为线段最值以降低解题难度，求解几何线段时勾股定理极为常见．

3．（1）见解析；（2）DB DF

=

【解析】

【分析】

（1）①直接利用三角形的外角性质，即可得到；

②过D作DG BC交AB于点G，由等腰三角形的性质，平行线的性质和等边对等角，得到BG DC

=，DGB FCD

∠=∠，然后证明三角形全等，即可得到结论成立；

（2）连接BF，根据题意，可证得BCF BDF A

∠=∠=∠，则B、C、D、F四点共圆，即可证明结论成立.

【详解】

解：（1）①∵BDC A ABD

∠=∠+∠，

即BDF FDC A ABD

∠+∠=∠+∠，

∵BDF A

∠=∠，

∴FDC ADB

∠=∠；

②过D作DG BC交AB于点G，

∴ADG ACB

∠=∠，AGD ABC

∠=∠，

又AB AC

=，

∴A

ABC CB

=∠

∠，

∴AGD ADG

∠=∠，

∴AD AG

=，

∴AB AG AC AD

-=-，

∴BG DC

=，

又ECF ACB AGD

∠=∠=∠，

∴DGB FCD

∠=∠，

在GDB

△与CFD

△中，

,

,

DGB FCD

GB CD

GBD FDC

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

∴()

GDB CFD ASA

△≌△

∴DB DF =；

（2）证明：如图：连接BF ，

由（1）可知，A ABC CB =∠∠， ∵ECF ACB ∠=∠， ∴ABC ECF ∠=∠，

∵BC A C A BCF E F =∠+∠∠+∠， ∴A BCF ∠=∠， ∴BDF A BCF ∠=∠=∠， ∴B 、C 、D 、F 四点共圆，

∴180DCB DFB ∠+∠=?，DBF ECF ∠=∠， ∴ACB DFB ∠=∠， ∵BC EC AC A F B =∠=∠∠， ∴DBF DFB ∠=∠， ∴DB DF =. 【点睛】

本题考查了四点共圆的知识，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，以及三角形外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而得到角的关系，再进行证明.

4．（1）∠APC=60°，∠BPC=60°；（2）见解析；（315344221π

【解析】 【分析】

（1）由△ABC 是等边三角形，可知∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，由圆周角定理可知∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；

（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段利用AAS 证得两三角形全等即可；

（3）根据CM ∥BP 说明四边形PBCM 是梯形，利用上题证得的两三角形全等判定△PCM 为等边三角形，进而求得PH 的长，利用梯形的面积公式计算四边形的面积即可； （4）过点B 作BQ ⊥AP ，交AP 的延长线于点Q ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，连接OB ，利用勾股定理求出AB 的长，在△ABC 中，利用等边三角形的性质求出BN ，在△BON 中利用勾股定理求出OB ，最后根据弧长公式求出弧AB 的长. 【详解】

解：（1）∵△ABC 是等边三角形，

∴∠ABC=∠

BAC=∠ACB=60°，

∵=

BC BC，=

AC AC，

∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；

（2）证明：∵CM∥BP，

∴∠BPM+∠M=180°，

∠PCM=∠BPC，

∵∠BPC=∠BAC=60°，

∴∠PCM=∠BPC=60°，

∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，∴∠M=∠BPC=60°，

又∵A、P、B、C四点共圆，

∴∠PAC+∠PBC=180°，

∵∠MAC+∠PAC=180°

∴∠MAC=∠PBC

∵AC=BC，

在△ACM和△BCP中，

M BPC

MAC PBC

AC BC

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ACM≌△BCP（AAS）；

（3）∵CM∥BP，

∴四边形PBCM为梯形，

作PH⊥CM于H，

∵△ACM≌△BCP，

∴CM=CP，AM=BP，

又∠M=60°，

∴△PCM为等边三角形，

∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt△PMH中，∠MPH=30°，

∴PH=33

，

∴S四边形PBCM=1

2

（PB+CM）×PH=

1

2

(2+3)×

33

=

153

；

（4）过点B 作BQ ⊥AP ，交AP 的延长线于点Q ，过点A 作AN ⊥BC 于点N

，连接OB ， ∵∠APC=∠BPC=60°， ∴∠BPQ=60°， ∴∠PBQ=30°， ∴PQ=

1

2

PB=1， ∴在△BPQ 中，BQ=2221=3-， ∴在△AQB 中，AB=

()()2

2

2

2

=113=

7AQ BQ +++

，

∵△ABC 为等边三角形， ∴AN 经过圆心O ， ∴BN=

12AB=72， ∴AN=

2221

=

2

AB BN -， 在△BON 中，设BO=x ，则ON=

21

x -， ∴2

2

2

721=22x x ????+- ? ? ? ?

????

， 解得：x=

21

， ∵∠BOA ＝2∠BCA ＝120°， ∴AB

=

21

1202213=1809

ππ?.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，四边形的面积，勾股定理，弧长公式，是一道比较复杂的几何综合题，解题关键是能够掌握并灵活运用全等三角形的判定与性质等知识．

5．（1）①详见解析；②图见解析，猜想∠BEC=45°；（2）详见解析

【解析】

【分析】

（1）①证明△ACD≌△BCF，得到∠CAD=∠CBF即可得到∠AEF=∠BCF=90°即可；

②根据已知条件画图即可；

（2）取AB的中点M，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到点A，B，C，E四点在同一个圆M上，再利用圆周角定理即可证明．

【详解】

解：（1）①∵,90

AC BC ACB?

=∠=，CD CF

=

∴在△ACD与△BCF中，

AC BC

ACD ACB

CD CF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△ACD≌△BCF（SAS）

∴∠CAD=∠CBF

又∵∠AFE=∠BFC

∴∠AEF=∠BCF=90°，

∴BE⊥AD

②图如下所示：

猜想∠BEC=45°，

（2）选择图1证明，

连接CE，取AB的中点M，连接MC，ME

∵△ABC和△ABE都是直角三角形

∴

1

2

MC ME AB AM BM

====，

∴点A，B，C，E四点在同一个圆M上，

∴∠BEC=∠BAC=45°，

∴∠BEC=45°

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理等知识点，解题的关键是根据已知条件选择全等三角形的判定定理，并充分利用数形结合的思想解答．

6．（1）菱形的周长为8；（2）t=6

5

，∠MAC=105°；（3）当t=1﹣

3

或t=1+

3

时，

圆M与AC相切．

【解析】

试题分析：（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E．由点A和点B的坐标可知：BE=3，AE=1，依据勾股定理可求得AB的长，从而可求得菱形的周长；（2）记 M与x轴的切线为F，AD的中点为E．先求得EF的长，然后根据路程=时间×速度列出方程即可；平移的图形如图3所示：过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接MF，F为 M与AD的切点．由特殊锐角三角函数值可求得∠EAB=60°，依据菱形的性质可得到∠FAC=60°，然后证明

△AFM是等腰直角三角形，从而可得到∠MAF的度数，故此可求得∠MAC的度数；（3）如图4所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．先求得

∠MAE=30°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE的长，然后依据3t+2t=5-AE可求得t的值；如图5所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．依据菱形的性质和切线长定理可求得∠MAE=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可得到

EA=3

，最后依据3t+2t=5+AE．列方程求解即可．

试题解析：（1）如图1所示：过点B作BE AD

⊥，垂足为E，

∵(B1,3，()

A2,0，

∴BE3

=AE1=，

∴22

AB AE BE2

=+=，

∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB BC CD AD ===， ∴菱形的周长248=?=．

（2）如图2所示，⊙M 与x 轴的切线为F ，AD 中点为E ，

∵()M 3,1-， ∴()F 3,0-，

∵AD 2=，且E 为AD 中点，

∴()E 30，

，EF 6=， ∴2t 3t 6+=， 解得6t 5

=

． 平移的图形如图3所示：过点B 作BE AD ⊥，

垂足为E ，连接MF ，F 为⊙M 与AD 切点， ∵由（1）可知，AE 1=，BE 3= ∴tan EAB 3∠= ∴EAB 60∠=?， ∴FAB 120∠=?， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴11

FAC FAB 1206022

∠∠=

=??=?， ∵AD 为M 切线， ∴MF AD ⊥，

∵F 为AD 的中点， ∴AF MF 1==，

∴AFM 是等腰直角三角形， ∴MAF 45∠=?，

∴MAC MAF FAC 4560105∠∠∠=+=?+?=?．

（3）如图4所示：连接AM ，过点作MN AC ⊥，垂足为N ，作ME AD ⊥，垂足为

E ，

∵四边形ABCD 为菱形，DAB 120∠=?， ∴DAC 60∠=?． ∵AC 、AD 是圆M 的切线 ∴MAE 30∠=?， ∵ME MN 1==． ∴EA 3=， ∴3t 2t 53+=-， ∴3t 1=-

． 如图5所示：连接AM ，过点作MN AC ⊥，垂足为N ，作ME AD ⊥，垂足为E ，

∵四边形ABCD 为菱形，DAB 120∠=?， ∴DAC 60∠=?， ∴NAE 120∠=?，

∵AC 、AD 是圆M 的切线， ∴MAE 60∠=?，

∵ME MN1

==，

∴

3 EA=，

∴

3

3t2t5

+=+，

∴

3

t1

15 =+．

综上所述，当

3

t1

=-或

3

t1

=+时，圆M与AC相切．

点睛：此题是一道圆的综合题.圆中的方法规律总结：1、分类讨论思想：研究点、直线和圆的位置关系时，就要从不同的位置关系去考虑，即要全面揭示点、直线和元的各种可能的位置关系.这种位置关系的考虑与分析要用到分类讨论思想.1、转化思想：（1）化“曲面”为“平面”（2）化不规则图形面积为规则图形的面积求解.3、方程思想：再与圆有关的计算题中，除了直接运用公式进行计算外，有时根据图形的特点，列方程解答，思路清楚，过程简捷.

7．（1）详见解析；（2）AE=19

4

；（3）

7

4

≤AE＜

25

4

．

【解析】

【分析】

（1）首先得出∠ADE+∠PDB=90°，进而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PB得∠EDA=∠A进而得出答案；

（2）利用勾股定理得出ED2+PD2=EC2+CP2=PE2，求出AE即可；

（3）分别根据当D（P)点在B点时以及当P与C重合时，求出AE的长，进而得出AE的取值范围．

【详解】

（1）证明：如图1，连接PD．

∵DE切⊙O于D．

∴PD⊥DE．

∴∠ADE+∠PDB=90°．

∵∠C=90°．

∴∠B+∠A=90°．

∵PD=PB．

∴∠PDB=∠B．

∴∠A=∠ADE．

∴AE=DE；

（2）解：如图1，连接PE，设DE=AE=x，则EC=8-x，∵PB=PD=2，BC=6．

∴PC=4．

∵∠PDE=∠C=90°，

∴ED2+PD2=EC2+CP2=PE2．

∴x2+22=（8-x）2+42．

解得x=19

4

．

∴AE=19

4

；

（3）解：如图2，当P点在B点时，此时点D也在B点，

∵AE=ED，设AE=ED=x，则EC=8-x，

∴EC2+BC2=BE2，

∴（8-x）2+62=x2，

解得：x=25

4

，

如图3，当P与C重合时，

∵AE=ED，设AE=ED=x，则EC=8-x，

∴EC2=DC2+DE2，∴（8-x）2=62+x2，

解得：x=7

4

，

∵P为边BC上一个动点（可以包括点C但不包括点B），

∴线段AE长度的取值范围为：7

4

≤AE＜

25

4

．

【点睛】

本题主要考查圆的综合应用、切线的性质与判定以及勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．

8．（1）PA O的半径为

3

；（2）见解析；（3）⊙O的半径为2或

【解析】

【分析】

（1）过点A作BP的垂线，作直径AM，先在Rt△ABH中求出BH，AH的长，再在

Rt△AHP中用勾股定理求出AP的长，在Rt△AMP中通过锐角三角函数求出直径AM的长，即求出半径的值；

（2）证∠APB＝∠PAD＝2∠PAE，即可推出结论；

（3）分三种情况：当AE⊥BD时，AB是⊙O的直径，可直接求出半径；当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，通过证△BFE∽△DAE，求出BE的长，再证△OBE是等边三角形，即得到半径的值；当AE⊥AB时，过点D作BC的垂线，通过证△BPE∽△BND，求出PE，AE的长，再利用勾股定理求出直径BE的长，即可得到半径的值．

【详解】

（1）如图1，过点A作BP的垂线，垂足为H，作直径AM，连接MP，

在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，

∴∠BAH＝30°，

∴BH＝1

2

AB＝2，AH＝AB?sin60°＝

∴HP＝BP﹣BH＝1，

∴在Rt△AHP中，

AP

∵AB是直径，

∴∠APM＝90°，

在Rt△AMP中，∠M＝∠ABP＝60°，