线性系统理论大作业2

摘要：本文主要讨论线性系统解集的几何结构与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系。这一关系从两个方面来说明，第一部分讲述系统解集几何结构与特征值和特征向量之间的关系，通过Matlab 仿真例子说明这一关系；第二部分分别讲述特征值和特征向量与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系，并讲述了能观性，能控性以及稳定性的定义和判据，通过以约旦标准型为例来讲述相同特征值和不同特征值情况下的能观性，能控性，最后在Simulink中仿真一定特征值条件下系统的稳定性。从以上两个方面来说明解集的几何结构与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系。

1. 零输入响应解集与特征值和特征向量之间的关系

线性定常系统状态方程x

Ax Bu y Cx Du

=+??

=+? ，0(0),0x x t =≥的解为

()00

()(),0t At A t x t e x e Bu d t τττ-=+≥?。

为了研究线性定常系统状态方程解集的几何结构与线性系统的特征之间的关系，将系统简化，只考虑系统为零输入的状态响应，即x

Ax y Cx

=??

=? ，0(0),0x x t =≥的解为

0()At x t e x =。

所有的零输入状态响应组成了一个线性空间，且该线性空间中有n 个独立的元素，它们的线性组合决定了所有零输入响应。所以可以通过选择一组线性独立的初始条件得到一组零输入响应集中的基底。

下面先考虑最简单的零输入状态响应集的基底。

若12,,...n λλλ是A 的两两互异的特征值，且12,,...n v v v 是相应的单位特征向量，即,1,2,...i i i Av v i n λ==。选0,1,2,...i x v i n ==，则

0()(...)......

i At At i

2233

i 2233i i i i 2233i i i i i i i t i x t e x e v 11I +At +

A t +A t +v 2!3!11

v Av t A v t A v t 2!3!11

v v t v t v t 2!3!

e v λλλλ====++++=++++=

所以取01122...n n x v v v ααα=+++时，相应的零输入响应为

121122()...n t t t n n

x t e v e v e v λλλααα=+++

由此可以看出线性定常系统的零输入响应解集的几何结构可以由系统矩阵A 的特征值和特征向量来表征。即其解集由12,,...n v v v 构成的n 维坐标空间的线性组合。

上述结论的Matlab 仿真程序和结果如下：

系统的状态方程为()10122023x x u

y x

?-????=+? ? ?-??????=?

，取初始状态x(0)=α1*V 1+α2 *V 2，其

中V 1、V 2为特征值对应的特征向量。 取[α1 α2]=[1 4]。

打开MATLAB编辑器，编写如下程序，

clear all;

close all;

clc;

A=[-1 0;2 -2];B=[1;0];C=[2 3];D=[0];%设定系统的状态方程参数

sys=ss(A,B,C,D);

[b,a]=ss2tf(A,B,C,D);%状态方程转换成传递函数

alpha =input('input alpha:');%输入alpha参数[1 4]

[V,D]=eig(A); %利用eig函数求系统的特征值D与特征向量V

t=0:0.01:5;u=zeros(1,length(t));%输入为零

x0=alpha(1)*V(:,1)+alpha(2)*V(:,2);%设定初始状态

subplot(211);

[y,t,x]=lsim(sys,u,t,x0);

t=0:0.01:5;

plot(t,x);%绘制系统的零输入响应

xlabel('时间t');title('原系统的零输入响应状态');

grid on;

%绘制以特征值对应的特征向量为基底的零输入响应的状态

xz=alpha(1)* V(:,1)*exp(D(1)*t)+alpha(2)* V(:,2)*exp(D(4)*t);

subplot(212);plot(t,xz);

xlabel('时间t');title('以特征值对应的特征向量为基底的零输入响应的状态');

grid on;

输出结果如下图：由图可知，当系统的初始状态为系统特征值对应的特征向量的线性组合时，系统的零输入响应也是相应特征向量的对应线性组合。即当x(0)=α1*V1+α2 *V2时，e At*x(0)=α1*eλ1*t*V1+α2*eλ2*t*V2。

2 特征值、特征向量与系统特征之间的关系

2.1 系统能控性与系统特征值和特征向量之间的关系

2.1.1 能控性的定义

状态空间中的任意两点x 0，x 1即x(t 0)=x 0，x(t 1)=x 1，若存在控制信号u(t)能将状态x(t)从t 0时刻的x 0在[t 0，t 1]中驱动到x 1，则系统能控。

2.1.2 能控性判据

对于系统()()()x

t Ax t Bu t =+ , 其响应为1

000

()()0()()t A t t A t t t x t e x e Bu d τττ---=?+

?

(1) W c 矩阵为非奇异矩阵?系统能控 在t 1时刻，1

10100

()()10()t A t t A t t t x e x e Bu d τττ---=?+?

，

设计控制器10()

10()T

A t t T u

B e w u ττ---=，

则1

1010100

()()()

1100T

t A t t A t t A

t t T t x e x e BB e w u d τττ------=?+

?

=10()00A t t e x u -?+

假设1

10100

()()

T

t A t t A

t t T c t W e BB e d τττ----=

?

则10()010A t t u x e x -=-?

若能保证W c 为非奇异矩阵，则能保证系统的能控性。这一命题的逆命题也成立，

证明过程略。

(2)矩阵C=[B AB A 2B…A N-1B]满秩?系统能控 (3)PHB 判据:矩阵[A-λI B]满秩?系统能控 (4)AP+PA T =-BB T 有唯一正定解?系统能控

(5)矩阵B 中所有列张成的子空间不属于A 的任意一个不变子空间?系统能控 不变子空间：若V 是线性空间X 的子空间，0v V ∈是V 中任意一个元素，若对所

有0v ，0Av V ∈（A 为矩阵）则V 称为A 的不变子空间。

2.1.3 特征值和特征向量与能控性的关系

对于状态方程x

Ax Bu y Cx Du

=+??=+? ，由第一节中讨论可知，其零输入响应的解集是在由

ξ1，ξ2，ξ3…组成的线性空间中。以下讨论以三阶系统为例说明能控性与特征值特征向量的关系。

设初始条件为x （0）=α1*ξ1+α2*ξ2+α3*ξ3，若B=α1*ξ1+α2*ξ2，则定义：

()()12121122112211220

112211220111

2120

22()()()()T T

t

t

At T A t At T T

A t c t

t t t t T T t T t

t

t

t T w e BB e dt e e dt

e e e e dt

e e e dt

e λλλλλλλλαξαξαξαξαξαξαξαξξαξξααξα==++ =++??

?? = ? ???

??????

由以上推导可知，c w 不满秩，系统不能控。可以得出结论：B 矩阵的方向决定了能控性。即能控性判据（5），（A,B ）能控需要B 中所有列张成子空间不属于A 的任意一个不变子空间（以特征向量为基底的线性空间）。

例如：对于系统100112112300x x u -????

? ?=-+ ? ? ? ?-????

，A 矩阵的特征值为λ1=-1λ2=-2,

λ3=-3。对应的特征向量为ξ1=（1 0 0）T ,ξ2=(0 1 0)T ,ξ3=(0 -1 1)T 。B=（ξ1+ξ2 ξ1+2ξ2），

B 的所有列张成子空间属于A 的由ξ1=（1 0 0）T 和ξ2=(0 1 0)T 组成的不变子空间。根据以上结论可知，系统不能控。以下根据判据（2）来判断系统是否能控：

（B AB A 2B ）=111111122448000000--?? ?

-- ? ???

不满秩，系统不能控，与以上结论一致。

若B 所有列张成的子空间属于A 的某一个不变子空间，以下讨论对（A ，B ）进行能

控分解。

若（A ，B ）不能控，系统()()()x

t Ax t Bu t =+ 可分解为 11122200c c c c c x

x A A B u x x A ????????=+ ? ? ? ? ???

?????? （1）当输入u=0 ，初始状态(0)(0)(0)0c c c x x x ????

= ? ??

???时， 则1112c c c x

A x A x

B u =?+?+ ，从而11

()(0)A c c x t e x =?。

说明输入为零，初始状态落在能控子空间里，则状态响应在能控子空间里。

（2）当出入u≠0，初始状态(0)(0)(0)0c c c x x x ????= ? ??

???时， 则11

11()0

()(0)()t

A A t c c c x t e

x e B u d τττ-=?+?，()0x t =。

（3）当出入u≠0，初始状态(0)c x ，(0)c x 都不为零时， 则11

1111()

()120

()(0)()()t

t

A A t A t c c c c x t e

x e

B u d e A x d ττττττ--=?++??，

22()(0)A c c x t e x =?

说明初始条件不在特征向量张成子空间里，则状态响应不完全在能控子空间里。综上所述：当初始条件落在能控子空间，则一定能设计控制器使状态点到达预定点。

2.1.4 A 的约旦标准型判断能控性

要判断一个系统基于约旦标准型的能控性，必须考虑其约旦标准型和输入矩阵的形式，这里通过举例说明这种方法。如果A 不是约旦标准型，则可以通过线性变换将A 化为约旦标准型。

对于系统 .

x Ax Bu =+ y Cx =

变换为约旦标准型 1

.

x J x T Bu ---=+ y CT x -=

我们可以求出系统矩阵A 的特征值，来直接写出系统的约旦标准型矩阵J 。

当特征值无重根时，

1200

n J λλλ??

?????

?=????????

当特征值有q 个重根1λ时，

111

110100q n J λλλλλ+??

????????=??????

??????

对于已经通过线性变换转化成约旦标准型的系统：

当21l b ≠0时，2λ是系统的能控模态；

1

1111111121112211

2221.1

1l l l b b b x x u

b b b λλλλλλ????

????????

????=+????????

????????????????

当11l b 与12l b 相互线性独立时，1λ是系统的能控模态。

2.2 系统能观性与系统特征值和特征向量之间的关系

2.2.1 能观性定义

若在给定时间段[t 0,t 1]内，根据系统的输入输出信号可唯一确定系统的初始 状态，则系统能观。 2.2.2 系统能观性判据

对于系统x Ax Bu y Cx Du =+??=+?

，其响应为：()

0()(0)()t At A t x t e x e Bu d τττ-=+? 系统输出为()

()(0)()t

At

A t y t Ce x Ce

Bu d Du τττ-=+

+?

(1) W c 矩阵为非奇异矩阵?系统能观 令()0

()()()(0)t

A t At y t y t Ce Bu d Du Ce x τττ-=--=?

两边乘以T A t

T e

C 得

()(0)T

T

A t T A t T At e C y t e C Ce x =

两边积分得

()(0)T

T

t

t

A T A T At e C y d e C Ce d x τττττ=?

?

记00

T

t

A T At W e C Ce d ττ=

?

则

1

(0)()T t

A T x W e C y d τ

ττ-=?

以上推导说明：当W 0为非奇异矩阵时系统能观。该命题的逆命题也成立，证明

略。

（2）能观性矩阵1n C CA O CA -??

? ?= ? ? ???

满秩?系统能观。 （3）矩阵A I C λ-??

????

满秩?系统能观。

（4）方程00T T A W W A C C +=-有唯一的正定解?系统能观。 2.2.3 特征值和特征向量与能观性的关系

对于状态方程x

Ax Bu y Cx Du

=+??

=+? ，由第一节中讨论可知，其零输入响应的解集是在由

ξ1，ξ2，ξ3…组成的线性空间中。以下说明能观性与特征值特征向量的关系。

根据A 的特征值来判断系统的能观性，如果A 不是约旦标准型，则可以通过线性变换将A 化为约旦标准型。如下例子可以说明，对于已经通过线性变换转化成约旦标准型的系统，

11111111121112211

22211

1

111

2112

13

222

11.1

1l l l N

N

b b b x x u b b b y C C C C C C λλλλλλ????????????

????=+????????

??????????????????=??

当2

11C ≠0时，2λ是系统的能观模态；

当11N C 与12N C 相互线性独立时，1λ是系统的能观模态。

不能观子空间：若x 0是系统的初始状态从t 0至t 1，x 0所产生的零输入响应为零，所有上述x 0组成了一个子空间称为不能观子空间。

例如：()11122210,1011x x x y x x x ??????

??==

? ? ? ?-???????? ，初始状态为1020()1()0x t x t ????= ? ???

??，则11221x x x x x =??=-+? ，得110220()()0

()()t

t t x t e x t x t e x t e

--?==??==??，()0100t y e -??== ???，系统不能观。以不能观模态对应向量为初始条件的输出为零。

2.3 系统稳定性与系统特征值和特征向量之间的关系

2.3.1 系统稳定性

定义：系统在有界输入条件下，输出有界。

系统的输入有界是指对u(t)存在一个常数m u 满足()m u t u <，0[,)t t ∈∞。对所有上述输入信号，存在一个常数M ，使系统输出y(t)满足()y t M <，0[,)t t ∈∞。则称系统是有界输入有界输出稳定。

2.3.2 稳定性判据

系统脉冲响应y(t)绝对可积，即

()g t dt ∞

<∞?

?系统稳定。

2.3.3 约旦标准型的特征根与系统稳定性关系

研究线性定常系统的稳定性的方法很多，因.

x =Ax ，0(0),0x x t =≥的解为

0()At x t e x =，所以可以根据()x t 的形态即可判别系统的稳定性。由于()x t 的形态是

由At

e

决定的，因此可以用At

e

来研究系统的稳定性。除此之外，还可以根据A 的特征

值来研究系统的稳定性。

下面给出线性定常系统渐近稳定的判据：

定理 1 [特征值判据] 线性定常系统.

x =Ax 为渐近稳定的充要条件是系统矩阵A 的全部特征值都具有负实部。

定理2线性定常连续系统为.

x =Ax 渐近稳定的充要条件是对正定矩阵Q ，方程

T PA P Q A +=-有唯一的正定解。

证明：先证充分性。即证明线性定常系统为.

x =Ax 渐近稳定，则对任意的正定矩阵Q , 方程T

PA P Q A +=-有唯一的正定解。

即证明若对任意的正定矩阵Q , 方程T

PA P Q A +=-有唯一的正定解，则.

x =Ax 是渐近稳定的。

令0

e e d T

A t At P Q t ∞

=

?，则

Q

Q t Q t

t

Q A

A t Q P A PA At t A At

t A At t

A T

At t

A T

T -===

+=

+∞∞

∞

∞

?

?

?0

0e e d e e d d d e e d e e T T T

1

?

-=Q Qe e t A At n

i R e i e t A t ,,2,1,0)(0lim ?

=

→λn

i R t x i e t ,,2,1,0)(0)(lim =

→λ1

?

-=Q Qe e t A At )

0,0)((,)0()(≥==t t u x e t x At 。

为对角形或约旦规范形?,?证：1A AQ Q A -=

所以P 是上述方程的解。 若,P P 均为上述方程的解，即

T T P PA Q P PA Q

A A +=-+=- , 则()()0T P P P P A A -+-=

等式两边同乘e T

A t 、e

At

得

()()0

()()0e ()e 0

e e e e e e e e T T

T

T T T A t

At A t At A t At A t At A t At P P P P A d d

P P P P dt dt d P P dt A -+-=?-+-?=??-=?

? 0∞→积分得

()

T 0

e

()e 0

00A t

At

P P P P P P

∞

??-=?

?--=?=

再证必要性。

即证明若对任意的正定矩阵Q , 方程T

PA P Q A +=-有唯一的正定解，则.

x =Ax 是渐近稳定的。

取A 的特征值λ和其相应的特征向量ξ，将方程T

PA P Q A +=-两边同乘以H

ξ、

ξ得

()0

2Re()H T H H H H H H

H H H P PA Q P P Q P Q Q P A ξξξξξξλξξλξξξξ

λξ

ξξξ

ξξ

ξξ

λ+=-+=-+=-<=-

所以由定理1知A 的全部特征值都具有负实部，则系统渐近稳定。

现在以一个例子来说明。线性定常系统为.

x =Ax ，其中A 不是约旦标准型，由于线性变换不改变系统的特征值，进而不改变系统的稳定性，所以可通过线性变换将其化为约旦标准型，直接根据特征值的情况来讨论系统的稳定性。

于是

.

213000

000

x Tx

.

x J x =Ax J x J =?? ?

???→= ? ??

? , 设1

23x x x x ?? ?= ? ? ???，则.

11

.

22.33

123x x x J x J x J x ===。

若1111

110

001000010000J λλλλ??

? ? ?=

? ? ???

则1111111112111102!00()(0)(0)0

000

0t t t

t t J t

t t

t e te t e e te x t e x x e te e λλλλλλλλ??

? ? ?

== ? ? ?

?

??

若要()1x t 稳定，则要求1λ有负实部。 若22J jw =-,则33J jw =

()()()()

22223300jw t jw t

x t e x x t e

x -==()()23,x t x t ?有界但不趋近于0，所以系统稳定但不是渐近

稳定。

由上可得结论：

（1）若系统化为约旦标准型后，如有某个约旦标准型的特征值在s 的左半平面（有负实部），则该约旦块渐近稳定。

（2）若某一个约旦块有一个纯虚根，则系统稳定但不是渐近稳定。

以下用simulink 仿真例子说明系统稳定性：

以系统()112111x x u

y x

?????=+? ? ?-??????=?

为例，在Simulink 中仿真，设置初始状态为

x1=[1;1];x2=[1;1]

打开示波器显示如下图形：

由图可以看出，当A中有一个不稳定的特征值时，系统的输出不稳定，对应的状态x1不稳定，而状态x2稳定。