一元一次方程专题 之 比例问题
变式 2、 有某种三色冰淇淋45 g,咖啡色、红 色和白色配料比为1:2:6,这种三色冰 淇淋中,咖啡色、红色和白色配料分别 是多少?
变式3、 甲、乙、丙三位同学向贫困地区的 少年儿童捐赠图书,已知这三位同学 捐赠图书册数的比是5:6:9. (1)如果他们共捐书320册,那么这三 位同学各捐书多少册?
比例问题
• 例4 、某制药厂制造一批药品，则 废水排量比环保限制的最大量还多 200吨；如用新工艺，则废水排量 比环保限制的最大量少100吨，新、 旧工艺的废水排量之比是2:5，两 种工艺的废水排量各是多少？
变式 1、 我国四大发明之一的黑火药，它所 用的原料为硝酸钾、硫磺、木炭， 它们的重量比是15：2：3，要配制 这种火药280千克，三种原料应各取 多少千克？
(2)如果甲、丙两同学捐书的和是乙 同学捐书册数的2倍还多12册,那么 他们各捐书多少册?
变式4、 某果园用硫磺、石灰、水制成一种 杀虫药水,其中硫磺2份,石灰1份,水 10份,要制成这种药水520千克,需 要硫磺多少千克?
பைடு நூலகம்
变式5、 甲、乙、丙三人装修某工程，分别负 责木工、瓦工、水电工，据测算，支 付甲、乙、丙的工资费用比为6:4:3, 装修工程结束后，甲所得工资比乙所 得工资的2倍少3000元，问该房屋装 修支付木工、瓦工、水电工的工资总 共多少元？
用一元一次方程解决实际问题比例问题
等量关系：旧工艺的废水排量－200=环保限制的最大量 新工艺的废水排量+100=环保限制的最大量
由得， 旧工艺的废水排量－200=新工艺的废水排量+100 列方程得：5x－200=2x+100 解方程得：x=100 所以2x=200，5x=500 答：新、旧工艺的废水排量分别是200吨、500吨。
举例： （1）已知一个三角形三条边的比是 ?
解析：设最短边为2xcm，中间边为4xcm ,
5x 2x
最长边为 5xcm。
4x
等量关系：最长边－短边=6
列方程为：5x－2x=6
解方程得：x=2 最短边=2×2=4cm,中间边 =4×2=8cm
列方程为：x+2x+14x=25500
解方程得：x=1500 A型为1500台,B型 =2×1500=3000台
C型=14×1500=21000台。
答： A型为1500台,B型为3000台，C型为21000台。
例：某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排 量要比环保限制的最大量还多200吨；如用新工艺， 则废水排量比环保限制的最大量少100吨。新、旧工 艺的废水排量之比为2:5，两种工艺的废水排量各是 多少？
例：机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加 工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个 小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、 小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
解析：假设安排x名工人加工大齿轮，安排（85-x）名工人 加工小齿才能使每天加工的大小齿轮刚好配套。
等量关系：大齿轮数：小齿轮数=2:3
七年级第50题关于比例的一元一次方程应用题
题目：一个小组的男生和女生比例是3:5，如果男生增加20人，女生不变，这时男生和女生的人数比例是1:2，请问原来小组有多少人？
解答：
假设原来小组的男生人数是3x，女生人数是5x，则男生和女生的人数比例是3x:5x，即为3:5
现在男生增加了20人，所以男生人数变为3x+20，女生人数不变，仍然是5x。
根据题目给出的条件，男生和女生的人数比例变为1:2，即
(3x+20):5x=1:2
我们可以使用等效代换的方法来解这个一元一次方程。
我们可以将1:2看做1/2，即男生人数是女生人数的1/2、所以我们有：(3x+20)/(5x)=1/2
接下来，我们将分数相乘的方法来解决这个方程：
2×(3x+20)=1×5x
6x+40=5x
移项得：
x=-40
显然，这个解是不合理的，因为人数不可能是负数。
所以，我们可以得出结论：原来小组的人数不可能满足题目所给的条件。
因此，我们无法确定原来小组有多少人。
思考与拓展：
本题是一个关于比例的一元一次方程应用题，题目中给出了男生和女生的比例和变化后的比例，通过设定未知数，并根据题目中给出的条件，建立方程，最后解方程来求解问题。
通过本题的解答，我们可以看出，在实际问题中，有时候给出的条件可能存在矛盾或不合理的情况，这时候我们需要仔细分析题目，并根据实际情况来判断是否存在解，以避免错误的求解。
另外，本题还可以引申出一些其他相关问题，比如如果男生和女生人数比例是3:5，男生增加30人，女生减少10人，那么男生和女生的人数比例是多少？这类问题可以拓展学生的思维能力，并且在解题过程中锻炼运用比例的相关知识。
一元一次方程比例问题
课堂小结
按比例分配问题，应用分配 比例的方法设元（未知数）。当 不能或难以直接设未知数时，常 用间接设未知数的方法。
课后作业
课本97页练习第2题和习题3.2第4、6题。
分析：各个作业队应负担费用与排涝的土地面 积成正比，且三个作业队各自应负担费用之 和等于120元，由于共有土地4+5+6=15份， 因而120元可以由15份分担。据此，可得解 法如下：
解：设每份土地排涝分担费用为X元，那 么三个作业队应分担的费用比分别为4x元、 5x元、6x元，根据题意，得
4 x 5 x 6 x 120
1、李阿姨购买了25000元某公司1年期的债券，1年 后扣除20%的利息税之后得到本息和26000元， 那么，这种债券的年利率是多少？ 解：设这种债券的年利率是x，依题意，得： 25000 + 25000x - 25000x × 20% = 26000 20000x = 1000 x = 0.05 即： x = 5%
x8
解方程，得
4 x 32,5x 40,6 x 48
答：三个作业队各应该负担32元、40元、48元。 （本题采用了间接设未知数的方法，当不能或难 以直接设未知数的时候，常采用此法）
练习巩固
1. A、B、C三个公司合作一项工程，计划派 出91名技术人员，按公司的投入比例 3:4:6派出人员，则A、B、C三个公司派出 的技术人员的人数各是多少人？
答：这种债券的年利率是5%。
一元一次方程的实际应用
----工程比例问题
本节重点
按比例分配问题，应用分配比 例的方法设元（未知数）。当不 能或难以直接设未知数时，常用 间接设未知数的方法。
人教版七年级上册数学一元一次方程应用题(比例分配问题)专题训练
4．甲、乙、丙三人共同出资做生意，甲投资了 万元，乙投资了 万元，丙投资了 万元，年终时，共赚得利润 万元，甲、乙、丙三人按比例进行分配，各可以分得多少利润？
5．有一筐苹果分给小朋友们，如果每人分4个苹果，则多6个苹果，如果每人分5个苹果，则最后一个小朋友只能有4个，问:有几个小朋友有几个苹果？
(1)一个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克？
(2)每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？
10．某玩具厂生产一种玩具的三部分配件的个数比为1：2：3，若一个月共生产3600个这种玩具的配件，那么这三种配件的个数分别是多少？（根据题意列出方程）
11．白菜是泰安特产之一，去年泰安白菜大丰收．某乡镇要把116吨白菜运往某市的A，B两地，用大、小两种货车共10辆，恰好能一次性运完这批白菜，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和10吨/辆，求这两种货车各有多少辆？
18．顺义新华书店新进一种畅销书若干本，第一天售出总数的 ，第二天售出总数的 还多50本，结果书店还有200本这种书，请问书店新进这种畅销书多少本？
19．洗衣机厂今年计划生产洗衣机 台，其中 型、 型、 型三种洗衣机的数量比为 ，那么计划生产的 型洗衣机比 型洗衣机多多少台？
20．新冠疫情期间，甲、乙、丙三家公司为抗击疫情捐款，他们共捐款216万元，所捐款数的比为3：4：5，问甲、乙、丙三家公司各捐款多少万元？
参考答案：
1．一中队、二中队分到树苗200棵、250棵．
2．应往甲处派19名学生，则往乙处派4名学生.
3．105
4． 万元； 万元； 万元
5．有7个小朋友，34个苹果
6.4一元一次方程的应用(比例问题)
4、检验并作答。
同类练习：
有一个班的学生去看电影，买 了价格为2元和3元的两种座票 共40张，总共付了104元，问2元 和3元的票各买了几张？
例2、某学校准备从七、八、九三 个年级的学生中按4:5:3共抽出120 人进行健康检查。问三个年级各 抽出学生几人？
例3、学生课桌装配间共有木工9人， 每个木工一天能装配双人课桌4张 或单人椅子10把，怎么分配工作能 使一天装配的课桌椅配套？
同类练习： 某车间有工人26人，生产甲、乙两 种零件，每人每天生产甲种零件 15 个，或生产乙种零件10个。某种仪 器每套需甲种零件2个，乙种零件3 个。如何安排劳动力，使每天生产 的零件正好配套。
例1、 5位教师和49名学生一起去 公园，教师按全票的票价，学生只 收半价.如果买门票共花费206.50元， 那么票价是多少？
人数 教师 学生 5 49 票价 总票价
5x
49 x 2
x
1 x 2
教师的总票价 学生的总票价 206.50
相等关系
列方程解应用题的一般步骤：
1、设未知数（元）； （直接假设和间接假设） 2、列方程；
例4、某校初三学生去年共有502 人，今年男人增加18人，女生减 少5%，全年级比去年增加8人， 求今年男、女生的人数。
同类练习：
某班级分成人数比为3：4的两个 小组，从第一组调4个人到第二 组之后，第一组人数是第二组人 数的一半，求这个班级有多少人？
一元一次方程比例问题解题技巧
一元一次方程比例问题解题技巧
解决一元一次方程比例问题的技巧如下：
1. 理解比例关系：首先要理解比例关系的含义。
在比例问题中，两个量之间存在着相等的比例关系，即两个量之间的比值保持不变。
2. 设定未知数：使用字母（通常是x）来表示未知数。
根据问题中给出的信息，设定一个未知数来表示其中一个量。
3. 建立方程：根据比例关系建立方程。
根据问题中给出的信息，可以得到两个量之间的比值，然后将其转化为一个等式。
使用未知数和已知的数值来建立方程。
4. 解方程：解一元一次方程。
对方程进行运算，将未知数进行求解。
可以使用各种运算法则来简化方程，最终求得未知数的值。
5. 检验答案：将求得的未知数的值代入原问题中进行检验。
将未知数代入比例关系中，确保等式两边成立，验证答案的正确性。
6. 确定问题要求：根据问题要求，确定需要求解的具体内容。
比如求出未知数的值、求出比例中的其他量等。
7. 注意特殊情况：在解决比例问题时，要注意特殊情况。
比如分母为零的情况，或者比例中有其他限制条件的情况。
8. 给出合理的解释：在解决问题后，给出合理的解释和回答。
根据问题的具体要求，解释结果的含义，并确保解答符合问
题的背景和实际意义。
通过以上技巧，你可以更有效地解决一元一次方程比例问题，并得出正确的解答。
记住，在解题过程中要仔细审题，理解问题的要求，并运用合适的数学知识和技巧进行求解。
3.2.3一元一次方程的比例问题
2. 根据题目中的比例关系找到到隐含的等量关系；
3. 通过解决实际问题，体会直接、间接设未知数 的解题思路。
请同学们自学课本P96页例5，思考：
1 、在例 5 中，各个作业队应该负担的费用与排涝的 土地面积是什么关系？
2 、在例 5 中，你有几种设未知数的方法？分别列出 对应的方程并比较哪种设法列方程简单些？
谈谈收获： 通过本节课的学习， 我知道了... 我了解了... 我掌握了...
谈谈疑惑：
学习目标：
1.会用间接法设关于比例问题的未知 数； 2.根据题目中的比例关系找到到隐含 的等量关系； 3.通过解决实际问题，体会三个班参加篮球课外兴趣小组的共有 36人，其中三个班参加人数之比是2:3:4，每 个班各有多少人参加篮球兴趣小组？
1 、例 5 中各个作业队应该负担的费用与排涝的土地 面积是什么关系？ 2 、例 5 你有几种设未知数的方法？分别列出对应的 方程并比较哪种设法列方程简单些？
3、此题采用间接法设未知数，即把与所要求的未知 量有关的某一特定量设为未知数。 因为这样设未知数便于使用已知条件列出比较简单 方程
3.2.3 一元一次方程的应用
——比例问题
1.一元一次方程解应用题的步骤有哪些? 2.列方程解应用题的关键是什么？
1.列一元一次方程解应用题的步骤： 审题、找等量关系、设未知数、列方 程、解方程、检验并写出答案 2.列方程解应用题的关键是 找到题中已知量及未知量之间隐含的 数量关系或等量关系
1.会用间接法设关于比例问题的未知数；
1、用长为84cm的铁丝围城一个长方形，已知长 和宽的比为4:3，则该长方形的面积是多少？ 2、有某种三色冰淇淋 60克，咖啡色与红色配料 的比是 1 ： 4 、红色与白色的配料比是 2 ： 3 ，则 咖啡色、红色、白色配料分别是多少克？ 思考：若将第2题中的1:4、2:3改成1:2、3:4 又该如何设未知数和列方程呢？
2024七年级数学上册第3章3.3第3课时列一元一次方程解比例分配等问题课件新版沪科版
据题意，得10×15(24＋ y )＋5×20(36－ y )－
(10×15×24＋5×20×36)＝600，解得 y ＝12，
答：从生产 B 零件的工人中调出12名工人生产 A 零件.
1
2
3
4
类型3
跨学科问题
4. 在山地和丘陵，气温随海拔升高而降低，大致每升高100
米，气温约下降0.6 ℃.一名同学在山脚下测得此处的海
1
2
3
4
(2)因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分 A 零件供
商场零售使用，现从生产 B 零件的工人中调出多少名
工人生产 A 零件，才能使每日生产的零件总获利比调
动前多600元？
1
2
3
4
【解】由(1)知生产 B 零件的工人原有60－24＝36(名).
设从生产 B 零件的工人中调出 y 名工人生产 A 零件，根
5(天)；若调走乙，则甲还需(1－75％)÷ ＝7.5(天).
因为9＋5＝14(天)＜15天，9＋7.5＝16.5(天)＞15天，
所以调走甲更合适.
1
2
3
4
3. 某工厂车间有60名工人生产 A 零件和 B 零件，每名工人每
天可生产 A 零件15个或 B 零件20个(每名工人每天只能生
产一种零件)，一个 A 零件配两个 B 零件，且每天生产的
沪科版 七年级上
第3章
一次方程与方程组
3.3 一元一次方程的应用
第3课时 列一元一次方程解比例分配等问题
1. 比例分配问题设未知数：直接设——把问题中所求的未知
量设为未知数；间接设——把与所求未知量有关的特定量
设为未知数.
3.4一元一次方程的应用之比例问题
变式：小明、小华、小丽三个小朋友用积木搭长
城，三人用掉的积木数量之比为3︰4︰2，数了 数，三个小朋友共有99块积木，请问这三个小朋友 各有多少块积木？
解：设小明、小华、小丽三人用掉的积木分别为 3x块、
4x块、2x块，由题意得： 3x＋4x ＋ 2x = 99 x = 11 3x = 33，4x = 44，2x = 22 答：小明有33块积木，小华有44块积木，小丽有22 块积木。
归纳总结
比例问题很简单，关键要记住“设要按照 比值去设”，设每一份为x.如: 甲︰乙︰丙 = 5︰2︰3， 则设甲、乙、丙分别为5x、2x、3x。
提高练习
1、足球的表面是由若干黑色五边形和白色六边 形皮块围成的，黑白皮块的数目比为3︰5， 一个足球的表面一共有32个皮块，问黑白两 色的皮块各有多少？ 2、如果甲、乙两班的人数总和为90，且甲、乙 两班人数的比为7︰8，则甲、乙两班各有多 少人？
3、甲乙丙三辆卡车所运货物的吨数的比是6︰ 7︰4.5，已知甲车比丙车多运货物12吨，则 三辆卡车共运货物多少吨？ 4、我国四大发明之一的黑火药，它所用的原料 硝酸钾、硫磺、木炭的重量比是15︰2︰3， 要配制这种火药160千克，问三种原料各取多 少千克？
例：小明、小华、小丽三个小朋友用积木搭长城，三 人用掉的积木数量之比为1︰3︰2，数了数，小华用的 积木比小丽用的多11块，请你帮小朋友算算共有多少 块积木。
分析：本题中三个小朋友用掉的积木数量之比为1︰3︰ 2，所以就设三人用掉的积木分别为 x块、3x块、2x块。 根据题中的条件，可以列出方程 解：设小明、小华、小丽三人用掉的积木分别为 x块、 3x块、2x块，由题意得： 3x － 2x = 11 x = 11 x＋3x ＋ 2x = 6x=6×11=Βιβλιοθήκη 6 答：三个小朋友共有66块积木。
一元一次方程应用题比例分配问题
比例分配问题1、某种三色冰淇淋50克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5，这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克？2、足球表面由若干个黑色五边形和六边形皮块围成的，黑、白皮块数目比为3：5，一个足球表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少？3、某把面积是16亩的一块地分成两部分，使它们的面积的比等于3﹕5，则每一部分的面积是多少？4、甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙两的完成零件个数之比为3﹕4，乙与丙完成零件的个数比为5﹕4，现在甲、乙、丙三人一起做了1581个零件，问甲、乙、丙三人各做了多少个零件？5、甲、乙两人合资办一个企业，并协议按照投资额的比例多少分配所得利润，已知甲与乙投资额的比例为3：4，首年利润为38500元，问甲、乙两人可获得利润分别为多少元？6、甲、乙二人去商店买东西，他们所带钱数的比是7：6，甲用掉50元，乙用掉60元，则二人余下的钱数比为3：2，求二人余下的钱数分别是多少？7、甲、乙、丙三辆汽车所运货物的吨数比是6：5：4，已知三辆汽车共运货物120吨，求这三丙汽车各运多少吨货物？8、甲、乙、丙三个粮仓共存粮80吨，已知甲、乙两仓存粮数之比是1：2；乙、丙两仓存粮数这比是1：2.5，求甲、乙、丙三仓各存粮多少吨？9、甲、乙、丙三村集资140万元办学，经协商甲、乙、丙三村的投资额度比例是5：2：3，问他们各应提交多少元？10、甲乙丙三个工人每天所生产的机器零件数，甲和乙的比为2：3，乙和丙的比是4：5，若甲乙丙每天共生产零件1575个，问每天每个工人各生产多少个机器零件？11.甲、乙、丙三辆卡车所运货物的吨数比是6：7：4.5，已知甲车比丙车多运货物12吨，则三辆卡车共运货物多少吨。
12.甲、乙两个工程队分别有188人和138人，现需要从两队抽出116人组成第三个队，并使甲、乙两队剩余人数之比为2：1，问应从甲、乙两队各抽出多少人？。