高二数学第一次月考试题试题
云南省玉溪高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．设，则集合的元素个数是（ ）{}{}22(,)|,(,)|230A x y y x B x y x x y ===-+-=A B ⋂A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】求集合的元素个数，就是求直线与圆的交点的个数，只要判断A B ⋂y x =22(1)4x y -+=直线与圆的位置关系即可.【详解】由可得， 22230x x y -+-=22(1)4x y -+=即B 为圆心为，半径为的圆上的点构成的集合， (1,0)2而A 为直线上的点构成的集合， 0x y -=因为圆心为到直线的距离， (1,0)0x y -=2d ==<所以直线与圆相交，y x =22(1)4x y -+=所以直线与圆的交点的个数为2， y x =22(1)4x y -+=所以集合的元素个数为2， A B ⋂故选：C2．抛物线的焦点坐标是 28y x =-A ． B ．C ．D ．()2,0()2,0-()4,0()4,0-【答案】B【解析】先求出的值，再求抛物线的焦点坐标得解.p 【详解】由题得. 28,422pp p =∴=∴=，所以抛物线的焦点坐标为. ()2,0-故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．双曲线上的两个焦点分别为与，焦距为10；M 是该曲线上一点，且221(0)16y x a a -=>1F 2F ，则（ ）19MF =2MF =A ．3 B ．15C ．3或15D ．15或18【答案】C【分析】运用双曲线的定义，结合双曲线的焦距定义、双曲线的性质进行求解即可. 【详解】因为双曲线的焦距为10， 所以，2105c c =⇒=又因为，所以， 216b =2225169a c b =-=-=因此双曲线的半实轴长为，3所以双曲线上的点到焦点的距离最小值为， 532-=由双曲线的定义可知：，或， 2221236923632MF M M F F MF -=⨯=⇒⨯=⇒==>-2152MF =>故选：C4．新型冠状病毒（简称新冠）传播的主要途径包括呼吸道飞沫传播、接触传播、气溶胶传播等．其中呼吸道飞沫传播是指新冠感染的患者和正常人在间隔左右的距离说话，或者是患者打1m 喷嚏、咳嗽时喷出的飞沫，可以造成对方经过呼吸道吸入而感染．如果某地某天新冠患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成两人感染），则5天后的患者人数将会是原来1a 的（ ）倍A ．10B ．16C ．32D ．63【答案】D【分析】由等比数列求和公式即得.【详解】根据题意，设每天新冠患者的确诊人数组成数列，{}n a 则是公比为2的等比数列，所以5天后的新冠患者人数为，{}n a 6161(12)6312a S a ⨯-==-所以5天后的患者人数将会是原来的63倍. 故选：D.5．已知方程的根分别为，则下列式子正确的是（ ） 30,e 0,ln 0x x x x x x +=+=+=123,,x x x A ． B ．C ．D ．123x x x >>231x x x >>312x x x >>213x x x >>【答案】C【分析】将题目转化为直线与函数交点横坐标问题即可.y x =-3,e ,ln x y x y y x ===【详解】依题意得的图象与的图象的交点的横坐标依次为,作图3,e ,ln x y x y y x ===y x =-123,,x x x 可知:.2130x x x <=<故选：C.6．已知，那么（ ） ()1cos π3α+=3πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D 13-13【答案】C【分析】先根据诱导公式求得的值，再根据诱导公式将化简即可求解．cos α3πsin 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】由，则，()1cos πcos 3αα+=-=1cos 3α=-所以．3π1sin cos 23αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：C ．7．玉溪市图书馆地下停车场的收费标准如下：停放30分钟以内（含30分钟）免费，停放不足1小时按1小时计收．停放第1小时收费3元，以后3小时以内（含3小时）每小时收费2元，超过3小时且不超5小时每小时收费1元，超过5小时每小时收费0.5元．王老师昨天去图书馆开会停车6.5小时，他应交费金额为（ ） A ．3.5 B ．9C ．11.5D ．12【答案】C【分析】设为不小于的最小整数，例如，，，再结合题意即可得到停{}x x {}55={}4.75={}4.35=车时长（小时）与停车费（元）的函数关系式，将代入求解即可． x y 6.5x =【详解】设为不小于的最小整数，例如，，，{}x x {}55={}4.75={}4.35=则依题意得停车时长（小时）与停车费（元）的函数关系式为，x y {}{}{}0,00.53,0.51321,14914,46110.56,6x x x x y x x x x ≤≤⎧⎪<≤⎪⎪+⨯-<≤=⎨⎪+⨯-<≤⎪+⨯->⎪⎩所以时，． 6.5x ={}110.5 6.5611.5y =+⨯-=故选：C ．8．已知函数如满足：，，且时，()()y f x x =∈R (3)()f x f x +=-()()0f x f x -+=[3,0)x ∈-，则（ ）8()log (4)f x x =+(2024)f =A ． B ．C ．0D ．3-13-13【答案】B【分析】先判断出函数是周期为6的周期函数，再利用周期性直接求解即可． ()f x 【详解】由，则， (3)()f x f x +=-(6)(3)()f x f x f x +=-+=所以函数是周期为6的周期函数， ()f x 又，即， ()()0f x f x -+=()()f x f x =--所以．81(2024)(2)(2)log 23f f f ==--=-=-故选：B ．二、多选题9．一名射击运动员射击一次击中目标的概率为，若他连续射击两次，则下列正确的是（ ）13A ．事件“两次均击中”与“恰击中一次”为互斥事件B ．事件“两次均未击中”与“至少击中一次”互为对立事件C ．事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立D ．该运动员击中目标的概率为59【答案】ABD【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的概念判断ABC 选项；先求出该运动员未击中目标的概率，进而可得该运动员击中目标的概率，即可判断D 选项.【详解】事件“两次均击中”与“恰击中一次”不能同时发生，属于互斥事件，故A 正确； 事件“两次均未击中”的对立事件是“至少击中一次”， 故B 正确；事件“两次均击中”包含了事件“第一次击中”，故C 错误；该运动员未击中目标的概率为，11411339⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则该运动员击中目标的概率为，故D 正确.45199-=故选：ABD.10．对于函数 ）2π()sin 23f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭A ．周期为B ．在区间上单调递增πππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．当时函数取到最大值D ．若，则 ππ(Z)4x k k =+∈122ππ(),563f a a ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2a =【答案】AC【分析】先利用余弦的倍角公式和辅助角公式，对函数化简得，利用函数()f x 1()sin22f x x =的图像与性质，逐一对选项ABC 对进行分析，即可得出选项ABC 的正误；选项D ，利用sin y x =条件得到，再利用正弦的倍角公式，借助齐次式即可求出结果. 4sin25α=【详解】因为， 2π11()sin 2sin2sin2322f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭所以最小正周期为，所以选项A 正确；2ππT ω==对于选项B ，时，，由的性质知选项B 不正确；ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2ππ2,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin y x =对于选项C ，当时，，，所以选项Cππ(Z)4x k k =+∈π22π(Z)2x k k =+∈1π1()sin 2π222f x k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭正确；对于选项D ，由，得到，即，所以，即2()5f a =12sin225α=12sin2sin cos 25ααα==2tan 21tan 5αα=+，解得或， 22tan 5tan 20αα-+=1tan 2α=tan 2α=又，所以，故选项D 错误.ππ,63a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1tan 2α=故选：AC.11．已知，，则下列说法正确的是（ ） 22:10100A x y x y +--=A 22:62400B x y x y +-+-=A A ．两圆位置关系是相交B ．两圆的公共弦所在直线方程是3100x y ++=C ．上到直线的点有四个A A 3100x y +-=D ．若为上任意一点，则(,)P x y B A 22max (5)(5)90x y ⎡⎤-+-=+⎣⎦【答案】ACD【分析】先将，的一般方程化成标准方程，再利用圆心距与两半径之差和半径之和比较即A A B A 可判断A ；联立两圆的方程，化简即可得到公共弦所在直线方程，进而即可判断B ；先求得()5,5A 到直线的距离，再比较与的大小即可判断C ；依题意得3100x y +-=d 2d A R 22max(5)(5)x y ⎡⎤-+-⎣⎦的几何意义为到上点的距离的平方的最大值，再结合选项A 求解即可判断D ． ()5,5A B A 【详解】对于A ，由，即，其圆心为，半径22:10100A x y x y +--=A ()()225550x y -+-=()5,5A为，A R =，即，其圆心为，半径为，22:62400B x y x y +-+-=A ()()223150x y -++=()3,1B -B R =则两圆的圆心距为，即两圆相交，故A 正确；AB ==A B A B R R AB R R -<<+对于B ，联立两圆的方程，化简得，故B 错误； 22221010062400x y x y x y x y ⎧+--=⎨+-+-=⎩3100x y +-=对于C ，由到直线的距离为，且，所以()5,5A 3100x y +-=d 2d =上到直线的点有四个，故C 正确；A A 3100x y +-=对于D ，依题意得的几何意义为到上点的距离的平方的最大值，22max (5)(5)x y ⎡⎤-+-⎣⎦()5,5A B A所以结合选项A 得，故D 正确．()(2222max(5)(5)90B x y AB R ⎡⎤-+-=+==+⎣⎦故选：ACD ．12．如图，在正方体中，点E 为的中点，点F 为线段上的动点（不含端1111ABCD A B C D -1A B BC点），则下列命题正确的是（ ）A ．存在点F ，使得平面B ．存在点F ，使得平面EF P 11A C D EF ⊥1BDC C ．对任意点F ， D ．对任意点F ，过点D ，E ，F 的平面截正方体表面1F ADE A ADE V V --=得到的图形始终是梯形 【答案】BCD【分析】分别取，的中点，，构造面面即可判断A ；先证明面BD 1BC M N EMCN A 11AC D 1AC ⊥，再根据当，即为中点时，有平面即可判断B ；先证明面1BDC 1EF A C A F BC EF ⊥1BDC 1A B ⊥，从而推出点和点到面的距离相等，进而即可判断C ；如图，过点D ，E ，F 的平ADE F 1A ADE 面截正方体表面得到四边形，再根据平行四边形的判定即可判断D ． PFDQ 【详解】对于A ，分别取，的中点，，BD 1BC M N 由且，面，而面，则面， 1EM A D A EM ⊄11A C D 1⊂A D 11A C D EM ∥11A C D 又且，面，而面，则面， 11MC A C A MC ⊄11A C D 11AC ⊂11A C D MC ∥11A C D 因为，且面，所以面面， EM MC M ⋂=,EM MC ⊂EMCN EMCN A 11AC D 又总与面相交于点，所以不存在这样的点使得面， EF EMCN E F EF P EMCN 即不存在这样的点使得平面，故A 错误；F EF P 11A C D对于B ，在正方体中，1111ABCD A B C D -由在面上的射影为，则， 1AC ABCD AC 1AC BD ⊥又在面上的射影为，则， 1AC 11BCC B 1B C 11AC BC ⊥又，且面，所以面， 1BD BC B ⋂=1,BD BC ⊂1BDC 1A C ⊥1BDC 当，即为中点时，平面， 1EF A C A F BC EF ⊥1BDC 所以存在这样的点F ，使得平面，故B 正确；EF ⊥1BDC对于C ，如图所示，在正方体中，有面，面， 1111ABCD A B C D -11A D A ADE BC A ADE 又，，且，面，则面， 1A B AE ⊥1A B AD ⊥AE AD A ⋂=,AE AD ⊂ADE 1A B ⊥ADE 所以点和点到面的距离相等，所以，故C 正确；F 1A ADE 1F ADE A ADE V V --=对于D ，如图，过点D ，E ，F 的平面截正方体表面得到四边形，且，与不PFDQ PF QD A DF PQ 平行，所以四边形始终是梯形，所以D 正确．PFDQ故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是作出正方体，结合正方体的结构特征，以及正方体的性质，进而即可判断．三、填空题13．如图，在平行六面体中，，且，ABCD A B C D -''''60BCD BCC DCC ∠=∠='∠='︒4CB CD ==，则的长为____________．5CC '=CA '【分析】，结合向量数量积运算，求模即可．11CA CD CB CC =++【详解】设，，，则，，CD a =u u u r rCB b =u u r r CC c =' 4a b == 5c = 由，60BCD BCC DCC ∠=∠='∠='︒则，， 45cos 6010a c b c ⋅=⋅=⨯⨯︒= 44cos 608a b ⋅=⨯⨯︒=又， CA CD CB CC a b c =++=++'' 则CA a b c =++==='= ．所以线段 CA '14．已知是关于x 的方程的一根，则_________． i -20(,)x px q p q +-=∈R p q -=【答案】1【分析】利用方程根的意义建立等式，再借助复数等于0即可求出，，进而即可求解． p q 【详解】由是关于x 的方程的一根， i -20(,)x px q p q +-=∈R 则，()()()2i i 1i 0p q q p -+⋅--=---=所以，得，则100q p --=⎧⎨-=⎩10q p =-⎧⎨=⎩1p q -=故答案为：1．15．已知为椭圆上一动点，点R 满足且，则的最(4,0),(,)Q P x y 2212516x y +=||2QR = 0PR QR⋅= ||PR大值是______________．【分析】结合向量的性质，得到，越大，||越大，由数形结2222||||4PR PQ QR PQ =-=- || PQ PR合可知，当P 点为椭圆的左顶点时，可取得最大值．【详解】由知，在以为圆心，为半径的圆上，如图，||2QR =R Q 2∵，∴，0PR QR ⋅= PR QR ⊥ ，2222||||4PR PQ QR PQ ∴=-=- 结合图形知，当P 点为椭圆的左顶点时， 取最大值，||PQ 因为椭圆的左顶点坐标为，圆心，2212516x y +=(5,0)-(4,0)Q 所以的最大值为，||PQ 4(5)9--=∴． ||PR=．16．如图，，是双曲线上的两点，是双曲线的右焦点.是以A B ()222210,0x y a b a b -=>>F AFB △F为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若，两点关于原点对称，则双曲线的离心BF C A C 率为______.【分析】结合双曲线的定义、对称性列方程，化简求得的关系式，从而求得双曲线的离心率.,a c 【详解】设左焦点为，连接，1F 11,CF AF 依题意：是以为顶点的等腰直角三角形，，两点关于原点对称，AFB △F A C 结合双曲线的对称性可知：四边形是矩形，所以，1AFCF 12AC F F c ==设，则，BF m =11,2AF CF m AF CF m a ====-，,22a m BC m a +=-由，2221122211AF AF FF CF BC BF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩即， ()()()()22222222222m a m c m m a a m ⎧-+=⎪⎨+-=+⎪⎩整理得，. 3m a =222222109104,,4c c a a a ca a +====四、解答题17．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2．(1)求抛物线的标准方程；(2)直线l 经过抛物线的焦点，与抛物线相交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程．8AB =【答案】(1)24y x =(2)或10x y --=10x y +-=【分析】（1）由题设抛物线的标准方程为，根据题意求得，代入即可求得抛物线方22y px =p 程；（2）根据题意可得直线的斜率存在且不为0，设，，直线的方程为l 11(,)A x y 22(,)B x y l (1)y k x =-，再联立直线与抛物线方程，化简为关于的一元二次方程；再根据抛物线的焦点弦公式求解即x 可．【详解】（1）由题设抛物线的标准方程为，22y px =又焦点到准线的距离为2，得，2p =所以抛物线的方程为．24y x =（2）结合（1）得抛物线的焦点坐标为，(1,0)当时，，此时，所以直线的斜率存在且不为0，1x =2y =±AB 4=l 设，，直线的方程为，11(,)A x y 22(,)B x y l (1)y k x =-联立，消得， 2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩y 2222(24)0k x k x k -++=因为， ()2242Δ=2+44=16+16>0k k k -所以， 122222244k x k x k++==+所以，解得， 1224228AB x x p k=++=++=1k =±所以直线的方程为或．l 10x y --=10x y +-=18．已知函数在区间上的最大值为6． 2()22cos f x x x m =++π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1)求常数m 的值；(2)将函数的图象上的各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右()y f x =12平移个单位，得到的图象，求函数的对称中心． π12()y g x =()y g x =【答案】(1)3m =(2) ππ,4(Ζ)244k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭【分析】（1）先根据辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数在区间上的最值即可求()f x 得常数m 的值；（2）根据题意可得变换后的函数解析式为，再根据正弦函数的对称中心结π()2sin(4)46g x x =-+合整体思想即可求解．【详解】（1）因为， π()2cos 212sin(216f x x x m x m =+++=+++因为，所以， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以，所以．()216max f x m =++=3m =（2）由题知， π()2sin(446g x x =-+因为的对称中心为，2sin 4y x =+(π,4)(Ζ)k k ∈令，得， π4π6x k -=ππ244k x =+所以函数的对称中心为． ()y g x =ππ,4(Ζ)244k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭19．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与AB D ．现测得，，米．在点C 测得塔顶A 的仰角为．105BCD α∠==︒30BDC β∠==︒600CD =60︒(1)求B 与D 两点间的距离； (2)求塔高．AB【答案】(1)1)+(2)【分析】（1）在中，利用正弦定理求解即可；BCD △（2）在中，利用正弦定理求出，再在中，即可求得．BCD △BC Rt ABC A AB 【详解】（1）在中，，，记，所以，BCD △105α=︒30β=︒CBD γ∠=45γ=︒由正弦定理得， sin sin sin CD BD BC γαβ==又因为sin sin(6045)α=+=所以米．sin 1)sin CD BD αγ⋅==（2）由（1）知sin sinCD BC βγ⋅==所以tan 60AB BC =⋅== 20．2021年4月23日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到下表． 组号 分组 频数 频率1 [)0,5 5 0.052 [)5,10 a 0.353[)10,1530 b 4 [)15,2020 0.205[]20,2510 0.10合计100 1(1)求a ，b 的值，并在下图中作出这些数据的频率直方图（用阴影涂黑）；(2)根据频率直方图估计该组数据的众数及中位数（中位数精确到0.01）；(3)现从第4、5组中用比例分配的分层抽样方法抽取6人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第4组得分的平均数，方差，第5组得分的平均数，方差，则这6人得分的平均7x =22s =7y =21t =数和方差分别为多少（方差精确到0.01）？a 2σ【答案】(1)；；作图见解析35a =0.30b =(2)众数的估计值为7.5；中位数的估计值为11.67(3)平均数为7，方差为1.67【分析】（1）根据频率之和为1，以及频数之和为样本容量，即可求解.（2）根据频率分步直方图，可求众数以及中位数.（3）根据平均数和方差的公式即可求解.【详解】（1）∵，∴．5302010100a ++++=35a =∵，∴．0.050.350.200.101b ++++=0.30b =频率直方图如下：（2）该组数据众数的估计值为7.5．易知中位数应在内，设中位数为x ，[)10,15则，解得，故中位数的估计值为11.67．()0.050.35100.060.5x ++-⨯=11.67≈x（3）∵第4组和第5组的频数之比为2∶1，∴从第4组抽取4人，第5组抽取2人．∴这6人得分的平均数， 424727766x y a ⨯+⨯⨯+⨯===方差， ()()()()2222242420210 1.6766s x a t y a σ⎡⎤⎡⎤+-++-+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==≈即这6人得分的平均数为7，方差为1.67．21．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互,ABCD ABEF 相垂直．活动弹子M ，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记AC BF CM BN ．(0CM BN a a ==<< (1)求证：平面；//MN BCE (2)当的长度最小时，求二面角的余弦值．MN A MN B --【答案】(1)证明见解析(2) 13-【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行即可；（2）利用向量法求出的长度取最小值时的坐标，证明是二面角的平面MN ,M N AGB ∠A MN B --角，利用向量法求余弦即可,【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0)A C F E，， ． CM BN a ==M ∴N ⎫⎪⎭显然平面的一个法向量为，BCE (1,0,0)BA = 而，1)MN =- 因为，平面0⋅= MN BA MN ⊄BCE 所以MN//平面BCE.· ·（2）||MN =当；此时，为中点时，最短， a ||MN M N MN 则，取的中点，连接，， 1111(,0,),(,,0)2222M N MN G AG BG 则，，， 1(2G 141)4，，，，AM AN = BM BN =AG MN ∴⊥BG MN ⊥是二面角的平面角．AGB ∴∠A MN B --，， 111,,244GA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭111(,,244GB =--- ． ·1cos ,3·GA GB GA GB GA GB ∴===- 二面角的余弦值是． ∴A MN B --13-22．已知椭圆C ：的离心率过椭圆C 的上、下顶点． ()222210x y a b a b +=>>e =222x y +=(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为，且直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，点P 关于原点的对称点为E ，点12是椭圆C 上一点，若直线AE 与AQ 的斜率分别为，，证明：．()2,1A -AE k AQ k 0AE AQ k k +=【答案】(1) 22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据圆经过上、下顶点可求，利用离心率和的关系可得答案； b ,,a b c （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，求和验证即可.AE k AQ k 【详解】（1）因为圆过椭圆C 的上、下顶点，所以；222x y +=b =又因为离心率， e =c a ==28a =所以椭圆的方程为. 22182x y +=（2）由于直线l 的斜率为，可设直线l 的方程为； 1212y x t =+代入椭圆方程，可得， 2248x y +=222240x tx t ++-=由于直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，所以整理解得, 2244(24)0,t t ∆=-->22t -<<设点，由于点P 与点E 关于原点对称，故, ()()1122,,,P x y Q x y ()11,E x y --； 212122,24x x t x x t +=-=-因为，所以 ()2,1A -211221212111(2)(1)(2)(1)22(2)(2)AE AQ y y x y x y k k x x x x ------+++=+=+-++- 112211,,22y x t y x t =+=+ 1221(2)(1)(2)(1)x y x y ---++2112211242()()y y x y x y x x =-++--- 211212121212()()44x x x x tx tx x x x x t x x =--=--+++--+-故，结论得证. 2(24)(2)40,t t t =-----=0AE AQ k k +=。
2023-2024学年山西省高二下册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年山西省高二下册第一次月考数学试题一、单选题1．已知1()2P BA =∣，3()8P AB =，则()P A 等于（）A ．316B ．1316C ．34D ．14【正确答案】C根据条件概率公式计算．【详解】由()()()P AB P BA P A =∣，可得()3()()4P AB P A P B A ==∣.故选：C.2．已知012233C 2C 2C 2C 2C 81n n n n n n n ++++⋅⋅⋅+=，则123C C C C nn n n n +++⋅⋅⋅+等于（）A ．15B ．16C ．7D ．8【正确答案】A【分析】根据二项式定理展开式的逆运算即可求得n 的值，再由由二项式系数和即得.【详解】逆用二项式定理得()01223322221281nn n nn n n n C C C C C ++++⋅⋅⋅+=+=，即433n =，所以n =4，所以12342115n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=-=．故选：A.3．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．80【正确答案】C【详解】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.4．若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A ．180B ．120C ．90D ．45【正确答案】A【分析】已知条件中只有第六项的二项式系数最大，n 应为偶数，可确定n 值，进而利用展开式即可求得常数项.【详解】如果n 为奇数，那么是中间两项的二项式系数最大；如果n 为偶数，那么是中间一项的二项式系数最大；只有第六项的二项式系数最大10n ∴=，1022x ⎫∴⎪⎭展开式的通项为：10521102r r r r T C x -+=⨯⨯令10502r-=，解得：2r =∴展开式中常数项是.22102180C ⨯=故选：A.5．有8位学生春游，其中小学生2名､初中生3名､高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生相邻､3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（）A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种【正确答案】B【分析】利用捆绑法和插空法可求得结果.【详解】第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有22A 种不同排法；第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中，有33A 种不同排法；第三步，排2名小学生有22A 种不同排法，排3名初中生有33A 种不同排法.根据分步计数原理，共有23232323144A A A A =种不同排法.故选：B方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.6．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．A ．122B ．112C ．102D ．92【正确答案】D【详解】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为．二项式系数，二项式系数和．7．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【正确答案】D【分析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D8．设5nx⎛⎝的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若240M N -=，则展开式中有理项共有（）A ． 1项B ．2项C ．3项D ． 4项【正确答案】C【分析】根据二项式系数和公式，结合赋值法、二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式系数和为2n N =，在5nx⎛ ⎝中，令1x =，得4nM =，由()()24042240021521602164n n n n nM N n -=⇒--=⇒+-=⇒=⇒=，二项式45x⎛ ⎝的通项公式为()()34442144C 5C 51rr r r r r r r T x x ---+⎛=⋅⋅=⋅⋅-⋅ ⎝，令0,2,4r =，则344,1,22r-=-，所以展开式中有理项共有3项，故选：C9．设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段2OF 的中点，则双曲线C 的离心率是（）AB C ．3D 【正确答案】A【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段2OF 的中点得到2c b =，即可求出离心率,【详解】由题意知：渐近线方程为by x a=±，由焦点2(,0)F c ，222c a b =+，以2F 为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，则圆的半径r等于圆心到切线的距离，即r b ==，又该圆过线段2OF 的中点，故2cr b ==，所以离心率为ca=故答案为.310．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种【正确答案】B【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2，则先将4门学科分成三组共11243222C C C A 种不同方式.再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有112343232236C C C A A ⋅=种，若是0,1,3，则先将4门学科分成三组共1343C C 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有13343324C C A ⋅=种，若是0,2,2，则先将门学科分成三组共224222C CA 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有2234232218C C A A ⋅=种所以每位同学的不同选修方式有36241878++=种，故选：B.二、多选题11．若()102100121021,R x a a x a x a x x -=++++∈ ，则（）A ．2180a =B ．10012103a a a a +++= C ．100210132a a a -+++=D ．31012231012222a a a a ++++=- 【正确答案】ABD【分析】根据二项式展开式的系数特点，结合通项公式，采用赋值法，一一求解各个选项，即得答案.【详解】由题意1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，所以8282310C (2)(1)180T x x =-=，所以2180a =，故A 正确．令=1x -，则1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，即为1021001210(21)||||||||x a a x a x a x +=++++ ，令1x =，得1001210||||||||3a a a a ++++= ，故B 正确；对于1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，令1x =，得012101a a a a ++++= ，令=1x -，得：10012103a a a a -+-+= ，两式相加再除以2可得100210132a a a ++++= ，故C 错误.对于1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，令0x =，得01a =，令12x =，得310120231002222a a a aa +++++= ，故31012231012222a a a a ++++=- ，故D 正确，故选：ABD12．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B 为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（）A ．()35P A =B ．()310P AB =C ．()12P B A =D ．()12P B A =【正确答案】ABC【分析】根据古典概型概率的求法及条件概率，互斥事件概率求法，可以分别求得各选项.【详解】()131535C C P A ==,故A 正确；()11321154310C C P AB C C ==，故B 正确；()()()0351231P AB P P A B A ===，故C 正确；()121525C C P A ==，()11231154103C C C C P AB ==，()()()3310245P AB P B A P A ===，故D 错误.故选:ABC三、填空题13．已知事件A 和B 是互斥事件，()16P C =，()118P B C ⋂=，()()89P A B C ⋃=，则()P A C =______．【正确答案】59【分析】根据条件概率的定义以及运算性质，可得答案.【详解】解：由题意知，()()()()89P A B C P A C P B C ⋃=+=，()()()1118136P B C P B C P C ⋂===，则()()()()815939P A C P A B C P B C =⋃-=-=．故59．14．5555除以8，所得余数为_______.【正确答案】7【分析】由55561=-，运用二项式定理，结合整除的性质，即可求解.【详解】依题意，()()()()()()5512545555055154253541550555555555555561C 561C 561C 561C 561C 561=-=-+-+-++-+- 因为56能被8整除，所以5555除以8，所得的余数为.187-+=故7.15．已知()()()420122111x a a x a x -=+-+-()()343411a x a x +-+-，则3a =____.【正确答案】32对多项式进行变形得()44444112122122x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再研究441212x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的()31x -项，即可得答案.【详解】对多项式进行变形得()44444112122122x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴44142((,0,1,,411)2r r rr T C r x -+-=⋅= ，当3r =时，4343342(3212a C -=⋅=.故答案为.32本题考查二项式定理求展开式指定项的系数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16．有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情况有__________种．【正确答案】15【分析】依题意，首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩下4个球，再来分配这4个球，按照分类加法计数原理计算可得；【详解】解：有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，故首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩下4个球，①4个球分给一人，有3种分法；②4个球分给两个人，又有两种情况，一人3个一人1个有236A =种分法；两人都是2个有3种分法；③4个球分给3个人，只有1、1、2这种情况，有3种分法，按照分类加法计数原理可得一共有363315+++=种；故15本题考查分类加法计数原理的应用，属于基础题.四、解答题17．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*N n S n ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，公比大于0，且2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b 的前n 项和()*N n ∈.【正确答案】(1)32n a n =-，2nn b =(2)前n 项和110(35)2n n T n +=+-⋅【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比q 的值，再根据等差数列的通项公式和求和公式可列出方程组，解出首项1a 和公差d 的值，即可求得{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）先根据第（1）题的结论得到数列{}n n a b ×的通项公式，然后运用错位相减法求出前n 项和n T ．【详解】（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则0q >．故22212q q +=，解得2q =，12b = ，则2231228b b q ==⨯=，33412216b b q ==⨯=，由题意，得11132811101111162a d a a d +-=⎧⎪⎨⨯+=⨯⎪⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩．13(1)32n a n n ∴=+-=-；1222n n n b -=⨯=．（2）由（1）知，(32)2n n n a b n ⋅=-⋅．设其前n 项和为n T ，211221242(32)2n n n n T a b a b a b n ∴=++⋯+=⨯+⨯+⋯+-⋅，①23121242(35)2(32)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-⋅+-⋅，②①-②，得23112323232(32)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⋯+⋅--⋅21212(122)(32)2n n n -+=+⨯++⋯+--⋅1112212(32)212n n n -+-=+⨯--⋅-()153210n n +=-⋅-．()110352n n T n +∴=+-⋅．18．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线方程为()220x py p =>，其顶点到焦点的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)若点()0,4P -，设直线():0l y kx t t =+≠与抛物线交于A 、B 两点，且直线PA 、PB 的斜率之和为0，证明：直线l 必过定点，并求出该定点．【正确答案】(1)28x y =；(2)详见解析；【分析】（1）根据题意求出抛物线的焦点坐标，可求得p 的值，进而可求得抛物线的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据直线PA 、PB 的斜率之和为0求得实数t 的值，即可求得直线l 所过定点的坐标.【详解】（1）0p > ，且抛物线22x py =的顶点到焦点的距离为2，则该抛物线的焦点坐标为()0,2，22p∴=，解得4p =，因此，该抛物线的方程为28x y =；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立28y kx tx y=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得2880x kx t --=，由韦达定理得128x x k +=，128x x t =-.直线PA 的斜率为2111111144488x y x k x x x ++===，同理直线PB 的斜率为22248x k x =+，由题意得()1212121212124448324108888x x x x x x k k k k k x x x x t t +++⎛⎫+=++=+=+=-= ⎪-⎝⎭，上式对任意的非零实数k 都成立，则410t -=，解得4t =，所以，直线l 的方程为4y kx =+，该直线过定点()0,4.设而不求，联立方程，利用韦达定理解题是本类题目常用思路.本题中表示出()12121212121244441088x x x x x x k k k x x x x t +++⎛⎫+=++=+=-= ⎪⎝⎭是解题关键，也是计算难点.19．已知函数()2()24ln f x x ax x =-，a R ∈.（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）令2()()g x f x x =+，若[1,)x ∀∈+∞，函数()g x 有两个零点，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)函数()f x 的单调递减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2))+∞【分析】（1）当0a =时，()22ln f x x x =，求出()f x ¢，可得函数()f x 的单调区间；（2）依题意得，()()2224ln g x x ax x x =-+，然后求导，得()()()()44ln 2424ln 1g x x a x x a x x a x =-+-+=-+'，然后，分情况讨论即可求出实数a 的取值范围【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,+¥当0a =时，()22ln f x x x =()()4ln 222ln 1f x x x x x x =+=+'令()'0f x >得2ln 10x +>，解得12x e ->，令()'0f x <得2ln 10x +<，解得120x e -<<，所以函数()f x 的单调递减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）()()2224ln g x x ax x x =-+，()()()()44ln 2424ln 1g x x a x x a x x a x =-+-+=-+'由[)1,x ∈+∞得ln 10x +>①当1a ≤时，()'0g x ≥，函数()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()1g x g ≥，即()1g x ≥，函数()g x 在[)1,+∞上没有零点.②当1a >时，()1,x a ∈时，()'0g x <，(),∈+∞x a 时，()'0g x >所以函数()g x 在()1,a 上单调递减，在(),+∞a 上单调递增因为()110g =>，()2240g a a =>所以函数()g x 在[)1,+∞有两个零点只需()()()2min 12ln 0g x g a a a ==-<解得a >综上所述，实数a 的取值范围为)+∞本题考查利用导数求单调性和单调区间的问题，解题的关键在于分情况讨论时注意数形结合，属于难题。
云南省玉溪第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题
云南省玉溪第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列说法中，正确的有（）A ．过点()1,2P 且在x 、y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B ．直线10x +=的倾斜角为60o C ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-D ．过点()5,4并且倾斜角为90 的直线方程为40y -=2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，1123AC xAB yBC zC C =++，则x y z ++=（）A ．1B ．76C ．56D ．233．设{},,i j k 是单位正交基底，已知向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()8,6,4，其中a i j =+，b j k =+ ，c k i =+ ，则向量p在基底{},,i j k 下的坐标是（）A ．()12,14,10B ．()10,12,14C ．()14,12,10D ．()4,3,24．已知()2,1,0a b +=- ，()0,3,2a b -=-，则cos ,a b 的值为（）A ．13B ．3C ．3D ．35．已知()()()0,0,0,1,1,1,1,2,2A B M -，则M 到直线AB 的距离为（）AB C ．1D 6．已知圆的方程为2220x y x +-=，(),M x y 为圆上任意一点，则21y x --的取值范围是（）A ．⎡⎣B ．[]1,1-C ．(),-∞+∞D ．(][),11,-∞-+∞ 7．在空间直角坐标系中，向量()2,1,a m =-，()4,2,4b =- ，下列结论正确的是（）A ．若//a b r r，则2m =B ．若a b ⊥ ，则52m =-C ．若,a b 为钝角，则52m <D ．若a 在b 上的投影向量为16b，则4m =8．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得()f x =的最小值为()A ．B ．C ．4D ．89．关于方程22220x y ax ay ++-=表示的圆，下列叙述中正确的是（）A ．圆心在直线y x =-上B ．其圆心在x 轴上C ．过原点D二、多选题10．对于直线1:230l ax y a ++=，()2:3130l x a y a +-+-=.以下说法正确的有（）A ．12//l l 的充要条件是3a =B ．12l l ⊥的充要条件是25a =C ．直线2l 一定经过点()1,1M -D ．点()1,3P 到直线1l 的距离的最大值为511．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论正确的是（）A ．直线1BD ⊥平面11AC DB ．三棱锥11P ACD -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．直线1C P 与平面11AC D 三、填空题12．两平行直线3450x y ++=和6200x my ++=间的距离是.13．点()2,0P 关于直线l ：10x y ++=的对称点Q 的坐标为.14．给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a ，b垂直的向量；（ii ）a ，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯=；②AB AD AD AB ⨯=⨯ ；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是.四、解答题15．已知ABC V 的三个顶点分别为()()()1,0,3,2,0,3A B C -．(1)求AB 边上的高所在直线的方程；(2)求ABC V 的面积．16．如图，在梯形ABCD 中，π,22,,,2AD BC ABC AB BC AD E F G ∠====∥分别为边AB ，,CD BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．(1)证明：BD EG ⊥；(2)求BD 与平面ABF 所成角的正弦值．17．已知圆M 经过原点和点()3,1-，且它的圆心M 在直线250x y +-=上.(1)求圆M 的方程；(2)若点D 为圆M 上的动点，定点()2,0C ，求线段CD 的中点P 的轨迹方程.18．如图在四棱锥A BCDE -中，//CD EB ，1CD =，2EB =，CB BE ⊥，AE AB BC ===，AD =，O 是AE 的中点.(1)试在AB 上确定点F 的位置，使C 、D 、O 、F 四点共面，并证明；(2)求点O 到平面ACD 的距离；(3)在棱BE 上是否存在点M ，使得半平面ADM 与半平面ABC 所成二面角的余弦值为，若存在，求:EM MB ，若不存在，说明理由.19．A 是直线PQ 外一点，点M 在直线PQ 上（点M 与点,P Q 任一点均不重合），我们称如下操作为“由A 点对PQ 施以视角运算”：若点M 在线段PQ 上，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠∠=；若点M 在线段PQ 外，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠∠=-.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，点D 在射线BC 上.(1)若AD 是角A 的平分线，且3b c =，由A 点对BC 施以视角运算，求(),;B C D 的值；(2)若60,4,A a AB AD ==⊥ ，由A 点对BC 施以视角运算，(),;2B C D =-ABC V 的周长；(3)若120A =o ，4=AD ，由A 点对BC 施以视角运算，(),;cB C D b=，求4b c +的最小值.。
新疆高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．某物体的运动路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数表示，则该()21s t t t =++物体在s 时的瞬时速度为（ ） 1t =A ．0m/s B ．1m/s C ．2m/s D ．3m/s【答案】D【分析】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解. 【详解】该物体在时间段上的平均速度为[]1,1t +∆，当无限趋近于0时，无限趋()()()()()22111111113t t s t s s t t t t+∆++∆+-+++∆-∆===+∆∆∆∆Δt 3t +∆近于3，即该物体在s 时的瞬时速度为3m/s ． 1t =故选：D2．曲线在点（1，－2）处的切线的倾斜角为（ ） 43y x x =-A ．B ．C ．D ．6π4π3π23π【答案】B【分析】根据导数的几何意义求解．【详解】因为，所以，故所求切线的倾斜角为．343y x '=-11x y ='=4π故选：B ．3．函数的单调递增区间为（ ）21=ln 22y x x -+A ． B ．C ．D ．()1,1-()0,1[)1,+∞()0,∞+【答案】C【分析】先对函数求导，然后令导函数大于0解出不等式，并结合函数的定义域，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，21=ln 22y x x -+211x y x x x -'=-=令，得或，0y >'A A A A 1x <-1x >又函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为， {}0x x >[1,)+∞故选：C4．若函数在区间上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ）()331f x x kx =-+()1,+∞A ． B ． C ． D ．(),1-∞(],1-∞[)1,-+∞[)1,+∞【答案】B【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值()f x (1,)+∞k 范围.【详解】由题意得，在区间上恒成立， 22()333()0f x x k x k '=-=-≥(1,)+∞即在区间上恒成立，2k x ≤(1,)+∞又函数在上单调递增，得， 2y x =(1,)+∞21x >所以，即实数的取值范围是. 1k ≤k (,1]-∞故选：B5．已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（ ）()y f x =()y f x '=()y f x =A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的单调性与导数的关系以及导数的变化可得结果.【详解】由图可知，当时，，则函数在上为增函数， 11x -<<()0f x ¢>()f x ()1,1-当时，单调递增，故函数在上的增长速度越来越快，10x -<<()f x '()f x ()1,0-当时，单调递减，故函数在上的增长速度越来越慢. 01x <<()f x '()f x ()0,1B 选项中的图象满足题意. 故选：B.6．函数在区间上的最大值为（ ） ()cos sin f x x x x =-[]π,0-A ．1 B ．C ．D ．π323π2【答案】B【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意得， ()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-当时，，，[]π,0x ∈-sin 0x ≤()0f x '≤所以在区间单调递减，故函数最大值为， ()f x []π,0-()ππf -=故选：B7．“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中为节点，若研究发现本局游戏只能以为起,,A B C A 点为终点或者以为起点为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为（ ）C C AA ．种B ．种C ．种D ．种6122430【答案】C【分析】采用分步乘法可计算得到以为起点，为终点的方法数，再利用分类加法计数原理求得A C 结果.【详解】以为起点时，三条路线依次连接即可到达点，共有种选择；自连接到A B 326⨯=B C 时，在右侧可顺时针连接或逆时针连接，共有种选择，C 2以为起点，为终点时，共有种方法；∴A C 6212⨯=同理可知：以为起点，为终点时，共有种方法；C A 12完成该图“一笔画”的方法数为种.∴121224+=故选：C.8．过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（ ） A ．24种 B ．36种C ．48种D ．60种【答案】B【分析】根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测试的安排方案种数.【详解】①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有种安排方法，33A 6=此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第四、第五天有种选择，剩12C 12C 下两种测试全排列，则有种安排方法，22A 112222C C A 8=此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第一、第五天有种选择，剩12C 12C 下两种测试全排列，则有种安排方法；22A 112222C C A 8=故选拔测试的安排方案有种. 6282836⨯+⨯+=故选：B.二、多选题9．某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则下列说法正确的有（ ）A ．若不选择政治，选法总数为种25C B ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1225C C C ．若物理和历史不能同时选，选法总数为种3164C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种 121244(C C C )-【答案】AC【分析】根据组合数性质判断A ；若物理和化学至少选一门，分物理和化学选一门和物理和化学都选，求出选法数，判断B ；物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门减去物理和历史同时选的选法数，判断C ；物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，分三种情况考虑，求得选法数，判断D.【详解】对于A, 若不选择政治，选法总数为种,正确；3255C C =对于B ，若物理和化学选一门，选法总数为， 1224C C 若物理和化学都选，则选法数有种，2124C C 故物理和化学至少选一门，选法总数为种，而，B 错误；12212424C C C C 16+=1225C C 20=对于C, 若物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门有种选法，36C 减去物理和历史同时选的选法数，故选法总数为种，C 正确；14C 3164C C -对于D,当物理和化学中只选物理时，有种选法； 23C 当物理和化学中只选化学时，有种选法； 24C 当物理和化学中都选时，有种选法，13C 故物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种，而，D 错误，221343C +C +C =12121244C C C 8-=故选：AC 10．下列等式正确的是（ ）A ．B ．()111A A m m n n n +++=()()!2!1n n n n =--C ．D ．A C !mm n nn =11A A m m n n n m+=-【答案】ABD【分析】利用排列数公式、组合数公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，，A 正确；()11!(1)!(1)()![(1)(1)]!1A A mm n n n n n n n m n m +++=+⋅=-+-++=对于B ，，B 正确； ()()!(1)!(1)(2)!2!1(1)1n n n n n n n n n n n ⋅--⋅-===----对于C ，，而与不一定相等，则与不一定相等，C 不正确；A C !m m nnm =!m !n A !m n m A !m n n 对于D ，，D 正确. 111!!A A (1)!()!m m n n n n n m n m n m n m +⋅==-----=故选：ABD11．如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是（ ）()y f x =()f x 'A ．在区间上，单调递增 ()2,1-()f xB ．在区间上，单调递增 ()1,2()f xC ．在区间上，单调递增 ()4,5()f xD ．在区间上，单调递增 ()3,2--()f x 【答案】BC【分析】当，则单调递增，当，则单调递减，据此可得答案. ()0f x ¢>()f x ()0f x '<()f x 【详解】由题图知当时，，()()1245,，,x x ∈∈()0f x ¢>所以在区间上，单调递增，BC 正确； ()()1245,，，()f x 当时，，当时，，所以在区间上，单调递减.()2,1x ∈--()0f x '<()1,1x ∈-()0f x ¢>()2,1--()f x 在上递增，A 错误；()1,1-当时，，所以在区间上，单调递减，D 错误； ()3,2x ∈--()0f x '<()3,2--()f x 故选：BC12．已知函数，则（ ） 321()()3f x x ax x a =+-∈R A ．当时，函数的极大值为0a =()f x 23-B ．若函数图象的对称中心为，则 ()f x (1,(1))f 1a =-C ．若函数在上单调递增，则或 ()f x R 1a ≥1a ≤-D ．函数必有3个零点 ()f x 【答案】BD【分析】根据函数极大值的定义，结合函数的导数的性质、函数零点的定义逐一判断即可.【详解】A 项：当时，，则，所以在单调递增，在0a =31()3f x x x =-2()1f x x '=-()f x (,1)-∞-单调递减，在单调递增，所以极大值为，故错误； (1,1)-(1,)+∞()f x 12(1)133f -=-+=B 项：因为函数图象的对称中心为，()f x (1,(1))f所以有，故正确；()()()()21121101f x f x f a x a ++-=⇒+=⇒=-C 项：恒成立，显然必有两根，则2()210f x x ax =+-≥'()0f x '=()121212,,10x x x x x x <⋅=-<()f x 在递减，故错误；()12,x x D 项：必有2相异根，且非零，()2221111001010333f x x ax x x x ax x ax ⎛⎫=+-=⇒=+-=+-= ⎪⎝⎭或，故必有3个零点，故正确． ()f x 故选择：BD三、填空题13．已知函数，则在处的切线方程为___________.()e sin 2xf x x =-()f x ()()0,0f 【答案】10x y +-=【分析】由导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程.【详解】因为，()e sin 2xf x x =-所以，，()00e sin 01f =-=()e 2cos 2xf x x =-'所以，()00e 2cos 01f =-=-'切线方程为， 即. ()10y x -=--10x y +-=故答案为：.10x y +-=14．函数有极值，则实数的取值范围是______．()322f x x x ax a =-++a 【答案】1(,3-∞【分析】求出函数的导数，再利用存在变号零点求出a 的范围作答.()f x '()f x '【详解】函数定义域为R ，求导得：，()322f x x x ax a =-++2()32f x x x a '=-+因为函数有极值，则函数在R 上存在变号零点，即有两个不等实根， ()f x ()f x '()0f x '=即有方程有两个不等实根，于是得，解得，2320x x a -+=4120a ∆=->13a <所以实数的取值范围是.a 1(,)3-∞故答案为：1(,)3-∞15．某公司新开发了4件不同的新产品，需放到三个不同的机构A ，B ，C 进行测试，每件产品只能放到一个机构里，则所有测试的情况有________种（结果用具体数字表示）． 【答案】81【分析】利用分步乘法原理求解即可【详解】由题意可知，每一个新产品都有3种放法，所以由分步乘法原理可得 4件不同的新产品共有种放法， 333381⨯⨯⨯=故答案为：8116．已知，则_________.233A C 0!4m -+=m =【答案】2或3【分析】利用排列数公式，组合数公式进行计算即得．【详解】，233A C 0!4m -+= ，又，3A 6m∴=323216⨯=⨯⨯=所以或. 2m =3m =故答案为：2或3.四、解答题17．求下列函数的导数． (1)； ln(21)y x =+(2)； sin cos xy x=(3)． 1()23()()y x x x =+++【答案】(1) 221y x '=+(2) 21cos y x'=(3) 231211y x x =++'【分析】利用导数的运算法则求解. 【详解】（1）解：因为， ln(21)y x =+所以； 221y x '=+（2）因为， sin cos xy x=所以； ()2222cos sin 1cos cos x xy xx +'==（3）因为， 1()23()()y x x x =+++，326116x x x =+++所以.231211y x x =++'18．已知函数．()322f x x ax b =-+(1)若函数在处取得极小值－4，求实数a ，b 的值； ()f x 1x =(2)讨论的单调性．()f x 【答案】(1) 33a b =⎧⎨=-⎩(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）根据求导和极值点处导数值为0即可求解；（2）求导，分类讨论的取值即可求解. a 【详解】（1），则 ()262f x x ax '=-()()1014f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩即解得，经验证满足题意，62024a a b -=⎧⎨-+=-⎩33a b =⎧⎨=-⎩（2）()()26223f x x ax x x a '=-=-令解得或 ()0f x '=0x =3a x =1°当时，在上单调递增0a =()f x ()∞∞－，＋2°当时，在，上单调递增，上单调递减a<0()f x ,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0∞，＋,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭3°当时，在，（上单调递增，上单调递减0a >()f x ()0∞－，,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭19．已知函数.()e 2x f x ax a =++(1)若为的一个极值点，求实数a 的值并此函数的极值； 0x =()f x (2)若恰有两个零点，求实数a 的取值范围. ()f x 【答案】(1)，极小值为，无极大值12a =-12(2) ,⎛-∞ ⎝【分析】（1）由求得，结合函数的单调性求得的极值. ()00f '=a ()f x （2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. ()0f x =a a 【详解】（1），依题意，()e 2x f x a '=+()10120,2f a a =+==-'此时，所以在区间递减；()e 1xf x '=-()f x ()()(),0,0,f x f x '-∞<在区间递增. ()()()0,,0,f x f x '+∞>所以的极小值为，无极大值. ()f x ()110122f =-=（2）依题意①有两个解，()e 20x f x ax a =++=，所以不是①的解，121e 02f -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭12x =-当时，由①得，12x ≠-e 21xa x =-+构造函数，()e 1212x g x x x ⎛⎫=-≠- ⎪+⎝⎭，()()()()22e 212e 21e 2121x xx x x g x x x +--'=-=-⋅++所以在区间递增；()()111,,,,0,222g x g x ⎛⎫⎛⎫'-∞--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间递减.()()1,,0,2g x g x ⎛⎫'+∞< ⎪⎝⎭当时，；当时，，12x <-()0g x >12x >-()0g x <与的图象有两个交点， 121e 22g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭y a =()y g x =则需a <综上所述，的取值范围是. a ,⎛-∞ ⎝【点睛】根据极值点求参数，要注意的是由求得参数后，要根据函数的单调区间进行验()00f x '=证，因为导数为零的点，不一定是极值点.利用导数研究函数的零点，可以考虑分离常数法，通过分离常数，然后利用构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.20．已知一条铁路有8个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从车站上车到A B 车站下车为1种车票（）．A B ≠(1)该铁路的客运车票有多少种？(2)为满足客运需要，在该铁路上新增了个车站，客运车票增加了54种，求的值．n n 【答案】(1)56(2)3【分析】根据条件利用排列公示建立方程就可以解决.【详解】（1）铁路的客运车票有.288756A =⨯=（2）在新增了个车站后，共有个车站，因为客运车票增加了54种，则， n 8n +285654n A +-=所以，解得.28(8)(7)110n A n n +=++=3n =21．现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如346和157都是三位“幸福数”）.(1)求三位“幸福数”的个数；(2)如果把所有的三位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第80个三位“幸福数”.【答案】(1)个84(2)589【分析】（1）由幸福数的定义结合组合公式求解即可；（2）分类讨论最高位数字，由组合公式结合分类加法计数原理得出第80个三位“幸福数”.【详解】（1）根据题意，可知三位“幸福数”中不能有0，故只需在数字1，2，3，…，9中任取3个，将其从小到大排列，即可得到一个三位“幸福数”，每种取法对应1个“幸福数”，则三位“幸福数”共有个.39C 84=（2）对于所有的三位“幸福数”，1在最高数位上的有个， 28C 28=2在最高数位上的有个，27C 21=3在最高数位上的有个，2615C =4在最高数位上的有个，25C 10=5在最高数位上的有个.24C 6=因为，28211510680++++=所以第80个三位“幸福数”是最高数位为5的最大的三位“幸福数”，为589.22．为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小()W x ()3123W x x x =+于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售()64727W x x x=+-完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成()P x x 本-流动成本.）(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1)； ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩(2)当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.【分析】（1）分以及，分别求解得出表达式，写成分段函数即可；04x <<4x ≥()P x （2）当时，求导得出.然后根据基本不等式求出时，的最值，04x <<()max 10()23P x P ==4x ≥()P x 比较即可得出答案.【详解】（1）由题意，当时，；当时，04x <<()33116224233x x x x x P x ⎛⎫=--+=-+- ⎪⎝⎭4x ≥. ()64646272725P x x x x x x ⎛⎫=--+-=-- ⎪⎝⎭所以. ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当时，，令，解得.04x <<()24P x x '=-+()0P x '=2x =易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，()P x ()0,2()2,404x <<. ()max 10()23P x P ==当时，， 4x ≥()6425259P x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时取等号. 64x x=8x =综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.。
2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)
2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）1B. C. D. 3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π35. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与 所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（ ）6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 11291409112314037. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（ ）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AA P 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m⊥m αβ= l α∥l m∥10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF 的最小值为11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 16.如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.17.我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体【正确答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．A 'BCCB ''A BCC B '''-故选：B2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）1B. C. D. 【正确答案】A【分析】利用三角形的面积公式可得出正四面体的表面积.【详解】棱长为的正四面体的表面积为.1221141sin 604122S =⨯⨯⨯=⨯⨯= 故选：A.3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 【正确答案】C【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，的延长线必过此点，,HE GF 可判断选项中的线线位置关系.【详解】延长，1111,,,AA BB CC DD 由正四棱台的性质可得侧棱的延长线交于同一点，设该交点为.1111,,,AA BB CC DD P分别为棱的中点，,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 延长，则的延长线必过点，,HE GF ,HE GF P 则直线与直线相交于点；与直线相交于点；与直线相交于点HE GF P 1BB P 1CC P；与直线是异面直线.BF 故选：C.4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π3【正确答案】D【分析】先利用圆锥的侧面积公式求出母线长，进而求出高，再利用圆锥的体积公式求解．【详解】设圆锥的母线长为，高为，半径为， l h r 则且，故2ππS r ==底=π3πS r l ⨯⨯=侧1,3r l ==，h ∴===圆锥的体积为．∴21π13⨯⨯⨯=故选：D ．5. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与 所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（ ）【正确答案】D【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），1CD 1D E1D CE ∠然后在中用余弦定理即可解得.1D CE 【详解】连接，，如图：1CD 1D E因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线1111ABCD A B C D -11//CDBA 1D CE ∠与 所成角，1BA CE 设正方体的棱长为，，a1CD===，1,CE D E ======在中，，1D CE 2221111cos 2CD CE DE D CE CD CE +-∠=⋅⋅==所以异面直线与 .1BA CE故选：D.6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 1129140911231403【正确答案】A【分析】作出截面，过点作，结合等腰梯形的性质得到高，再计算体积即可.1A 1A E AC ⊥【详解】过作出截面如图所示，过点作，垂足为，11,AC A C 1A 1A E AC ⊥E 易知为正四棱台的高，1A E 1111ABCD A B C D - 因为，1124,ABA B ==所以由勾股定理得，11AC A C==又，11CC AA ==则在等腰梯形中，，11ACCA AE =所以，143A E ===所以所求体积为.11111114112((1643339ABCD A B C D V S S A E =⨯++⋅=⨯++⨯=故选.A7. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（ ）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺【正确答案】C【分析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛2120藤的最少长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果.【详解】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即圆木长）为尺，矩形的底边长为（尺），207321⨯=（尺）.29=故选：C.8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AAP 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ【正确答案】C【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF 是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P 点11EGC D 1C G 1D E 1C H CF 的轨迹.【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接，11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF则∥，，且∥，，11A B EG 11A B EG =11A B 11C D 1111A B C D =可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥，EG 11C D 11EG C D =11EGC D 1C G 1D E 且平面，平面，可得∥平面，1C G ⊄1CD EF 1D E ⊄1CD EF 1C G 1CD EF 同理可得：∥平面，1C H 1CD EF 且，平面，可知平面∥平面，111C H C G C = 11,C H C G ⊂1C GH 1C GH 1CD EF 又因为P 点是正方形内的动点，平面，11ABB A 1C P ∥1CD EF 所以点在线段上，M GH由题意可知：，可得，1111,22GH A B EF A B ==GH EF ==所以P 故选：C.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m ⊥m αβ= l α∥l m∥【正确答案】BC【分析】根据空间中垂直关系的转化可判断ABC 的正误，根据线面平行定义可判断D 的正误.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；αβ⊥l β⊥l α∥l α⊂对于B ，若，，则，而，故，故B 正确；m β⊥l m ∥l β⊥l α⊂αβ⊥对于C ，若，，则，而，故，故C 正确；αβ∥m α⊥m β⊥l β⊂l m ⊥对于D ，若，，则或异面，故D 错误，m αβ= l α∥l m ∥,l m 故选：BC10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为【正确答案】ABD【分析】由棱柱的概述判断A ；由线面平行判定定理判断B ；计算可判断C ；利用基EFGH S 本不等式可判断D.【详解】由棱柱的定义知，选项A 正确；对于选项B ，由于，，所以，且不在水面所在平面11A D BC ∥BC FG ∥11A D FG ∥11A D 内，所以棱与水面所在平面平行，选项B 正确；11A D 对于选项C ，在图（1）中，，在图（2）中，4EFGH S FG EF BC AB =⋅=⋅=，选项C 错误；4EFGH S FG EF AB BC =⋅>⋅=对于选项D ，，所以．12212V BE BF BC =⨯⨯=⋅⋅⋅△4BE BF ⋅=，当且仅当时，等号成立，22228EF BE BF BE BF =+≥⋅=2BE BF ==所以EF 的最小值为，选项D正确．故选：ABD ．11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN【正确答案】BD【分析】A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】对于A ，假设A 对，即平面，于是，BF ⊥EAB BF AB ⊥，但六边形为正六边形，，矛盾，90ABF ∠=︒ABFPQH 120ABF ∠=︒所以A 错误；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为，3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=所以B 对；对于C ，取正方形对角线交点，ACPM O即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为，其表面积为，所以C 错误；R =24π8πR =对于D ，因为在平面内射影为，PN EBFN NS 所以与平面所成角即为，PN EBFN PNS ∠其正弦值为，所以D 对．PS PN==故选：BD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.【正确答案】2【分析】画出原图形可得答案.【详解】由直观图画出原图，如图，可得是等腰三角形，且，ABC V 2,2BC OA ==所以三角形的面积.ABC 12222S =⨯⨯=故答案为:2.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π【正确答案】29π【分析】先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积.【详解】设圆柱的高为，其外接球的半径为，h R 由圆柱的底面半径为1，侧面积为，得，解得，10π2π10πh =5h =由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，因此.R ==24π29πS R ==故29π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB【正确答案】)61π+【分析】首先求出，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点作交DOC ∠C CE AB ⊥于点，过点作交于点，即可求出，将扇AB E D DF AB ⊥AB F ,,,,,CE OE AE OF BF DF 形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部DOC AB R 分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积.【详解】因为，所以，设圆的半径为，ππ,63AOC BOD ∠∠==π2DOC ∠=R 又，解得（负值舍去），2COD 1ππ22S R =⨯⨯=扇形2R =过点作交于点，过点作交于点，C CE AB ⊥AB ED DF AB ⊥AB F 则，ππsin1,cos 66CE OC OE OC ====所以，同理可得，2AE R OE =-=-1DF OF ==将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中，上下截去两个球COD AB 2R =缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中上面球缺的高，上面圆锥的底面半径，高为，12h =-11r=1h ='下面球缺的高，下面圆锥的底面半径，21h =2r =21h ='则上面球冠的表面积，(112π2π228πs Rh ==⨯⨯-=-下面球冠的表面积，球的表面积，222π2π214πs Rh ==⨯⨯=24π16πS R ==球上面圆锥的侧面积，下面圆锥的侧面积111ππ122πS rl ==⨯⨯='，222ππ2S r l ==='所以几何体的表面积.())''121116π8π4π2π61πS S S S S S =--++=---++=+球故答案为.)61π+关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积要合理转化.四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）证明出，得到四点共面；//GH BC （2）先得到，，证明出线面平行，面面平行.1//A E BG //GH EF 【小问1详解】∵，分别是，的中点，G H 11A B 11A C ∴是的中位线，∴，GH 111A B C △11//GH B C又在三棱柱中，，∴，111ABC A B C -11//B C BC //GH BC ∴，，，四点共面.B C H G 【小问2详解】∵在三棱柱中，，，111ABC A B C -11//A B AB 11A B AB =∴，，1//A G EB 1111122A G A B AB EB ===∴四边形是平行四边形，∴，1A EBG 1//A E BG ∵平面，平面，∴平面.1A E ⊂1A EF BG ⊂/1A EF //BG 1A EF 又，是，的中点，所以，又.E F AB AC //EF BC //GH BC 所以，//GH EF ∵平面，平面，∴平面.EF ⊂1A EF GH ⊂/1A EF //GH 1A EF 又，平面，BG GH G = ,BG GH ⊂BCHG 所以平面平面.//BCHG 1A EF 16. 如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.【正确答案】（1）23（2）证明见解析 （3）证明见解析【分析】（1）先得到，根据Q 为PB 的中点，故1433P AMB AMB V S PA -=⋅= ；1223Q ABM P AMB V V --==（2）由线线垂直，得到线面垂直，即BM ⊥平面PAM .，故BM ⊥AN ，又AN ⊥PM ，从而得到线面垂直；（3）由(1)知AN ⊥平面PBM ，故AN ⊥PB ，又AQ ⊥PB ，故PB ⊥平面ANQ ，得到答案.【小问1详解】因为AB 为⊙O 的直径，所以⊥，AM BM 又，故，2AM BM ==122AMB S AM BM =⋅= 又PA 垂直于⊙O 所在的平面，，2PA =故，11422333P AMB AMB V S PA -=⋅=⨯⨯= 因为Q 为PB 的中点，所以.11422233Q ABM P AMB V V --==⨯=【小问2详解】∵AB 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，BM 平面ABM ，⊂∴PA ⊥BM .又∵，PA ，AM 平面PAM ，PA AM A = ⊂∴BM ⊥平面PAM .又AN 平面PAM ，∴BM ⊥AN .⊂又AN ⊥PM ，且，BM ，PM 平面PBM ，BM PM M = ⊂∴AN ⊥平面PBM .【小问3详解】由(1)知AN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，AN ，AQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ 平面ANQ ，⊂∴PB ⊥NQ .17. 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD ⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 【正确答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②平行，证明见解析.【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解；（2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解.【小问1详解】∵，BC CD ⊥∴为直角三角形，BCD △∵平面，且平面，平面，平面，AB ⊥BCD BD ⊂BCD ⊂BC BCD CD ⊂BCD∴，，，AB BC ⊥AB BD ⊥AB CD ⊥∴和为直角三角形，ABC V ABD △∵，平面，平面，BC AB B ⋂=BC ⊂ABC AB ⊂ABC ∴平面，CD ⊥ABC 又∵平面，AC ⊂ABC ∴，CD AD ⊥∴为直角三角形，ACD ∴三棱锥为鳖曘.A BCD -【小问2详解】①连接，∵点分别为的中点，CE ,P Q ,BC BE ∴，//PQ CE 且平面，平面，PQ ⊄ACD CE ⊂ACD 所以直线平面，//PQ ACD ②平行，证明：平面，平面，平面平面=，//PQ ACD PQ ⊂DPQ DPQ ⋂ACD l 所以.//PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）即为要画的线，理由见解析；,ED EB （2（3【分析】（1）要使截面与平行，考虑构造线线平行，取的中点，取的对SA S C E ABCD 称中心,连接,证明即得截面；O OE //SA OE BDE （2）分别计算的三边，再利用三角形面积公式计算即得；BDE （3）利用等体积求出点到平面的距离，再由线面所成角的定义即可求得.C BDE 【小问1详解】如图，取的中点，连接,则即为要画的线.S C E ,,ED EB ,ED EB理由如下：连接与交于点，连接.BD AC O OE 因四边形ABCD 为平行四边形，则点为的中点，故,O AC //SA OE 又因平面,平面,故有平面；SA ⊄BDE OE ⊂BDE SA ∥BDE 【小问2详解】如图中，过点作于点，连接,E EF DC ⊥FBF 因平面,平面，则,SD ⊥ABCD CD ⊂ABCD SD CD ⊥故,平面,,//EF SD ⊥EF ABCD 112EF SD ==12DE SC ===因，则,12,60,22CFDC DCB BC ==∠== 2BF =因平面，则，故,BF ⊂ABCD EF FB ⊥BE ==又由余弦定理，，故得.22224224cos6012BD =+-⨯⨯=BD =又，O 为BD 中点，则，DE DB =OE BD ⊥于是截面的面积为；12BDE S =⨯= 【小问3详解】过点作平面，交平面于点,连接,C CH ⊥BDE BDE H EH则即直线与截面所成的角.CEH ∠S C BDE 由可得，,E BCD C BED V V --=1133BCD BED S EF S CH ⨯=⨯即得：，则BCD BED S EF CH S ⨯===sin CH CEH EC ∠===即直线SC 与平面BDE 思路点睛：本题主要考查运用线面平行的判定方法解决实际问题和线面所成角的求法，属于较难题.解题的思路在于充分利用平行四边形对角线性质、等腰三角形三线合一，三角形中位线性质等方法寻找线线平行；对于线面所成角问题，除了定义法作图求解外，对于不易找到点在平面的射影时，可考虑运用等体积转化求解.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.【正确答案】（1）为等边三角形，理由见解析ABC V （2（3）证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，，即可根据曲率的定义求解，1AA AC ⊥1AA AB ⊥（2）利用等体积法，结合锥体体积公式即可求解，（3）根据则多面体的棱数，顶点数，以及内角之和，即可根据曲率的定义求解.【小问1详解】因为在直三棱柱中，111ABC A B C -平面，平面，1AA ⊥ABC ,AC AB ⊂ABC 所以，，1AA AC ⊥1AA AB ⊥所以点A 的曲率为，得，π2ππ2232BAC -⨯-∠=π3BAC ∠=因为，所以为等边三角形.AB AC =ABC V【小问2详解】取中点D ，连接、，BC AD AM 因为D 为的中点，所以，BC AD BC ⊥因为平面，平面，所以，1BB ⊥ABC AD ⊂ABC 1BB AD ⊥因为，平面，所以平面；1BB BC B = 1,AA AB ⊂11ABB A AD ⊥11BB C C 所以是三棱锥的高.AD 1A BB M -设点到平面的距离为，则有，即.B 1AB M h 11B AB M A BB M V V --=11AB M BB M S h S AD =⋅在中有，同理计算得，11Rt AA B△1AB ==1AM B M BM ===.AD =所以，，112AB M S =⨯=114242BB M S =⨯⨯=所以.h ==【小问3详解】证明：设多面体有M 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，1,2,,M ⋅⋅⋅设第号多边形有条边，i ()1i M ≤≤i L 则多面体共有条棱，122ML L L L ++⋅⋅⋅+=由题意，多面体共有个顶点，12222ML L L D M L M ++⋅⋅⋅+=-+=-+号多边形的内角之和为，i π2πi L -所以所有多边形的内角之和为，()12π2πM L L L M ++⋅⋅⋅+-所以多面体的总曲率为()122ππ2πM D L L L M ⎡⎤-++⋅⋅⋅+-⎣⎦.()12122π2π2π4π2M M L L L M L L L M ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎡⎤=-+-++⋅⋅⋅+-= ⎪⎣⎦⎝⎭所以简单多面体的总曲率为.4π。
高二数学第一次月考试题
高二数学第一次月考试题高二数学第一次月考试题第一部分：选择题（每小题5分，共计50分）1.设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 4x + 1，则f(g(2))的值为（） A.-3 B. 3 C. 7 D. 112.已知函数f(x) = x^2 - 2x - 3，则方程f(x) = 0的根为（） A. 1和-3B. 3和-1C. 1和3D. -1和33.若两个正整数x和y满足x^2 - y^2 = 48，则x - y的值为（） A. 4 B.6 C. 8 D. 124.已知函数f(x) = 2x + 5，g(x) = 3x - 1，则f(g(x))的值为（） A. 6x+ 14 B. 6x - 4 C. 6x + 4 D. 6x - 145.若函数f(x) = x^2 + kx + 8与函数g(x) = 2x^2 - 3x - 4相等，则k的值为（） A. -4 B. -2 C. 2 D. 46.若两个正整数x和y满足x + y = 7，x - y = 3，则x的值为（） A. 5B. 4C. 3D. 27.已知函数f(x) = x^2 - 2x - 3，g(x) = x + 1，则f(g(2))的值为（） A.6 B. 3 C. 0 D. -38.若函数f(x) = x^2 - 5x + 6与函数g(x) = x - 2相等，则x的值为（）A. 6B. 4C. 2D. 19.若两个正整数x和y满足x^2 + y^2 = 34，x - y = 2，则x + y的值为（） A. 8 B. 9 C. 10 D. 1110.设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 2x + 1，则f(g(1))的值为（） A.-1 B. 1 C. 3 D. 5第二部分：填空题（每小题5分，共计50分）1.函数f(x) = x^2 - 4x - 3的图像开口向上，顶点的坐标为（）。
2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第一次月考数学检测试题(含解析)
2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第一次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．在空间直角坐标系中，已知点，点则（ ）Oxyz ()1,3,5P ()1,3,5Q --A ．点和点关于轴对称B ．点和点关于轴对称P Q x P Q y C ．点和点关于轴对称D ．点和点关于原点中心对称P Q z P Q 2．向量，若，则（ ）()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- a ∥b A ．B ．1x y ==11,22x y ==-C ．D ．13,62x y ==-12,63x y =-=3．直三棱柱中，若，则（ ）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c +-r r ra b c -+r r rC ．D ．a b c -++ a b c -+- 4．下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（ ）,,a b c A ．两两垂直B ．,,a b c b cλ= C ．D ．a mb nc =+a b c ++=5．已知，则直线恒过定点（ ）2b a c =+0ax by c ++=A ．B ．(1,2)-(1,2)C ．D ．(1,2)-(1,2)--6．已知：，：，则两圆的位1C 2222416160x y x y +++-=2C 22228840x y x y ++--=置关系为（ ）A ．相切B ．外离C ．相交D ．内含7．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且P 22:11612x y C +=l 22:430M x y x +-+= 与交于两点，则的取值范围是（ ）M ,A B PA PB ⋅A ．B ．C ．D ．[]3,35[]2,34[]2,36[]4,368．已知圆和圆交于两点，点在圆221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=P 上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ）1C Q 2C A ．圆和圆关于直线对称1C 2C 8650x y +-=B ．圆和圆的公共弦长为1C 2CC ．的取值范围为PQ0,5⎡+⎣D ．若为直线上的动点，则的最小值为M 80-+=x y PM MQ+-二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，，则下列正确的是（ ）()1,2,0a =-()2,4,0b =-A ．B ．//a ba b⊥ C ．D ．在方向上的投影向量为2b a = a b ()1,2,0-10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．点到直线的距离是122CQ AB AD AA =--+1C CQ C ．D ．异面直线与所成角的正切值为43CQ = CQ BD 11．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）,x y 22410x y x +-+=A ．的最大值为B ．的最大值为y x -2-22x y +7+C ．的最大值为D ．的最小值为y x x y+2三、填空题（本大题共3小题）12．O 为空间任意一点，若，若ABCP 四点共面，则3148OP OA OB tOC=++ t =．13．已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则()2,0A -()2,0B P AP BP 34-动点的轨迹方程为．P 14．已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆P 221:(5)4C x y -+=P 的两条切线，切点分别为，直线222:2C x y ax +-220(25)a a a +-+=<<,PM PN M N 、分别交轴于两点，则 ， ．,PM PN x (1,0),(4,0)A B ||||PA PB =||MN =四、解答题（本大题共5小题）15．分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的离心率为，短轴长为23e =(2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程.C 2212x y +=31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭C 16．已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上．C ()()1,4,3,6A B C 340x y -=(1)求圆的方程；C (2)已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的一般式方程．l ()1,1l C l 17．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，ABCD ADEF，，，，，平面，//BC AD //EF AD 4=AD AB =2BC EF ==AF =FB ⊥ABCD 为上一点，且，连接、、M AD FM AD ⊥BD BE BM(1)证明：平面；⊥BC BFM (2)求平面与平面的夹角的余弦值.ABF DBE18．已知圆与圆内切．()222:0O x y r r +=>22:220E x y x y +--=(1)求的值．r (2)直线与圆交于两点，若，求的值；:1l y kx =+O ,M N 7OM ON ⋅=-k (3)过点作倾斜角互补的两条直线分别与圆相交，所得的弦为和，若E O AB CD ，求实数的最大值．AB CDλ=λ19．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫a bO OA a = OB b = AOB ∠做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向a b ,a ba b a b ⨯ 量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面a b sin ,a b a b a b ⨯=⋅ P ABCD -为矩形，底面，，为上一点，.ABCD PD ⊥ABCD 4DP DA ==E AD AD BP ⨯=(1)求的长；AB (2)若为的中点，求二面角的余弦值；E AD P EB A --(3)若为上一点，且满足，求.M PB AD BP EM λ⨯=λ答案1．【正确答案】B【详解】由题得点与点的横坐标与竖坐标互为相反数，纵坐标相同，P Q 所以点和点关于轴对称,P Q y 故选：B.2．【正确答案】C【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值.,x y ,x y 【详解】因为，所以，由题意可得，a b ∥a b λ=()()()2,1,31,2,9,2,9x y y λλλλ=-=-所以则.2,12,39,x y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩131632x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩故选C.【思路导引】根据题目条件列出关于的方程组，解方程组即可得到答案.a∥b ,x y 3．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．4．【正确答案】A【详解】由基底定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底.,,a b c对于A ，因为非零向量两两垂直，所以非零向量不共面，可构成空间的一,,a b c ,,a b c 组基底，故A 正确；对于B ，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以b c λ=,b c 与共面，故B 错误；a,b c 对于C ，由共面定理可知非零向量共面，故C 错误；,,a b c 对于D ，即，故由共面定理可知非零向量共面，故D 错误.0a b c ++= a b c =--,,a b c 故选：A.5．【正确答案】A【分析】由题意可得，可得定点坐标.(1)(2)0a x b y -++=【详解】因为，所以，2b a c =+2c b a =-由，可得，所以，0ax by c ++=(2)0ax by b a ++-=(1)(2)0a x b y -++=当时，所以对为任意实数均成立,1,2x y ==-(11)(22)0a b -+-+=,a b 故直线过定点.(1,2)-故选A.6．【正确答案】C 【详解】因为可化为22221:22416160,2880C x y x y x y x y +++-=+++-= ,则，半径，()()221425x y +++=()11,4C --15r =因为可化为，22222:228840,4420C x y x y x y x y ++--=++--= ()()222210x y ++-=则，半径()22,2C -2r =则，因为.1C =122155r r r r -=<<+=+故选：C.7．【正确答案】A【详解】，即，22:430M x y x +-+= ()2221x y -+=则圆心，半径为.(2,0)M 1椭圆方程，,22:11612x y C +=2216,12a b ==则，22216124,2c a b c =-=-==则圆心为椭圆的焦点，(2,0)M 由题意的圆的直径，且AB 2AB = 如图，连接，由题意知为中点，则，PM M AB MA MB =-可得()()()()PA PB PM MA PM MB PM MB PM MB ⋅=+⋅+=-+ .2221PM MB PM =-=- 点为椭圆上任意一点，P 22:11612x y C +=则，，min 2PM a c =-= max 6PM a c =+= 由，26PM ≤≤ 得.21PA PB PM ⋅=- []3,35∈故选：A.8．【正确答案】D【详解】对于A ，和圆，221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=圆心和半径分别是，()()12121,2,3,1,C C R R --==则两圆心中点为，11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线，1C 2C 8650x y +-=12C C 但两圆心中点不在直线上，故A 错误；11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭8650x y +-=对于B ，到直线的距离，1C 8650x y ++=81255102d ++==故公共弦长为，B错误；=对于C ，圆心距为，当点和重合时，的值最小，5=P QPQ当四点共线时，的值最大为12,,,P Q C CPQ 5+故的取值范围为，C 错误；PQ0,5⎡+⎣对于D ，如图，设关于直线对称点为，1C 80-+=x y (),A m n则解得即关于直线对称点为，21,11280,22n mm n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩6,9,m n =-⎧⎨=⎩1C 80-+=x y ()6,9A -连接交直线于点，此时最小，2AC M PM MQ +122PM MQ MC MC C A +≥+-=-==即的最小值为，D 正确.PM MQ+故选：D.9．【正确答案】ACD【详解】ABC 选项，由题意得，故且，AC 正确，B 错误；2b a= //a b2b a= D 选项，在，Da b ()01,2,=-正确.故选：ACD10．【正确答案】ABC 【详解】依题意得，12CQ CB BQ AD BA =+=-+()11222AD AA AB AB AD AA =-+-=--+ 故A 正确；如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，1A 111(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,1,1),B C D Q C E -------，(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1)G B D -----对于BC ，，1(1,2,1),(1,2,2)QC CQ =--=-所以，设，3CQ==173QC CQ m CQ ⋅==- 则点到直线的距离BC 正确；1C CQd ==对于D ，因为，(1,2,2),(1,1,0)CQ BD ---==所以cos ,CQ BD 〈〉==tan ,CQ BD 〈〉= 所以异面直线与所成角的正切值为D 错误．CQ BD 故选：ABC ．11．【正确答案】ABD【详解】根据题意，方程，即，22410x y x +-+=22(2)3x y -+=表示圆心为，半径为(2,0)对于A ，设，即，y x z -=0x y z -+=直线与圆有公共点，0x y z -+=22(2)3x y -+=所以≤22z ≤≤则的最大值为，故A 正确；z y x =-2-对于B ，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离，t =22(2)3x y -+=所以的最大值为，t 2故的最大值为B 正确；22x y +22(27t ==+对于C ，设，则，直线与圆有公共点，yk x =0kx y -=0kx y -=22(2)3x y -+=则，解得的最大值为C 错误；≤k ≤≤yx 对于D ，设，作出图象为正方形，作出圆，如图，m x y=+22(2)3x y -+=由图象可知，正方形与圆有公共点A 时，有最小值m 2即的最小值为，故D 正确；x y+2故选：ABD12．【正确答案】/0.12518【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共OP xOA yOB zOC =++ A B C 线，若、、、四点共面，则，A B C P 1x y z ++=因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，O 3148OP OA OB tOC=++ A B C P所以，，解得.31148t ++=18t =故答案为.1813．【正确答案】221(2)43x y x +=≠±【详解】设动点的坐标为，又，，P (,)x y ()2,0A -()2,0B 所以的斜率，的斜率，AP (2)2AP y k x x =≠-+BP (2)2BP yk x x =≠-由题意可得，3(2)224y y x x x ⨯=-≠±+-化简，得点的轨迹方程为.P 221(2)43x y x +=≠±故221(2)43x y x +=≠±14．【正确答案】 2,【详解】圆的标准方程为，圆心，2C 22()2(2)x a y a a -+=->()2,0C a 则为的角平分线，所以．2PC APB ∠22AC PA BC PB=设，则，()00,P x y ()22054x y -+=所以，则，2PAPB===222AC BC =即，解得，则，()124a a -=-3a =222:(3)1C x y -+=所以点与重合，N ()4,0B 此时，可得，221,30C M MAC =∠=52M ⎛ ⎝．故；215．【正确答案】(1)或；22114480x y +=22114480y x +=(2).22143x y +=【详解】（1）由题得，222212328c a a b b a b c c ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎪⎩所以椭圆的标准方程为或.22114480x y +=22114480y x +=（2）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为，2212x y +=1c ==()1,0±因为椭圆与有相同的焦点，且经过点，C 2212x y +=31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以可设椭圆方程为，且，解得，C 22221x y a b +=22222231211ab a b ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪⎪=+⎩4241740a a -+=故，解得（舍去）或，故.()()224140aa --=214a =24a =2213b a =-=所以椭圆的标准方程为.C 22143x y +=16．【正确答案】(1)()()224310x y -+-=(2)或10x -=512170x y +-=【详解】（1）由题意，则的中点为，且，()()1,4,3,6A B AB (2,5)64131AB k -==-故线段中垂线的斜率为，AB 1-则中垂线的方程为，即，5(2)y x -=--70x y +-=联立，解得，即圆心，34070x y x y -=⎧⎨+-=⎩43x y =⎧⎨=⎩()4,3C 则半径r CA ===故圆的方程为.C ()()224310x y -+-=（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为，l 1x =圆心到直线的距离为，由半径，(4,3)C 3r =则直线截圆所得的弦长，满足题意；l C 2=当直线斜率存在时，设直线方程为，l l 1(x 1)y k -=-化为一般式得，10kx y k -+-=由直线截圆所得的弦长，半径.l C 2r =1则圆心到直线的距离，又圆心，3d ==(4,3)由点到直线的距离公式得，3d 解得，故直线方程为，512k =-l 51(1)12y x -=--化为一般式方程为.512170x y +-=综上所述，直线的方程为或.l 10x -=512170x y +-=17．【正确答案】(1)证明见详解；【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可；（2）作，垂足为，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，EN AD ⊥N 利用勾股定理，因此可以以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空BM BC BF x y z 间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为平面，又平面，FB ⊥ABCD AD ⊂ABCD 所以.又，且，FB AD ⊥FM AD ⊥FB FM F ⋂=所以平面.因为，所以平面.AD ⊥BFM //BC AD ⊥BC BFM （2）作，垂足为.则.又，EN AD ⊥N //FM EN //EF AD 所以四边形是平行四边形，又，FMNE EN AD ⊥所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，，FMNE ADEF 4=AD 2EF =所以.1AM =由（1）知平面，所以.又，AD ⊥BFM BM AD⊥AB =所以.在中，1BM =Rt AFMFM ==在中，.Rt FMB 3FB ==所以由上可知，能以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间BM BC BF x y z 直角坐标系.则，，，，，所以，，(1,1,0)A --(0,0,0)B (0,0,3)F (1,3,0)D -(0,2,3)E (1,1,0)AB =，，，设平面的法向量为，(0,0,3)BF = (1,3,0)BD =- (0,2,3)BE =ABF ()111,,m x y z = 由，得可取.00m AB m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1110,0,x y z +=⎧⎨=⎩(1,1,0)m =- 设平面的法向量为，BDE ()222,,n x y z =由，得，可取.00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222230,230,x y y z -+=⎧⎨-+=⎩(9,3,2)n = 因此，.cos ,m n m n m n ⋅===依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为ABFDBE 18．【正确答案】(1)r =(2)；1k =±(3)max λ=【详解】（1）由题意得，，O (0,0)()()2222220112x y x y x y +--=⇒-+-=故圆心，圆E 的半径为()1,1E 因为，故在圆E 上，()()2201012-+-=O (0,0)所以圆O 的半径，且r >OE r ==r =（2）由（1）知，联立，22:8O x y +=()2222812701x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩设，则恒成立，()()1122,,,M x y N x y ()22Δ42810k k =++>且，12122227,11k x x x x k k +=-=-++所以，()2222121212222721811111k k k y y k x x k x x k k k -=+++=--+=+++所以，解得.221212222718681711O k k x x y O y k k k M N ⋅=---+=-+==+++-1k =±（3）如图，因为直线和直线倾斜角互补，AB CD所以当直线斜率不存在时，此时直线的斜率也不存在，AB CD 此时，，AB CD=1AB CDλ==当直线的斜率为0时，直线的斜率为0，不满足倾斜角互补，AB CD 当直线斜率存在且不为0时，设直线 即，AB ():11AB y k x -=-10kx y k --+=圆心O 到直线的距离为AB d故AB ===由直线方程得直线的方程为即，AB CD ()11y k x -=--10kx y k +--=同理得CD =则，AB CD λ====当，，0k>AB CDλ====因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，()1f x x x =+(0,1)(1,+∞)所以时，，0x >()())[)1,2,f x f ∞∞⎡∈+=+⎣所以时，故，0k >[)17212,k k ∞⎛⎫+-∈+ ⎪⎝⎭4411,1372k k ⎛⎤+∈ ⎥⎛⎫⎝⎦+- ⎪⎝⎭所以，λ⎛= ⎝当，0k <AB CDλ====由上知时，故，0k <()[)17216,k k ∞⎡⎤⎛⎫-+-+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()431,14172k k ⎡⎫-∈⎪⎢⎡⎤⎛⎫⎣⎭-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以.λ⎫=⎪⎪⎭综上，max λ=19．【正确答案】(1)2(2)13-(3)10【分析】（1）首先说明为直线与所成的角，即，设PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠，根据所给定义得到方程，解得即可；()0AB x x =>（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，为二ABCD D DF BE ⊥BE F PF PFD ∠面角的平面角，由锐角三角函数求出，设二面角的平面P EB D --cos PFD ∠P EB A --角为，则，利用诱导公式计算可得；θπPFD θ=-∠（3）依题意可得平面，在平面内过点作，垂足为，即EM ⊥PBC PDC D DN PC ⊥N 可证明平面，在平面内过点作交于点，在上取点DN ⊥PBC PBC N //MN BC PB M DA，使得，连接，即可得到四边形为平行四边形，求出，即E DE MN =EM DEMN DN可得解.【详解】（1）因为底面为矩形，底面，ABCD PD ⊥ABCD 所以，，又底面，所以，//AD BC BC DC ⊥BC ⊂ABCD PD BC ⊥又，平面，所以平面，PD DC D = ,PD DC ⊂PDC BC ⊥PDC 又平面，所以，PC ⊂PDC BC PC ⊥所以为直线与所成的角，即，PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠设，则，()0AB x x =>PC ==PB ==在中Rt PBC s n i PCPBC PB ∠==又，解得（负值已舍去），AD BP ⨯==2x =所以；2AB =（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，ABCD D DF BE ⊥BE F PF 因为底面，底面，所以，又，PD ⊥ABCD BF ⊂ABCD PD BF ⊥DF PD D = 平面，所以平面，又平面，所以，,DF PD ⊂PDF BF ⊥PDF PF ⊂PDF BF PF ⊥所以为二面角的平面角，PFD ∠P EB D --因为为的中点，E AD所以π2sin4DF ==PF ==所以，1cos 3DF PFD PF ∠===设二面角的平面角为，则，P EB A --θπPFD θ=-∠所以，()1cos cos πcos 3PFD PFD θ=-∠=-∠=-即二面角的余弦值为；P EB A --13-（3）依题意，，又，()AD BP AD⨯⊥ ()AD BP BP⨯⊥ AD BP EM λ⨯= 所以，，又，所以，EM AD ⊥EM BP ⊥//AD BC EM BC ⊥又，平面，所以平面，PB BC B = ,PB BC ⊂PBC EM ⊥PBC 在平面内过点作，垂足为，PDC D DN PC ⊥N 由平面，平面，所以，BC ⊥PDC DN ⊂PDC BC DN ⊥又，平面，所以平面，PC BC C = ,PC BC ⊂PBC DN ⊥PBC 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接PBC N //MN BC PB M DA E DE MN =，EM 所以且，所以四边形为平行四边形，//DE MN DE MN =DEMN 所以，又，即EM DN =DN ==EM=所以.10AD BP EMλ⨯===【关键点拨】本题关键是理解并应用所给定义，第三问关键是转化为求.DN。
重庆市万州第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题
重庆市万州第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．“1m =”是“直线1:(1)10l x m y +++=与直线2:(1)10l m x my +--=垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列可使非零向量,,a b c构成空间的一组基底的条件是（）A ．,,a b c两两垂直B ．b cλ= C ．a mb nc =+D ．0a b c ++= 3．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在线段OA 上，且2,OM MA N=为BC 中点，则MN等于（）A ．111322a b c ++B ．111322a b c -+C ．111222a b c +- D ．111322a b c-++ 4．已知向量(3,2,3)a =--，(2,1,2)b x =-- ，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是A ．(5,)-+∞B ．77(5,(,)33-⋃+∞C ．(,5)-∞-D ．7(,)3+∞5．如图，一束光线从()1,0A 出发，经直线10x y ++=反射后又经过点()6,5B -，则光线从A 到B 走过的路程为（）AB ．CD ．6．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，直线1B D ⋂平面1ACD E =，F 是BC 的中点，G 是线段1B F 上的动点，则直线GE 与侧面11ADD A 的交点P 的轨迹长为（）AB C ．D 7．过定点A 的直线20ax y +-=与过定点B 的直线420x ay a -+-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则PAB 周长的最大值为（）A4+B ．4+C ．6D ．88．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,1AC AB AC AB CC ⊥===，E 是线段AB 的中点，在1A BC 内有一动点P （包括边界），则PA PE +的最小值是（）A ．2B ．3C ．6D ．3二、多选题9．下列说法正确的是（）A 10y ++=的倾斜角为120B ．方程21y k x -=+与方程()21y k x -=+可表示同一直线C ．经过点()2,1P ，且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=D ．过两点()()111222P x y P x y ，，，的直线都可用方程()()()()211211x x y y y y x x --=--表示10．在长方体1111ABCD A B C D -中，14,2,6,AB AD AA P ===为长方体1111ABCD AB C D -表面上一动点，则1PA PC ⋅的值可能是（）A ．15-B ．10-C ．5-D ．211．伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A ．122CG AA PF=- B ．直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为23C ．异面直线CQ 与BDD ．点1C 到直线CQ 三、填空题12．已知某直线的一般式为320x +=，则此直线的倾斜角为.13．已知点(2,1)P --和直线:(12)(13)20l x y λλλ++-+-=，则点P 到直线l 的距离的取值范围是.14．如图，已知点A 是圆台1O O 的上底面圆1O 上的动点，,B C 在下底面圆O 上，11AO =，12OO =，3BO =，BC =则直线AO 与平面1O BC 所成角的正弦值的最大值为.四、解答题15．已知直线l 经过()()2,1,1,2P Q --两点．(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l，求直线m 的方程．16．已知向量()()()1,3,2,2,1,4,5,1,a b c x ==-=.(1)若a c ⊥，求实数x 的值；(2)若,,a b c不能构成空间向量的一个基底，求实数x 的值.17．如图，AB 是圆的直径，MA 与圆所在的平面垂直，C 是圆上不同于A 、B 的一点.(1)求证：平面MAC ⊥平面MBC ；(2)若2,1,2AB AC MA ===，求二面角C MB A --的正弦值.18．在ABC V 中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，满足DE BC ∥，且DE 经过ABC V 的重心．将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1AC CD ⊥，存在动点M 使()110A M A D λλ=>如图所示．(1)求证：1A C ⊥平面BCDE ；(2)当12λ=时，求二面角C MB E --的正弦值；(3)设直线BM 与平面1A BE 所成线面角为θ，求sin θ的最大值．19．棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都等于2，60ABC ∠=，平面11AAC C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠= ．(1)证明：1BD AA ⊥；(2)求平面1DAA 与平面11A ACC 夹角的余弦值；(3)在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置．。
四川省德阳2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案
德阳高2023级2024年秋季第一学月考试数学试题（答案在最后）考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试时间：120分钟；命题人：高二数学组注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1.已知集合{}2,0,1,3A =-，{}0,2,3B =，则A B = （）A.{}2,1- B.{}2,1,2- C.{}0,3 D.{}2,0,1,2,3-【答案】C 【解析】【分析】运用交集性质即可得.【详解】由{}2,0,1,3A =-，{}0,2,3B =，则{}0,3A B ⋂=.故选：C.2.2(2i)4z =+-在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.【详解】2(2i)414i z =+-=-+，则z 在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B.3.某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（）A.5、10、15B.3、9、18C.3、10、17D.5、9、16【答案】B 【解析】【分析】利用分层抽样的定义求出对应人数，得到答案.【详解】抽取的高级职称人数为15303150⨯=，中级职称人数为45309150⨯=，一般职员的人数为903018150⨯=，故抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为3、9、18.故选：B4.已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（）A .6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】由60.53⨯=，故这组数据的中位数为7982+=.故选：C.5.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A.13B.23C.12D.25【答案】D 【解析】【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，共10种情况，其中和为偶数的情况有(1,3)、(1,5)、(2,4)、(3,5)，共4种情况，所以取到的2个数之和为偶数的概率为42105=.故选：D6.已知空间中非零向量a ，b ，且1a = ，2b = ， 60a b =,，则2a b - 的值为（）A.1B.C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据向量的模长公式即可求解.【详解】因为2222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=- ,14412442=-⨯⨯⨯+=，所以22a b -= ．故选:C7.已知空间向量()1,2,3m = ，空间向量n 满足//m n u r r 且7⋅=m n ，则n ＝（）A.13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B.13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭ D.31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵()1,2,3m = ，且空间向量n满足//m n u r r ，∴可设(),2,3n m λλλλ==，又7⋅= m n ，∴1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==，得12λ=．∴113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 正确.故选：A.8.已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1的距离为5，则直线1B D 与平面11AB D 所成角的余弦值为（）A.B.3710C.1010D.10【答案】A 【解析】【分析】先由等面积法求得1AA 的长，再以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -，运用线面角的向量求解方法可得答案．【详解】如图，连接11A C 交11B D 于O 点，过点C 作CH AO ⊥于H ，则CH ⊥平面11AB D，则5CH =，设1AA a =，则AO CO AC ===，则根据三角形面积得1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯，代入解得a =以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -．则1111(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2(2,0,A B D D AD AB =-=-，1(B D =- ，设平面11AB D 的法向量为(n x =，y ，)z ，则1100n AD n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令x =，得n =．11110cos ,10||||B D n B D n B D n ⋅〈〉==，所以直线1B D 与平面1111D C B A故选：A．二、多选题9.设,A B 是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（）A.若A 和B 互斥，则A 和B 一定相互独立B.若事件A B ⊆，则()()P A P B ≤C.若A 和B 相互独立，则A 和B 一定不互斥D.()()()P A B P A P B <+ 不一定成立【答案】BC 【解析】【分析】对于AC ：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B ：根据事件间关系分析判断即可；对于D ：举反例说明即可.【详解】由题意可知：()()0,0P A P B >>，对于选项A ：若A 和B 互斥，则()0P AB =，显然()()()P AB P A P B ≠，所以A 和B 一定不相互独立，故A 错误；对于选项B ：若事件A B ⊆，则()()P A P B ≤，故B 正确；对于选项C ：若A 和B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>，所以A 和B 一定不互斥，故C 正确；对于选项D ：因为()()()()P A B P A P B P AB =+- ，若A 和B 互斥，则()0P AB =，则()()()P A B P A P B =+ ，故D 错误；故选：BC.10.如图，点,,,,A B C M N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足//MN 平面ABC 的是（）A. B.C. D.【答案】ACD 【解析】【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.【详解】对A ：如图：连接EF ，因为,M N 为正方体棱的中点，所以//MN EF ，又//EF AC ，所以//MN AC ，AC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故A 正确；对B ：如图：因为,,,,A B C M N 是正方体棱的中点，所以//MN GH ，//BC EF ，//GH EF ，所以//BC MN ，同理：//AB DN ，//AM CD .所以,,,,A B C M N 5点共面，所以//MN 平面ABC 不成立.故B 错误；对C ：如图：因为,B C 是正方体棱的中点，所以//BC EF ，//MN EF ，所以//BC MN .⊂BC 平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故C 正确；对D ：如图：因为,.B C M 为正方体棱的中点，连接ME 交AC 于F ，连接BF ，则BF 为MNE 的中位线，所以//BF MN ，BF ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故D 正确.故选：ACD11.如图，在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，60A ∠=︒，沿对角线BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A.平面PCD ⊥平面PBDB.三棱锥P BCD -外接球的表面积为10πC.PD 与平面PBC 所成角的正弦值为34D.若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM 面积的最小值为217【答案】ACD 【解析】【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验CD ．【详解】BCD △中，1CD =，2BC =，60A ∠=︒，所以3BD =，故222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，因为平面PBD ⊥平面BCD ,且平面PBD 平面BCD BD =，又BD CD ⊥，CD ⊂平面BCD 所以CD ⊥平面PBD ，CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面BPD ，故A 正确；取BC 的中点为N ,PB 中点为Q ,过N 作12ON //PB,ON PB =,由平面PBD ⊥平面BCD ,且平面PBD 平面BCD BD =，又BD PB ⊥,PB ⊂平面PBD ,故PB ⊥平面BCD ,因此ON ⊥平面BCD ,由于BCD △为直角三角形，且N 为斜边中点，所以OB OC OD ==,又12ON //PB,ON PB =,所以QB ON ,BQ //ON =,因此OP OB =,因此O 为三棱锥P BCD -外接球的球心，且半径为2OB ==,故球的表面积为54π=5π4´，故B错误，以D为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则B 0，0)，(0C ，1，0)，P ，0，1)，因为(0BP = ，0，1)，(BC =，1，0)，)01DP ,= ,设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，所以0000z m BP y m BC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩，取x =)30m ,=所以cos ,4||||m DP m DP m DP⋅<>==，故PD 与平面PBC所成角的正弦值为4，故C 正确，因为M 在线段PD上，设M ，0，)a，则MB=，0，)a -，所以点M 到BC的距离d ==，当37a =时，d 取得最小值217，此时MBC ∆面积取得最小值12121277BC ⨯=，D 正确．故选：ACD．第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12.如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是14，从乙口袋中摸出一个红球的概率是13，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．【答案】112【解析】【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是14，从乙口袋中摸出一个红球的概率是13，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率1114312P =⨯=．故答案为：112．13.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是11A B 的中点，则点A 到直线BE 的距离是__________．【答案】5【解析】【分析】以D 为原点，以1,,DA DC DD的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D 为原点，以1,,DA DC DD的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.则()()()2,0,0,2,2,0,2,1,2A B E ，所以()()0,2,0,0,1,2BA BE =-=-，记与BE同向的单位向量为u ，则5250,,55u ⎛=-⎝⎭，所以，点A 到直线BE 的距离455d ===.故答案为：514.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AB ==，点,E F 分别为,CD CP 的中点，点T 为PAB 内的一个动点（包括边界），若CT ∥平面AEF ，则点T 的轨迹的长度为__________.【答案】53153【解析】【分析】记AB 的中点为G ，点T 的轨迹与PB 交于点H ，则平面//CHG 平面AEF ，建立空间直角坐标系，利用CH垂直于平面AEF ，的法向量确定点H 的位置，利用向量即可得解.【详解】由题知，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，记AB 的中点为G ，连接CG ，因为ABCD 为正方形，E 为CD 中点，所以//AG CE ，且AG CE =，所以AGCE 为平行四边形，所以//CG AE ，又CG ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以//CG 平面AEF ，记点T 的轨迹与PB 交于点H ，由题知//CH 平面AEF ，因为,CH CG 是平面CHG 内的相交直线，所以平面//CHG 平面AEF ，所以GH 即为点T 的轨迹，因为()()()()()()0,0,0,1,2,0,1,1,1,2,2,0,0,0,2,2,0,0A E F C P B ，所以()()()()2,0,2,2,2,2,1,2,0,1,1,1PB CP AE AF =-=--== ，设PH PB λ=，则()()()2,2,22,0,222,2,22CH CP PH CP PB λλλλ=+=+=--+-=--- ，设(),,n x y z =为平面AEF 的法向量，则200AE n x y AF n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1y =得()2,1,1n =- ，因为CH n ⊥ ，所以()2222220λλ---+-=，解得23λ=，则22,2,33CH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，又()1,2,0GC AE == 所以()22121,2,0,2,,0,3333GH GC CH ⎛⎫⎛⎫=+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以12145,0,33993GH ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：53【点睛】关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点T 的轨迹与PB 的交点位置，然后利用向量运算求解即可.四、解答题15.《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间[)80,90和[]90,100的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件A =“两人的测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100”，求()P A .【答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）()35P A =.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100的人数，按照古典概型计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.测试成绩落在区间[)40,70的频率为()0.0040.0060.02100.3++⨯=，落在区间[)40,80的频率为()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=，所以设第57百分位数为a ，有()0.3700.030.57a +-⨯=，解得79a =；【小问2详解】由题知，测试分数位于区间[)80,90、[)90,100的人数之比为0.2430.162=，所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间[)80,90中3人，用1A ，2A ，3A 表示，在区间[)90,100中2人，用1B ，2B 表示，从这5人中抽取2人的所有可能情况有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31A B ，()32,A B ，()12,B B ，共10种，其中“分别落在区间[)80,90和[)90,100”有6种，所以()35P A =.16.在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得1B D ⊥平面ABD .（2）利用向量法证得平面//EGF 平面ABD .【小问1详解】以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .【小问2详解】由(1)知，E (0,0,3)，G ,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F (0,1,4)，则EG uuu r ＝,1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，EF ＝(0,1,1)，1B D ·EG uuu r ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF .结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .17.已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．【答案】（1）0.72（2）0.98【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出答案.（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式即可求得答案.【小问1详解】因为甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立，设事件A 表示甲命中，事件B 表示乙命中，则()0.8P A =,()0.9P B =所以甲、乙两人同时命中目标的概率()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=,【小问2详解】甲乙两人中至少有1人命中目标的对立事件是甲、乙都没击中目标，甲、乙都没击中目标的概率()()()()()10.810.90.02P AB P A P B ==--=,所以甲乙两人中至少有1人命中目标的概率为：()()110.020.98P A B P AB =-=-= 18.如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面圆周上，,AF DE F ⊥为垂足.（1）求证：AF DB ⊥.（2）当直线DE 与平面ABE 所成角的正切值为2时，①求平面EDC 与平面DCB 夹角的余弦值；②求点B 到平面CDE 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）①41919；②25719【解析】【分析】（1）利用线面垂直得到AF ⊥平面BED ，进而证明AF DB ⊥即可.（2）①建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可.②利用点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】由题意可知DA ⊥底面,ABE BE ⊂平面ABE ，故BE DA ⊥，又,,,BE AE AE DE E AE DE ⊥⋂=⊂平面AED ，故BE ⊥平面AED ，由AF ⊂平面AED ，得AF BE ⊥，又,,,AF DE BE DE E BE DE ⊥⋂=⊂平面BED ，故AF ⊥平面BED ，由DB ⊂平面BED ，可得AF DB ⊥.【小问2详解】①由题意，以A 为原点，分别以AB ，AD 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，并设AD 的长度为2，则(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A B C D ，因为DA ⊥平面ABE ，所以DEA ∠就是直线DE 与平面ABE 所成的角，所以tan 2DA DEA AE∠==，所以1AE =，所以31,,022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭由以上可得1(0,2,0),,,222DC DE ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面EDC 的法向量为(,,)n x y z = ，则0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,3120,22y x y z =⎧+-=⎪⎩取4x =，得n = .又(1,0,0)m = 是平面BCD 的一个法向量，设平面EDC 与平面DCB 夹角的大小为θ，所以cos cos ,19m n m n m n θ⋅==== ，所以平面EDC 与平面DCB 夹角的余弦值为41919.②因为33,,022BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以点B 到平面CDE的距离19BE n d n ⋅== .19.图1是直角梯形ABCD ，AB CD ∥，90D Ð=°，四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且60BCE ∠=︒，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C的位置，且1AC =，如图2.（1）求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；（2）在棱1DC 上是否存在点P ，使得P 到平面1ABC 的距离为2155，若存在，则1DP PC 的值；（3）在（2）的前提下，求出直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）存在，11DP PC =（3）155【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到AF ⊥BE ，1C F ⊥BE ，且123AF C F ==，由勾股定理逆定理求出AF ⊥1C F ，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求平面1ABC 的法向量，利用空间向量求解出点P 的坐标，（3）根据（2）可得31,322EP ⎛= ⎝uu r ，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】取BE 的中点F ，连接AF ，1C F，因为四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且60BCE ∠=︒，所以1,ABE BEC 均为等边三角形，故AF ⊥BE ，1C F ⊥BE，且1AF C F ==，因为1AC =，所以22211AF C F AC +=，由勾股定理逆定理得：AF ⊥1C F ，又因为AF BE F ⋂=，,AF BE ⊂平面ABE ，所以1C F ⊥平面ABED ，因为1C F ⊂平面1BEC ，所以平面1BC E ⊥平面ABED ；【小问2详解】以F 为坐标原点，FA 所在直线为x 轴，FB 所在直线为y 轴，1FC 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,,0,2,0,0,0,,3,0,0,2,0F A B C D E --，设(),,P m n t ，1DP DC λ= ，[]0,1λ∈，即()(3,m n t λ+=，解得：,33,m n t λ==-=，故),33,P λ--，设平面1ABC 的法向量为(),,v x y z = ，则()(12,0,AB AC =-=-，则1200v AB y v AC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1y z ==，故()v = ，其中1,33,C P λ=--则15C P v d v⋅=== ，解得：12λ=或32（舍去），所以否存在点P ，使得P 到平面1ABC 的距离为2155，此时11DP PC =.【小问3详解】由（2）可得：()3331,0,2,0,2222EP ⎛⎛=---= ⎝⎝ ，设直线EP 与平面1ABC 所成角为θ，则15sin cos ,5EP v EP v EP v θ⋅===⋅，所以直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值为5.。
黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）1.在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是（）A.()2,1,4-- B.()2,1,4 C.()2,1,4--- D.()2,1,4-2.若向量{}123,,e e e 是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使得：123a xe ye ze =++ ，我们把有序实数组(),,x y z 叫做基底{}123,,e e e 下向量a 的斜坐标.设向量p 在基底{},,a b c 下的斜坐标为()1,2,3-，则向量p 在基底{},,a b a b c +-下的斜坐标为（）A.13,,322⎛⎫--⎪⎝⎭B.13,,322⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭ D.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭3.已知两条直线12:410,:20l ax y l x ay +-=++=，则“2a =”是“12l l //”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面α的一个法向量(2,2,1)n =--，点()1,3,0A -在平面α内，若点()2,1,P z -到α的距离为103，则z =（）A.16B.4- C.4或16- D.4-或165.已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（）A.[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C.3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.34,4⎡⎤-⎢⎣⎦6.直线l 过点()2,3A ，则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（）A.9B.12C.18D.247.如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，5,3,7AB AD AA ='==，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠=∠=︒，则AC '的长为（）A. B.C.D.8.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（）A. B.C. D.2+二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）9.下列命题中正确的是（）A.若向量,a b 满足0a b ⋅<，则向量,a b 的夹角是钝角B.若,,OA OB OC 是空间的一组基底，且232OD OA OB OC =-+，则,,,A B C D 四点共面C.若向量{},,a b c 是空间的一个基底，若向量m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底D.若直线l 的方向向量为(1,0,3)e = ，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的余弦值为5510.以下四个命题为真命题的是（）A.过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+B.直线()cos 20R x θθ+=∈的倾斜角的范围是π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭C.直线10x y +-=与直线2210x y ++=D.直线()()()1213m x m y m m -+-=-∈R 恒过定点()5,2-11.如图，在多面体ABCDES 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且//DE SA ，22SA AB DE ===，,M N 分别是线段,BC SB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（含端点,D C ），则下列说法正确的是（）A.不存在点Q ，使得NQ SB⊥B.存在点Q ，使得异面直线NQ 与SA 所成的角为60o C.三棱锥Q AMN -体积的最大值是23D.当点Q 自D 向C 处运动时，直线DC 与平面QMN 所成的角逐渐增大第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）12.已知()()()1,1,0,0,3,0,2,2,2A B C ，则向量AB 在AC上的投影向量的坐标是______．13.当点()2,1P --到直线l ：()()()131240x y λλλλ+++--=∈R 距离的最大值时，直线l 的一般式方程是______．14.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P 处的离散曲率为()122311112πP k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ -∅=-∠+∠++∠+∠ ，其中i Q （1i =，2，……，k ，3k ≥）为多面体Γ的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23Q PQ ，…，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体Γ的所有以P 为公共点的面.如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，且2AC =，顶点S 在底面的射影O 为AC 的中点.若该四棱锥在S 处的离散曲率13S ∅=，则直线OS 与平面SAB 所成角的正弦值为___________.四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知直线()():12360m a x a y a -++-+=，:230n x y -+=.（1）若坐标原点O 到直线m ，求a 的值；（2）当0a =时，直线l 过m 与n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程.16.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求证：PD ⊥平面PAB ．(2)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18.已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a = ，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b <> .定义a 与b 的“向量积”为：a b ⨯是一个向量，它与向量a ，b 都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，4DP DA ==，E 为AD 上一点，AD BP ⨯=.（1）求AB 的长；（2）若E 为AD 的中点，求二面角P EB A --的余弦值；19.如图①所示，矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -，N 为PB 中点，（1）若平面PAM ⊥平面ABCD ，求直线BC 与平面PMB 所成角的大小；（2）设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值.哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】B二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】CD第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）【12题答案】【答案】111,,663⎛⎫ ⎪⎝⎭【13题答案】【答案】3250x y +-=【14题答案】【答案】1323-四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1）14a =-或73a =-（2）370x y -=或120x y -+=【16题答案】【答案】（1）2310x y --=，51(,)77，（2）107.【17题答案】【答案】(1)证明见解析；(2)存在，AM AP 的值为14.【18题答案】【答案】（1）2（2）13-【19题答案】【答案】（1）π6；（2）11。
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桃江一中2021-2021学年高二第一次月考数学试题
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
时 量：120分钟 总 分：150分
一、选择题〔本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分〕
1、锐角△ABC 的面积为23，BC =4，CA =3，那么角C 的大小为〔 〕
A 、75°
B 、60°
C 、45°
D 、30°
2、在数列{}n a 中，1a ＝2，1221=-+n n a a ，那么101a 的值是〔 〕
A 、49
B 、50
C 、51
D 、52
3、等差数列{}n a 中，48732＝a a a a +++，那么＝9S 〔 〕
A 、2
B 、3
C 、5
D 、9
4、〔理〕二次不等式12++bx ax ＞0的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-311＜x＜x ｜那么b a ·的值是〔 〕 A 、— 6 B 、6 C 、— 5 D 、5
〔文〕在△ABC 中，假设︒=60＜A ，︒=45＜B ，BC=23，那么AC =〔 〕
A 、34
B 、32
C 、3
D 、2
3 5、在△ABC 中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤，那么A 的取值范围是〔 〕
A 、]60π，（
B 、），ππ6[
C 、]30π，（
D 、），ππ3
[ 6、〔理〕在等比数列{}n a 中，其前n 项和13-n n S ＝，那么=+⋯⋯++22221n a a a 〔 〕
A 、19-n
B 、）（1921
-n C 、13-n D 、）（132
1-n 〔文〕等比数列{}n a 中，1··321=a a a ，44=a ，那么=+⋯⋯+++n a a a a 2642〔 〕
A 、12-n
B 、314-n
C 、541n ）（--
D 、321n ）（-- 7、△ABC 的外接圆半径为R ，且B b a C A R sin 2sin sin 222）（）
（-=-，那么角C 的大小为〔 〕 A 、30° B 、45° C 、60° D 、90°
8、假设数列{}n a 的前n 项和＝n S 323
-n a ，那么n a ＝〔 〕
A 、）（122++n n
B 、n 23⨯
C 、13+n
D 、n 32⨯
二、填空题：〔本大题一一共7小题，每一小题5分，一共35分〕
9、△ABC 中，︒===3022，A ，b a ，那么＝B 。
10、数列{}n a 的通项公式492-=n a n ，n S 到达最小值时，n 等于 。
11、在△ABC 中，=∠=ABC ，C B A cos 4:3:2sin :sin :sin 则 。
12、设数列{}n a 中，1211++==+n a ，a a n n ，那么通项n a = 。
13、关于x 的不等式a ＞＞ax x 22+-0在R 上恒成立，那么实数a 的取值范围是 。
14、假设F E 、是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，那么=∠ECF tan 。
15、在数列{}n a 中，，，a a 2121==且=∈-+=-+100*1,,)1(1S N n a a n n n 则 。
三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共75分，解容许写文字说明，证明过程或者演算步骤〕
16、〔本小题12分〕设△ABC 的内角C B A 、、所对边的长分别为a 、b 、c ，且有C A C A A B sin cos cos sin cos sin 2+＝。
〔1〕、求角A 的大小；
〔2〕、假设12==，c b ，D 为BC 的中点，求AD 的长；
18、〔本小题12分〕
〔理〕解关于x 的不等式＜
x a ax 1)1(2++-0 〔文〕设{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，77＝S ，，＝755S n T 为数列⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧n S n 的前n 项和，求n T 。
19、(本小题13分)
如图B A 、是海面上位于东、西方向相距）（335+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船 发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距320海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间是？
20、〔本小题13分〕设n n n a a ，b ，a a -===+12142，221+=+n n b b
（1）、求证：数列{}2+n b 是公比为2的等比数列
（2）、求数列{}n a 的通项公式
（3）、求数列{}n a 的前n 项和n S
21、〔本小题13分〕
对于函数)(x f ，假设存在R x ∈0，使00)(x x f =成立，那么称0x 为)(x f 的“滞点〞，函数)(x f =2
22
-x x （1）、试问)(x f 有无“滞点〞？假设有，求之，否那么说明理由；
（2）、数列{}n a 的各项均为负数，且满足41)1(·=n
n a f S ，求数列{}n a 的通项公式； 〔3〕、n n n a b 2·=，求{}n b 的前n 项和n T 。
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。