第一章小结与思考
小结与思考1
B
C
A
B
5.如图在梯形ABCD中 5.如图在梯形ABCD中, ∠DCB=900; 如图在梯形ABCD AB∥CD,AB=25,BC=24.将该梯形折叠 将该梯形折叠, AB∥CD,AB=25,BC=24.将该梯形折叠,点A恰 好与点D重合,BE为折痕,那么CD的长度为 好与点D重合,BE为折痕,那么CD的长度为 ,BE为折痕 CD 7 _________.
(1)成轴对称的 个图形全等 成轴对称的2个图形全等 成轴对称的 个图形全等.
(2)如果 个图形成轴对称 那么对称轴是对 如果2 个图形成轴对称,那么对称轴是对
称点连线的垂直平分线. 称点连线的垂边三角形、等 腰梯形的对称性；
1.线段的轴对称性 1.线段的轴对称性
3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE和DF 如图， 是 的角平分线， 和 如图 的角平分线 分别是△ 的高， 分别是△ABD 和△ACD的高，问AD垂直平分 的高 垂直平分 EF吗？请说明理由 吗 请说明理由. A E 1 2 F D C
B
操作题 1.如图，找一点P，使点 到AB、BC两边的距离 如图，找一点 ，使点P到 、 两边的距离 如图 相等，且到B、 两点的距离也相等 两点的距离也相等， 相等，且到 、A两点的距离也相等， 试用直尺和圆规作图，并保留作图痕迹） （试用直尺和圆规作图，并保留作图痕迹） A 如图点P就是要作的点 如图点 就是要作的点. 就是要作的点 B
小结与思考
轴对称与轴对称图形的特征、 一.轴对称与轴对称图形的特征、区别 轴对称与轴对称图形的特征 和联系
1.轴对称 1.轴对称
沿某直线折叠 与另一个图形重合 与另一个图形重合 一个图形
2.轴对称图形 2.轴对称图形
八年级数学上册第一章 小结与思考导学案
N第一章 轴对称图形—小结与思考【学习目标】1、 能够认识轴对称和轴对称图形，并能找出对称轴；2、 会画已知点、线段、三角形关于已知直线l 的对称图形；3、 知道线段、角、等腰三角形、等腰梯形的轴对称性及其相关性质。
【自主学习】1、下列图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形．．．．．的是（ )2．如图所示，画出△ABC 关于直线MN 的轴对称图形.3.垂直并且平分一条线段的 ，叫做这条线段的垂直平分线．．．．．。
4.线段是 图形，有 条对称轴，分别为 ； 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离 ；到线段两端距离相等的点，在这条线段的 。
5.角是 图形，它的对称轴是 ； 角平分线上的点到角的两边距离 ；角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的 上。
6.等腰三角形是 图形，它的对称轴是 ； 等边三角形是 图形，有 条对称轴。
7.等腰三角形的 、 、 互相重合。
8．等腰梯形是 图形，它的对称轴是【检测反馈】1．如图，求作点P，使点P同时满足：①PA=PB；②到直线m，n的距离相等．(尺规作图，保留作图痕迹)2．下列说法中正确．．的是( ) A．两个全等三角形成轴对称B．两个三角形关于某直线对称，不一定全等C．线段AB的对称轴垂直平分ABD．直线MN垂直平分线段AB，则直线MN是线段AB的对称轴3、如果两个图形关于某直线对称，那么连结的线段被垂直平分.4、成轴对称的两个图形的对应线段___ ___、对应角__ __.5、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点E，交AB于点D，△ACE的周长为11cm，AB＝4cm，则△ABC的周长为__________cm.【课后学习】6.如图，在△ABC中，CD与CF，分别是△ABC的内角、外角平分线，DF//BC交AC于点E．试说明(1) △DCF为直角三角形；(2)DE=EF．7. 已知直线l及其两侧两点A、B，如图.（1）在直线l上求一点P，使PA=PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB.(以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法)。
小结与思考(2)
第一章小结与思考学习目标：通过对本章知识的小结与梳理，进一步掌握等腰三角形的性质和判定、直角三角形全等的判定、角平分线的性质定理与判定定理、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的定义、性质和判定；等腰梯形的性质和判定；中位线定理，并会灵活运用．学习难点：性质定理和判定定理的应用学习过程：一．知识点：1．根据“等腰三角形，等腰梯形的性质定理与判定定理，直角三角形全等的判定定理，角平分线的性质定理与判定定理，三角形中位线定理等。
”填表：直角三角形全等的判定方法有：。
二、例题学习1、我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系。
如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行。
那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件。
2、如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ） A 、线段EF 的长逐渐增大 B 、线段EF 的长逐渐减小C 、线段EF 的长不变D 、线段EF 的长与点P 的位置有关3、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF 。
（1） 求证：BD =CD ；⑵如果AB =AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。
RP D CB AEFD图1A BCE【课后作业】1．平行四边形ABCD 中，如果∠A=55°，那么∠C 的度数是(A)45°(B)55° (C)125°(D)145°2． 如图1，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC=12，则DE 的长是(A)4(B)5(C)6(D)73、已知:如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且EF=ED,E F ⊥ED. 求证:AE 平分∠BAD.4、如图11，已知ABC ∆中，D 是AB 中点，E 是AC 上的点， 且ABE BAC ∠=∠，EF ∥AB ，DF ∥BE ，⑴猜想DF 与AE 有怎样的特殊关系？ ⑵证明你的猜想．5、如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ．（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．O N MFECA 6、在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是直线BC 上一点，DE ∥AC 交直线AB 于E ，DF ∥AB 交直线AC 于点F ，解答下列各问：（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，有DE ＋DF ＝AB ，请你说明理由； （2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，请你参考（1）画出正确的图形，并写出线段DE 、DF 、AB 之间的关系（不要求证明）．7、如图，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 相邻的外角平分线CF 于是点F . （1）点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论；（2）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，试判别△ABC 的形状，并证明理由.8、操作：在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠C＝90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点.如图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况.研究：（1）三角板绕点P 旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明.（2）三角板绕点P 旋转，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角形时CE 的长；若不能，请说明理由. （3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB 上的M 处，且AM∶MB＝1∶3，和前面一样操作，试问线段MD 和ME 之间有什么数量关系？并结合如图4加以证明.DA BCF ED C B A 图1CD E PA B图3DECPAB图2 DCPEBAE图4。
高等数学第一章的总结
例.
01
解:
02
原式
03
例. 求
04
例
解
解法讨论
典型例题
例：
例：
函数连续的等价形式
有
函数间断点
第一类间断点
跳跃间断点
第二类间断点
可去间断点
无穷间断点
振荡间断点
三、连续与间断
小结：
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
3.间断点的分类与判别;
2.区间上的连续函数;
第一类间断点:（左右极限都存在的间断点）.
例. 证明
例：
01
求极限
02
解：
03
原式
04
求极限
05
提示：
06
原式
07
左边
08
= 右边
09
故极限存在，
设
, 且
求
则由递推公式有
解：
设
∴数列单调递减有下界，
故
利用极限存在准则
例：
思考与练习
, 求 时, 设 不对! 此处
1.如何判断极限不存在?
方法1. 找一个趋于∞的子数列;
2.已知
方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 下述作法是否正确? 说明理由. 由递推式两边取极限得
右极限存在,
不存在.
补充结论：
D
C
A
B
思考题解答
小结:
例
商的法则不能用
解
由无穷小与无穷大的关系,得
解
例
(消去零因子法)
例
解
(无穷小因子分出法)
结论:
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
小结与思考(1)
例3.已知方程组 与
5x+y=3 ax+5y=4
x-2y=5 5x+by=1
有相同的
解，求a、b的值.
巩固提高：
1. 已知 x y x y 3 0 ，求x,y的值.
2
ax+y=2 2. 甲、乙两人都解方程组 2x-by=1
，
甲看错a得解 解
x=1 y=2
x=1 y=1
,乙看错b得
3x 4 y 2.9 (2) 5x 2 y 0.5
例题讲解：
例1.写出一个二元一次方程，使得 x 1 x 2 都是它的解，并且
y 1 y 2
求出x=3时的方程的解.
例2.对于等式y=kx+b,当x=3时，y=5； 当x=-4时，y=-9,求 当x=-1时y的 值.
初中数学七年级下册 （苏科版）
小结与思考1
基础练习：
1.下列各组x,y的值是不是二元一次方
3x 4 y 2 程组 2 x y 5 的解？
x 3 x 2 x 2 （1） （2） （3） y 1 y 1 y 2
2 x y a 2.已知二元一次方程组 x 2 y b
x 3 的解 y 5
求a,b的值.
3.根据下表中所给的x值以及x与y的关 系式，求出相应的y值，然后填入表内：
x Y=4x Y=10-x
y 4x 的解. ห้องสมุดไป่ตู้ y 10 x
1
2 3 4
5
6
7
8
9
10
根据上表找出二元一次方程组
4.解二元一次方程
x 2 y 5 (1) 3x y 1
初一上册第1章总结知识点
初一上册第1章总结知识点
本章主要介绍了科学与科学实践的基本概念，包括科学的概念、科学实践的基本特点、科
学研究的基本方法等内容。
通过本章的学习，使同学们对科学有了更深入的了解，对科学
实践有了更清晰的认识，为以后更好地学习科学知识、进行科学实践打下了良好的基础。
1.1 科学的概念
科学是一种寻求真理的理性活动。
它是通过实践活动对客观世界进行观察、实验和理论构建，从而揭示客观规律和规律性的认识活动。
科学的产生和发展是人们认识世界、改造世
界的重要手段。
科学是寻求真理的过程，它包括了对现象、规律、机理、方法等方面的认识。
1.2 科学实践的基本特点
科学实践是验证科学理论的最终标准。
科学实践的基本特点包括：客观性、系统性、可验
证性、可预测性、可控制性和可重复性等。
这些特点是科学实践持续发展和提高科学认识
水平的重要保证。
1.3 科学研究的基本方法
科学研究的基本方法包括了实验、观察、模型建立、推理等。
其中，实验是科学研究中最
重要的手段之一，它是对自然界进行人为干预的过程，是获取科学知识的有效途径。
总之，初一上册第一章的内容涉及了科学概念、科学实践的基本特点以及科学研究的基本
方法等方面，对学生们初步了解科学、认识科学研究方法和发展规律，打下了良好的基础。
希望同学们能够在以后的学习中不断提高科学素养，树立正确的科学观，自觉尊重科学、
学习科学、使用科学，不断完善自己，为将来成为全面发展的社会主义建设者和接班人做
好准备。
苏科版九年级数学上册第1章一元二次方程小结与思考课件
【求解】
解方程 x2 28x 96 0
x2 28x 96 0(配方法)
x 14 10, x 14 10
x2 28x 96 0(因式分解法 ) x2 28x 96 0(公式法) 一元二次方程
x 4 0, x 24 0
x 28 400 , x 28 400
2
小结与思考
初中数学
一元二次方程小结与思考
【问题情境】
在一块长是32米、宽是24米的矩形空地内， 要设计花圃，使花圃面积是矩形面积的一半。你 能给出设计方案吗？
例如：在空地中间开辟一个矩形的花圃，四 周修筑同样宽的道路，道路的面积与花圃的面积 相等。你能计算出道路的宽吗？
32
x
x
x
24
x
一元二次方程的定义
2.某厂今年1月的产值为50万元,第一季度共完成产 值182万元,今年前两个月平均每月增长的百分率 是多少?
选做题：
1、用配方法证明：
x2 4y2 2x 4y 3的值不小于1
2、已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,求m2+n2的值。
3、设m、n分别为x2+2x-202X=0的两个实 数根,求m2+3m+n的值。
x2 b x c .
a
a
2
2
x2 b
x
b
b
c .
a 2a 2a a
2
b
b2 4ac
x 2a
4a 2
.
当b2 4ac 0时,
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
b b2 4ac
x
.
2a
公式法的应用
一元二次方程根的判别式
九年级数学上册(第一章小结与思考)同步练习(无答案) 试题
某某省睢宁县新世纪中学九年级数学上册《第一章小结与思考》同步练习1、我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系．如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行．那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件．2、用含30角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ） A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①②③ 3、下列说法正确的是（）A ．有两个角为直角的四边形是矩形B ．矩形的对角线互相垂直C ．等腰梯形的对角线相等D ．对角线互相垂直的四边形是菱形4、如图，将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于E ，若22.5DBC ∠=°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个5、将一正方形按如图方式分成n 个全等矩形，上、下各横排两个，中间竖排若干个，则n 的值为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．61.6、在88⨯的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知(24)A ，，(42)B ，，C 是第一象限内的一个格点，由点C 与线段AB 组成一个以AB 为底，且腰长为无理数的等腰三角形．（1）填空：C 点的坐标是_______，ABC △的面积是_______；（2）将ABC △绕点C 旋转180得到11A B C △，连结1AB ，1BA ，试判断四边形11AB A B 是何种特殊四边形，请说明理由；（3）请探究：在x 轴上是否存在这样的点P ，使四边形ABOP 的面积等于ABC △面积的ABEC 'DC22.52倍．若存在，请直接写出点P 的坐标（不必写出解答过程）；若不存在，请说明理由．7、将两块全等的含30角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．（1）四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：（2）如图2．将Rt BCD △沿射线BD 方向平移到111Rt B C D △的位置，四边形11ABC D 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：（3）在Rt BCD △沿射线BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为时，四边形11ABC D 为矩形，其理由是当点B 的移动距离为时，四边形11ABC D 为菱形，其理由是．（图3、图4用于探究）8、如图，已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AC 的中点，连接DE 并延长交BC 于点F ，连接AF .（1）求证：AD =CF ；（2）在原有条件不变的情况下，请你再添加一个条件（不再增添辅助线），使四边形AFCD成为菱形，并说明理由.ACB D3030 DAAADDB BBC CC1D1B1C图1图2图3图4DCEFBAABOxy9、如图，ABC △中，24AB BC AC ===，，E F ，分别在AB AC ，上，沿EF 对折，使点A 落在BC 上的点D 处，且FD BC ⊥． （1）求AD 的长；（2）判断四边形AEDF 的形状，并证明你的结论．C。
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3、“三月三，放风筝。”如图6是小东同学自己动手制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC。请你用所学的知识给予说明。
图4图5图6
四、检测反馈
1、填空：如图（7），请你选择合适的条件填入空格中，使两个三角形全等。
2、如图（8），△ABE≌△ACD，由此你能得到什么结论？
图7
图8
五、小结
（1）学会用自己的方法梳理本章知识，使所学知识系统化。
（2）会解决条件、结论开放性问题。
（3）角平分线的画法
（4）能用“因为……根据……所以”的形式，有条理地思考、清晰地表达自己的意见
二次备课
教学反思
优点：
不足：
改进措施：
碾庄中学“学讲计划”导学案
课题
第一章小结与思考
课时
1
日期
学习目标
1、回顾、整理本章所学知识内容和作图方法，构建知识结构框架，使所学知识系统化。
2、熟悉掌握三角形全等的条件，学会多角度、多方位的观察图形和思考问题，会进行逆向思维，能解决开放性问题。
主备人
冯翔
学习重点
熟悉掌握三角形全等的条件，能解决开放性问题。
（2）如图2，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE，AB=AC。若∠B=200，CD=5cm，则∠C=______，BE=_______.
（3）如图3，若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm,则CD=______。
三、小组讨论
熟练转化“间接条件”判全等
1、如图4，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD与△CEB全等吗？为什么？
备课组长
杜祥星
学习难点
进一步学习有条理的思考、清晰地表达自己的意见，能用“因为……根据……所以……”的形式来说理。
负责人签字
一、自主先学
1、出示教学目标
2、伴你学中【问题导学】部分
二、交流展示
讨论与交流
挖掘“隐含条件”判全等
（1）如图1，AB=CD，AC=BD，则与∠ACB相等的角是________，为什么？
①因为DF=DF，________,_______,根据_______，可知△DEF≌△DGF。
②因为DF=DF，________,_______,根据_______，可知△DEF≌△DGF。
③因为DF=DF，________,_______,根据_______，可知△DEF≌△DGF。
图8
④因为DF=DF，________,_______,根据_______，可知△DEF≌△DGF。