成都七中数学试题(理科)(教师版).docx
四川省成都市第七中学高三数学理下学期期末试卷含解析
四川省成都市第七中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，若则x的取值范围为( )A B．C． D．参考答案：B2. 已知集合，，那么（）A. B. C.D.参考答案：A3. 由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()．A. B．4 C. D．6参考答案：A4. 茎叶图如图1，为高三某班60名学生的化学考试成绩，算法框图如图2中输入的a1为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=29，n=15 B．m=29，n=16 C．m=15，n=16 D．m=16，n=15参考答案：B【考点】程序框图．【分析】算法的功能是计算学生在60名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，根据茎叶图可得．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在60名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在60名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，82，84，84，85，86，89，89，89，90，91，96，98，98，98，共1，6人，故n=16，由茎叶图得，在60名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，49，50，51，52，53，53，56，58，59，59，59共15人，则在60名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有60﹣16﹣15=29，故m=29，故选：B．【点评】本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．5. 已知向量，，若与垂直，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：B6. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷．则抽到的人中，做问卷的人数为（）A．7 B．9 C．10D．15参考答案：C7. 对于函数，，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（）A．充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件参考答案：C8. 已知=2，=3，=,则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．参考答案：C略9. 以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是A.x2+y2-4x-3=0B.x2+y2-4x+3=0C.x2+y2+4x-5=0D.x2+y2+4x+5=0参考答案：答案：B解析：双曲线x2-y2=2的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），右准线为x=1，半径为1，圆方程为，即x2+y2-4x+3=0，选B10. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如右图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．47, 45, 56 B．46, 45, 53C．46, 45, 56 D．45, 47, 53参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 平面直角坐标系下直线的方程为Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)，请类比空间直角坐标系下平面的方程为_____________________________.参考答案：Ax+By+Cz+D=0 (A2+B2+C2≠0).平面直角坐标系下直线的方程为Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)，请类比空间直角坐标系下平面的方程为Ax+By+Cz+D=0 (A2+B2+C2≠0).11.如图2，在半径为的中,弦.参考答案：13. 下列结论：①若命题p ：x 0∈R，tan x 0＝2；命题q ：x∈R，x 2－x ＋>0.则命题“p∧(q)”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是＝－3；③“设a 、b∈R，若ab≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b∈R，若ab<2，则a 2＋b 2≤4”． 其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)参考答案：(1)(3)14. 已知向量满足：，且，则向量与的夹角是___________. 参考答案：15. 抛物线的焦点坐标为。
四川省成都市第七中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年四川省成都市第七中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={1,2}，B ={1,3,4}，则A ∪B =( )A. {1}B. {1,3,4}C. {1,2}D. {1,2,3,4}2.已知0<x <3,0<y <5，则3x−2y 的取值范围是( )A. (−1,0)B. (−10,9)C. (0,4)D. (0,9)3.对于实数x ，“2+x 2−x ≥0”是“|x |≤2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列命题中真命题的个数是( )①命题“∀x ∈R ，|x|+x 2≥0”的否定为“∃x ∈R ，|x|+x 2<0”;②“a 2+(b−1)2=0”是“a(b−1)=0”的充要条件;③集合A ={y|y = x 2+1}，B ={x|y = x 2+1}表示同一集合．A. 0B. 1C. 2D. 35.已知实数x,y 满足4x 2+4xy +y +6=0，则y 的取值范围是( )A. {y|−3≤y ≤2}B. {y|−2≤y ≤3}C. {y|y ≤−2}∪{y|y ≥3}D. {y|y ≤−3}∪{y|y ≥2}6.已知正实数a,b 满足2a +b =1.则5a +b a 2+ab 的最小值为( )A. 3B. 9C. 4D. 87.关于x 的不等式(ax−1)2<x 2恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是( )A. (−32,−1)∪(1,32) B. (−32,−43]∪[43,32)C. (−32,−1]∪[1,32) D. (−32,−43)∪(43,32)8.已知函数f (x )={4x 2−2x +3,x ≤122x +1x ,x >12，设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥|x−a 2|在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A. [−398,478]B. [−4,478]C. [−4,4 3]D. [−398,4 3]二、多选题：本题共3小题，共18分。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学(理)试题(含答案解析)
四川省成都市第七中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．将圆221x y +=经过坐标变换后得到的曲线方程为（）．221641x y +=B ．4x 221164x y +=D ．．已知函数()sin cos f x a x =+上单调递增，则实数a 的范围是（．(],1-∞B ．[0,)2,⎡+∞⎣D ．．已知0.5e a -=，0.5b =，c ，则下列不等关系正确的是（）．a c b>>B ．a b a c>>D ．．已知椭圆(2222:1x y C a b+=的左右焦点分别为1F ，2F ，抛物线有相同的焦点，点P 为抛物线在第一象限内的交点，直线相切，则椭圆C 的长轴长为（．22+B ．24D ．．关于函数()114f x x x ⎛=- ⎝的零点，下列说法正确的是（）．函数()f x 有两个零点．函数()f x 有两个零点．函数()f x 有三个零点231x x =二、填空题三、解答题(1)求证：平面PCE ⊥平面PBC ；(2)求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值21．已知过点()0,2的直线与抛物线过M 作x 轴的垂线与抛物线交于点(1)若抛物线在N 点处的切线的斜率等于(2)设()0,11D ，求DAB 与NAB △22．已知函数()()1ln x x xf x =+-(1)求函数()f x 的最小值；(2)证明不等式()11ln 221nk k k =>⋅+∑参考答案：3．A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案【详解】利用分析法证明不等式则P M N N >⇒>，则“P 故选：A.4．D【分析】利用换元法，设化回椭圆的切线方程.所以()11111114ln f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111111114n 1n 4l x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---⎝++ ⎪ ⎪⎭⎝⎭故选：C.12．A【分析】根据均值不等式可得0a ≤+()233f t t t =-，利用导数求解单调性，进而可求值域【详解】由22a b a b +=+得()2a b +-故()()()(2224a b a b a b a b +-++≤⇒+由于()()3322a b a b a b ab +=++-将()()22a b a b ab +-+=和22a b a +=()()(2332a b a b a b a b a b ⎛+-++++- ⎝=()1,0,0B -，()0,0,3P ，(1,2C -(1223)PC =-- ，，，(22CE =- ，设平面PCE 法向量为()111,,x n y z =则11111220223x y n CE n PC x y z ⎧⎧-=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥-+-=⎪⎪⎩⎩所以()1,2,3n = ，(1223)PC =-- ，，，(022BC = ，设平面PBC 的法向量为22(,m x y =则2222220223y m BC m PC x y z ⎧⎧=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥-+-⎪⎪⎩⎩ 可得()3,0,1m =-，又3030n m ⋅=+-=所以平面PCE ⊥平面PBC ，（2）由（1）知，()1,0,3PA =- ，平面令222t k =+≥，所以3182S t t =-，即函数()182f t t t =-则()()2218663f t t t '=-=-，令()f t '=令()0f t '>得23t <<，令()0f t '<得所以函数()f t 在区间(2,3)上单调递增，在所以3t =，函数()3182f t t t =-取到最大为即1k =±时，DAB 与NAB △面积之差取得最大值22．(1)2(2)证明见解析【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，进而求出函数的最小值；（2）结合（1）的结论，得到当1x >时，()1112ln 21221n nnk k k +=>+⋅+∑.【详解】（1）对函数求导可得()1f x '=-令函数()12ln g x x x x =--，则()1g x '=所以函数()g x 在区间()0,∞+上单调递增，又∵()10g =，。
四川省成都市第七中学2024届高三上学期理科数学周测试题(9月19日)及参考答案
成都七中高2024届高三上数学测试（理）（9.19）一、单选题1．已知集合{}220A x x x =+≤，21,04B a x R x ax ⎧⎫=∃∈-+<⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.[)1,2B.[]2,1-- C.[)2,1- D.[)2,1--5.若命题:p ()0,x ∀∈+∞，11x x+≥；命题:q 0x ∃∈R ，20010x x -+≤，则下列命题为真命题的是（）A.p q ∨ B.p q ∧ C.()p q ⌝∨ D.()()p q ⌝∧⌝①函数()g x 在0x =处的切线与函数()f x 在1x =处的切线平行；②方程()()f x g x =有两个实数根；③若直线y a =与函数()g x 交于点()11,A x y ，()22,B x y ，与函数()f x 交于点()22,B x y ，()33,C x y ，则2132x x x =．④若()()0f m g n =<，则mn 的最小值为1e-．三、解答题18．在数列{}n a 中，11a =，213a =，()12n n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设______，n S 为数列{}n b 的前n 项和，证明：1n S <.从下面三个条件中任选一个补充在题中横线处，并解答问题.①22n n a b n =+；②()11n n n b n a a +=+；③()2214n n n a b +=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.如图，梯形ABCD 中，4=AD ，E 为AD 中点，且CE AD ⊥，1CE BC ==，将DEC 沿CE 翻折到PEC ，使得π3PEA ∠=．连接PA ，PB ．（1）求证：BE PC ⊥；（2）Q 为线段PA 上一点，若AQ AP λ= ，若二面角Q -BC -A 的平面角的余弦值为2时，求实数λ的值．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2e =，且经过点()1,e ．P 为椭圆C 在第一象限内部分上的一点．（1）若(),0A a ，()0,B b ，求ABP 面积的最大值；（2）是否存在点P ，使得过点P 作圆()22:11M x y ++=的两条切线，分别交y 轴于D ，E两点，且3DE =．若存在，点求出P 的坐标；若不存在，说明理由．成都七中高2024届高三上数学测试理科答案（9.19）一、单选题DDCAA AACAC CA18．(1)由11a =，213a =可知211a =.由题设条件可知()1111n n n n a +=+-⨯=，所以12n n a n +=+，当2n ≥时，111n n a n a n --=+，所以()121121123212111431n n n n n a a a n n n a a a a a n n n n n ------=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+-+ .当1n =时，11a =满足()21n a n n =+，故{}n a 的通项公式为()21n a n n =+.(2)选择①，由（1）可知()()()()()24112212112n n a b n n n n n n n n ⎡⎤===⨯-⎢⎥++++++⎣⎦，所以()()()111111212232334112n S n n n n ⎡⎤=⨯-+-++-⎢⎥⨯⨯⨯⨯+++⎣⎦ ()()()()11221121212n n n n ⎡⎤=⨯-=-<⎢⎥++++⎣⎦.设点),sin P θθ，则21d -==≤所以2112222ABP S -≤=△．(2)设点()00,P x y ()000,0x y >>，()0,D m ，()0,E n ，则直线PD 的方程为00y m y x m x -=+，即()0000y m x x y mx --+=，因为圆心()1,0M -到直线PD 的距离为11=，即()()()222220000002y m x y m x m y m x m -+=---+，即()2000220x m y m x +--=，同理()2000220x n y n x +--=．由此可知，m ，n 为方程()2000220x x y x x +--=的两个实根，所以0022y m n x +=+，002x mn x =-+MN m n =-===．因为点()00,P x y 在椭圆C 上，则220012x y +=，则220012x y =-，则3MN ==，则200450x x +-=，因为00x >，则01x =，22001122x y=-=，即02y =，故存在点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭满足题设条件．。
四川省成都市第七中学2024届高三上学期理科数学综合测试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 设函数,若且,则的取值范围为A．B．C．D．2.与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（ ）A ．-8B ．-3C ．4D ．63.已知，则sin2α=（ ）A．B．C ．1D．4. 函数，若，且函数的图象关于直线对称，则以下结论正确的是（ ）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C ．函数在区间内是增函数D ．由的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象5. 设，为不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若，，，，则B ．若，，，则C ．若，，则与异面D ．若，，，则与相交6. 已知的展开式中所有项的系数之和为-64，则其常数项为（ ）A ．-25B ．-5C ．20D ．557.已知数列满足，，则等于（ ）A．B．C．D．8. 如图所示，是2017年某大学自主招生面试环节中7位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和最低份后，所剩分数的平均数和众数分别为A ．86，86B ．85，84C ．84，86D ．86，859. 已知双曲线：（）的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）．A．的焦点在轴上B．C．的实轴长为6D ．的离心率为10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，椭圆的上顶点和右顶点分别为A ，B ，若P ，Q 两点都在椭圆C 上，且P ，Q 关于坐标原点对称，则（ ）A．为定值4B ．的面积为C ．直线PB ，QB 的斜率之积为定值D ．四边形不可能是矩形四川省成都市第七中学2024届高三上学期理科数学综合测试题(高频考点版)四川省成都市第七中学2024届高三上学期理科数学综合测试题(高频考点版)三、填空题四、解答题11. 已知定义在上的函数满足为奇函数，的图象关于点对称，则下列说法正确的是（ ）A ．函数的图象关于对称B．函数的图象关于点对称C ．函数的一个周期为4D．12. 已知函数，若有6个不同的零点分别为，且，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，B．的取值范围为C ．当时，的取值范围为D ．当时，的取值范围为13. 函数在处的切线方程为______.14.若曲线的一条切线为，则______.15.已知数列是各项均为负数的等比数列，，且，则______.16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，点在线段上，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正弦值.17. 某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，已知该商品进价为3元/件，并规定其销售单价不低于商品进价，且不高于12元，该商品日均销售量y (件)与销售单价x (元)的关系如图所示．（1）试求y 关于x 的函数解析式；（2）当销售单价定为多少元时，该商品每天的利润最大？18.已知数列满足我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a ＝1时，得到无穷数列：1，2，，…；当a＝时，得到有穷数列：，﹣1，0.（1）求当a为何值时；（2）设数列满足，求证：a取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列；（3）若，求a的取值范围.19. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，F为棱的中点，P为棱上一点．(1)求证：平面；(2)当P到平面的距离为时，求线段的长．20. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.21. 设函数（），，(1)试求曲线在点处的切线l与曲线的公共点个数；(2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围．（附：当，x趋近于0时，趋向于）。
2018-2019学年成都七中高二上期理科数学Word版含解析
分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.
详解：由三视图可得四棱锥 ，在四棱锥 中， ，
由勾股定理可知： ，则在四棱锥中，直角三角形有： 共三个，故选C.
点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为
A． B． C．－ D．－
2．直线 在 轴上的截距是
A．2 B．3 C．-2 D．-3
3．点 关于直线 的对称点的坐标是
A． B． C． D．
4．已知数列 的首项 ，且 ，则
【点睛】
(1)本题主要考查空间几何体的概念，考查三视图和直观图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于空间几何体的概念的判断，一定要准确理解几何体的内涵和外延，不能凭想象解答,要严格推理.
6．A
【解析】
【分析】
直接利用等比数列的性质化简 ,再代入 即得解.
【详解】
由题得 .
故答案为：A.
A． 尺B． 尺C． 尺D． 尺
8．函数 的部分图象如图所示，要得到函数 的图象，只需将函数 的图象
A．向右平移 长度单位B．向左平移 长度单位
C．向左平移 长度单位D．向右平移 长度单位
9．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则A在点B的
A．北偏东15° B．北偏西15°
【详解】
因为 ，所以设x= ，
2024年成都市第七中学高三数学(理)考前热身试卷附答案解析
2024年成都市第七中学高三数学（理）考前热身试卷（全卷满分150分，考试时间120分钟）第I 卷（选择题，共60分）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集{}|7U x N x =∈≤，集合M 、N 满足{}3,7M =，{}()4,5U M N = ð，则{}0,1,2,6=（）A ．()U M N ðB ．()()U UM N 痧C ．()U M N ðD ．()()UU M N 痧2．设向量a ，b 满足()(2)a b a -⊥+ ，且230a b =≠ ，则cos ,a b <>=（）A ．16-B ．38-C ．16D ．383．设x ，y 满足约束条件10,0,1,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥-⎩则5z x y =+的最小值为（）A ．3B ．6C ．3-D ．6-4．一个多面体的三视图如下图，图中所示外轮廓都是边长为1的正方形，则该多面体的体积为（）A ．13B ．23C ．16D ．565．函数23xy =与123xy -=的图象（）A ．关于2x =对称B ．关于1x =对称C ．关于12x =对称D ．关于14x =对称6．设点(2,3)A ，动点P 在抛物线2:4C y x =上，记P 到直线2x =-的距离为d ，则AP d +的最小值为（）A ．1B ．3C1-D1+7．圆2212880:O x y x y +++-=与圆222:4420O x y x y +---=的位置关系为（）A ．外切B ．相交C ．内切D ．相离8．下列说法中，正确的为（）A ．在研究数据的离散程度时，一组数据中添加新数据，其极差与标准差都可能变小B ．在研究变量间的相关关系时，两个变量的相关系数越小，则两者的线性相关程度越弱C ．在实施独立性检验时，显著增加分类变量的样本容量，随机变量2K 的观测值k 会减小D ．在回归分析中，模型样本数据的2R 值越大，其残差平方和就越小，拟合效果就越好9．已知圆锥PO 的母线长为3，表面积为4π，O 为底面圆心，AB 为底面圆直径，C 为底面圆周上一点，60BOC ∠=︒，M 为PB 中点，则MOC △的面积为（）A ．4B ．54C ．8D ．5810．内切球半径为1的正四棱台其上、下底面边长可能分别为（）A ．1，3B ．1，4C ，D ，11．设函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，则“203ω<<”是“()f x 在3(,)64ππ上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．双曲线C 的两个焦点为1F 、2F ，对称中心为O ，在C 的一条渐近线上取一点M ，使得OM 等于C 的半实轴长，当12MF F △的最小角取最大值时，C 的离心率为（）A B C ．2D 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设2z i =-，则22z z的虚部为____________．14．5(43)(2)x y x y -+的展开式中33x y 的系数为____________．15．在ABC △中，已知1BC =，2AC =，1cos 4C =，则sin 2A =____________．16．曲线ln y x =上有相异三点到点(3,)M t 的距离相同，则t 的取值范围为____________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2121n n S n a a =++-．（1）若11a ≠，证明：{}n a n -是等比数列；（2）若2a 是1a 和3a 的等差中项，设21n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．18．（12分）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划6月1日选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种．他们之间的出行互不影响，其中，甲选择“共享单车”的概率为12，乙选择“共享单车”的概率为23，丙选择“共享单车”的概率为34．（1）若有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；（2）记甲、乙、丙三人中选择“共享单车”出行的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为2，160B BC ∠=︒，D 为1AC 与1AC 交点．（1）证明：平面BCD ⊥平面11AB C ；（2）若12DB =，求二面角111A CB C --的余弦值．20．（12分）已知椭圆221:12x C y +=与抛物线22:2C y ax =-有四个公共点A 、B 、C 、D ，分别位于第一、二、三、四象限内．（1）求实数a 的取值范围；（2）直线AC 、AD 与y 轴分别交于M 、N 两点，求MN 的取值集合．21．（12分）（1）讨论函数1()tan()21x x x e f x e +=⋅-在区间(0,)π内的单调性；（2）存在1x ，2(0,)x π∈，满足12x x <，且1221sin sin xxe x e x =．ⅰ）证明：12x x π+<；ⅱ）若212x x π<+，证明：1223x x π+<．（参考数据：4.8 4.9<<）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3)(0)44ππρθθ=-≤≤，已知1(1,)2M ，动直线l 的参数方程为1cos ,1sin 2x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，02πα≤<）．（1）写出C 在直角坐标系下的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 有两个公共点A 和B ，线段AB 上一点K 满足2KM AM BM =⋅，以α为参数写出K 轨迹的参数方程．23．（10分）选修45-：不等式选讲已知,,0a b c >，且2a b c abc ++=．（1）求2abc 的最小值m ；（2）证明：22()mabc a b c m ++≥．数学（理）参考答案一、选择题123456789101112DAADDDBD CBBB5．提示：曲线23xy =关于x a =的对称曲线为2(2)3a x y -=，即423a xy -=，与123xy-=对比系数可知41a =，故14a =．10．提示：如图，设上、下底面边长分别为a ，b ，内切球半径为r ，过内切球球心作轴截面，利用射影定理，可得222a br ⋅=，即4ab =，B 选项满足题设．11．提示：对于()f x 在3(,)64ππ上单调递增，可得371246122ππππω-=≤⋅，即127ω≤，有230672πππωϕπ<+<+<，结合单调性，可知062ππωϕ<+<，仅需限定342ππωϕ+≤，又考虑0ϕ>，则有203ω<<，故满足“必要条件”；但当2πϕπ≤<时，对于203ω<<，342ππωϕ+≤无法成立，故不满足“充分条件”．12．提示：如图，设12MF F △的最小角为θ，利用特征2Rt MOF △可知2a OH c =，abMH c =，其中H为垂足，则有222tan 24abab c a a b c cθ==≤++，取等条件为222a b =，故e =．二、填空题13．4514．80-15．3216．52ln 24t -<<--16．提示：设相异三点到M 的距离为d ，可知函数222()(3)(ln )f x x x t d =-+--至少有3个零点，(3)ln ()2x x x t f x x -+-'=，令()(3)ln g x x x x t =-+-，1()23g x x x '=-+，()g x '在1(0,)2，1(,1)2，(1,)+∞符号正负正，()g x 对应增减增，为满足题设，()g x 符号必须负正负正，即1((1)02g g <，此时52ln 24t -<<--，这样才有()f x 减增减增，其图象为W 型，()f x 有3或4个零点．三、解答题17．解：（1）对2121n n S n a a =++-①，当2n ≥时，有21112(1)1n n S n a a --=-++-②，-①②：112()21n n n n S S n a a ---=-+-，即1221n n n a n a a -=-+-，（2分）经整理，可得[]1(1)(1)n n a n a n --=---，（4分）故{}n a n -是以11(0)a -≠为首项、1-为公比的等比数列．（5分）（2）由（1）知11(1)(1)n n a n a --=--，有213a a =-，312a a =+，题设知2132a a a =+，即1112(3)(2)a a a -=++，则11a =，故n a n =．（7分）而211111()(2)22n n n b a a n n n n +===-++，（9分）121111111111(21324112n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--++ 11111(21212n T n n =+--++故3111(4212n T n n =-+++（12分）18．解：（1）记甲、乙、丙三人选择“共享单车”出行分别为事件A ，B ，C ，记三人中恰有两人选择“共享单车”出行为事件D ，则12111312311()()()()23423423424P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，又1231133()()()2342348P CD P ABC P ABC =+=⨯⨯+⨯⨯=，（3分）所以3()98(|)11()1124P CD P C D P D ===，即若有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共享单车”的概率为911．（5分）（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，则1111(0)()23424P X P ABC ===⨯⨯=，1111211131(1)()()()2342342344P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，11(2)()24P X P D ===，1231(3)()2344P X P ABC ===⨯⨯=，（9分）所以X 的分布列为X 0123P12414112414故1111123()012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，即X 的数学期望为2312．（12分）19．解：（1）取BC 中点O ，取1AB 中点E ，连接DE ，BE ，OE ，因为三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为2，160B BC ∠=︒，有1AO B O ==1AB BB =，E 为1AB 的中点，BCDE 四点共面，所以1OE AB ⊥，且1BE AB ⊥，BE ，BE ，OE ⊂平面BCD ，OE BE E = ，即1AB ⊥平面BCD ，又1AB ⊂平面11AB C ，故平面BCD ⊥平面11AB C ．（5分）（2）因为11//BC B C ，所以11B C ⊥平面1AOB ，1AB ⊂平面1AOB ，所以111B C AB ⊥，所以11AB C △为直角三角形，所以112AC DB ==，所以13AB ==，在1AOB △中，13391cos 232AOB +-∠==-⨯．（6分）以O 为原点，作Oz ⊥平面11BCC B ，以OB ，1OB ，Oz方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则()1,0,0C -，()1B，()1C -，30,,22A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，由11AA CC =，所以131,,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以130,,22CA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()1CB =，设平面11ACB 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则1100CB n CA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即03022x y z ⎧+=+=⎩，令1z =，解得(3,n = ，所以平面11C CB 的一个法向量为(0,0,1)m =，（10分）记二面角111A CB C --的大小为θ，且θ为锐角，则cos cos ,13m n m n m n θ⋅===⋅，即二面角111A CB C --的平面角的余弦值为13．（12分）20．解：（1）由椭圆1C 及抛物线2C 的对称性，知A 与B 、C 与D 关于y 轴对称，设其纵坐标分别为1y 、2y ，联立2212x y +=与22y ax =-，消x ，得22220ay y a ++-=①，其两根即1y 、2y ，由题设知120,10,a ay y a >⎧⎪-⎨=<⎪⎩解得1a >．（4分）（2）设直线:()l x t y m =-，若l 表示AC ，联立()x t y m =-与22y ax =-，消x ，得22222(21)20at y mat y at m -++-=②，其两根也是1y 、2y ，故方程①与②为同解方程，有21221212mat y y a at ++=-=，即2124m a at -=+③，亦有2212212a at m y y a at --==，即22121m a at-=-④，（8分）③与④相加，可得2410m m ++=，有12m =-+，22m =--考虑到M 在1C 内部，取1M y m =；若l 表示AD ，且N 在1C 外部，类上可得2N y m =，即12MN m m =-=，故MN的取值集合为{．（12分）（亦可用1y 、2y 以点参形式直接表示直线AC 与AD，可得到M N y y -=21．解：（1）2222sin11122()(2sin )21(1)cos cos 21cos 22)2(xx x x x x x x xe e ef x e e x x x x e e e -+-'=⋅+⋅=-----，令()2sin x xg x e ex -=--，有()2cos x x g x e e x -'=+-，而当(0,)x π∈，()210g x '>⋅=，则()g x 单增，有()(0)0g x g >=，即()0f x '>，则()f x 在区间(0,)π内单调递增．（4分）（2）ⅰ）由1221sin sin xxe x e x =，可令得1212sin sin x x x x m e e==，设1sin ()x x h x m e =-，1cos sin ()xx xh x e-'=，当(0,)4x π∈时，1()0h x '>，1()h x 单增；当(,)4x ππ∈时，1()0h x '<，1()h x 单减．由题设知11(0)()0h h π=<，且1(04h π>，则有1(0,)4x π∈，2(,)4x ππ∈，4(0,)2m e π-∈．若22x π≤时，则1242x x πππ+<+<；（6分）若22x π>，设24sin ()x h x m e π=-，易知其在(0,)π内有两零点*1x 和*2x ，其中*1(0,)4x π∈，*23(,)4x ππ∈，而2()h x 关于2x π=对称，且有**12x x π+=．由4sin x e π在(0,2π单增，知1*11144sin sin sin xx x x m e e e ππ==>，有*11x x <；由4sin x eπ在(,)2ππ单减，知2*22244sin sin sin xx x x m e e e ππ==<，有*22x x <，则**1212x x x x +<+，即12x x π+<．（8分）（证明亦可利用()()f x f x π>-，(0,4x π∈）ⅱ）由1221sin sin x xe x e x =，得2112121212sin(sin(2222x x x x x x x x x x e -+-+--=+，利用正弦和差角公式，经过化切后得2112121212tan tan (tan tan )2222x x x x x x x x x xe -+-+--=+，再整理可得212121211tan tan 221x x x x x x x x e e --+-+=⋅-，（10分）由题设知2102x x π<-<，利用（1）结论有2121221211tan tan 2141x x x x x x e e ee πππ---++⋅<⋅--，则22121 4.91tan2 4.811x x e e ππ+++<<<--12022x x π+<<，即1223x x π+<，综上，1223x x π+<．（12分）22．解：（1）由cos sin ρθθ=+得2cos sin ρρθρθ=+，即22x y x y +=+，整理可得22111(()222x y -+-=，而304πθ≤≤，图形分析可知0y ≥，故C 在直角坐标系下的普通方程为22111()((0)222x y y -+-=≥．（4分）（2）将1cos ,1sin 2x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩代入22111()(222x y -+-=，消去x ，y ，整理得21cos 04t t α+⋅-=，2cos 10α∆=+>，考虑到0y ≥，由图形可知00αα≤<，0α为锐角且满足01tan 2α=，由韦达定理及题设可知214K A B A B t t t t t =⋅==，考虑点K 在线段AB 上，12K t =-，则点K 的坐标为1(1cos ,sin )2K K t t αα++，（8分）故K 轨迹的参数方程为11cos ,211sin 22x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（α为参数，00αα≤<），其中锐角0α满足01tan 2α=．（10分）23．解：（1）由均值不等式可知422c c a b c a b ++=+++≥，即2abc ≥整理得24abc ≥，故2abc 的最小值为4，取最值条件为12ca b ===．（4分）（2）由（1）知即证224()4abc a b c ++≥，由2a b c abc ++=可得111c ab bc ac++=，即有21114()(4)(4)()abc a b c ab ac bc c ab ac bc ab ac bc++=++=++++，由柯西不等式可知222111(4)()(211)4ab ac bc ab ac bc ++++≥++=++=，取等条件为4111ab ac bc ab ac bc==，即12c a b ===．故224()4abc a b c ++≥．（10分）。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学(理)试题
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．4B．57．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择观洞窟的概率是（）A．47B．128．设,,l m n表示直线，,αβ表示平面，使A．αβ⊥，//lβC．//l n，nα⊥9．等比数列{}a的前n项和为S，若二、填空题中，15．在ABC的面积，则若S为ABC16．已知抛物线过,A B两点分别作四边形PMFN的面积为三、解答题17．已知公差d(1)求数列{}n a的通项公式；b=(2)若数列2n18．如图所示，在四棱锥BC=，又SD=1(1)证明：//CF 平面SAB ；(2)求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值19．《中国统计年鉴2021》数据显示，截止到千万辆．下图是2011年至2020图．（注：年份代码1-10分别对应年份(1)由折线图能够看出，可以用线性回归模型拟合(2)建立y 关于t 的线性回归方程（系数精确到量．参考数据：15.5y =，(101i i t =∑25550.5159.8≈，25690.5参考公式：相关系数n r =∑。
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高中数学学习材料唐玲出品成都七中高2012级“高考热身考试”数学理科试题命题人：许勇 郑勇军 审题人：江海兵第Ⅰ卷(非选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2lg,1x M x y N x x x -⎧⎫===<⎨⎬⎩⎭,则 =N C M R ( )[)),0(.2,1.)4,0(.)2,0(.+∞D C B A答案：C2．已知复数z 满足i i z -=+1)1(3,则复数z 对应的点在（ ）上.A 直线x y 21-= .B 直线x y 21= .C 直线21-=x .D直线21-=y答案：C3．已知命题R x p ∈∃:，使25sin =x ；命题R x q ∈∀:，都有012>++x x .给出下列结论：①命题""q p ∧是真命题 ②命题""q p ⌝∧是假命题 ③命题""q p ∧⌝是真命题 ④命题""q p ⌝∨⌝是假命题 其中正确的是（ ）.A ②④ .B ②③ .C ③④ .D ①②③答案：B4．已知实数[]10,1∈x 执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为( )103.52.94.31.D C B A 答案：A5．函数)62sin(π-=x y 的图像与函数)3cos(π-=x y 的图像（ ） .A 有相同的对称轴但无相同的对称中心 .B 有相同的对称中心但无相同的对称轴 .C 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心 .D 既无相同的对称中心也无相同的对称轴答案：A6． 已知函数)(x f 的图像如图所示，则)(x f 的解析式可能是（ ） 3121)(.x x x f A --=3121)(.x x x f B +-=3121)(.x x x f C -+=3121)(.x x x f D ---= 答案：A7.已知点()0,2A ，抛物线C:2(0)y ax a =>（0a >）的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若:1:5FM MN =，则a 的值等于（ ）4.1.21.41.D C B A答案：D解析：5:1:),0,4(=∴=MN KM MKMF a F ，则42421:2:=∴=∴=a a KM KN8.已知M 是ABC ∆内一点，且23AB AC ⋅=，30BAC ∠=，若MBC ∆、MAB ∆、MAC ∆的面积分别为12、x 、y ，则14x y +的最小值是（ ）20.81.16.9.D C B A答案：C9.在平面上，212121,1,AB AB AP OB OB AB AB +===⊥,若21<OP ，则OA 的取值范围是（ ） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,27.2,25.27,25.25,0.D C B A 答案：D解析：由条件21,,,B P B A 构成一个矩形21PB AB ，以21,AB AB 所在直线为坐标轴建系，设O xy),(),,(,,21b a P y x O b AB a AB ==由121==OB OB ，得⎩⎨⎧-=--=-⇒⎩⎨⎧=-+=+-222222221)(1)(1)(1)(x b y y a x b y x y a x 41)()(2122<-+-∴<b y a x OP 4741112222>+∴<-+-∴y x y x ①又1)(11)(2222≤--=∴=+-a x y y a x同理12≤x 222≤+∴y x ② 由①②得24722≤+<y x 22722≤≤∴+=OA y x OA 选D 10. 已知实数d c b a ,,,满足1112=--=-d cb e a a 其中e 是自然对数的底数 , 则22)()(d bc a -+-的最小值为（ ）18.12.10.8.D C B A答案：A解析：∵实数d c b a ,,,满足1112=--=-d cb e a a ，cde a b a -=-=∴2,2，∴点),(b a 在曲线x e x y 2-=上，点),(d c 在曲线x y -=2上，22)()(d b c a -+-的几何意义就是曲线xe x y 2-=到曲线x y -=2上点的距离最小值的平方．考查曲线xe x y 2-=上和直线x y -=2平行的切线，xe y 21-=' ，求出x e x y 2-=上和直线x y -=2平行的切线方程，121-=-='x e y ，解得∴=,0x 切点为)2,0(-该切点到直线x y -=2的距离2211220=+--=d 就是所要求的两曲线间的最小距离，故22)()(d b c a -+-的最小值为82=d ．故选A ．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 答案：π29解析：由三视图知，三棱锥有相交于一点的三条棱互相垂直，将此三棱锥补成长方体，它们有共同的外接球，ππ29422923322222==∴=++=R S R12.在52⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，2x 的系数为____________.答案：4013.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表： 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1．2万元 0．55万元 韭菜6吨0．9万元0．3万元为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入－总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为________． 答案：20,30解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为y x ,亩，总利润z 万元，则目标函数y x y y x x z 9.0)9.063.0()2.1455.0(+=-⨯+-⨯=线性约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0549.02.150y x y x y x即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,01803450y x y x y x ，做出可行域，求得)45,0(),20,30(),50,0(C B A 平移直线,9.0y x z +=可知直线,9.0y x z +=经过点),20,30(B 即20,30==y x 时，z 取得最大值.14.将9~1这9个数平均分成3组，则每组的3个数都成等差数列的分组方法的种数是 答案：5解析：设3组中每组正中间的数分别c b a ,,且c b a <<，则15,45333=++=++c b a c b a ，而42≤≤a ，故),,(c b a 所有可能取的值为)6,5,4(),7,5,3(),8,4,3(),7,6,2(),8,5,2(此时相对应的分组情况是());8,7,6(),9,5,1(),4,3,2();9,8,7(),6,4,2(),5,3,1();9,7,5(),8,6,4(,3,2,1);9,8,7(),6,5,4(),3,2,1()9,6,3(),8,5,2(),7,4,1(故分组方法有5种.15.如果)(x f 的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”. 给出下列命题： ①函数x ysin =具有“)(a P 性质”；②若奇函数)(x f y =具有“)2(P 性质”，且1)1(=f ，则(2015)1f =；③若函数)(x f y =具有“(4)P 性质”， 图象关于点(10)，成中心对称，且在(1,0)-上单调递减，则)(x f y =在(2,1)--上单调递减,在(1,2)上单调递增；④若不恒为零的函数)(x f y =同时具有“)0(P 性质”和 “(3)P 性质”，且函数)(x g y =对R x x ∈∀21,，都有1212|()()||()()|f x f x g x g x -≥-成立，则函数)(x g y =是周期函数. 其中正确的是 (写出所有正确命题的编号)．答案：①③④三、解答题，本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）设函数R x x x x f ∈++=,cos 2)322cos()(2π. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）将函数)(x f 的图象向右平移3π个单位长度后得到函数)(x g 的图象，求函数)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π 上的最小值． 解析：（Ⅰ）x x x x x x f 2cos 12sin 232cos 21cos 2322cos )(2++--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π 132cos 12sin 232cos 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=πx x x所以函数)(x f 的最小正周期为π.由πππ)12(322+≤+≤k x k ,可解得36ππππ+≤≤-k x k所以单调减区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,3,6ππππ（Ⅱ）由（Ⅰ）得1)32cos(1)3)3(2cos()(+-=++-=πππx x x g 因为20π≤≤x ,所以32323πππ≤-≤-x 所以1)32cos(21≤-≤-πx ,因此21)32cos(21≤+-≤πx ，即)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21.17.（本小题满分12分）甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为21,32,43，乙队每人答对的概率都是32．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分． （Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望)(ξE ;（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率． （1）ξ的可能取值为3,2,1,041213141213241213143)1(;241213141)0(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==ξξP P41213243)3(;2411213143213241213243)2(=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξξP Pξ的分布列为ξ0 1 2 31223413241124112410)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE（2）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A ,“甲队比乙队得分高”为事件B 则31313241313224113241)(213223333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=C C C A P181313241)(213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=C AB P 6131181)()()|(===∴A P AB P A B P18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中， 四边形ABCD 是直角梯形，ABCD PC CD AB AD AB 底面⊥⊥,//,,E a PC CD AD AB ,2,422====是PB 的中点.（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若二面角E AC P --的余弦值为36，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．解析：（Ⅰ）PC AC ABCD AC ABCD PC ⊥∴⊂⊥,,平面平面.2,2,4==∴===BC AC CD AD ABBC AC AB BC AC ⊥∴=+∴,222,又PBC AC C PC BC 平面⊥∴=,PBC EAC EAC AC 平面平面平面⊥∴⊂ .（Ⅱ）如图，以点C 为原点，CP CD DA ,,分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系， 则)0,2,2(),0,2,2(),0,0,0(-B A C 。