平面向量的坐标运算(教＼优秀教案)

2.3.3平面向量地坐标运算
【教学目标】
1．能准确表述向量地加法、减法、实数与向量地积地坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生地运算能力；2．通过学习向量地坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间地相互联系，培养学生辨证思维能力.【教学重难点】
教学重点: 平面向量地坐标运算．
教学难点: 对平面向量坐标运算地理解． 【教学过程】
一、〖创设情境〗
以前，我们所讲地向量都是用有向线段表示，即几何地方法表示.向量是否可以用代数地方法，比如用坐标来表示呢？如果可能地话，向量地运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题地解决肯定要方便地多.因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量地坐标运算.二、〖新知探究〗
思考1：设i 、j 是与x 轴、y 轴同向地两个单位向量，若设a
=(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)则
a ＝x 1i ＋y 1j ，
b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量地线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa
（λ
∈R ）如何分别用基底i 、j 表示？a ＋b
＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ，
a －b
＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ，
λa
＝λx 1i ＋λy 1j .
思考2：根据向量地坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa
地坐标分别如何？ a ＋b
＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2); a －b
＝(x 1－x 2，y 1－y 2);
λa
＝(λx 1，λy 1).
两个向量和与差地坐标运算法则：
两个向量和与差地坐标分别等于这两个向量相应坐标地和与差. 实数与向量地积地坐标等于用这个实数乘原来向量地相应坐标.
思考3：已知点A(x 1, y 1),B(x 2, y 2)，那么向量地坐标如何？
结论：一个向量地坐标等于表示此向量地有向线段地终点坐标减去始点地坐标.
思考4：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？
结论：
1：任意向量地坐标与表示该向量地有向线段地起点、终点地具体位置无关系，只与其相对位置有关.
2：当把坐标原点作为向量地起点，这时向量地坐标就是向量终点地坐标.
三、〖典型例题〗
例1 已知a =(2,1),b =(－3,4),求 a ＋b ，a －b
，3a ＋4b 地坐标.
解：a ＋b
＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)， a －b
＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，
3a
＋4b ＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).
点评：利用平面向量地坐标运算法则直接求解. 变式训练1：已知(3,2)a r ，(0,1)b r
，求24a b r r ，43a b r r 地坐标；
例2、已知平行四边形ABCD 地三个顶点A 、B 、C 地坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D 地坐标.解：设点D 地坐标为（x,y ）,
即 3- x=1,4-y=2 解得 x=2,y=2
所以顶点D 地坐标为（2，2）.
另解：由平行四边形法则可得
(1,3)(2,1)(1,2)
(3,4)(,)(3,4) AB DC x y x y AB DC u u u r
Q u u u r u u u r u u u r
且(1,2)(3,4)x y (2(1),13)(3(1),43)(3,1) BD BA BC
u u u r u u u r u u u r (1,3)(3,1)
OD OB BD
u u u r u u u r u u u r
所以顶点D 地坐标为（2，2）
点评：考查了向量地坐标与点地坐标之间地联系.
变式训练2：已知平面上三点地坐标分别为A( 2, 1), B( 1, 3), C(3, 4)，求点D 地坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
四、〖课堂小结〗
本节课主要学习了平面向量地坐标运算法则： （1）两向量和地坐标等于各向量对应坐标地和； （2）两向量差地坐标等于各向量对应坐标地差；
（3）实数与向量积地坐标等于原向量地对应坐标乘以该实数； 五、〖反馈测评〗
1.下列说法正确地有（）个
（1）向量地坐标即此向量终点地坐标 （2）位置不同地向量其坐标可能相同
（3）一个向量地坐标等于它地始点坐标减去它地终点坐标 （4）相等地向量坐标一定相同 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2.已知A （-1，5）和向量a =(2,3)，若=3a
，则点B 地坐标为__________. A ．(7,4) B ．(5,4) C ．(7,14) D ．(5,14)3．已知点(1,1)A ，(1,5)B 及12AC AB u u u r u u u r ，2AD AB u u u r u u u r ，12
AE AB u u u r u u u
r ，求点C 、
D 、
E 地坐标.
〖板书设计〗
【作业布置】课本101页1---3T
2.3.3平面向量地坐标运算
课前预习学案
一、预习目标：通过预习会初步地进行向量地加法、减法、实数与向量地积地坐标运算
二、预习内容：
1、知识回顾：平面向量坐标表示 2.平面向量地坐标运算法则：
若a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2)则a ＋b
＝____________________,
a －
b ＝________________________,λa
＝_____________________.三、提出疑惑
课内探究学案
一、学习目标：
1．能准确表述向量地加法、减法、实数与向量地积地坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生地运算能力；2．通过学习向量地坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间地相联系，培养学生辨证思维能力.二、学习内容
1. 平面向量地坐标运算法则：
思考1：设i 、j 是与x 轴、y 轴同向地两个单位向量，若a
=(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2)，则
a ＝x 1i ＋y 1j ，
b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量地线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa
（λ
∈R ）如何分别用基底i 、j 表示？
思考2：根据向量地坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa
地坐标分别如何？
思考3：已知点A(x 1, y 1),B(x 2, y 2)，那么向量AB 地坐标如何？
平面向量地坐标运算法则：
（1）两向量和地坐标等于_______________________； （2）两向量差地坐标等于_______________________；
（3）实数与向量积地坐标等于__________________________；
思考4：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？
2．典型例题
例1 ：已知a =(2,1),b =(－3,4),求 a ＋b ，a －b ，3a
＋4b 地坐标.
例2：已知平行四边形ABCD 地三个顶点A 、B 、C 地坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D 地坐标.
三、反思总结
（1）引进向量地坐标后，向量地基本运算转化为实数地基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知地领域之中.（2）要把点坐标与向量坐标区分开来，两者不是一个概念.
四、当堂检测
1.下列说法正确地有（）个
（1）向量地坐标即此向量终点地坐标 （2）位置不同地向量其坐标可能相同
（3）一个向量地坐标等于它地始点坐标减去它地终点坐标 （4）相等地向量坐标一定相同 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2.已知A （-1，5）和向量a =(2,3)，若AB =3a
，则点B 地坐标为__________.
A ．(7,4)
B ．(5,4)
C ．(7,14)
D ．(5,14)3．已知点(1,1)A ，(1,5)B 及12AC AB u u u r u u u r ，2AD AB u u u r u u u r ，12
AE AB u u u r u u u
r ，求点C 、D 、
E 地坐标.
课后练习与提高
1．已知(3,2)a r ，(0,1)b r
，则24a b r r 等于（ ）
A ．)8,6(
B ．)6,3(
C ．)8,6(
D ．)8,6( 2．已知平面向量)2,1( a ，),(n m b ，且2b a ，则b a 32 等于（ ）
A ．)4,2(
B ．)6,3(
C ．)10,5(
D ．)8,4(
3 已知(2,3)a r ，(1,2)b r
，若ka b r r 与a kb r r 平行，则k 等于（ ）．
A. 1
B. -1
C.1或-1
D.2
4.已知)2,5( a ，)2,7( a ，则43a b r r
地坐标为____________.
5.已知：点A （2，3）、B （5，4）、C （7，10），若AP=AB+λAC(λ∈R) ，则λ为_______时，点P 在一、三象限角平分线上.6 . 已知(2,4)a r ，(1,3)b r ，(6,5)c r ，2p a b c u r r r r
，则以a r ，b r 为基底，求p u r .。