§6.2(1) 定积分的计算

5、设 I 1

cos mx cos nxdx ,

sin mx sin nxdx ，
（1） m n 时， I 1 =__ ,I 2 =_____ ， 、当 （2） m n 时，I 1 =___ ,I 2 =_____ . 、当 6、设 （1） m n 时， I 3 =____ , 、当 （2） m n 时， I 3 =_____ . 、当 7、4
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由积分中值定理可知
介于 x 与 x x 之间的
y
x x
(0 1),
o
a
( x )

使 f ( x x )x
x x x b x
lim lim f ( x x ) x 0 x x x0[a , b] x x[ a , b ] x
所以 F ( x ) 0 在[0,1] 上至多有一个解；
[ 所以 F ( x ) 0 即原方程在 0,1] 上恰有一个解. 证毕
定理2（原函数存在定理） 若 f C[a,b]，则
( x ) a f ( t )dt 是 f 在[a , b] 上的一个原函数.
一般地，如果 f 在区间 I 上连续，则
x
( x ) f (t )dt
x0
x
( x0 I )
则 f 在 I 上的一个原函数.
定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
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二、牛顿—莱布尼兹公式
定理 3（牛顿—莱布尼兹公式）
若 f C[a,b]且 F 是 f 在[a , b] 上的原函数，则
( x x ) ( x )

x x a
f ( t )dt f ( t )dt
x a
( x )

o a
x
x
x
x x
x x b
x
a f ( t )dt x
x
x x
f ( t )dt a f ( t )dt
f ( t )dt ,
一、填空题： 2 b x d 2 1、 a e dx =_______ . dx x d f ( x ))dx __________ . 2、 ( a dx d 2 3 t ln( t 2 1)dt _______ . 3、 dx x 2 x2 , 0 x 1 4、 0 f ( x )dx ____，其中 f ( x ) . 2 x , 1 x 2
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例4
解
求
x

1
0
e x dx.
x
e 在[0,1]上连续且有原函数， e
e dx e | e 1.
x 0 x 1 0
1
2 x 0 x 1 例5 设 f ( x ) ,求 1 x 2 5
解
0
2
f ( x )dx .
y
0
1 0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
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三、小结
1.积分上限函数 ( x ) f ( t )dt a 2.积分上限函数的导数 ( x ) f ( x )
x
3.微积分基本公式
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
思考题
设 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则a f ( t )dt 与

b
a
f ( x )dx F ( b) F ( a) F ( x ) a
b
已知 F 是 f 的一个原函数， 微积分基本公式 证
又 ( x )
a
x
f ( t )dt 也是 f 的原函数,
x [a , b],
b
( x ) F ( x ) C
F (b) F (a ) (b) (a ) (b) a f ( x )dx. 证 毕
0 b( x )
例1
求
e cos x lim
1 x 0
1
t 2 2
dt
0 0
x
.
cos 2 x
解
lim
x 0
cos x
e
t 2 2
dt
x
0e lim x 0
(cos x ) 2x
sinx e lim x 0 2x
cos 2 x
1 . 2e
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例 2 设 f ( x ) 在( , ) 内连续，且 f ( x ) 0 . 证明:
记 ( x ) f ( t )dt .
x a
o a
x
x+dx
b x
考察此函数的变化率。
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一、变上限积分
设 f C[a,b]， 变上限 x 的定积分
a
x
f ( x )dx a f ( t )dt
x
y
( x ) x f (t )dt
a
在[a , b]上定义了一个函数，
f ( x )dx

F (b) F (a )
L 中 值 定 理

F ( )(b a ) f ( )(b a )
其中， (a, b). 证 毕.
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三、小结
1、变上限积分的导数公式、微积分基本公式
——沟通了微分学与积分学之间的联系。
2、注意使用微积分基本公式的条件。
y t x 0 0
dy 定，求 ； dx 2 x t u ln udu, d2y 1 ( t 1) ,求 2、 设 ； 2 1 dx y 2 u 2 ln udu, t
d cos x 2 cos(t )dt ； 3、 dx sin x x dx g (1) . 4、设 g ( x ) 0 3 ，求 1 x
记 ( x ) f ( t )dt .
x a
o a
x
x+dx
b x
考察此函数的变化率。
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定理１(变上限的积分的导数)
x
如果 f C[a,b]，则
( x ) a f ( t )dt 在[a , b] 上可导，且 d x ( x ) (a x b) a f ( t )dt f ( x ) dx y 证 对 x、x x [a, b]，
0 0
则f ( x ) x 2 ax 2b代入上式 , b a
8 a ( x ax 2b )dx 2a 4b 0 3 1 1 a 2 b ( x ax 2b )dx - 2b 0 3 2
2 2
(1) ( 2)
由（1）（2）解之得
4 1 4 2 a , b f ( x) x x 3 3 3 3
x (1 x )dx _____ . 3 dx _____ . 8、 1 2 31 x
9
cos mx sin nxdx ,

9、lim
x 0
x
0
cos t 2 dt x
________ .
二、求导数： 1、 设函数 y y ( x ) 由方程 e dt cos tdt 0 所确
2
例9 设 f C[ a , b ] , 试证： ( a, b), 使得

b
a
f ( x )dx f ( )(b a).
（改进的）积分中值定理
. 证 f C[a ,b] , f 在[a, b]上有原函数
于 记F为f 的一个原函数。 是 ，

b
Hale Waihona Puke “牛— 莱”公式a
§6.2 定积分的计算
微积分基本公式
1. 变上限的积分 2. 牛顿—莱布尼茨公式
3. 小结、练 习 题
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一、变上限的积分
设 f C[a,b]， 变上限 x 的定积分
a
x
f ( x )dx a f ( t )dt
x
y
( x ) x f (t )dt
a
在[a , b]上定义了一个函数，
x
t x f ( u)du 是x 的函数还是
b
u 与 的函数？它们
的导数存在吗？如存在等于什么？
思考题解答
a
x
f ( t )dt 与 x f ( u)du都是x 的函数
b
d x a f (t )dt f ( x ) dx d b x f (u)du f ( x ) dx
练习题
f(
x 0 x x[ a , b ]
lim
( x x )) f ( x
x 0 x x[ a , b ]
lim (x ))
f ( x ), ( x ) f ( x ). 证 毕
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推论 如果 f (t ) 连续，a ( x ) 、b( x ) 可导，则 b( x ) F ( x ) a ( x ) f ( t )dt 的导数为
2
三、计算下列各定积分： 2 1 2 1、 ( x 2 )dx ; 1 x 4 2 0 3x 3x 1 dx ; 3、 1 2 x 1
2、
1 2 1 2
dx 1 x
2
;
4、0 sin x dx .
2
四、求下列极限： 1、 lim
( e dt ) 2
x t2 0 x 0
证 令 F ( x ) 2 x f ( t )dt 1,